Klasična mehanika

2.4. VEKTORSKI DIFERENCIJALNI OPERATORI 35
Slika 2.15: Tok električnog polja točkastog naboja kroz zatvorenu plohu proizvoljnog oblika.
Neka se sada točkasti naboj q nalazi unutar zatvorene plohe S proizvoljnog oblika (ne nuˇzno
sfernog) kaona slici 2.15. Izračunajmo tokpoljatočkastognabojakroztuproizvoljnu zatvorenu
plohu
�
Φ =
S
1
4πǫ0
q
r2 �er dS�n0 = 1
�
q
4πǫ0 S
dS cosα
r 2
gdje je α kut izmedu vektora �n0 i �er. Ako se uočeni diferencijal plohe d � S = dS�n0 nalazi
na udaljenosti r od naboja i vidljiv je pod prostornim kutom dΩ, tada je njegova projekcija
na smjer �er s jedne strane jednaka d � S ·�er = dS cosα, a s druge strane to je upravo jednako
diferencijalu povrˇsine kugline plohe na toj istoj udaljenosti i podistim prostornim kutom, r 2 dΩ
r 2 dΩ = dS cosα.
Time tok polja točkastog naboja kroz zatvorenu plohu koja ga okruˇzuje, a koja je proizvoljnog
oblika, postaje
Φ = 1
�
q dΩ =
4πǫ0 S
1
q4π =
4πǫ0
q
.
ǫ0
Tok ne ovisi niti o obliku plohe S niti o poloˇzaju naboja unutar te plohe.
Pokaˇzimo da, ukoliko zatvorena ploha ne sadrˇzi naboj (ili je suma naboja unutar plohe jednaka
nuli), tada je tok električnog polja kroz tu plohu jednak nuli. Neka je tok kroz zatvorenu plohu
S jednak q/ǫ0. Deformiramo li plohu kao na slici 2.16, dolazimo do
S = S1 +S2
Φ = Φ1 +Φ2.
,