Klasična mehanika

2.1. VEKTORI 15
Slika 2.5: Skalarno vektorski umnoˇzak tri vektora.
Slika 2.6: Vektorsko vektorski umnoˇzak tri vektora.
Naˇs je zadatak odrediti skalare β i γ. Promotrimo sliku 2.6. S �n0 je označen jedinični vektor
okomit na � W, koji leˇzi u ( � U, � W) ravnini, a usmjeren je tako da su �n0, � U i � W zakrenuti u
pozitivnom smjeru gledano s vrha vektora � U × � W. Pomnoˇzimo
�n0 · −→ D =�n0 ·(β � U +γ � W) = β �n0 · � U,
(zato jer je �n0 okomit na � W, pa je �n0 · � W = 0). S druge strane, taj isti umnoˇzak moˇzemo
napisati (zbog cikličnosti skalarno vektorskog umnoˇska) i kao
�n0 · −→ D = �n0 ·[ � V × ( � U × � W)] = ( � U × � W)·(�n0 × � V) = � V ·[( � U × � W) × �n0].
No, prema definiciji vektorskog umnoˇska je
Sa slike 2.6 se vidi da vrijedi
( � U × � W) × �n0 = �eW | � U × � W| |�n0| sin( � U × � W,�n0)
= �eW U W sin( � U, � W) 1 sin(π/2)
= �eW U W sin( � U, � W) = � W U sin( � U, � W).
∠( � U, � W) = π
2 −∠(�n0, � U)
sin( � U, � �
π
W) = sin
2 −∠(�n0, � �
U) = cos(�n0, � U).
Pomoću gornje relacije postaje
Uvrstimo li ovo u izraz za �n0 · −→ D , dobivamo
U sin( � U, � W) = U cos(�n0, � U) = � U ·�n0.
�n0 · −→ D = � V[ � W(�n0 · � U)] = ( � V · � W)(�n0 · � U).
Ako sada gornji izraz usporedimo s (2.9), zaključujemo da je
β = � V · � W.
Po konstrukciji je −→ D ⊥ � V, pa je zato
−→ D · � V = 0 = (β � U +γ � W)· � V
= β ( � U · � V)+γ ( � W · � V)
= β ( � U · � V)+γ β
⇒ γ = − � U · � V.