Discutindo Práticas em Matemática - TV Brasil

SUMÁRIO 

PROPOSTA PEDAGÓGICA 

DISCUTINDO PRÁTICAS EM MATEMÁTICA .................................................................................. 03 

Elizabeth Belfort 

Colaboração de Ana Teresa Carvalho Correa de Oliveira e Mônica Mandarino 

PGM 1 

CONCEITO OU PROCEDIMENTO: ALGUNS CAMINHOS .............................................................. 13 

Elizabeth Belfort, Ana Teresa de Carvalho Correa de Oliveira e Mônica Mandarino 

PGM 2 

O TRABALHO DO ALUNO ................................................................................................................ 21 

Elizabeth Belfort, Mônica Mandarino, Flávia Renata Coelho 

PGM 3 

DA INFORMAÇÃO À CONCEITUAÇÃO: A FORMAÇÃO DOS PROFESSORES ............................ 28 

Ana Teresa de Carvalho Correa de Oliveira e Elizabeth Belfort 

PGM 4 

DIFERENTES SIGNIFICADOS DE UM MESMO CONCEITO: O CASO DAS FRAÇÕES ............... 38 

Cleiton Batista Vasconcelos e Elizabeth Belfort 

PGM 5 

A MATEMÁTICA COMO UMA REDE DE CONHECIMENTOS: O TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO 

.............................................................................................................................................................. 48 

Mônica Mandarino e Cileda de Queiroz e Silva Coutinho 

DISCUTINDO PRÁTICAS EM MATEMÁTICA. 2 .

PROPOSTA PEDAGÓGICA 

DISCUTINDO PRÁTICAS EM MATEMÁTICA 

Elizabeth Belfort 1 

Colaboração de Ana Teresa de Carvalho Correa de Oliveira 2 e Mônica Mandarino 3 

Nesta série de programas, busca-se discutir três perguntas: O que é ser matematicamente 

competente? Que abordagem da Matemática deve ser valorizada? Que caminhos o(a) 

professor(a) pode trilhar para proporcionar ao aluno um verdadeiro saber matemático? 

A Matemática tem muita importância na vida das pessoas. O dia-a-dia está cheio de situações 

nas quais lidamos com o número, com as operações, com o pensamento combinatório, com a 

proporcionalidade, com a organização espacial, etc. No comércio, na indústria e nas mais 

simples atividades cotidianas, nós nos valemos de diferentes conceitos e habilidades 

matemáticas. A aplicação dos conhecimentos matemáticos também se amplia nas ciências em 

geral. O pensamento matemático bem desenvolvido e um bom domínio de conceitos são 

fundamentais para a atuação crítica e autônoma do sujeito na realidade na qual está inserido. 

Seja qual for a futura área de atuação de nossos alunos, eles vão se deparar com situações em 

que necessitam compreender, utilizar e aperfeiçoar conceitos e procedimentos matemáticos. 

Assim, num mundo cada vez mais complexo, é preciso estimular e desenvolver habilidades 

que permitam resolver problemas, lidar com informações numéricas, interpretando-as crítica e 

independentemente, para, a partir delas, tomar decisões, fazer inferências, opinar sobre temas 

que as envolvem, desenvolvendo a capacidade de comunicação e de trabalho coletivo. 

No entanto, este tipo de competência matemática não tem recebido a devida ênfase, como 

mostram os resultados do desempenho de nossos alunos em avaliações nacionais, como o 

SAEB, e internacionais, como o PISA. Ao longo de muito tempo, podemos observar um 

ensino de Matemática que privilegia a disciplina do pensamento, enfatiza definições, 


procedimentos e estratégias únicas de resolução de problemas, por exemplo. Além disso, na 

organização curricular, a principal preocupação recai sobre uma estrutura hierarquizada, cheia 

de pré-requisitos, na qual o aluno não consegue correlacionar conceitos e adotar diferentes 

abordagens no seu fazer matemático. Esta postura conduziu a um ensino sem preocupação 

pedagógica, que não leva em conta os conhecimentos prévios, o desenvolvimento cognitivo, 

os interesses e a motivação dos alunos. Nesta concepção, professores e alunos acabam 

valorizando a memorização e a repetição, as regras e “macetes”, exemplos de procedimentos 

para serem reproduzidos e problemas típicos que, na maioria das vezes, são artificiais. 

As idéias acerca de quão difícil e abstrata é a Matemática, de como ela se fundamenta em 

normas, símbolos e procedimentos desprovidos de significado, e de que seu aprendizado 

exige o uso de uma terminologia incompreensível estão fortemente presentes nas concepções 

das pessoas. A Matemática é, freqüentemente, vista desta forma pelos alunos, e até mesmo 

por pessoas que não mais freqüentam a escola, quando rememoram suas histórias com esta 

disciplina. Não foi e não é à toa que isso acontece! As práticas de ensino nessa área têm sido 

marcadas por isolar a Matemática do mundo, desconectá-la de suas aplicações, entendendo-a 

quase que exclusivamente como o domínio de técnicas operatórias e algoritmos e baseando 

nesses processos a sua aprendizagem. 

Na elaboração desta série, partimos de outras concepções. Esperamos contagiá-lo(a) com 

nossas esperanças de um ensino de Matemática mais eficiente, mais prazeroso para os alunos 

e que forneça a nós, professores, opções para trilhar uma renovação evitando sobressaltos e 

incertezas. Por isso, esta série foi pensada como uma conversa entre colegas de profissão que 

têm muito a trocar. Os textos associados apresentam materiais para discussão, exemplos e 

sugestões de atividades e experiências testadas por professores e pesquisadores que atuam em 

diferentes escolas e com os mais variados tipos de alunos. 

O que é ser matematicamente competente? 

Por muitas vezes, a competência matemática é identificada como a habilidade das pessoas em 

realizar cálculos, ou como aptidão de fazer contas com o uso dos algoritmos. Está claro que 


tais habilidades são importantes para as pessoas viverem com autonomia, mas a formação dos 

alunos deve ir além disso. Desenvolver um ensino baseado no domínio e bom uso de 

procedimentos, de forma mecânica e memorizada, não ajuda os alunos a serem 

matematicamente competentes. 

Um dos pressupostos básicos, considerados na elaboração desta série, é a importância 

indiscutível de se proporcionar uma sólida formação conceitual às crianças, no decorrer da 

educação básica. Aprender Matemática é um direito de todas elas, sendo fundamental para 

que se desenvolvam como indivíduos integrados socialmente. Além disso, conhecer as idéias 

e os métodos próprios da Matemática permite que os alunos apreciem o seu valor e entendam 

a sua natureza. 

Devemos compreender que de nada servirão os conhecimentos matemáticos supostamente 

aprendidos na escola, se os alunos não forem capazes de mobilizá-los em situações concretas 

de uso, na escola ou na própria vida. Nesse sentido, desenvolver a competência matemática 

dos nossos alunos implica, além de um trabalho bem feito que favoreça a construção de 

conhecimentos, dar-lhes condição de identificar e usar os conhecimentos necessários para 

buscar respostas diante de uma situação a ser resolvida. Como podemos orientar o processo de 

ensino e aprendizagem da Matemática de modo a contribuir para a formação de alunos 

matematicamente competentes? 

Encontrando caminhos 

Pelos motivos que apresentamos, defende-se que a Matemática deva ser ensinada de maneira 

contextualizada, levando em conta os interesses dos alunos com ênfase na formação de 

conceitos e não na mecanização de regras e procedimentos. Assim, busca-se discutir situações 

que possibilitem a construção dos conceitos e procedimentos formadores do pensamento 

numérico e matemático. Nesta série, procuramos destacar a importância de se trabalhar com 

os diferentes significados de um mesmo conteúdo e também discutir uma abordagem 

curricular que tire proveito das correlações entre conceitos matemáticos de diferentes 

campos. Para isso, escolhemos alguns assuntos normalmente ensinados nas séries iniciais do 


Ensino Fundamental que, além de merecerem uma nova abordagem, costumam ser pouco 

discutidos nos textos e cursos de formação continuada de professores, como frações e o 

campo de tratamento da informação. 

Para ser matematicamente competente, a formação integral da criança, em especial nas séries 

iniciais, precisa estimular o estabelecimento de analogias, conexões, reconhecimento de 

regularidades e generalizações. Além disso, as necessidades de utilização de conteúdos e 

técnicas matemáticas, na vida real, não se apresentam de forma isolada e, assim, para ajudar 

nesta discussão, algumas das atividades e problemas apresentados incentivam a articulação 

entre conteúdos matemáticos e conteúdos de outras disciplinas. 

Defendemos também o respeito ao desenvolvimento cognitivo dos alunos. As abstrações e 

nomenclaturas devem ser introduzidas aos poucos, juntamente com uma boa familiarização 

do pensamento numérico, tornando os alunos capazes de: avaliar ordem de grandeza e fazer 

estimativa; efetuar cálculos mentais; reconhecer padrões; criar suas próprias estratégias e 

testá-las; comunicar-se defendendo suas idéias e opiniões. Além disso, a aprendizagem de 

Matemática precisa ser conduzida de modo que conhecimentos já adquiridos se ampliem 

progressivamente, evidenciando que os conceitos se articulam e ampliam numa rede de 

conhecimentos. É preciso, também, identificar princípios gerais que permitam a transferência 

de um conhecimento para novas situações. Ampliações de um campo de saber podem surgir a 

partir de uma nova aplicação, de um novo enfoque ou um olhar diferente, uma 

problematização que gere uma nova necessidade de aprendizagem, para a qual o que já se 

conhece não basta ou precisa adquirir novos significados. 

Entretanto, em Matemática, algumas habilidades técnicas devem ser dominadas já que, para 

resolver um problema, além de elaborar boas estratégias, é preciso saber efetuar as operações 

necessárias com rapidez e correção. Da mesma forma, a linguagem simbólica da Matemática, 

com suas convenções, precisa ser utilizada adequadamente. Aos poucos, na prática de resolver 

problemas, o domínio das técnicas e da linguagem será incorporado, sem necessidade de 

realizar treinamentos áridos, como um fim em si mesmos. Por isso, discutiremos a 


importância de atividades e problemas que se constituem em desafios de crescimento, cujo 

contexto é a própria Matemática. 

Para um melhor desempenho em Matemática, é indispensável que o aluno seja agente ativo 

da construção de seu próprio conhecimento e, por isso, valorizamos a metodologia de 

resolução de problemas, sem nunca esquecer a necessidade de sistematizar, consolidar e 

fixar os conhecimentos adquiridos. Você terá oportunidade de verificar, durante o 

desenvolvimento da série, que o papel do professor é tão ativo quanto o do aluno. 

