5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES
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MOISES VILLENA Integración Múltiple<br />
⎡ ⎤<br />
4 ⎢ y ⎥ 4<br />
⎡<br />
⎢ ⎥ ⎢ 2<br />
x<br />
⎢ xdx⎥dy<br />
= ⎢<br />
⎢ ⎥ ∫ ⎢ 2<br />
⎢ 0 y ⎥ 0 ⎣<br />
⎢ ⎥<br />
⎣ 2 ⎦<br />
4 ⎛<br />
y ⎤ ⎜<br />
⎥ ⎜ (<br />
⎥dy<br />
= ⎜<br />
y ⎥ ∫⎜<br />
2 ⎦ 0 ⎜<br />
⎝<br />
2<br />
⎛ y ⎞<br />
⎞ 4<br />
2 ⎜ ⎟<br />
⎟<br />
y )<br />
2<br />
⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎛ ⎞<br />
− ⎟ = ⎜<br />
y y<br />
dy − ⎟dy<br />
2 2 ⎟<br />
⎜ 2 8 ⎟ ∫⎝<br />
⎠<br />
⎟ 0<br />
⎠<br />
4<br />
⎛ 2 3 ⎞<br />
⎜<br />
y y<br />
⎟<br />
8 4<br />
= − = 4 − =<br />
⎜ 4 24 ⎟<br />
⎝ ⎠<br />
3 3<br />
0<br />
∫∫<br />
Ejemplo 2<br />
Calcular dA ∫∫ R<br />
donde<br />
⎧y<br />
= x<br />
⎪<br />
⎪<br />
1<br />
y =<br />
R : ⎨ x SOLUCIÓN:<br />
⎪x<br />
= 2<br />
⎪<br />
⎪⎩<br />
y = 0<br />
La región R es:<br />
1<br />
1 x<br />
2 x<br />
Aquí es mejor hacer un barrido vertical primero: dydx<br />
+ ∫∫ ∫∫<br />
0 0<br />
1 0<br />
Calculando las integrales dobles, tenemos:<br />
1<br />
1 ⎡ x<br />
⎤ 2 ⎡ x ⎤ 1 2<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
x 1<br />
⎢ dy⎥dx<br />
+<br />
⎢<br />
dy<br />
⎥<br />
dx = y dx + y x dx<br />
0 0<br />
∫∫ ⎢ ⎥ ∫⎢∫⎥∫ ∫<br />
0 ⎢⎣<br />
0 ⎥⎦<br />
1 ⎢ 0 ⎥ 0 1<br />
⎣ ⎦<br />
1 2<br />
=<br />
∫<br />
xdx +<br />
∫<br />
0 1<br />
1<br />
2<br />
x 2<br />
= + ln x<br />
2 1<br />
0<br />
1<br />
= + ln 2<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
x<br />
dydx<br />
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