Áp dụng tính liên tục của hà m số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải

Sáng kiến kinh nghiệmaVới a > 2 thì lim n ( x − x + 1)= +∞Với a < 2 thìn→∞nnalim n ( x − x + 1)= 0.Vậy a=2 là đáp số của bài toán.n→∞nnBài 48: (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực (x n ) xác định bởi:x 1 = a và x n+1 = ln(3+cosx n + sinx n ) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …Chứng minh rằng dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng.Giải. Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thìcos x − sin xf '( x)=3 + sin x + cos x| cos − sin x | ≤ 2, | sin x + cos x | ≤Ta có: x 2 ta suy ra2| f '( x)| ≤ = q < 1.3 − 2Áp dụng định lý Lagrange cho x, y thuộc R, ta cóf(x) – f(y) = f / (z)(x-y)Từ đó suy ra |f(x) – f(y)| ≤ q|x – y| với mọi x, y thuộc R.Áp dụng tính chất này với m > n ≥ N, ta có|x m – x n | = |f(x m-1 ) – f(x n-1 )| ≤ q|x m-1 -x n-1 | ≤ …≤ q n-1 |x m-n+1 – x 1 | ≤ q N-1 |x m-n+1 – x 1 |.Do dãy (x n ) bị chặn và q < 1 nên với mọi ε > 0 tồn tại N đủ lớn để q N-1 |x m-n+1 – x 1 | < ε. Nhưvậy dãy (x n ) thoả mãn điều kiện Cauchy do đó hội tụ.NX : Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy (x n ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại sốtự nhiên N sao cho với mọi m, n ≥ N ta có |x m – x n | < ε.Người thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang 25