Um outro aspecto de grande relevância para nossa discussão é o acompanhamento do trabalho 

dos alunos. Esta prática visa auxiliar a identificação das dificuldades vivenciadas pelo aluno, 

para que o professor possa propor novas experiências que contribuam para a superação de 

etapas. Hoje, com a grande heterogeneidade dos alunos, é essencial levar em conta as 

diferenças, por vezes profundas, entre eles e entre diferentes salas de aula. Esta visão está 

especialmente baseada em uma nova abordagem do erro. A reflexão do professor sobre o 

processo de resolução, desenvolvido pelo aluno, que o levou ao erro, muitas vezes, facilita 

identificar onde se dá o “nó” na construção do conhecimento, permitindo planejar ações para 

intervir no processo. É fundamental, também, lembrar que, quase sempre, um problema 

admite vários encaminhamentos e formas de resolução. É importante discutir e valorizar 

diferentes soluções propostas pelos alunos, que devem exercitar a habilidade de expor e 

defender seus argumentos. 

Para favorecer a construção do conhecimento matemático autônomo e produtivo, por parte 

dos alunos, é necessário incentivar a experimentação, valorizar as estratégias por eles 

escolhidas para resolver um problema, incentivar que tentem expô-las, por escrito ou 

oralmente. Ou seja, a sala de aula deve proporcionar momentos de produção e reflexão 

individual para os alunos. Como a capacidade de trabalhar em grupo é cada vez mais 

importante na sociedade moderna, esta prática também é bastante incentivada. A troca de 

idéias entre pares de alunos ajuda-os a aprofundar uma discussão, comparar estratégias, 

elaborar hipóteses e descobrir a solução para um impasse. O trabalho coletivo com toda a 

turma, orientado pelo professor, também cria boas oportunidades para troca de idéias e 


compartilhamento de seus saberes, o que desenvolve habilidades de defesa e negociação, o 

uso adequado da linguagem e a sistematização de conceitos. 

Esta nova sala de aula pede um novo papel para o professor, e a série busca discutir aspectos 

desta nova prática didática. O que significa o professor como orientador da aprendizagem? É 

possível ajudar as crianças a encontrarem seus próprios caminhos e motivar a reflexão, a 

discussão e as descobertas? Como utilizar perguntas adequadas aos objetivos previamente 

planejados, ajudando os alunos a trilhar um caminho que leve à construção de conceitos 

relevantes para sua vida? 

Finalmente, não podemos desconsiderar os recursos que o professor pode utilizar em suas 

aulas. Materiais concretos, a calculadora, a TV e o vídeo, o computador, a história da 

Matemática e jogos, por exemplo, podem contribuir para que as aulas de Matemática sejam 

mais agradáveis e proveitosas. No entanto, o uso de recursos didáticos precisa ser bem 

planejado e ter objetivos claros – não basta enriquecer a aula ou torná-la divertida – é 

fundamental compreender a adequação do que se planeja, tendo clareza de onde se quer 

chegar e de quais conteúdos se quer explorar, para que a condução da atividade ou o uso de 

um recurso se dê de forma correta. 

Como enfrentar estes novos desafios 

A meta mais importante desta série é estimular a reflexão, a compreensão de conceitos, a 

autoconfiança e a liberdade criativa dos professores. Nosso desejo é que você possa adaptar as 

propostas por nós selecionadas ao projeto pedagógico de sua escola e à realidade de sua turma 

e da comunidade. E, ainda, buscar e adaptar muitas outras! 

No entanto, reconhecemos que esta não é uma tarefa simples, e que pode, para muitos, parecer 

bastante intimidadora. Por este motivo, a discussão da importância da formação do professor 

– inicial e continuada – integra os programas da série. É importante que você perceba que 

muitas de suas dificuldades com as aulas de Matemática podem estar relacionadas com 


deficiências não resolvidas em sua formação. Neste caso, serão necessários novos 

investimentos para que sua prática possa se modificar – daí a importância atribuída nesta série 

à formação continuada. 

Pesquisas recentes apontam para o fato de que é muito mais comum do que se pensa que o 

professor conclua sua formação inicial sem que se sinta preparado para uma prática didática 

criativa e inovadora em Matemática. Nos cursos de formação, em geral, as discussões teóricas 

sobre o processo de ensino e de aprendizagem ocorrem sem garantir uma sólida revisão 

conceitual da Matemática que deverá ser futuramente ensinada. Isto gera uma situação de 

insegurança, que leva o professor a desconsiderar as teorias aprendidas e a repetir modelos e 

caminhos estabelecidos como padrão de ensino, mesmo quando reconhece que estes não 

levam a um aprendizado significativo. 

Nossas experiências em formação continuada nos mostram que a insegurança está de tal 

forma arraigada que é bastante comum que os professores, após uma oficina, um seminário, 

um curso ou uma série do Salto para o Futuro, passem as primeiras semanas sem levar suas 

novas aquisições para sua sala de aula, mesmo que sintam que uma nova compreensão está se 

estabelecendo. Assim, procuraremos discutir a importância de realizar experiências 

inovadoras por acreditarmos que esta é a forma mais eficaz para o seu aperfeiçoamento. Para 

inovar e ser criativo, é preciso sempre assumir uma postura reflexiva e crítica, registrar os 

resultados das experiências planejadas para poder avaliá-las, o que aumenta, 

consideravelmente, a sua segurança, professor, para novas tentativas. Muitas vezes, numa 

primeira experiência inovadora da prática docente, ficamos com o sentimento de que não 

obtivemos resultados muito felizes ou melhores do que antes. No entanto, podemos afirmar 

que é preciso não desistir, avaliar onde e porque falhamos, o que pode ser corrigido ou melhor 

adaptado à realidade de nossa escola e de nossos alunos. 

O fundamental é que o professor passe a entender a Matemática como um corpo de 

conhecimentos significativos, e não como uma lista interminável de procedimentos a serem 

memorizados pelos alunos. Sem esta compreensão, as possibilidades de mudanças 

significativas nas aulas são remotas, mesmo quando os docentes conhecem as mais modernas 


teorias educacionais. Nesta série, esperamos que os professores se sintam estimulados a 

continuar buscando, permanentemente, uma melhoria em sua formação, em sua própria 

escola, na troca com outros professores, testando e avaliando novas práticas, questionando as 

possibilidades de aplicação das propostas apresentadas nos programas e nos textos, em suas 

salas de aula. Acreditamos que só assim um processo de formação continuada se reflete no 

cotidiano das salas de aula e pode tornar a prática profissional um fazer construtivo e crítico. 

Para concluir, esperamos que esta série possa ser útil ao seu trabalho e que possa contribuir, 

de forma significativa, para a procura de novos caminhos para o seu desenvolvimento 

profissional. 

Temas que serão debatidos na série Discutindo práticas em Matemática, que 

será apresentada no programa Salto para o Futuro/TV Escola/SEED/MEC, 

de 28 de agosto a 1 de setembro de 2006: 

PGM 1 - Conceito ou procedimento: alguns caminhos 

Neste primeiro programa, discutimos diferenças entre um ensino de Matemática voltado para 

a conceituação e aquele que visa apenas à aquisição de procedimentos, que muitas vezes nem 

são compreendidos. Durante a discussão, serão apontados alguns caminhos que permitem ao 

professor uma prática voltada para conceituação: serão exploradas diversas organizações 

possíveis em uma sala de aula e, ainda, diversos recursos didáticos que podem ser utilizados 

em uma aula de Matemática. Enfatizamos a importância de o próprio professor buscar ter uma 

boa conceituação matemática e valorizamos a elaboração de planos de aula com objetivos 

bem definidos para orientar e avaliar suas práticas. Sem estes requisitos, acreditamos que 

qualquer prática didática ficará comprometida. 


PGM 2 – O trabalho do aluno 

Um aluno passivo tem poucas oportunidades de aprender Matemática. É necessário agir, 

discutir, refletir, propor soluções e buscar caminhos para a solução de um problema. Nesta 

perspectiva, os erros cometidos pelos alunos adquirem todo um novo significado. O professor, 

ao analisá-los, poderá perceber o raciocínio desenvolvido pelo aluno e buscar estratégias e 

questionamentos que o levem a avançar e perceber seus enganos. Este programa também 

discute a importância de permitir que os alunos desenvolvam suas próprias soluções e a 

valorização, pelo professor, das estratégias adotadas pelos alunos. Neste programa, também 

enfatizamos que para adotar esta postura é preciso que o professor busque, permanentemente, 

o aperfeiçoamento de seu próprio saber matemático. 

PGM 3 - Da informação à conceituação: a formação dos professores 

Discutimos neste programa algumas deficiências percebidas na formação de professores em 

Matemática e apontamos saídas para este problema. Mais do que criticar, busca-se estabelecer 

novos caminhos, que podem ser utilizados tanto na formação inicial quanto continuada dos 

professores. A idéia central é enunciada com facilidade, mas tem-se constatado que não é tão 

simples assim encontrá-la em cursos de formação: uma nova postura do professor em sala de 

aula depende do investimento do próprio professor em testar, criticar, observar, avaliar e 

refletir sobre o cotidiano, tendo para isso apoio de um grupo e acesso à informação. Ou seja, 

buscaremos debater que para o professor, aos poucos, se sentir seguro para adotar uma nova 

dinâmica nas aulas de Matemática, não basta ter acesso à informação sobre teorias e sugestões 

de atividades, é preciso testá-las de forma reflexiva e crítica e construir uma rede de apoio na 

própria escola e fora dela. É preciso, sobretudo, reconhecer que construímos e ampliamos 

conceitos quando novas estratégias didáticas estão sendo experimentadas. 

PGM 4 - Diferentes significados de um mesmo conceito: o caso das frações 

O foco do quarto programa é a discussão de que, em Matemática, alguns conceitos podem 

assumir diferentes significados e a importância de dar oportunidade ao aluno de compreender 


diferentes enfoques e usos de uma mesma notação, de um procedimento para uma gama 

variada de aplicações. Para exemplificar tal discussão, escolhemos um conceito que, em geral, 

apresenta grande dificuldade de aprendizagem: as frações. Buscamos enfocar o problema sob 

a perspectiva de que esta dificuldade pode estar relacionada com o fato de que o aluno 

necessita compreender que o conceito de número racional pode assumir significados bastante 

diversos, dependendo do problema que se busca resolver. Argumentamos que o conceito de 

fração deve ser construído aos poucos pelos alunos, à medida que mais significados vão sendo 

acrescentados. Discutimos a idéia de que o conceito de “todo” a ser considerado pode ser 

diferente, já que depende do problema abordado, ou seja, buscamos responder à pergunta 

“fração de que todo?”. Buscamos relacionar o conceito de fração com outras idéias, como a de 

percentagem. 

