Áp dụng tính liên tục của hà m số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải

Sáng kiến kinh nghiệmVậy⎡ 1 1 ⎤⎣ n+1 n ⎥⎦ =0.n+1nlim n (1 + ) − (1 + )n→+∞⎢Bài 47: Cho n là một số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng phương trìnhx n = x 2 + x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x n . Hãy tìm số thực a sao cho giớiahạn lim n ( x n− x n + 1)tồn tại, hữu hạn và khác 0.n→∞Giải. Đặt P n (x) = x n – x 2 – x – 1. P n (1)0 và P n tăng trên ( 1; +∞)nên P n cónghiệm duy nhất xn∈(1; 2)Ta có P n+1 (x) = x n+1 – x 2 – x – 1 = x n+1 – x n + P n (x) = x n (x-1) + P n (x).Từ đó P n+1 (x n ) = x n n (x n -1) + P n (x n ) = (x 2 n +x n +1)(x n -1) = x 3 n – 1.Ta có P n+1 (1)0 nên 1< x n+1 < x n .Suy ra (x n ) hội tụÁp dụng định lý Lagrange, ta có(x 2 n +x n +1)(x n – 1) = P n+1 (x n ) – P n+1 (x n+1 ) = (x n – x n+1 )P n+1 ’(c)với c thuộc (x n+1 , x n ), P n+1 ’(x) = (n+1)x n – 2x – 1.2n+ 1 2 n xn+ 1+ xn+1+ 1 1Ta có xn+ 1− xn+ 1− xn+ 1− 1= 0⇒ xn+ 1= = xn+1+ 1+xn+ 1xn+1Từ đó(n+1)(x n+1 +1+1/x n+1 ) – 2x n+1 – 1 = P n+1 ’(x n+1 ) < P n+1 ’(c)< P n+1 ’(x n )= (n+1)(x 2 n +x n +1) – 2x n – 1. (Do P / n+1 tăng )Ta CM lim x n = 1n nGiả sử lim x n = a>1 v ới n đ ủ l ớn ta c ó x > a > 7f x = ⇒ x = x + x + < (vô lí).Vậy lim x n = 1, ta suy ran 2n( n) 0n n n1 7'P n + 1(c)lim = 3n→∞nTiếp tục ta CM lim n(x n – 1) = ln3.Ta có2n 2 2 ln( xn + xn+ 1)n n n1 lnnln(n n1) (n1) (nln xnx = x + x + ⇒ n x = x + x + ⇒n x − = x −1)Đặtyy = x − → ny = y + y + →n2n n1 0;nln(n3n3) lnln( yn+ 1)Từ đó suy ra' 2lim nP ( c)( x − x ) = lim n( x + x + 1)( x − 1) = 3 ln 3n→∞n+ 1 n n+1n n nn→∞a⇒ lim n ( x − x ) = lim n . nP ( c)( x − x ).n→∞a−2 'n n+ 1 n+ 1 n n+1n→∞'Pn+ 1= n nP c x − xa−2 'lim .limn+ 1( )(n n+1).limn→∞ n→∞ n→∞'Pn+ 1nn( c)n=( c)3 .Vậy lim n(x n – 1) = ln3.Với a=2 thìalim n ( xn− xn + 1)= ln3n→∞Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang 24