Áp dụng tính liên tục của hà m số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải

Sáng kiến kinh nghiệmkc n > c - x nTừ đó ta có c – kc n < x n < c .Vậy lim x n = c.Bài 43 : Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình1 1+ + ... +x −14x−1n1x −12=vô cùng, x n dần đến 4. (HSG QG 2002)Giải:Đặt1 1 1 1f n( x)= + + ... + − Ta có2x −14x−1n x −1212có một nghiệm duy nhất x n > 1. Chứng minh rằng khi n dần đếnlim f ( x)= +∞ ,x→1+n1lim f ( x)=−n 2 và f n giảmx→+∞trên ( 1; +∞)nên gọi x n là nghiệm lớn hơn 1 duy nhất của phương trình f n (x) = 0.Ta có1 1 1 1 1 11 1f n( 4) = + + ... + − = + + ... +−24 −116 −14n−12 1.3 3.5 (2n−1)(2n+ 1) 21 ⎛11 1 1 1 1 ⎞ 1 1= ⎜ − + − + ... + − ⎟ − = −2 ⎝13 3 5 2n−12n⎠ 2 4nÁp dụng định lý Lagrange, ta có14n = |f n(x n ) – f(4)| = |f / (c)||x n -4|với c thuộc (x n , 4) (chú ý rằng f n (4) < 0 )Nhưng do1 4 1f n'( c)| = + + ... > (Vì 1 < c < 4 )2( c −1)(4c−1)9|2nên |x n – 4| < 9 4n suy ra lim x n = 4.Bài 44: Cho hàm số f liên tục trên [a;b] có đạo hàm trên (a;b) thỏa f(a) = f(b) =0 v àf ( x) ≠0, ∀x∈( a; b ). k là số thực cho trước ,CMR tồn tại dãy (x n ) với x ∈ ( ab ; ) sao chon/lim f ( xn)( ne − 1) f ( x )n= kkx−nHD:Xét hàm số F ( x) = e f( x), x∈[ a; b],n∈ N .F n liên tục trên [a;b] có đạo hàmntrên (a;b) và F n (a) = F n (b) theo định lí Rolle tồn tại x ∈ ( ab ; ) sao choTa cónF / ( x ) = 0nnNgười thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang 22