PGM 5 - A Matemática como uma rede de conhecimentos: o tratamento da informação 

Neste programa final, o enfoque recai sobre a possibilidade de uso de diferentes estratégias e 

abordagens para a resolução de problemas. Discutimos uma visão que defende que aprender 

Matemática, da mesma forma que fazer Matemática, é resolver problemas. É por meio dos 

problemas, e principalmente por meio das discussões de diferentes estratégias e da 

possibilidade de mais de um caminho de solução, que pode ter sido escolhido pelos alunos, 

que o saber matemático pode ser visto como uma rede de conhecimentos. Há problemas que 

podem ser resolvidos graficamente, usando representações, usando recursos da aritmética, 

testando hipóteses e estimativas, para citar algumas possibilidades. Como fonte principal de 

exemplos, neste programa, exploramos o campo do tratamento da informação, por sua enorme 

potencialidade para permitir a interdisciplinaridade e transdisciplinaridade. 

Notas: 

1 Professora e pesquisadora no Instituto de Matemática da Universidade 

Federal do Rio de Janeiro. Consultora desta série. 

2 Professora do Instituto de Educação – ISERJ. Pesquisadora da PUC-Rio. 

Colaboradora na elaboração desta série. 

3 Professora no Departamento de Matemática da Universidade do Rio de 

Janeiro – UNIRIO. Colaboradora na elaboração desta série. 


PROGRAMA 1 

CONCEITO OU PROCEDIMENTO: ALGUNS CAMINHOS 


Ana Teresa de Carvalho Correa de Oliveira 2 

Mônica Mandarino 3 

Neste primeiro texto, queremos discutir as diferenças entre um ensino de Matemática voltado 

para a conceituação e aquele que visa apenas à aquisição de procedimentos, que muitas vezes 

nem são compreendidos. Para não ficar discutindo no abstrato, vamos iniciar nossa conversa 

apresentando dois trabalhos bem pouco típicos de nossas salas de aula, mas que foram 

realizados por crianças de segunda série do Ensino Fundamental 4 : 

Exemplo 1: 

Diante do problema: “Flávia tem 38 anos e sua filha, Duda, tem 13. Quantos anos a filha de 

Flávia tem a menos que ela?”, Clara apresentou esta solução: 

Em seguida, Clara adicionou os valores 7, 10 e 8, obtendo 25 – a resposta correta. 


Exemplo 2: 

Para resolver o problema “Lúcia saiu de casa com R$ 25,00 em sua carteira. Passou na 

banca de jornal e na quitanda. Ao chegar em casa verificou que só havia R$ 16,00 em sua 

carteira. De quanto foi a despesa de Lúcia?”, Joaquim usou a seguinte estratégia: 

Em seguida, Joaquim adicionou os valores 5 e 4, obtendo 9 – a resposta correta. 

Estes alunos estão realizando subtrações corretamente, sem utilizar o algoritmo. Ao invés, 

eles usam uma representação do problema na reta numérica, algo que dificilmente é 

encontrado nos livros-texto das escolas primárias. Observe também que estes alunos utilizam 

estratégias de completar (quanto falta para) e a adição de valores encontrados por eles para 

efetuar, sem usar o algoritmo, as subtrações exigidas nos problemas. Suas soluções 

demonstram compreensão dos dados do problema e a capacidade de representá-los de uma 

forma que os ajude a responder ao que está sendo pedido. 

Estas crianças demonstram estar aprendendo muito mais do que uma regra para fazer contas. 

Elas estão aprendendo a pensar por si próprias, a escolher uma estratégia dentre várias 

possíveis para resolver um problema e a criar um registro de suas idéias que seja adequado ao 

seu nível de escolaridade e que facilite a compreensão do que foi feito por seus colegas. A 

valorização de suas estratégias por sua professora e a discussão das diferentes estratégias 

utilizadas pelos alunos da turma permite que todos os alunos possam se familiarizar com mais 


de uma forma para resolver um mesmo problema, desenvolvendo atitudes de respeito e 

colaboração entre membros de um mesmo grupo. 

Em outro momento, estas crianças estudarão o algoritmo tradicional, avaliando suas 

vantagens e desvantagens, quando comparado com outras alternativas. Ou seja, ao invés de 

receberem um algoritmo imposto por sua professora e que eles não compreendem, eles são 

estimulados a pensar e serão capazes de, no momento adequado, compreender o algoritmo e 

decidir utilizá-lo, sempre que for vantajoso. 

O trabalho realizado por estas crianças mostra que elas estão aprendendo Matemática. 

Problemas que seriam difíceis para muitos alunos neste nível são resolvidos com ajuda de 

uma reta – algo a que a maioria dos alunos neste nível nunca foi apresentado. Qual é a 

diferença? O que acontece nesta sala de aula que a difere de tantas outras? A resposta é 

simples: o trabalho que a professora da turma consegue realizar com seus alunos. 

Vamos pensar um pouco mais a respeito do trabalho de Flávia Renata, a professora desta 

turma. O que podemos descobrir sobre ele a partir destes dois exemplos? 

• Em primeiro lugar, que a professora valoriza o trabalho criativo de seus alunos (se assim 

não fosse, estes exemplos não estariam ilustrando o trabalho de alunos em um texto 

voltado para formação de professores). 

• A seguir, que os alunos são estimulados a trabalhar por conta própria e a trocar suas 

soluções (se assim não fosse, a professora poderia desconhecer o caminho de solução dos 

alunos, se atendo apenas à resposta final dada). 

• Finalmente, que esta professora conhece o modelo da reta numérica e foi capaz de levar 

parte deste conhecimento para seus alunos (se assim não fosse, os alunos não seriam 

capazes de usar a reta numérica para modelar seus problemas). 


Vamos nos ater um pouco mais ao conhecimento que Flávia demonstra ter (por meio do 

trabalho de seus alunos) sobre a reta numérica. Será que ele inventou este modelo? Claro que 

não. Este modelo é amplamente utilizado em Matemática em todos os níveis de escolaridade e 

vai se sofisticando aos poucos, à medida que mais números vão sendo acrescentados a ele (as 

frações, por exemplo). Este é um conhecimento matemático que Flávia adquiriu em algum 

momento de seus estudos. Uma vez que a idéia tenha sido compreendida, ela está à disposição 

de Flávia para ser utilizada como um recurso didático para ajudar seus alunos a compreender 

a Matemática. 

Por outro lado, deve ficar claro que um professor que nunca tenha tido a oportunidade de 

aprender sobre a reta numérica e discutir sua potencialidade para a compreensão dos números 

e sua ordenação, não terá esta ferramenta à sua disposição e poderá, inclusive, não reconhecer 

estas soluções como matematicamente corretas e criativas. 

Ou seja, estamos afirmando que um professor não será capaz de dar a seus alunos o que ele 

mesmo não tem, por melhor que seja a metodologia por ele utilizada em sala de aula. Assim, a 

transformação das aulas de Matemática de aulas de “regras prontas e decoradas” para aulas de 

“compreensão conceitual” passa, necessariamente, pelos professores. É necessário abrir portas 

para que os professores possam desenvolver novas reflexões e novas aprendizagens 

conceituais em Matemática, sem as quais qualquer recurso metodológico utilizado vai cair no 

vazio. 

Esta série pretende discutir práticas didáticas voltadas para a compreensão conceitual, 

reconhecendo a importância de abrir portas para que os professores possam buscar novos 

conhecimentos e novas metodologias em Matemática. Ao longo dos programas, vamos 

discutir o papel dos alunos, as oportunidades de formação continuada para professores e ainda 

alguns tópicos de Matemática, que costumam ser problemáticos. 

Neste primeiro texto da série, esperamos deixar claro que a aprendizagem significativa da 

Matemática difere muito de decorar uma “receita” de como fazer continhas... Esperamos 

também mostrar a você que esta mudança é possível e o caminho que leva até ela pode ser 


percorrido de uma forma bastante agradável. Enfatizamos a importância de o professor buscar 

ter uma boa conceituação matemática e valorizamos a elaboração de planos de aula com 

objetivos bem definidos, que serão utilizados para orientar e avaliar as práticas adotadas. 

Algumas sugestões para a sala de aula de Matemática 

Os programas desta série pedem que o professor coloque em prática algumas idéias. 

Apresentamos um pequeno resumo de tais idéias, para que você possa ver, com os olhos da 

imaginação, como sua sala ficaria durante a aplicação de uma atividade. Vamos retornar a 

estas idéias várias vezes e aprofundar mais e mais a discussão sobre sua importância. 

1. Leve a Matemática para sua sala de aula e estimule seu aluno a se interessar por ela. Você 

pode usar muitos recursos, como: um mural (com os algarismos de 0 a 9, as dezenas e 

centenas, resultados para consulta e notícias com informações numéricas); um calendário; um 

quadro de aniversários; um quadro do clima (registrando, a cada dia, se ele está ensolarado, 

nublado ou chuvoso). A sala também pode conter diversos objetos ligados à Matemática, tais 

como: diferentes materiais de contagem, balança, fita métrica, dados, cartões com números e 

figuras para jogos etc. 

2. Rompa com a arrumação tradicional da sala de aula, na qual todas as carteiras estão 

voltadas para frente, onde se coloca o professor para “despejar” conhecimentos. Estimule 

diferentes arrumações, propondo trabalhos em grupos de 4 ou 5 alunos, trabalhos em duplas e 

discussões envolvendo toda a turma e mediadas pelo professor. 

3. Lembre-se de que, durante uma atividade, a criança vive um momento de aquisição de 

conhecimento. É importante que ela tenha tempo de experimentar, refletir sobre suas ações e 

comunicar suas idéias. 

4. Evite manter seu aluno muito ocupado com tarefas “concretas”, a ponto de não lhe sobrar 

tempo e espaço para refletir, concluir e aprender. Muito embora a manipulação de materiais 


seja fundamental nestes estágios iniciais de escolaridade, não tome como princípio que a 

criança aprende somente por sua ação direta sobre os objetos. A reflexão acerca de suas ações 

e a comunicação de seus processos mentais são igualmente importantes. 

5. Lembre-se de que há muita diferença entre o que uma criança é capaz de produzir sozinha e 

o que ela é capaz de elaborar com intervenção e mediação de um professor que lhe aponta 

caminhos e sugere ações. Assim, o papel do professor é ativo – ele sugere as atividades, 

corrige rumos, faz sugestões e perguntas, estimula a troca de soluções, atua como mediador 

em negociações entre os alunos e sistematiza processos e resultados. 

