Klasična mehanika

2.3. INTEGRAL VEKTORSKOG POLJA 23
Zadatak: 2.2 Zadano je vektorsko polje
�F =�ex (2xy +z 3 )+�ey (x 2 +2y)+�ez (3xz 2 −2).
Izračunajte linijski integral polja
�
c
�F d�r
po putu od (0,0,0) do (1,1,1), ako je put zadan sa:
(a) x = t,y = t 2 ,z = t 3 ,
(b) nizom pravaca (0,0,0) → (0,0,1) → (0,1,1) → (1,1,1),
(c) pravcem od (0,0,0) do (1,1,1) .
(d) Izračunajte funkciju f koja zadovoljava relaciju
�F = −→ ∇f.
R: (a) Integral se računa po komponentama:
� �
�F d�r = (Fxdx+Fydy +Fzdz).
c
c
Iz x = t slijedi dx = dt, y = t 2 daje dy = 2tdt i z = t 3 daje dz = 3t 2 dt.
Uvrˇstavanje u gornji integral daje
� � 1
�F d�r =
c
0
(−6t 2 +8t 3 +10t 9 )dt = 1.
(b) Integral po cijelom putu je zbroj integrala po dijelovima puta:
� � (0,0,1) � (0,1,1) � (1,1,1)
= + + .
c
(0,0,0)
(0,0,1)
(0,1,1)
Na prvom dijelu puta je x = y = dx = dy = 0, pa preostaje samo
� 1
0
(0−2)dz = −2.
Na drugom dijelu puta je x = dx = 0,z = 1,dz = 0, pa tu preostaje
� 1
0
(0+2y)dy = 1.
Na trećem dijelu puta je y = z = 1,dy = dz = 0, pa tu preostaje
� 1
0
(2x+1)dx = 2.
Ukupno rijeˇsenje je zbroj integrala po dijelovima puta.
�
�F d�r = −2+1+2 = 1.
c