Klasična mehanika

2.4. VEKTORSKI DIFERENCIJALNI OPERATORI 33
x
Slika 2.14: Diferencijali plohe valjka.
(na donjoj bazi, B1, je vrijednost z koordinate jednaka nuli).
Do istog se rezultata moˇze doći i primjenom Gaussova teorema (2.22)
�
�r d� �
S = ( −→ ∇�r) dr 3 .
dB 2
Tako je npr. u pravokutnom koordinatnom sustavu, u kojemu znamo oblik nabla operatora,
(2.17), i gdje je
�
( −→ ∇�r) dr 3 =
z
dB 1
�r = x�ex +y�ey +z�ez,
� � �
∂x ∂y ∂z
+ +
∂x ∂y ∂z
dr 3 �
= 3
dP
dr 3 = 3Vvalj. = 3R 2 πH.
Zadatak: 2.5 Iz elektrostatike je poznat izraz za električno polje jednoliko naelektrizirane kugle
polumjera R i ukupnog naboja Q, sa srediˇstem u ishodiˇstu
�E < = ρ0
�r,
3ǫ0
r ≤ R,
�E
1
> = Q
4πǫ0
�r
r3 r ≥ R,
gdje je ρ0 = Q/(4R 3 π/3) konstantna gustoća naboja unutar kugle. Primjetimo da
je polje izvan kugle jednako polju točkastog naboja iznosa Q, smjeˇstenog u ishodiˇstu.
Na ovom primjeru provjerite ispravnost prve Maxwellove jednadˇzbe.
R: Prema prvoj Maxwellovoj jednadˇzbi je
−→ ρel
∇ E � = .
ǫ0
y