6. As crianças devem viver situações em que possam trabalhar em grupo (ou duplas), trocar 

idéias e discutir sobre seu trabalho. O ambiente criado na sala de aula deve incentivar 

situações em que elas tomem decisões, discordem ou concordem umas com as outras, 

expliquem o que fizeram e porquê. 

7. Cabe ao professor criar um ambiente no qual as crianças possam falar de seu trabalho com 

a confiança de se sentirem respeitadas e apoiadas. Um aluno não deve se sentir desconfortável 

por ter errado; o professor deve, ao contrário, valorizar suas conquistas e ajudá-lo a encontrar 

novos caminhos. 

8. Compartilhe com toda a sala os processos realizados pelas crianças durante uma atividade. 

Após uma atividade, o professor deve resolver coletivamente a questão, fazendo perguntas e 

compartilhando as estratégias usadas pelos alunos, perguntando: vocês acham que essa é uma 

boa forma de trabalhar? 

9. Faça, sempre que possível, uso de recursos didáticos variados. Materiais concretos 

estruturados e não estruturados, o livro didático, livros paradidáticos, vídeos, calculadoras, 

jogos e brincadeiras, a história da Matemática, entre diversos outros, são recursos que podem 

e devem ser utilizados pelo professor, pois são motivadores para os alunos. Lembre-se, no 

entanto, de que este tipo de recurso não tem um fim em si mesmo. De nada adianta, por 

exemplo, entregar materiais concretos aos alunos para a livre exploração ou manipulação. Isso 


não garante aprendizagem! O uso dos recursos deve ser planejado e estar inserido numa 

proposta de trabalho que desafie os alunos a atuarem mentalmente, auxiliados pelo material. É 

preciso ter objetivos claros e bem definidos, sabendo aonde se quer chegar, para poder intervir 

e favorecer uma verdadeira construção de conceitos. 

10. Lembre-se ainda de que levar seus alunos a lidar com os símbolos convencionais da 

linguagem matemática é importante. Entretanto, é preciso que as crianças lhes atribuam 

significado. A utilização da linguagem matemática convencional deve surgir a partir da 

necessidade de nos expressarmos matematicamente de forma que haja compreensão por parte 

de todos. Um primeiro passo é o professor se expressar escrita e oralmente usando a 

linguagem matemática. Aos poucos, os alunos vão descobrindo vantagens nesta linguagem 

simbólica econômica e concisa, passando a adotá-la também. 

Não se esqueça de que é importante experimentar novos caminhos, mas sempre avaliando os 

resultados. Nem todos os seus experimentos serão um sucesso, mas a reflexão e a discussão 

com seus colegas podem levar a um efetivo crescimento profissional. Abaixo, sugerimos 

algumas leituras que podem contribuir para a sua formação e ajudar para que algumas das 

idéias aqui apresentadas possam ser colocadas em prática. 

Referências Bibliográficas 

BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. São 

Paulo: IME-USP, 1996. 

CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: IME-USP, 

1996. 

DANTE, L. Roberto. Didática da resolução de problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 

1991. 

MANDARINO, Mônica, MONTES, Maria José. Qualificação profissional para o magistério. 

Volume 6: Matemática. Rio de Janeiro: MEC/FUNTEVÊ/TVE, 1985. 


MANDARINO, Mônica. Tratamento da Informação para professores de 1 a a 4 a séries. 

UFRJ/IM: LIMC, 2006. 

MANDARINO, Mônica e BELFORT, Elizabeth. Números Naturais – Conteúdo e Forma, 

UFRJ/IM: LIMC, 2006 

MOUZINHO, M. L. Tratamento da informação: atividades para o ensino básico. UFRJ/IM: 

Projeto Fundão, 2002. 

_________. Tratamento da informação: explorando dados estatísticos e noções de 

probabilidade a partir das séries iniciais. UFRJ/IM: Projeto Fundão, 1997. 

NEHRING, C. et al. Orientações metodológicas para o uso das barrinhas de cuisenaire. 

IJUí: UNIJUÍ/PADCT/CAPES, 1995, v.2. 

_________. Orientações metodológicas para o uso da base 10 (material dourado). IJUÍ: 

UNIJUÍ/PADCT/CAPES, 1997, v. 3. 

NEHRING, C.; PIVA, C. Orientações metodológicas para construção da operação de 

multiplicação. IJUÍ: UNIJUÍ, 1998. 

SANTOS, V. M., REZENDE, J. F. Números: linguagem universal. Rio de Janeiro: IM/UFRJ, 

Projeto Fundão, 1997. 

SMOLE, K. C. S., DINIZ, M. I., CANDIDO, P. Brincadeiras infantis nas aulas de 

matemática. Porto Alegre: ArtMed, 2000. (Coleção Matemática de 0 a 6 anos.) 

_________. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender 

matemática. Porto Alegre: ArtMed, 2001. (Coleção Matemática de 0 a 6 anos.) 

Notas: 



2 Professora no Instituto de Educação – ISERJ. Pesquisadora da PUC-Rio. 



Janeiro-UNIRIO. Colaboradora na elaboração desta série. 

4 Retirados do livro Números naturais e formação, de Mônica Mandarino e 

Elizabeth Belfort. 


PROGRAMA 2 

O TRABALHO DO ALUNO 


Mônica Mandarino 2 

Flávia Renata Coelho 3 

Neste programa, vamos discutir a importância do trabalho do aluno para a aprendizagem 

efetiva em Matemática, ilustrando essa idéia com exemplos retirados da realidade da sala de 

aula. Para favorecer a construção do conhecimento matemático autônomo e produtivo, por 

parte dos alunos, é necessário incentivar a experimentação, valorizar as estratégias por eles 

escolhidas para resolver um problema, incentivar que tentem expô-las, por escrito ou 

oralmente. Ou seja, a sala de aula deve proporcionar momentos de produção e reflexão 

individual para os alunos. 

Como a capacidade de trabalhar em grupo é cada vez mais importante na sociedade moderna, 

esta prática também deve ser incentivada pelo professor. Mas trabalho em grupo não significa 

apenas a opção de quatro ou cinco alunos trabalhando juntos, embora também incentivemos 

esta idéia. Uma dupla também é um grupo – que tem condições de aprofundar mais a 

discussão do que um grupo maior. A turma toda também é um grupo, que precisa de 

momentos para compartilhar seus saberes, trocar experiências e negociar idéias, linguagens e 

técnicas, sistematizando os conhecimentos. 

Discutindo a prática 

A professora deu um montinho de 6 fichas para Alice e um de 7 fichas para Daniel. A seguir, 

a professora pergunta: “Quem ganhou mais fichas?” Alice e Daniel organizam suas fichas 

lado a lado, e respondem: 


• Alice: “O Dani.” 

• Daniel: “Eu! ... Tenho 7 e Alice só tem 6.” 

Quando questionados sobre “quantas fichas Daniel tem a mais do que Alice”, eles respondem: 

• Alice: “Sete” (apontando para a ficha não emparelhada); 

• Daniel: “Uma” (apontando para a mesma ficha). 

“Escutando” as respostas de Alice e Daniel nas duas etapas, vemos que ambos são capazes de 

fazer a comparação entre as quantidades de bolinhas. Entretanto, Alice mostra que pensa em 

“sete” como sendo o “nome” da sétima bolinha, o que nos revela que ela ainda não construiu 

a idéia de que a quantidade 6 está incluída na quantidade 7. Por outro lado, Daniel demonstra 

uma idéia clara de inclusão, ou seja, de que 7 é um a mais do que 6. 

Observe, neste exemplo, a importância do papel do professor. É por meio de sua escolha de 

atividade que se pode perceber a necessidade de oferecer mais oportunidades para Alice 


construir o conceito correto de que “sete” representa a quantidade total e não o “nome” de 

uma das fichas. A partir desta atividade, e pela diferença de respostas entre os alunos, a 

professora tem a oportunidade de verificar as dificuldades e de fornecer novas experiências 

que contribuam para a aquisição do conceito. Alice precisa de tempo para refletir sobre suas 

ações e aprimorar sua idéia de quantidade. 

Construindo a linguagem matemática 

Consideramos indispensável que o aluno seja agente ativo da construção de seu próprio 

conhecimento e, por isso, valorizamos a metodologia de resolução de problemas. No entanto, 

não descartamos a necessidade de sistematizar e consolidar os conhecimentos adquiridos por 

meio de atividades e exercícios, que precisam ir além daqueles de aplicação imediata e treino. 

Por outro lado, defendemos também o respeito ao desenvolvimento cognitivo dos alunos. As 

abstrações e nomenclaturas devem ser introduzidas aos poucos, juntamente com uma boa 

familiarização do pensamento numérico, tornando os alunos capazes de: avaliar ordem de 

grandeza e fazer estimativa; efetuar cálculos mentais; reconhecer padrões; criar suas próprias 

estratégias e testá-las; comunicar-se defendendo suas idéias e opiniões. Estas e outras 

habilidades necessitam de investimento de sua parte, por isso, estamos sugerindo que você 

ajude seus alunos a desenvolvê-las. 


A socialização das resoluções de um problema entre os alunos é uma forma de contribuir para 

que eles se apropriem de novas estratégias, muitas vezes mais “econômicas” (ou mais 

avançadas matematicamente) que as suas. Vejamos um exemplo: 

A professora combinou com seus alunos que, após a resolução do problema, cada um deles 

anotaria em sua folha as estratégias utilizadas por mais dois colegas, escolhendo aquelas que 

lhes parecessem mais interessantes. 


O problema proposto foi: “Luiza tem um álbum, no qual precisa colar 100 figurinhas. Ela já 

colou 60 figurinhas. Quantas ainda faltam?”. 

Veja as anotações feitas por Carolina em sua folha de exercícios: 

Observe que a estratégia de Carolina, embora seja a mais simples das três, nos mostra que ela 

tem conhecimento de que em uma centena há dez dezenas, e que também compreende que 60 

representa 6 dezenas. Ela decompõe 100 em 10 dezenas e, a seguir, ela risca (ação de retirar) 

a quantidade de figurinhas que já foi colada, concluindo que ainda faltam 40. 

Felipe, por outro lado, apóia sua estratégia de solução na ação de completar e modela seu 

problema na reta numérica. Observe que ele também usa a contagem de dez em dez, partindo 

de 60 para chegar a 100. 


Por sua vez, Ceci desenvolve a solução matematicamente mais avançada e com maior nível de 

abstração. Ela não mais necessita apoiar sua solução em ações, mas apenas na apropriação dos 

fatos básicos da subtração (10 – 6 = 4) e em conclusões próprias sobre o comportamento dos 

números. 

