Áp dụng tính liên tục của hà m số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải

Sáng kiến kinh nghiệmBiến đổi phương trình về dạng f(x) = 0 sau đó chứng minh f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) ≤0Bài 1: Cho a,b,c khác 0 và p,q tùy ý.CMR phương trình2 2a b+ = cx p x q− −luôn cónghiệm.Giải :* Với p = q ta có2 2 ⎧a + b ⎪x ≠ p=2 2c ⇔ ⎨ a + bx− p ⎪x= + p⎩ cphương trình có nghiệm.* Với p ≠ q điều kiện xác định x ≠ p và x ≠ q .Với điều kiện đó phương trình tương đươngvới a 2 (x-q)+b 2 (x-p)=c(x-p)(x-q) ⇔ c(x-p)(x-q)- a 2 (x-q)-b 2 (x-p) = 0Đặt vế trái của phương trình là f(x) . Ta có f liên tục trên R vàf(p)f(q) = -a 2 b 2 (p-q) 2có nghiệm.[a;b]≤0.Do đó tồn tại số x 0 ở giữa p và q sao cho f(x 0 ) = 0,tức phương trìnhBài 2: Cho hàm f :[ ab ; ] → [ ab ; ] liên tục .CMR phương trình f(x) = x có nghiệm trongHD:Đặt g(x) = f(x) –x liên tục trên [a;b] và g(a).g(b)≤0Bài 3:CMR phương trìnhHD: Điều kiện1 1− = m luôn có nghiệm.cos x sin xx ≠ k π .PT tương đương với sinx – cosx –msinxcosx = 02Đặt f(x) = sinx – cosx –msinxcosx liên tục trên [0; π π] và f (0). f ( ) < 022Bài 4:CMR với mọi a,b,c PT sau luôn có nghiệm:ab(x-a)(x-b)+ bc(x-b)(x-c)+ ac(x-a)(x-c) = 0HD: Đặt f(x)= ab(x-a)(x-b)+ bc(x-b)(x-c)+ ac(x-a)(x-c) liên tục trên R vàf ( a). f( b). f( c). f(0) ≤ 0⇒ f ( a). f( b) ≤ 0 hoặc f ( c). f(0) ≤ 0tục .I.2.2. Áp dụng tính liên tục của hàm số để giải các bài toán về hàm số và dãy số:-Áp dụng định lí giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm liên-Dãy số đơn điệu và bị chặn thì tồn tại giới hạn hữu hạn.Bài 5: Cho f là hàm số liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện f(f(x))f(x) =1 với mọi xvà f(2a)=2a-1( với a>1).Hãy tính f(a)Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang 6