+ + Р(В) - Помощь студентам

ся. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.
Вероятность появления белого шара в каждом испытании равна
р = 15/20 = 3/4, а вероятность непоявления белого шара равна
q = 1 p = 1/4. По формуле Бернулли находим
Р 5 (2) =
2
С5
p 2 q 52 =
5
4 3
1
2 4
5.2. Локальная теорема Лапласа
2
1
4
3
45
= . 512
Нетрудно заметить, что пользоваться формулой Бернулли при
больших значениях n достаточно трудно, так как приходится выполнять
действия над громадными числами.
Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую
нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли Оказывается,
можно. Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу,
которая позволяет приближенно найти вероятность появления события
ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно
велико.
Заметим, что для частного случая, а именно для р = 1/2, асимптотическая
формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас
обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1.
Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой
Муавра-Лапласа.
Доказательство локальной теоремы Лапласа довольно сложно,
поэтому мы приведем лишь формулировку теоремы и примеры, иллюстрирующие
ее использование.
Теорема. Если вероятность р появления события А в каждом
испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то
вероятность P n (k) того, что событие А появится в n испытаниях
ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем
57