Na verdade, Ceci está aplicando uma regularidade (isto é: um comportamento que se repete) 

observada na forma que representamos os resultados de multiplicações por 10 no Sistema 

Decimal de Numeração (para multiplicar por 10, basta acrescentar um zero ao final do 

número). Ela concluiu este fato a partir de suas experiências e o generalizou (isto é: foi capaz 

de compreender que ele era sempre válido e que ela podia aplicá-lo em novas situações). 

Observe que, embora Carolina desenvolva uma solução mais simples, ela demonstra que é 

capaz de compreender outras mais sofisticadas pelo fato de ter escolhido estas soluções para 

anotar. Mais uma vez, deve-se destacar a importância do papel do professor. Esse exemplo 

demonstra a importância de oferecer oportunidades para que todos os alunos discutam a 

solução de um problema. Por meio de ações como esta, o professor está permitindo que seus 

alunos avancem, no seu próprio passo, em direção a uma linguagem matemática correta. Mais 

importante ainda, os alunos estarão compreendendo o significado desta linguagem, o que 

ajuda em sua correta utilização. 

O papel do aluno depende das ações de seu professor 

Chamamos sua atenção, em nossos exemplos, de que esta nova sala de aula pede um novo 

papel para o professor. Entendemos que esse papel deva ser de orientador da aprendizagem, 

ajudando as crianças a encontrarem seus próprios caminhos e motivando a reflexão, a 

discussão e as descobertas por meio de perguntas adequadas aos objetivos previamente 

planejados. Isso exige do professor um trabalho bem planejado e com objetivos de 

aprendizagem claros. 

Além de objetivos claros, as atividades e situações escolhidas devem ser também 

contextualizadas, adequadas à faixa etária e motivar o interesse na busca de soluções. 


Explorando contextos significativos para o aluno, contribuímos para que ele entenda a 

Matemática como um campo de saber que lhe possibilita uma melhor compreensão das 

situações à sua volta. Além disso, em Matemática, devemos ampliar o conhecimento 

adquirido em um contexto, buscando princípios gerais que permitam a transferência deste 

conhecimento para novas situações. Assim, geramos novos conhecimentos e estes ganham 

novos significados. 

Entretanto, os alunos devem também perceber que, em Matemática, algumas habilidades 

técnicas devem ser dominadas. Da mesma forma, a linguagem simbólica da Matemática, com 

suas convenções, precisa ser utilizada adequadamente. Aos poucos, na prática de resolver 

problemas, o domínio das técnicas e da linguagem será incorporado, sem necessidade de 

realizar treinamentos áridos, como um fim em si mesmos. Assim, nem todo problema será 

contextualizado fora da Matemática – você deve optar claramente por incluir problemas e 

jogos que se constituam em desafios de crescimento e cujo contexto seja a própria 

Matemática. 


Apresentamos, como exemplo, um jogo, chamado “batalha”, que pode ser utilizado como 

forma de transformar o aprendizado dos fatos fundamentais (ou “tabuada”) das operações da 

adição (ou da multiplicação) em uma atividade mais prazerosa que, ao mesmo tempo, 

contribui para a formação do conceito de operação inversa. 

Para este jogo, são utilizadas as cartas de um a dez de um baralho (ou cartões, nos quais cada 

um apresenta uma representação numérica e pictórica de um número de um a dez). Estas 

cartas serão usadas por três crianças. Duas crianças abrem uma carta cada e as mostram para 

as outras duas, sem olhar seu valor. A terceira criança adiciona (ou multiplica) os números das 

cartas e diz o resultado para as outras. A partir deste resultado (e do conhecimento da outra 

carta), cada uma das crianças que abriu uma carta deve descobrir o valor de sua carta. Ganha 

um ponto em cada rodada a criança que adicionou (ou multiplicou) corretamente e ganha dois 


pontos cada uma das crianças que descobrir o valor escondido. Os papéis das crianças se 

revezam ao longo das rodadas. 

O professor pode pedir que as crianças registrem seus pontos, desenvolvendo a capacidade de 

registrar dados em tabelas e pode, ainda, explorar a linguagem matemática utilizada para 

registrar as operações realizadas mentalmente pelos alunos. 

Bibliografia sugerida para o professor: 

AZEVEDO, M. V. R. Jogando e construindo matemática. São Paulo: Vap, 1999. 

BORIN, J. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas de matemática. São 

Paulo: IME-USP, 1996. 

DANTE, L. Roberto. Didática da resolução de problemas de Matemática. São Paulo: Ática, 

1991. 

MANDARINO, Mônica e BELFORT, Elizabeth. Números Naturais – Conteúdo e Forma. 

LIMC – UFRJ, 2006. 


MANDARINO, Mônica e MONTES, Maria José. Qualificação profissional para o 

magistério. Volume 6: Matemática. Rio de Janeiro: MEC/FUNTEVÊ/TVE, 1985. 

Notas: 





3 Professora da Escola Sá Pereira. Orientadora pedagógica da Rede de 

Ensino de Duque de Caxias, RJ. 


PROGRAMA 3 

DA INFORMAÇÃO À CONCEITUAÇÃO: A FORMAÇÃO DOS 

PROFESSORES 

Ana Teresa de Carvalho Correa de Oliveira 1 


Você já parou para refletir sobre a sua formação para ensinar Matemática? Em nosso 

percurso, temos conversado muito sobre esse tema com professores das séries iniciais. Na 

visão de muitos destes professores, as experiências que tiveram em sua formação inicial têm 

sido pouco úteis ao trabalho que realizam, quando vistas na perspectiva da sala de aula de 

Matemática. Acreditamos que isso possa estar acontecendo, também, com muitos de vocês. 

Aprender a ensinar Matemática parece ser um desafio que a formação inicial e continuada de 

professores deve enfrentar, se desejamos que nossos professores sejam capazes de 

proporcionar aos seus alunos aulas de Matemática que sejam, ao mesmo tempo, mais 

agradáveis e efetivas. 

Para o professor em atividade nas séries iniciais, este problema é imediato e concreto. Ele 

deve entrar em sala e dar aula de Matemática. O que fazer? Afinal, é necessário realizar o 

trabalho da melhor maneira possível e as dificuldades são muitas. Muitos, ao perceberem, na 

prática, que as teorias do curso de formação ajudam muito pouco a dar aulas de Matemática, 

procuram resolver o problema sozinhos e sem pedir ajuda. 

Algumas das soluções mais comuns que um professor com muitas dificuldades em 

Matemática encontra por si mesmo são: 

• Evita dar aula para o segundo segmento do Ensino Fundamental, pois lá ele deve ensinar 

“coisas difíceis e complicadas”, como frações e a operação de divisão. 


• Escolhe um livro-texto com muitas contas para as crianças fazerem, que tenha resposta e 

tenha pouca ou nenhuma geometria. De preferência, a geometria fica para o final, pois, 

“nunca dá mesmo tempo de acabar o livro”. 

• Ao se deparar com idéias novas para o ensino de Matemática, reage negativamente a 

experimentá-las, em geral, alegando que estas não levam em conta as dificuldades que ele 

enfrenta em sala de aula com seus alunos. 

• Repete com seus alunos a forma de ensinar usada por seus antigos professores, que o 

levou a não gostar de Matemática, muitas vezes sem ao menos perceber que está fazendo 

isto. 

• Não considera qualquer resolução que seus alunos façam que não seja uma cópia fiel 

daquela ensinada por ele. Chegar à resposta correta por um caminho diferente do ensinado 

em sala não é aceitável. 

Observe que todas estas estratégias são, na verdade, formas de evitar o confronto do professor 

com a dificuldade em Matemática. Claro que existem outras, e poderíamos seguir listando 

mais e mais formas de ensinar Matemática que são, sob a ótica desta discussão, muito mais 

uma forma de autodefesa. Nestas estratégias não se permitem questionamentos e os alunos 

não são incentivados a pensar por si próprios. 

Mas o que não se pode fazer é culpar os professores por adotar estas soluções. O problema 

real é que muitos professores das séries iniciais não foram efetivamente preparados para 

ensinar Matemática – e dificilmente pode-se responsabilizá-los por isto. Toda a sua vida como 

estudantes (incluindo, muitas vezes, o curso de formação para professor) só fez com que eles 

considerassem a Matemática como um conjunto de regras e fórmulas, difícil de entender e que 

“não serve para nada”. 


Contudo, é importante que, além da crítica, formadores e professores busquem encontrar 

caminhos de formação que possibilitem a construção dos saberes profissionais em Matemática 

necessários ao professor das séries iniciais. Queremos discutir esta questão a partir de dois 

pontos de vista diferentes: 

• Que devem fazer os formadores de professores para enfrentar este desafio? 

• Que devem fazer os professores já formados que sentem a necessidade de melhorar sua 

capacitação para ensinar Matemática? 

Na ótica do formador, parece ser necessário um investimento, por parte dos cursos de 

formação inicial, em programas que dêem condições para que os futuros professores tenham 

uma formação conceitual sólida, de forma que desenvolvam metodologias de ensino e 

conheçam recursos didáticos que favoreçam a aprendizagem das crianças das séries iniciais, 

em Matemática. Muitos de nós já enfrentamos este problema de frente, e buscamos 

transformar as poucas oportunidades que os currículos de cursos de formação oferecem para o 

estudo de Matemática em momentos de discussão de conceitos, revendo pontos-chave da 

formação anterior do professor, especialmente aqueles ligados ao que ele deverá ensinar. Esta 

postura, temos certeza, irá influir muito na atuação de nossos futuros professores, e 

depoimentos de vários ex-alunos indicam que isto está, efetivamente, ocorrendo. No entanto, 

para que esta mudança de atitude possa ser efetivada, uma etapa fundamental é ouvir os 

professores das séries iniciais em atividade e descobrir as dificuldades que eles vivenciam em 

seu cotidiano de aulas de Matemática. 

Na ótica do professor, o primeiro passo está em aceitar que existem dificuldades e buscar 

ajuda para resolvê-las. Se o professor perceber que não vive um problema que é só seu, mas 

que é compartilhado com muitos outros professores, a discussão destas dificuldades passa a 

existir entre colegas e se torna possível uma busca conjunta de soluções. É deste ponto de 

vista que acreditamos que o professor deve procurar ações de formação continuada. É também 

participando de ações como esta que os formadores podem aprimorar seu trabalho, evitando a 

repetição de programas de formação que não estão cumprindo com sua função. 


