5.1 INTEGRALES DOBLES 5.2 INTEGRALES TRIPLES

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MOISES VILLENA Integración Múltiple 186 Llamemos S , al valor del área de la porción R de la superficie, entonces: S = dS ∫∫ R El asunto sería ahora proyectar la superficie al plano xy obteniendo la región R ´ . Podemos pensar en una transformación de 3 R a 2 R . Denotando como R la función vectorial para la superficie, tenemos: R = xyf , , x, y ( ( ) ) Los vectores de derivadas parciales con respecto a x ( R x ) y con respecto a y ( R x ), serían: R x = ( 1, 0, fx ) y R y = ( 0,1, f y) Entonces: dS = R × R dA x y Calculando el vector producto cruz y luego su magnitud: Finalmente: i j k Rx× R y = 1 0 f x = −fx, −fy,1 0 1 f R × R = 1+ f + f 2 2 x y x y ∫∫ ∫∫ R R´ y 2 2 1 x y ( ) S = dS = + f + f dA Si la ecuación de la superficie está dada en FORMA IMPLÍCITA, es decir ( ) F x, y, z = 0. La formula anterior se transforma a: 2 2 2 Fx + Fy + Fz S = dA ¡Demuéstrela! ∫∫ F R´ z
MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo 1 Demuestre que el área de la esfera 2 2 2 2 2 x + y + z = a es 4π a . SOLUCIÓN: Trabajaremos con la porción superior de la esfera y el resultado del área multiplicado por 2 por ser simétrica. La región R ´ en este caso sería: 2 2 2 Fx + Fy + Fz El área estaría dada por S = 2 dA ∫∫ Fz Reemplazando: x R´ a 2 2 2 Fx + Fy + Fz ∫∫ Fz 2 2 2 ( 2x) + ( 2y) + ( 2z) ∫∫ 2z R´ R´ 2 2 2 S = 2 dA= 2 dA = 2 = 2 = 2 ∫∫ R´ ∫∫ R´ ∫∫ R´ z 2 2 2 2 z = a −x − y y a 4x + 4y + 4z dA 2z 2 2 2 x + y + z dA 2 z 2 2 2 x + y + z dA z a 2 2 2 x + y = a a x y 187
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