Áp dụng tính liên tục của hà m số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải

Sáng kiến kinh nghiệmBài 38: Giải phương trình 2 x +5 x = 3 x +4 x (1)HD:x=0 là nghiệm phương trình .Xét f(t)=t x liên tục trên [2;3] và [4;5] có đạo hàm trên (2;3)và (4;5).theo định lí Lagrange tồn tại t 1 ∈(2;3) và t 2 ∈(4;5) sao chof(3)-f(2) = f / (t 1 ) ; f(5)-f(4) = f / (t 2 )suy rat1x x x 1 x x x 13 2 xt −1;5 42− = − = xt − .Từ (1) suy ra 3 − 2 = 5 −4≠ t 2).Vậy phương trình có 2 nghiệm x=0;x=1Bài 39:Giải phương trình 3 x+2 = 26x+29x x x x⇒ t = t ⇒ x = 1(vìx−1 x−11 2HD: Rõ ràng PT có 2 nghiệm x = -1,x =2.Ta CM PT chỉ có 2 nghiệmXét hàm số f(x) = 3 x+2 - 26x-29 với x∈RTa có f / (x)= 3 x+2 ln3-26 , f / 2(x)=026 26x+⇔ 3 = ⇔ x = log3−2ln3 ln3Như vậy PT f / (x) = 0 chỉ có một nghiệm nên PT f(x) = 0 không có quá 2 nghiệm.Vậy PT chỉcó 2 nghiệm là x = -1, x = 2.2 2 2⎪⎧ x + y = u + vBài 40:Cho u,v > 0 .Giải hệ phương trình : ⎨3 3 3⎪⎩ x + y = u + v23HD: (u,v) , (v,u) là nghiệm của hệ .Hệ tương đương với⎧⎪− = −⎨⎪⎩2 2 2 2x u y v3 3 3 3x − u = y −vGiả sử x ≥u≥v≥ y ( u≥ x≥ y≥ v xét tương tự )Đặt X=x 2 , Y=y 2 , U=u 2 , V=v 2 ( X ≥U ≥V ≥Y)⎧X − U = Y −V⎪Hệ tương đương với ⎨ 3 3 3⎪2 2 2⎩X − U = Y −V32Gọif () t32= t liên tục trên [U;X] và [Y,V], có đạo hàm trên (U;X) và (Y,V) nên theo định líLagrange tồn tại t 1 ∈(U;X) và t 2 ∈(Y,V) sao cho1 1/ −/ 2 2(1) ; (2)1f( X) − f( U) f( Y) f( V) 3 3= f t = f t ⇒ t = t 2⇒ t 1= t 2(vô lí )X −U Y −V2 2II.2.4. Áp dụng định lí Lagrange để giải bất phương trình :Bài 41 :Giải bất phương trình2x −4 2 x−23 + ( x −4)3≥ 1HD: Đặt f(x) = 3 x ta có f / (x) = 3 x ln3.BPT tương đương vớiNgười thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang 20