Klasična mehanika

2.4. VEKTORSKI DIFERENCIJALNI OPERATORI 29
Budući da je d � � Sj uvijek usmjeren prema van, to će se doprinosi toku od plohe S ′ u oba gornja
integrala medusobno egzaktno poniˇstiti (zbog suprotnih smjerova vektora d � Sj
� na dijelu plohe
S ′ koji je zajednički objema zatvorenim plohama)
�
�V d � �
S1
� = − �V d � S2, �
pa preostaje �
S1+S ′
�V d � �
S1
� +
S2+S ′
S ′
�V d � �
S2
� =
S1
S ′
�V d � �
S1
� +
S2
�V d � �
S2
� =
tj. zbroj tokova kroz plohe � S1 i � S1 jednak je toku kroz početnu plohu S.
S
�V d � S,
Prostor unutar plohe S moˇzemo u mislima nastaviti dijeliti na N sve manjih i manjih djelića,
pri čemu će se, slično gornjem primjeru, integrali po unutraˇsnjim plohama poniˇstiti i za svaki
N će vrijediti
�
�V d � N�
�
S = �V d � S j.
S
j=1
Divergencija:
Jasno je da u granici N → ∞ plohe Sj postaju iˇsčezavajuće malene, pa će i integrali po tim
malenim plohama takoder iˇsčezavati: �
Sj
Sj
�V d � S j → 0.
U istoj granici, N → ∞, i mali djelići volumena, ∆vj, ograničeni plohama Sj iˇsčezavaju:
Pitanje je
∆vj → 0.
ˇsto se dogada s omjerom ove dvije iˇsčezavajući male veličine?
Je li on jednak nuli, različit od nule i konačan, beskonačan, ... ?
�
limN→∞
�V d Sj
� ⎫
S j = 0, ⎬
⎭
limN→∞ ∆vj = 0 .
�
�V d Sj
lim
∆vj →0
� S j
= ?
∆vj
(2.20)
Diferencijalno male volumene ∆vj uvijek moˇzemo zamisliti kao male kvadre duljine stranica
dx,dy,dz i promatrati tok polja
�V(x,y,z) =�exVx(x,y,z)+�eyVy(x,y,z)+�ezVz(x,y,z)
kroz njih (slika 2.12). Izostavimo li za trenutak, radi jednostavnosti, indeks j, gornji povrˇsinski
integral po plohama kvadra, moˇzemo napisati kao zbroj povrˇsinskih integrala po stranicama
kvadra
�
�V d � �
S = �V d � �
S + �V d � �
S + �V d � S.
S
Gor+Dolj
Lij+Des
Nap+Nat