chuyên đề toán - Trường THPT Chuyên Tiền Giang

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 Do N thỏa NA1 NB1 NC1 0BC nên ta có: AC ABNA1 NB1 NC1hay AB. NB1 AC.NC1Gọi AD là phân giác trong của góc A, D BC Lấy N1đối xứng với N qua đường phân giác ADKhi đó ta có: Khoảng cách từ N1đến AC bằng NC1,Khoảng cách từ N1đến AB bằng NB1.Suy raGọiTừS SAN1BAN1CA'là giao của AN1với BC.S SAN1BAN1C AB. NA .sin BAN AC. NA .sinCAN1 1 1 1 AB.sin BAN AC.sin CAN AB.AA'.sin BAA ' AC.AA'.sin CAA '1 1 SSuy raBAA' SCAA'A'là trung điểm của BC.Hay AA’ là đường trung tuyến của ABC , vậy N thuộcđường thẳng đối xứng với AA’ qua đường phân giác gócA.Tương tự ta sẽ có: N thuộc đường thẳng đối xứng vớiBB’ và CC’ qua đường phân giác góc B và góc C (vớiB’, C’ lần lượt là trung điểm của AC, AB).Như vậy: N là giao của 3 đường đối xứng với 3 đường trung tuyến lần lượt qua 3 đường phân giác củamỗi góc.Bài toán được giải quyết. Điểm N như trên được gọi là điểm đối trung của ABChoặc điểm Lemoine của ABCthoả 2 2 2mãn hệ thức vectơ: a . NA b . NB c . NC 0 (a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác)Thật vậy:BC AC AB a b cTheo chứng minh trên ta có: NA NB NC NA NB NC1 1 11 1 12 2 2 2 2 22a 2b 2ca b c (*)aNA1 bNB1 cNC1Sa Sb Sc Mặt khác, ta đã biết: nếu N là điểm bất kì trong tam giác ABC thì: S . NA S . NB S . NC 0 , trongđó S a S MBC, Sb S MAC, Sc S MAB. Vậy (*) a 2 . NA b 2 . NB c 2 . NC 0a b cVí dụ 6: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trong tam giác ABC, H, I, K lần lượt là hình chiếu của Mtrên BC, CA, AB. Chứng minh rằng M là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khiTỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 9