No âmbito da formação continuada, quando os professores já estão na escola, são muito 

importantes as reflexões sobre a prática. A formação continuada deve ser entendida e 

procurada pelos professores, fundamentalmente, como um espaço para se promover 

momentos de reflexão e troca sobre o cotidiano do trabalho. No debate com outros 

professores, podemos aprender Matemática e desenvolver uma atitude reflexiva e crítica sobre 

nossa prática. Esse processo coletivo de discussão e análise do nosso trabalho, a partir das 

situações da prática, é uma instância privilegiada para produção de saberes dos professores e 

para o repensar das dinâmicas da sala de aula. 

Reconhecemos que, muito embora estas idéias sejam tomadas como norteadoras da grande 

maioria das propostas teóricas para a formação de professores, não encontramos, com 

facilidade, práticas formadoras alinhadas com essa visão, seja na formação inicial, seja na 

formação continuada de professores. Neste texto, estamos debatendo sobre alguns caminhos 

de formação inicial e continuada de professores, com o objetivo de dar a você, professor, boas 

idéias sobre o que se pode fazer nessas instâncias formadoras, em Matemática. Achamos que, 

dessa forma, possibilitamos a reflexão sobre a sua própria formação inicial, e trazemos a 

formação continuada como uma nova opção – esta passa a ser a formação que pode lhe 

possibilitar construir uma prática diferente, a partir de sua reflexão crítica sobre ela e sobre o 

seu trabalho em sala de aula. 

É importante perceber que, diferentemente da formação inicial, estar efetivamente em sala faz 

com que o professor possa, a cada momento, se perguntar: “as atividades que estou 

realizando na formação continuada vão contribuir para a minha aula?” Esta postura crítica, 

conseqüência da vivência e da prática, pode fazer com que o professor influencie nos rumos 

de sua formação continuada, não permitindo que os erros cometidos em sua formação inicial 

se repitam nestas novas oportunidades. 

Alguns princípios básicos para a formação de professores em Matemática 

De uma forma geral, as idéias que apresentamos a seguir devem permear os cursos de 

formação inicial de professores, permitindo que uma sólida base seja estabelecida para iniciar 


a prática. No entanto, neste momento, se faz necessário que estes mesmos princípios estejam 

presentes em ações de formação continuada, uma vez que dificilmente os programas dos 

cursos de formação inicial permitem tempo suficiente para que este trabalho seja 

completamente desenvolvido. 

Costuma ser produtiva a conduta de orientarmos a formação dos professores levando-se em 

conta os saberes profissionais necessários à sua prática. Nesta série, já discutimos a 

importância dos procedimentos compreendidos. Ou seja, a Matemática passa a ser mais 

conceitual e menos decorada. Nesse mesmo sentido devemos conduzir a formação dos 

professores. Cabe aos formadores providenciar exemplos concretos de momentos de 

aprendizagem conceitual, fazendo com que o professor repense sobre seu aprendizado, 

modificando e aperfeiçoando sua forma de ensinar. 

Neste sentido, não podemos nos esquecer do valor formador do exemplo. Se desejarmos que 

os (futuros) professores dêem mais espaço para as construções conceituais de seus alunos em 

suas salas de aula, devemos fazer o mesmo em situações de formação, exemplificando as 

possibilidades e criando momentos de discussão e reflexão sobre as experiências vividas. 

É fundamental para a formação que os professores vivenciem situações que envolvam os 

conteúdos matemáticos das séries iniciais, os métodos de ensino, os diferentes recursos 

didáticos, e que aprendam experienciando situações em que sejam levados a observar, a 

pensar matematicamente, a argumentar, a analisar, a abstrair, a generalizar etc., assim como 

deverão fazer seus alunos sob a sua orientação. Isto requer do formador um papel 

diversificado: ele deve não apenas providenciar as experiências e atividades, mas deve 

também levar os professores a refletir sobre seu aprendizado (atual e anterior). Cabe ao 

formador ressaltar para os (futuros) professores como as oportunidades oferecidas aos 

aprendizes são fundamentais para gerar aprendizagem. Ao professor em formação também 

cabe mais de um papel: ele deve buscar reconstruir significados para a Matemática, ao mesmo 

tempo em que reflete sobre diferentes formas de contribuir para o aprendizado dos seus 

(futuros) alunos. 


Assim, em todos os textos da série, consideramos os (futuros) professores em situação de 

formação como sujeitos ativos na produção de seus saberes profissionais, estando 

permanentemente diante de problemas a serem solucionados, sejam eles de natureza 

conceitual, metodológica, operacional etc. 

Algumas situações que podem ser vivenciadas em formação 

A seguir, apresentamos alguns exemplos de atividades que podem contribuir para o 

enriquecimento da formação do professor. Esperamos que a leitura destas atividades desperte 

em você a curiosidade por aprender mais, a vontade de compartilhar com outros as suas 

experiências positivas e negativas e o desejo de enriquecer suas aulas de Matemática, 

tornando-as mais agradáveis e efetivas para seus alunos. 

Atividade 1: Análise de soluções desenvolvidas por alunos 

A análise das soluções apresentadas pelos alunos prepara o professor para situações que farão 

parte do seu cotidiano. Este tipo de atividade modifica a idéia de “erro”, pois este passa a ser 

um estágio intermediário para a compreensão de um conceito ou um procedimento. O 

professor se conscientiza de que os erros retratam quase sempre os “nós” do nosso trabalho. 

Eles nos ajudam a identificar pontos que necessitam de um maior investimento de tempo e de 

estratégias, para dar suporte à aprendizagem dos alunos. Para exemplificar, apresentamos uma 

pequena análise: 

Juliana tenta escrever 21, número ditado por sua professora. Veja sua resposta e os 

comentários feitos por ela, ao ser questionada sobre a sua resposta: 

201 

“2 →o dois é usado no vinte porque depois de um vem 

dois. O 17, 16 e 19 é com um, então o vinte é com dois” 


Observe que Juliana não aplica corretamente a notação posicional para escrever o número 

21, mas escreve 20 corretamente e é capaz de justificar, em sua linguagem, a importância de 

usar o dois, comparando o vinte com alguns dos números que estão logo antes dele na 

seqüência numérica. 

Embora ela já escreva os números até 20 corretamente, para o vinte e um ela escreve 201 

(ou seja, vinte – e um), não transferindo a notação posicional para a escrita desse “novo” 

número. Este é um momento importante da construção numérica, pois os números anteriores 

a vinte têm “nomes” (por exemplo: dizemos “quinze” ao invés de “dez e cinco”). Este é um 

erro comum durante a construção da seqüência numérica e o professor deve permitir mais 

experiências e discussões com o grupo para que todos os alunos venham a construir 

corretamente a escrita dos números. 

Na verdade, a criança entenderá melhor a notação de números como “trinta e quatro” 

quando perceber que “dezenove” é, na verdade, “dez e nove” (algumas até passam por uma 

“fase” trocando estes nomes – o que demonstra a compreensão do princípio geral de 

formação de dezenas). 

Como outra sugestão, verifique como a análise do exemplo abaixo pode criar uma rica 

discussão acerca da importância do estudo do sistema decimal de numeração para o bom 

entendimento dos algoritmos das operações básicas. 

• Um aluno, ao adicionar 48 com 35, encontrou 713. Como você acha que ele encontrou 

esse número? Como você, professor, ajudaria este aluno a perceber e corrigir o erro 

cometido? 

Atividade 2: Formulando situações-problema 

Observe que, em situação de formação, ao apresentar o problema formulado para os demais 

grupos, este deve ser avaliado pelos colegas. Essa avaliação ajudará o futuro professor a 


tornar-se atento a vários aspectos relacionados ao trabalho com problemas, que são 

importantes para formular bons problemas para seus alunos. Alguns exemplos: 

a) Proponha uma situação-problema que envolva a divisão com idéia de medir. 

b) Formule um problema que seja resolvido por meio de: 1.520 – (12 × 13)= 

Na discussão em grupo dos problemas formulados, pode-se verificar se: 

• Os (futuros) professores têm a clareza quanto ao fato de o problema ser possível, 

impossível ou indeterminado. 

• O texto do enunciado é claro? 

• Envolve situações do interesse e da realidade das crianças? 

• O vocabulário utilizado está ao alcance das crianças? 

• O problema contribui para articular Matemática com outras áreas do conhecimento ou 

com as situações do cotidiano? 

Atividade 3: Análise de livros didáticos 

Observe que a atividade proposta a seguir possibilita uma rica discussão com os (futuros) 

professores acerca de sua prática. Estão em questão os recursos didáticos, metodologias que 

priorizam a conceituação e/ou procedimentos, o ensino dos algoritmos apenas de forma 

mecânica etc. Nesse debate, o (futuro) professor, ao fazer uma análise comparativa entre os 

livros, desenvolve um senso crítico sobre o que deve ser considerado um bom livro didático, 

para dar apoio ao ensino e à aprendizagem de Matemática. 


Em grupo, analisem a abordagem feita por dois ou três livros didáticos de Matemática para 

as séries iniciais, no estudo das operações. 

Posteriormente, apresentem aos demais grupos as características dessa abordagem, de 

acordo com o roteiro abaixo: 

• A conceituação das operações é priorizada? 

• Trabalha-se com as idéias associadas às operações? 

• Trabalha-se adição como inversa da subtração? 

• Incentiva-se o aluno para a utilização de diferentes algoritmos? 

• Utiliza-se o material dourado? 

Pontos para reflexão 

- Devemos estudar sempre. A boa bagagem conceitual nos ajuda, como professores, a 

estarmos em processo permanente de produção de saberes. 

- Por meio da formação continuada, é possível ter oportunidades de estar sempre interagindo 

com colegas, em torno das questões da nossa prática. A formação não se constrói por 

acumulação, mas sim através de um trabalho de reflexividade crítica sobre as práticas e de 

(re)construção permanente de uma identidade pessoal (NÓVOA, 1995, p. 25). 

- Estarmos sempre em formação implica a experimentação e a inovação através de ensaio de 

novos modos de trabalho pedagógico. Esse fazer pedagógico deve estar sob investigação e 

reflexão crítica permanente. 


- No processo de formação continuada, devemos nos indagar e refletir permanentemente 

sobre: o que é Matemática? o que significa saber Matemática? que Matemática é necessária, 

hoje, para as crianças da escola elementar? 

Bibliografia: 

MANDARINO, Mônica e BELFORT, Elizabeth. Números Naturais – Conteúdo e Forma. 

Rio de Janeiro, LIMC – UFRJ, 2006. 

NÓVOA, A. (org) Profissão Professor. Porto Editora, Porto, Portugal, 1995. 

