Klasična mehanika

2.3. INTEGRAL VEKTORSKOG POLJA 19
Za skalarno polje s(q) i vektorska polja � V(q), � U(q) se lako dokazuje (npr. raspisom po komponentama
u pravokutnom koordinatnom sustavu) da vrijede slijedeća pravila:
d(s � V)
dq
d( � V · � U)
dq
d( � V × � U)
dq
Zadatak: 2.1 Dokaˇzite gornje tri relacije.
= ds
dq � V +s d� V
dq ,
= d� V
dq � U + � V d � U
dq ,
= d� V
dq × � U + � V × d � U
dq .
Primjenimo li prvo od gornja tri pravila na zapis vektora u obliku
�V(q) = V(q)�eV (q),
dobivamo
d� V
dq = d(V �eV )
dq
= dV
dq �eV +V d�eV
dq ,
pri čemu smo uzeli u obzir mogućnost da smjer vektora � V (odreden jediničnim vektorom �eV )
ovisi o varijabli q (kao ˇsto je to npr. slučaj za jedinične vektore sfernog i cilindričnog koordinatnog
sustava).
Pokaˇzimo da je derivacija jediničnog vektora okomita na sam jedinični vektor
�eV =�eV (q). Derivirajmo po q skalarni umnoˇzak
�
d
�eV ·�eV = 1
dq ,
pa ćemo dobiti
d�eV
dq ·�eV +�eV · d�eV
dq = 0 ⇒ 2�eV · d�eV
dq = 0 ⇒ �eV ⊥ d�eV
dq
. (2.11)
Zaista, kada bi derivacija jediničnog vektora imala komponentu u smjeru samog vektora, onda
bi ta komponenta vodila na promjenu duljine vektora i on viˇse ne bi bio jedinične duljine. Zato
derivacija jediničnog vektora ne moˇze imati komponentu u smjeru samog vektora.
2.3 Integral vektorskog polja
U skladu s pravilom da je integral zbroja funkcija jednak zbroju integrala pojedinih funkcija
(ili, drukčije rečeno, integral je linearni operator), neodredeni integral polja � V(q) se računa kao
�
�V(q)dq =
= �ex
� �
�
�ex Vx(q)+�ey Vy(q)+�ez Vz(q) dq
�
Vx(q)dq+�ey
�
Vy(q)dq+�ez
�
Vz(q)dq,