Áp dụng tính liên tục của hà m số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải

Sáng kiến kinh nghiệmHD:Giả sửa≤b≤c≤dvà F(x)=(x-a).(x-b).(x-c).(x-d) Ta có F(a)=F(b)=F(c)=F(d)=0 nênF / (x) có 3 nghiệm y 1 ,y 2 ,y 3 trên các đoạn [a;b],[b;c],[c;d] vàa≤ y1 ≤b≤ y2 ≤c≤ y3≤ dTa có F(x) = x 4 -T 1 x 3 +T 2 x 2 -T 3 x+T 4 với T 1 = a+b+c+d , T 2 = ab+ac+ad+bc+bd+cd ,T 3 = abc+abd+acd+bcd , T 4 =abcdF / (x)= 4x 3 -3T 1 x 2 +2T 2 x-T 3 có 3 nghiệm dương y 1 ,y 2 ,y 3 . Theo định lí Viét ta :T Tyy yy yy yyy2 4231 2+2 3+3 1= ;1 2 3= .Áp dụng BĐT Côsi ta có :22 T3 2 ⎛T3 ⎞ T3T2( )331 2+2 3+3 1≥1 2 3⇒ ≥ ⇒ ≤1 ( yy yy yy ) yyy3 6Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang 18⎜⎝4⎟⎠ 4 6Bài 35: Cho abcd≥ , , , 0 thỏa 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd=162.CMR: a+ b+ c+ d ≥ ( ab+ ac+ ad + bc+ bd + cd ) (Thi QG năm 1996)3HD:Đặt F(x) , T i (i=1,2,3,4) như bài 34 ta có F / (x) có 3 nghiệm không âm x 1 ,x 2 ,x 3 .Theo định3T1 T2T3lí Viet ta có : x1 + x2 + x3 = , x1x2 + x2x3 + x3x1 = , x1x2x3=4 2 4Từ giả thiết ta có 2T 2 +T 3 =16 suy ra x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 + x 1 x 2 x 3 = 4 (1)2Ta lại có T 1T 23≥ x1 x2 x3 x1x2 x2x3 x3x1⇔ + + ≥ + + (*)D0 (1) nên trong 3 số x 1 ,x 2 ,x 3 có nhiều nhất một số bằng 0 ,giả sử x 1 ,x 2 >0 từ (1) suy rax34 − xx1 2=x + x + x x 21 2 1Từ (*) ta có4−xx4−xx(*) ⇔ x + x + ≥4− x x⇔1 2 1 21 2 1 2x1+ x2+ xx1 2x1+ x2+xx1 221+2− ≥1 2−1−2( x x 2) x x (1 x )(1 x ) (**)Nếu (1-x 1 ) (1-x 2 )≤0 thì (**) đúng1Nếu (1-x 1 ) (1-x 2 ) > 0 thì từ 0 < (1-x 1 ) (1-x 2 ) ≤ (2 )2− x − y và 0 < xy ≤ 4 suy ra (**) đúng.4Sau đây ta sẽ chứng minh bài tổng quát của bài 34Bài 36: Cho x i > 0 và Tk= ∑ xixi ... xi.1 ≤ i < i < ... < i ≤n1 2k1 2k