Áp dụng tính liên tục của hà m số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải

Sáng kiến kinh nghiệm1 1 1 1 1 1 1 1 10 = + + ... + < + + + ... + < − = 0x x −1x − n x −1− 2 − n a annMâu thuẫn. Vậy ta phải có lim x n = 0.nnNX : * Có thể lập bảng biến thiên để thấy hàm số f n giảm từ +∞ xuống -∞ trên (0 ;1)* Áp dụng : lim u =+∞⇔( ∀ M > 0, ∃ N: n> N ⇒ u >M)n→+∞n* Dãy (u n ) giảm và bị chặn dưới thì tồn tại giới hạn hữu hạn lim u nnn→+∞Bài 9 : Cho n là một số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng phương trình x n =x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là x n . Chứng minh rằng x n dần về 1 khi n dầnđến vô cùng và tìm lim n(x −1).n→∞nGiải : Đặt f n (x) = x n – x – 1 ta có f n (1) = -1< 0 ,f n (3) > 0 khi n>1và f tăng trên (1 ; +∞ )nên x n > 1 .Khi đó f n+1 (1) = - 1 < 0 và f n+1 (x n ) =n 1x + n– x n – 1 > x n n – x n – 1= f n (x n ) = 0. Từ đóta suy ra 1 < x n+1 < x n . Suy ra dãy (x n ) có giới hạn hữu hạn a. Ta chứng minha = 1. Thật vậy, giả sử a > 1. Khi đó x n ≥ a với mọi n và ta tìm được n đủ lớn sao cho: x n n ≥ a n> 3 và x n + 1 < 3, mâu thuẫn vì f n (x n ) = 0.Đặt x n = 1 + y n với lim y n = 0. Thay vào phương trình f n (x n ) = 0, ta được(1+y n ) n = 2 + y n . Lấy logarith hai vế, ta đượcTừ đó suy raNhưngnln(1+y n ) = ln(2+y n )lim nln(1+y n ) = ln2ln(1 + yn)⇒ lim nyn= ln 2n→+∞yln(1 + yn)lim = 1 nên từ đây ta suy ra lim ny n = ln2, tức là→+∞ ynlim n(x −1)= ln 2.n→∞nnnNX: * (u n ) giảm và lim x n = a thì xn≥ a* Với a >1 thì l ima n =+∞ nên với n đủ lớn thì a n > 3*ln(1 + x)lim = 1x→0xI.2.3.Dựa vào tính liên tục của hàm số để chứng minh một hàm số là hàm hằngNgười thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang 9