Áp dụng tính liên tục của hà m số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải

Sáng kiến kinh nghiệmkxnkxn/ k −−nn /Fn( xn) =− e f( xn) + e f ( xn) = 0n/ /f ( xn) k f ( xn)k⇒ = ⇒ lim = limn1f( xn) n ef( xn)nne ( −1)= kBài 45:Cho hàm số f : R→ R có đạo hàm .Giả sủ lim f ( x)= a vàx→+∞/lim xf ( x)x→+∞tồn tại.Tìm giới hạn/lim xf ( x)x→+∞.HD:Giả sử n < N là hai số tự nhiên. Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số g(x)=xf(x) trên[n;N] , khi đó tồn tại c ∈( n; N)sao choVìlimN →+∞nNf ( N) − nf ( n)= a nên với n đủ lớnN − n/ /g ( x) = f( x) + xf ( x)có giới hạn hữu hạn nên/ Nf ( N) − nf ( n)g ( cn)=.N − n/ 1(n)ag cVậy lim xf / ( x) = lim g / ( x) − lim f ( x) = a − a = 0.x→+∞ x→+∞ x→+∞Bài 46:Tính giới hạn :⎡n⎣1 1n+1 nn+1nlim (1 + ) − (1 + )n→+∞⎢⎤⎥⎦− < .Ta lại có lim c n=+∞nn→+∞/ /lim ( ) lim (n)x→+∞n→+∞g x = g c = a.1HD:Xét hàm số f( x) = (1 + ) x trên (0; +∞ ) .Với n∈N,áp dụng định lí Lagrang cho hàm số fxtrên [n;n+1] thì tồn tại/lim nf ( cn)n→+∞.Mà/c ∈ ( n; n+ 1) : f( n+ 1) − f( n ) = f ( c ) .Ta cần tínhn/ 1 c 1 1f ( c ) (1 ) nn= + (ln( + 1) − ), vì n< cn< n+ 1suy rac c c + 1n n n/ 1 c 1 1f ( c ) (1 ) nn< + (ln( + 1) − ).Do đó :c n n + 2n/ 1 c 1 10≤ lim nf ( c ) lim (1 ) nn≤ n + (ln( + 1) − ) = 0 vìn→+∞n→+∞c n n+2nn+21nlim (ln(n+2+ 1) − 1) = 0n→+∞nn1 clim (1 + ) n = e và→+∞ cnnNgười thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang 23