Áp dụng tính liên tục của hà m số, định lí Lagrange, định lí Rolle để giải

Sáng kiến kinh nghiệm2 2 x−2f( x −4) − f(0) + ( x −4)3≥0/ 2 2 x−2⇔ f ()( c x − 4) + ( x −4)3 ≥0⇔ − + ≥2 cx−2( x 4)(3 ln3 3 ) 0(với c nằm giữa 0 và x 2 -4 )2 ⎡x≤−2⇔ x −4≥0⇔ ⎢⎣x≥ 2II.2.5. Áp dụng định lí Lagrange để tìm giới hạn dãy số:Bài 42: Cho số thực a > 2 và f n (x) = a 10 x n+10 + x n + …+x + 1.a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình f n (x) = a luôn có đúng mộtnghiệm dương duy nhất.b) Gọi nghiệm đó là x n , chứng minh rằng dãy (x n ) có giới hạn hữu hạn khi n dần đến vôcùng. Tìm lim x n (HSG QG 2007)Giải: Kết quả của câu a) là hiển nhiên vì hàm f n (x) tăng trên (0, +∞) và 0 < x n < 1. Ta sẽchứng minh dãy x n tăng, tức là x n+1 > x n .Ta có f n+1 (x n ) = a 10 x n+11 n + x n+1 n + x n n + … + x n + 1 = x n f n (x n ) + 1 = ax n + 1Vì ta đã có f n+1 (1) = a 10 + n + 1 > a nên ta chỉ cần chứng minh ax n + 1 < a là sẽ suy rax n < x n+1 < 1(do ax f x a fx n ≥ (a-1)/a thìfn1)n+ 1 =n+1( n) < aa a 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ −a a1 −⎝ ⎠ ⎝ ⎠a(do a – 1 > 1). Vậy dãy số tăng (x n ) tăng và bị chặn bởi 1 nên hội tụ.Ta CM:lim x n = (a-1)/a. Thật vậy, đặt c = (a-1)/a < 1Ta c ó f n (c)=n10 ⎛a−1⎞ ⎛a−1⎞( a− 1) ⎜ ⎟ + a−( a−1)⎜ ⎟⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠f n (c) – f n (x n ) = kc n (với k = (a-1)((a-1) 9 – 1) > 0)Theo định lý Lagrange thìf n (c) – f n (x n ) = f / (ξ)(c – x n ) với ξ thuộc (x n , c)Nhưng f / (ξ) = (n+10)a 10 ξ n+9 + nξ n-1 + …+ 1 > 1 nên từ đây suy raNgười thực hiện: Nguyễn Vũ Thanh Trang 21nsuy ra