OLIVEIRA, Ana Teresa C. C. Formadores de Professores: seus saberes e práticas. Exame 

de qualificação II para doutorado em Educação. Rio de Janeiro, PUC – RJ, 2006. 

Notas: 

1 Professora no Instituto de Educação – ISERJ. Pesquisadora da PUC-Rio. 





PROGRAMA 4 

DIFERENTES SIGNIFICADOS DE UM MESMO CONCEITO: O CASO 

DAS FRAÇÕES 

Cleiton Batista Vasconcelos 1 


Muitos conceitos matemáticos podem ser usados associados a mais de uma idéia. Um 

exemplo simples é a adição de números naturais, que pode ser associada às idéias de 

reunir/juntar ou acrescer/aumentar/ganhar. Especialmente para uma criança, as duas situações 

podem ser bastante diversas. É muito diferente, por exemplo, pensar em quantas figurinhas 

reunidas uma menina e seu irmão têm ou tentar saber quantas figurinhas ela terá após 

acrescentar mais 40 figurinhas à sua própria coleção! No entanto, para resolver as duas 

situações-problema, a menina deverá utilizar a mesma operação matemática. É o que se 

chama de mais de um contexto, e é importante que os alunos sejam capazes de identificar que 

a operação a ser utilizada em cada um deles é a mesma. 

As frações, assim como as operações fundamentais, também estão associadas a mais de uma 

idéia e, ao contrário do que se pensa, as frações estão presentes em muitas situações do nosso 

dia-a-dia. Em qualquer profissão que você exerça poderá encontrar situações em que deverá 

usar frações. Elas estão presentes quer numa mistura de bolo, quer na medida de canos e 

conexões, quer na manipulação de remédios. 

Entretanto, como muitos outros temas de Matemática, seu ensino limita-se, em geral, à 

aplicação de fórmulas e regras, sem que os alunos entendam muito bem o que estão fazendo. 

E, no caso específico das frações, muitas vezes a explanação limita-se a algumas idéias 

particulares, sem abranger todas as idéias que lhes são associadas. São fórmulas e regras 

desprovidas de significados e que devem ser memorizadas e repetidas. 


Uma fração... muitas idéias 

Você já se deu conta de que uma mesma fração pode ser utilizada para representar várias 

idéias diferentes? Se não, pense um pouco e analise as situações que se seguem. 

2 

Para simplificar, tomemos como exemplo a fração . Que idéias ela pode representar? 

5 

Idéia 1: 

A idéia mais usual de fração é aquela que pensa a fração como parte de um todo, ou seja, uma 

2 

unidade, que foi dividido em partes iguais. Neste sentido, podemos pensar a fração como 

5 

um todo que foi dividido em cinco partes iguais e se tomou duas dessas partes. Assim, temos 

a seguinte representação: 

Cada uma das partes em que o todo foi dividido – pintada ou não – representa um quinto do 

todo. 

Discutindo a prática: 

Uma primeira observação que merece ser feita é sobre o significado da palavra igual. A 

igualdade a que nos referimos não é de forma e sim do “tamanho” da medida da superfície 

que representa o objeto. Assim, a parte pintada de todos os retângulos da figura abaixo 

1 

representa a fração , e tem a mesma medida de superfície (área). 

2 


Outro ponto importante é que, muitas vezes, essa é a única idéia que é trabalhada com o aluno 

em sala de aula. Ressalte-se que as primeiras noções de frações como parte de um todo ele já 

traz de casa. É muito comum ele ter de repartir ou o pão, ou o bolo, ou o chocolate com o 

1 1 1 

irmão ou irmãos, ou com um ou mais amigos. Cada um deles recebendo , ou , ou do 

2 3 4 

pão, do bolo ou do chocolate. Mas essa idéia deve ser aprimorada na escola, pois é muito 

comum ouvirmos meninos pequenos falarem que querem a “metade maior”. Isso significa que 

o conceito de fração como parte de um todo que foi dividido em partes iguais ainda não está 

bem construído. 

Idéia 2: 

Uma segunda idéia, que pode ser considerada uma variante da idéia anterior para o caso de 

grandezas discretas, é aquela que associa as frações a subconjuntos de um conjunto. De 

acordo com essa idéia, cada fração de um conjunto é um subconjunto desse conjunto. De 

acordo com essa interpretação, de um conjunto com 5 elementos, cada subconjunto com 2 

2 

elementos corresponde a desse conjunto; de um conjunto de 10 elementos, qualquer 

5 

2 

subconjunto de 4 elementos corresponde a desse conjunto; e assim por diante. Por 

5 

exemplo: 


2 

As bolas pintadas de cinza correspondem a do total de bolas representadas na figura. 

5 


As frações também estão sendo utilizadas aqui para representar uma ou mais partes de um 

todo que foi dividido em partes iguais. Só que, nesse caso, o todo é um conjunto, ou seja, uma 

grandeza discreta, e o que se divide são os elementos do conjunto, formando, assim, um 

subconjunto. Desta vez, as partes iguais não são necessariamente iguais em forma ou 

tamanho. São iguais em número de elementos. Assim é que de um conjunto com quatro 

pessoas, independentemente de idade, de cor, de tamanho, de sexo etc., duas dessas pessoas 

1 

representam metade do conjunto, ou do conjunto. 

2 

Um ponto a se considerar é o “tamanho” do conjunto considerado como todo. É importante 

que o professor fique atento para que não ocorra, em um primeiro momento, a necessidade de 

se dividir (quebrar) algum dos elementos do conjunto. Lembre que não faz muito sentido falar 

em uma bola de gude dividida em duas partes ou em um ovo divido em três partes, por 

exemplo. Um número bom de elementos para o conjunto que vai representar o todo é 12, uma 

vez que de um conjunto com doze elementos pode-se, facilmente, encontrar 

Idéia 3 

1 

, 

2 

1 

, 

3 

1 1 

, , 

4 6 

Uma terceira idéia, também bastante importante, mas que dificilmente é encontrada nos livros 

2 

didáticos (e mesmo nas salas de aula) é a que vê a fração como o resultado da divisão de 

5 

dois números inteiros: o numerador será dividido pelo denominador. 

1 

12 

DISCUTINDO PRÁTICAS EM MATEMÁTICA. 42 . 

.

Imagine o seguinte problema: Temos duas pizzas e queremos dividi-las igualmente para cinco 

pessoas. Qual a parte que cada uma receberá? 

Uma forma de resolver o problema é dividir cada uma das pizzas em 5 pedaços, como mostra 

1 

a figura abaixo. Cada pedaço representa de uma pizza. 

5 

Agora temos uma situação simples: um total de 10 pedaços para dividir entre 5 pessoas. Cada 

2 

uma vai ganhar dois pedaços, ou seja de uma pizza. 

5 


Observe que resolver esse problema é encontrar o resultado da divisão de 2 unidades – ou seja 

– duas pizzas, em cinco partes! A resposta deve ser dada na mesma unidade – ou seja – 

devemos responder dizendo que fração de uma pizza deve ser dada a cada pessoa. De acordo 

2 

com essa idéia, a fração é o quociente (resultado) da divisão. Assim, a fração é o resultado 

5 

da divisão de 2 unidades em 5 partes iguais. 

Neste caso, cada uma das duas pizzas representa uma unidade. Assim, temos duas unidades 

que queremos repartir em cinco partes iguais. Ou seja, queremos efetuar a divisão de 2 por 5, 

ou melhor, encontrar esse quociente. Para efetuarmos essa divisão, cada unidade deverá ser 


dividida em 5 partes. A resposta procurada, ou seja, o quociente, é a fração do todo (ou seja, 

da unidade) que cada uma das pessoas vai receber. 

Como se pode ver a partir do desenho, cada uma vai receber duas das cinco partes em que o 

2 

todo (ou seja, a unidade) foi dividido, ou melhor, cada uma receberá de uma pizza, isto é, 

5 

2 

da unidade. 

5 

Idéia 4 

Uma outra idéia, de grande importância mas não tão explorada na aprendizagem de frações, é 

aquela que associa a fração à razão entre duas grandezas. De acordo com essa idéia, uma 

fração é o quociente (resultado) da comparação (divisão) de uma grandeza (numerador) por 

2 

outra (denominador). Assim, a fração seria o resultado da comparação de duas grandezas 

5 

que estão na razão de 2 para 5, ou seja, de cada 7 unidades, 2 são de um tipo e 5 são de outro 

tipo. Por exemplo, das 21 bolas abaixo, 6 são de um tipo e 15 de outro, ou seja, de cada 7 

bolas, 2 são de um tipo e 5 de outro. 

Repare que, neste caso, não estamos comparando uma parte com o todo, mas sim 

considerando cada tipo de bola como uma grandeza diferente e determinando a razão entre as 


duas. Assim, podemos dizer que as bolas estão na razão de 2 (de um tipo) para 5 (de outro 

2 

tipo), ou seja, a razão entre elas pode ser representada pela fração . 

5 


A utilização de frações para representar a razão entre duas grandezas se dá quando queremos 

comparar essas grandezas. Quando se trata de grandezas da mesma natureza, é importante 

lembrar que a subtração também pode ser usada como comparação. Assim, é importante notar 

que, no caso das frações, essa comparação é uma comparação relativa. Já no caso da 

subtração, pode-se dizer que tal comparação é absoluta. 

Por exemplo: vamos comparar as idades de Thiago e Mariana, que têm 10 e 8 anos, 

respectivamente; podemos chegar aos seguintes resultados: 

• Thiago tem 2 (dois) anos a mais que Mariana. 

Neste caso, temos uma comparação absoluta, obtida a partir da subtração 10 – 8. Esta 

comparação mostra a diferença absoluta entre a idade do Thiago e a da Mariana, que é de 2 

anos. 

4 

• A idade da Mariana é da idade do Thiago. 

5 


Neste caso, temos uma comparação relativa, obtida ao dividirmos a idade da Mariana pela 

idade do Thiago. Esta comparação é feita tomando-se a idade do Thiago como o todo que, 

5 1 

nesse caso, está sendo representado pela fração . Assim, cada dois anos representam da 

5 

5 

4 

idade de Thiago. E os 8 anos da Mariana representam desse todo. 

