chuyên đề toán - Trường THPT Chuyên Tiền Giang

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012ĐỊNH LÍ CON NHÍM VÀ ỨNG DỤNGCô: Nguyễn Thị Hồng Nhung1.Định lí: Cho đa giác lồi A 1 A 2 …A n và các vectơ đơn vị e i( AiAi 1 ) theo thứ tự vuông góc với (xem A n+1 A 1 ), hướng ra phía ngoài đa giác. Lúc đó ta có: A1 A2 e1 A2 A3 e2 ... AnA1en 0Chứng minh:+ Xét trường hợp n = 3, đa giác chính là tam giác.Gọi (I) là đường tròn nội tiếp ABC , lần lượt tiếp xúcvới các cạnh BC, AC, AB tại D; E; F.Đặt AE = AF = x; BF = BD = y; CD = CE = z.Như vậy ta có: y + z = a; z + x = b; x + y = z. y Vì DBC, DB = y; CD = z nên DB DCz yHay điểm D chia đoạn thẳng BC theo tỉ số .z y IB IC zIB yICVới I bất kì thì: ID z a.ID zIB yICy1az Tương tự ta có: bIE xIC zIA;cIF yIA xIB aID bIE cIF IA( y z) IB( x z) IC( x y) aIA bIB cIC Trong một tam giác nếu I là tâm đường tròn nội tiếp thì aIA bIB cIC 0 aID bIE cIF 0Suy ra định lí con nhím đúng với n = 3.+ Giả sử định lí con nhím đúng với (n – 1)-giác lồi (n 4) (2)đa giác lồi.Người ta còn gọi các vectơe ilà các lông nhím.Dựng vectơ đơn vị e vuông góc với A1 An 1, hướng ra phíangoài tam giác A 1 A n-1 A n .Vì định lí con nhím đúng với tam giác và (n – 1)-giác nênáp dụng tương ứng cho A 1 A n-1 A n và (n – 1)-giácA 1 A 2 …A n-1 , ta có: An 1An en 1 An A1 en A1 An1e 0 A1 A2 e1 A2 A3 e2 ... An1A1( e) 0 A A e A A e ... A A e 0 1 2 1 2 3 2 n 1 nNhư vậy định lí con nhím đúng với n-giác lồi.Vậy theo nguyên lí quy nạp định lí con nhím đúng với mọiTỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 5