Áp dụng tính liên tục của hà m số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải

Sáng kiến kinh nghiệmVì f là hàm liên tục nên lim f(x n ) = f( 1 2 ) , mặt khác 2 1f ( xn+ 1) = f( xn + ) = f( xn),∀n∈ N .4Vậy f(x 0 ) = f(x 1 ) =…= f(x n ) =… nên f(x 0 ) = f( 1 2 ) với mọi x 10∈[0; ]211*Với x0> Xét dãy x 0, x 1 ,…,x n ,… xác định bởi xn1 n2= +x − 4Như trên (x n) là dãy hội tụvà limx n = 1 2 và f liên tục nên lim f(x n) = f( 1 2 ) , mặtkhác2 1f ( xn+ 1) = f( xn+1+ ) = f( xn),∀n∈N .4Vậy f(x 0 ) = f(x 1 ) =…= f(x n ) =… nên f(x 0 ) = f( 1 2 ) với mọi x 0 > 1 2 .Thử lại f(x) = C thỏa đề bài .Vậy f là hàm hằng với mọi xBài 13: Tìm hàm f liên tục trên R và thỏa mãn2 2f ( x ) f( x)x x+ = + với ∀x ∈ RGiải Đặt g(x) = f(x)-x , g liên tục trên R và g(x 2 )+g(x) = 0 với ∀x ∈ R do đó g là hàm chẵn vàg(0) = g(1) = 0 .Với x > 0 ta có g(x)= -g(x 2 ) = g(x 4 4) suy ra g(x) = gx ( )1Với x 0 > 0 ta xét dãy x 0 , x 1 ,…, x n ,… với14n+ 1 n, Nx = x ∀n∈ .1114 164Ta có x = x = x = ... = x n+→ 1 vàn+ 1 n n−1 0114n+ 1 n n n−1gx ( ) = gx ( ) = gx ( ) = gx ( ) = ... = gx (0)Vì g liên tục nên g(x 0 ) = limg(x n ) = g(limx n ) = g(1) = 0.Vậy g(x) = 0 với ∀x ∈ R do đó f(x) =x với ∀x ∈ R .Hiển hiên hàm số này thỏa yêu cầu bài toánGiải:Giả sửBài 14: Tìm hàm f liên tục trên [0;1] và thỏa mãn f(xf(x)) = f(x) , ∀x∈ [0;1]a∈(0;1]và b = f(a).Khi đó f xác định tại a và do đó xác định tại ab,ab 2 ,…,ab nBằng quy nạp ta có f(ab n ) = b, ∀n∈N.Thật vậy với n=1 ta có f(ab) = f(af(a))=f(a) = b vàf(ab n+1 ) = f(ab n f(ab n )) = f(ab n ) = b.Ta cób∈ [0;1] vì nếu b1 ,khi đó f sẽ không xác định tại ab và ab n .Do f liên tục nên với 0 < b