Klasična mehanika

2.4. VEKTORSKI DIFERENCIJALNI OPERATORI 31
gdje smo s O(d4 ) označili umnoˇske četiri i viˇse diferencijala dx,dy i dz. Slično se i za preostala
dva para ploha dobiva
�
�V d � S = dxdydz ∂Vx
∂x +O(d4 �
), �V d � S = dxdydz ∂Vy
∂y +O(d4 ),
L+D
Sj
N+N
pa je ukupan tok polja kroz promatrani mali kvadar jednak
�
�V d � �
∂Vx ∂Vy ∂Vz
S j = dxdydz + +
∂x ∂y ∂z
�
+O(d 4 ).
Umnoˇzak dxdydz prepoznajemo kao mali volumen ∆v. Vratimo li se sada omjeru (2.20),
moˇzemo pisati
�
�V d Sj
lim
∆vj →0
� S
� � �
j 1 ∂Vx ∂Vy ∂Vz
= lim dxdydz + + +O(d
∆vj ∆vj →0 dxdydz ∂x ∂y ∂z
4 �
)
= ∂Vx
∂x
+ ∂Vy
∂y
+ ∂Vz
∂z .
U granici kada se promatrani mali voluman steˇze u točku, gornji se izraz odnosi na točku u
prostoru i zove se divergencija vektorskog polja � V u toj točki.
Iz gornjeg izraza se vidi i fizičko značenje divergencije: to je omjer toka polja kroz zatvorenu
plohu i volumena definiranog tom plohom u granici kada se ploha neizmjerno smanjuje
- koliko polja izvire ili ponire u toj točki prostora 7 . Upravo je izveden oblik divergencije u
pravokutnom koordinatnom sustavu,
div � V = ∂Vx
∂x
+ ∂Vy
∂y
+ ∂Vz
∂z .
Divergenciju vektorskog polja moˇzemo zapisati i pomoću operatora nabla (2.17),
div � V = −→ ∇� �
∂
V = �ex
∂x +�ey
∂
∂y +�ez
�
∂
(Vx�ex +Vy�ey +Vz�ez)
∂z
div � V = −→ ∇ � V = ∂Vx
∂x
+ ∂Vy
∂y
∂Vz
+ . (2.21)
∂z
Gornji je rezultat dobiven izravnom primjenom pravila za derivaciju umnoˇska dvije funkcije.
Tako npr. član s derivacijom po x daje
∂
� �
∂Vx�ex
�ex Vx�ex +Vy�ey +Vz�ez = �ex
∂x
∂x +�ex
∂Vy�ey
∂x +�ex
∂Vy�ey
�
∂x
∂Vx
= �ex �ex
∂x +Vx
� �
∂�ex ∂Vy
+�ex �ey
∂x ∂x +Vy
� �
∂�ey ∂Vz
+�ex �ez
∂x ∂x +Vz
�
∂�ez
∂x
= ∂Vx
∂x ,
gdje smo koristili činjenice da su vektori �ex,�ey,�ez medusobno okomiti i konstantni po svom
iznosu i smjeru, tako da su njihove derivacije i medusobni skalarni umnoˇsci, jednaki nuli. Sličan
7 Tako npr. (statička) Maxwellova jednadˇzba −→ ∇�E = ρel/ǫ0, kaˇze da su su izvori i ponori električnog polja u električnim nabojima
koji se u gornjoj jednadˇzbi pojavljuju kroz gustoću električnog naboja ρel