Klasična mehanika

2.4. VEKTORSKI DIFERENCIJALNI OPERATORI 27
Time smo pokazali da je smjer najbrˇze promjene skalarnog polja moˇze napisati pomoću djelovanja
operatora nabla
grads ≡ −→ �
∂
∇s = �ex
∂x +�ey
∂
∂y +�ez
�
∂ ∂s
s =�ex
∂z ∂x +�ey
∂s
∂y +�ez
∂s
∂z .
(2.19)
Primjetimo da je gradijent skalarnog polja s, jedno novo vektorsko polje −→ ∇s. Operacija
gradijenta podsjeća na mnoˇzenje vektora ( −→ ∇) skalarom (s), s tom razlikom ˇsto sada binarna
relacija nije mnoˇzenje nego deriviranje.
Zadatak: 2.3 Skalarni potencijal u točki �r koji potječe od električnog dipola smjeˇstenog u ishodiˇstu,
s dipolnim momentom �p, je dan izrazom
V(�r) = 1 �p · �r
4πǫ0 r3 .
Izračunajte električno polje � E = − −→ ∇ V.
R: Prema definiciji gradijenta (2.19) je
�E = − −→ ∇ V = −�ex
∂V
∂x −�ey
∂V
∂y −�ez
∂V
∂z .
Za primjer izračunavamo prvi član desne strane:
∂V
∂x =
1 ∂ pxx+pyy +pzz
4πǫ0 ∂x (x2 +y2 +z2 = ··· =
) 3/2
1 pxr
=
4πǫ0
2 −3x(�p ·�r)
r5 .
Preostala dva člana se dobiju na sličan način.
∂V pyr
∂y 2 −3y(�p ·�r)
r5 ,
Zbroj svih članova daje električno polje dipola
= 1
4πǫ0
∂V
∂z
= 1
4πǫ0
pzr2 −3z(�p ·�r)
r5 .
�E = 1 −�p (�r ·�r)+3�r(�p ·�r)
4πǫ0 r5 = 1 −�p +3�er (�p ·�er)
4πǫ0 r3 .
Zbog sferne simetrije dipolnog potencijala, isti se račun moˇze provesti i u sfernim
koordinatama: Postavi li se koordinatni sustav tako da je dipol u smjeru �ez,
V(�r) = 1 pr cosθ
4πǫ0 r3 = V(r,θ),
pa je
− −→ �
∂
∇ V = − �er
∂r
�
p
= �er
4πǫ0
=
p
4πǫ0
�
�eθ ∂ �eϕ ∂ p
+ +
r ∂θ r sinθ ∂ϕ 4πǫ0
2 cosθ �eθ sinθ
+
r3 r r2 �
3�er cosθ−�ez
r 3
= 1
4πǫ0
cosθ
r 2
−�p +3�er (�p ·�er)
r3 ,