5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES

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MOISES VILLENA Integración Múltiple 158 Note que es una región simple-, la calcularemos de las dos formas. PRIMER MÉTODO: Haciendo primero un barrido vertical. 2x ∫∫ La integral doble con límites será: xdydx Calculando la integral, resulta: 2 ⎡2 x ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ xdy⎥dx = ∫∫ ⎢ ⎥ ⎢ 0 2 ⎥ ⎣ x ⎦ = 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 0 2 x 2x 2 [ xy] 2 dx = [ x( 2x) − x( x ) ] x 2 3 ( 2x − x ) 2 ∫ 0 dx ⎛ 3 4 ⎞ ⎜ x x 16 dx = 2 − ⎟ = − 4 = ⎜ 3 4 ⎟ ⎝ ⎠ 3 SEGUNDO METODO: Haciendo primero un barrido horizontal. La integral doble con límites será: xdxdy Calculando la integral doble, resulta: 4 y ∫∫ 0 y 2 4 3
MOISES VILLENA Integración Múltiple ⎡ ⎤ 4 ⎢ y ⎥ 4 ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ 2 x ⎢ xdx⎥dy = ⎢ ⎢ ⎥ ∫ ⎢ 2 ⎢ 0 y ⎥ 0 ⎣ ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ 4 ⎛ y ⎤ ⎜ ⎥ ⎜ ( ⎥dy = ⎜ y ⎥ ∫⎜ 2 ⎦ 0 ⎜ ⎝ 2 ⎛ y ⎞ ⎞ 4 2 ⎜ ⎟ ⎟ y ) 2 ⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎛ ⎞ − ⎟ = ⎜ y y dy − ⎟dy 2 2 ⎟ ⎜ 2 8 ⎟ ∫⎝ ⎠ ⎟ 0 ⎠ 4 ⎛ 2 3 ⎞ ⎜ y y ⎟ 8 4 = − = 4 − = ⎜ 4 24 ⎟ ⎝ ⎠ 3 3 0 ∫∫ Ejemplo 2 Calcular dA ∫∫ R donde ⎧y = x ⎪ ⎪ 1 y = R : ⎨ x SOLUCIÓN: ⎪x = 2 ⎪ ⎪⎩ y = 0 La región R es: 1 1 x 2 x Aquí es mejor hacer un barrido vertical primero: dydx + ∫∫ ∫∫ 0 0 1 0 Calculando las integrales dobles, tenemos: 1 1 ⎡ x ⎤ 2 ⎡ x ⎤ 1 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x 1 ⎢ dy⎥dx + ⎢ dy ⎥ dx = y dx + y x dx 0 0 ∫∫ ⎢ ⎥ ∫⎢∫⎥∫ ∫ 0 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 1 ⎢ 0 ⎥ 0 1 ⎣ ⎦ 1 2 = ∫ xdx + ∫ 0 1 1 2 x 2 = + ln x 2 1 0 1 = + ln 2 2 1 dx x dydx 159
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5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES

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