5 

Observe que a relação absoluta de dois anos obtida pela subtração se mantém para o resto das 

vidas de Thiago e Mariana. Ou seja, daqui a dois anos, as idades de Thiago e Mariana serão 

12 e 10 anos, respectivamente, e sua diferença ainda será de 2 anos; daqui a 4 anos, as idades 

serão 14 e 12 e a diferença permanece a mesma; e assim por diante. Como se percebe, não 

importa o número de anos passados, a diferença absoluta será sempre de 2 anos. Já a relação 

entre a idade da Mariana e do Thiago, obtida pela divisão da idade da Mariana pela do 

Thiago, varia com o passar dos anos, conforme se percebe na tabela que segue: 

Data Idade 

do 

Thiago 

Idade da 

Mariana 

Diferença 

4 anos atrás 6 4 2 

2 anos atrás 8 6 2 

Hoje 10 8 2 

Mariana 

Thiago 

Representação 

Decimal 

2 ≈ 0,67 

3 

3 0,75 

4 

4 0,80 

5 


Daqui a 2 anos 12 10 2 




5 ≈ 0,83 

6 

6 ≈ 0,85 

7 

9 

10 

0,90 

14 ≈ 0,93 

15 

Na realidade, a última coluna nos permite visualizar que a diferença relativa vai diminuindo 

com o tempo. Ou seja, com o passar do tempo, a idade da Mariana se torna (relativamente) 

mais próxima da idade do Thiago. Isso se conclui, uma vez que o quociente está crescendo 

para 1, ficando cada vez mais próximo deste valor. 

Idéia 5 

A visualização dos números fracionários na reta numérica não deveria, a rigor, ser 

considerada como uma nova idéia, pois se trata da divisão de uma unidade em partes iguais. 

Só que, ao invés de destacarmos a parte, passamos a destacar pontos da reta. Como em uma 

régua, marcamos os valores inteiros em intervalos iguais, como ilustrado abaixo. O número 1 

passa, então, a ser representado por um ponto na reta, que dista uma unidade do zero para a 

direita, o número 2 pelo ponto que dista uma unidade para a direita do número 1, e assim 

sucessivamente... 

012 3 


2 

A seguir, para determinar a posição da fração , dividimos o intervalo que vai de zero até 1 

5 

em cinco partes iguais, encontrando os pontos A, B, C, D e E (esse último coincidindo com o 

número 1). 

0ABCD1 2 

E= 

1 2 

O ponto A é associado com , o ponto B, assinalado na figura, representa a fração , e 

5 

5 

5 

assim sucessivamente, sendo que E representa a unidade completa, ou seja, . 

5 


A identificação das frações com pontos na reta numérica não apenas ajuda o aluno a perceber 

a fração como um novo tipo de número, que ele começa a conhecer, como também pode ser 

um ótimo recurso didático no momento de estudar o conceito de frações equivalentes. Por 

exemplo, na figura abaixo, vemos a divisão da unidade em cinco e em dez partes iguais. Fica 

2 4 

simples perceber que as frações e representam o mesmo ponto no intervalo, ou seja, 

5 10 

são frações equivalentes. 


Bibliografia: 

BRASIL. SEF/MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais - Matemática. Brasília, SEF/MEC. 

1999. 

IMENES, Luiz Marcio P. e outros. Frações e números decimais. Coleção pra que serve 

Matemática. São Paulo: Atual, 1993. 

VASCONCELOS, C. B. Frações: Idéias e Ensino. 

Notas: 

1 Professor no Departamento de Matemática da Universidade Estadual do 

Ceará. 




PROGRAMA 5 

A MATEMÁTICA COMO UMA REDE DE CONHECIMENTOS: O 

A resolução de problemas 

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO 

Mônica Mandarino1 

Cileda de Queiroz e Silva Coutinho2 

Devemos considerar como problema toda situação que, desafiando a curiosidade, possibilita 

uma descoberta. Tais situações aparecem freqüentemente em nossa vida diária. Somos 

desafiados a encontrar soluções para problemas – matemáticos ou não –, desde os mais 

simples (como encontrar um objeto perdido) aos mais complexos (como entender fenômenos 

da natureza ou compreender uma nova tecnologia). 

Assim, a resolução de problemas deve ser encarada de forma bem mais ampla do que um 

simples treino de problemas-tipo. Por isso, adotamos uma definição de problemas bastante 

abrangente, que não é compatível com um ensino por adestramento. 

Mesmo quando nos referimos apenas a problemas matemáticos, devemos considerar este 

termo de forma bem ampla. Estamos propondo que problemas não sejam apenas aqueles 

pequenos enunciados escritos, utilizados como recurso para que os alunos apliquem um 

procedimento que o professor acabou de mostrar no quadro. Para nós, resolver problemas é a 

principal atividade matemática, e ela deve estar sempre presente na sala de aula. É tentando 

resolver problemas que novos conceitos começam a ser formados e que surge a percepção da 

necessidade de ampliar conhecimentos anteriores – gerando o interesse e o gosto de aprender. 

Estamos propondo acabar com uma estrutura didática que privilegia o treino de 

procedimentos, sem que o aluno perceba porque eles são necessários. 


Os problemas matemáticos não têm sempre como objetivo encontrar uma resposta numérica. 

Há problemas nos quais se quer, simplesmente, levar os alunos a interpretar e analisar os 

dados, a fazer estimativas numéricas e previsões, ou então a organizar dados de maneira 

adequada. Assim, propomos que eles resolvam problemas não apenas como simples aplicação 

da habilidade de calcular mas, principalmente, como uma oportunidade de analisar situações, 

tomar decisões e investigar estratégias. 

O aluno só chegará a resolver problemas de forma independente se o professor – sem deixar 

de auxiliar quando necessário – lhe der múltiplas oportunidades, nas quais uma parcela 

considerável do trabalho seja feita por ele próprio ou em parceria com seus colegas. Quanto 

mais situações-problema variadas o aluno solucionar em equipe, maior também será o seu 

repertório, o que o auxiliará na elaboração de estratégias diante de situações novas. 

Não devemos esquecer que o maior propósito em adotar esta forma de trabalhar – 

privilegiando a resolução de problemas – é preparar o aluno para apreender, com autonomia, a 

grande quantidade de informação disponível no mundo moderno, sendo capaz de olhar 

criticamente para a sociedade em que vive. A resolução de problemas contribui para a 

formação de hábitos e competências, como: estimar, rever sua solução de forma crítica, 

refletir, compreender e decidir. 

O tratamento da informação 

O bloco de conteúdos denominado de tratamento da informação incluiu nos Parâmetros 

Curriculares Nacionais conhecimentos anteriormente pouco valorizados pela Matemática 

escolar, do campo da estatística e da probabilidade, cada vez mais relevantes em diversas 

situações. 

Não é difícil perceber que a Estatística está sendo cada vez mais utilizada, pela simples 

observação de que a imprensa divulga, com muita freqüência, pesquisas estatísticas nas mais 

diversas áreas de conhecimento. Sem dúvida, as pesquisas sociais, econômicas, de saúde, 


educacionais, sobre segurança e violência, etc. influenciam as conversas entre as pessoas e 

muitas decisões políticas, governamentais e também pessoais. 

Estudos envolvendo estratégias da estatística e as que envolvem a probabilidade também 

influenciam nossas vidas de forma menos evidente. Hoje em dia, quase todas as empresas 

realizam pesquisas de mercado, testam seus produtos para definir prazos de validade ou 

critérios de segurança, por exemplo. Assim, vemos um produto que gostávamos desaparecer 

do mercado, somos pegos de surpresa com alterações na programação da TV, comemos o que 

decidiram que é melhor para nossa saúde, respondemos incessantemente a questionários, e 

assim por diante. 

Hoje em dia, é importante saber ler e analisar criticamente resultados de pesquisas e fazer 

inferências com base em informações qualitativas ou dados numéricos. Para isso, é preciso 

saber lidar com os conceitos de chance e possibilidade. Desde cedo, a criança pode lidar com 

princípios de contagem e determinar resultados possíveis, o que, por sua vez, abre caminho 

para problemas simples e interessantes de probabilidade, “chance” de ocorrência de um 

resultado. 

Passaremos, então, a apresentar e discutir algumas práticas que podem ser realizadas com 

crianças, de diversas faixas etárias, importantes no desenvolvimento de competências e 

habilidades para coletar, organizar e analisar dados, bem como a capacidade de ler, 

interpretar, estabelecer relações e lidar com situações que envolvem um contexto 

probabilístico, visando a uma “alfabetização estatística”. 

Atividades envolvendo a pesquisa estatística 

A criança é curiosa por natureza. Ela indaga, questiona... E estes são procedimentos ligados 

ao tipo de raciocínio necessário para a resolução de problemas contextualizados. Atividades 

que envolvem a coleta e a organização de dados contribuem para que a criança compreenda 

melhor o mundo que a rodeia, desenvolvendo um olhar crítico para o seu entorno. E as 

pesquisas em Educação Matemática têm mostrado que o trabalho com temas do campo da 


estatística e da probabilidade pode e deve ser realizado desde as séries iniciais da 

escolaridade. 

As crianças, desde muito cedo, questionam sobre muitas coisas do seu contexto e podemos 

tirar muito proveito de sua curiosidade natural, sobre situações tais como: como é a família 

dos alunos da minha classe? Quantos irmãos? Qual a brincadeira ou comida preferida? Qual o 

animal de estimação que eles possuem? Que cuidados são necessários para estes animais? Se 

eu jogar com meu colega, quem tem mais chance de ganhar? Por quê? 

Esses são temas que podemos desenvolver com as classes das séries iniciais... Como 

organizar e como interpretar os dados coletados vai depender da série... 

A escolha de temas para a construção de problemas e para a coleta de dados que sejam 

adequados aos seus alunos é fundamental. Não haverá prazer na descoberta, ou até mesmo 

não haverá descoberta, se não houver o interesse e a possibilidade de realizá-la. Além disso, o 

incentivo do professor é muito importante para criar o hábito de construir estratégias que 

atendam às especificidades de um determinado contexto. Isto pode ser feito por meio de 

perguntas que estimulem a reflexão e o interesse do aluno e cabe ao professor conduzir e 

organizar as condições para o desenvolvimento do trabalho engajado dos alunos. Para isso, 

duas questões iniciais são fundamentais: 

1. Quais os objetivos da pesquisa? (Pesquisar o quê? E para quê?); 

2. Quais são os dados necessários para alcançarmos os objetivos? (Quais as variáveis?) 

A resposta à pergunta 1 possibilita as primeiras reflexões intuitivas sobre população e a 

decisão sobre a necessidade ou não de utilizar uma amostra. Já a resposta à pergunta 2 irá 

auxiliar na identificação das características daquilo que deve ser coletado, e de que forma será 

obtido, contribuindo para as primeiras aproximações ao conceito de variável. 


Diversas pesquisas podem ser planejadas com as crianças a partir de seus interesses, dúvidas, 

inquietações ou, ainda, para subsidiar o trabalho com conceitos matemáticos e de outras áreas. 

Diversas atividades simples de coleta e organização de dados podem ser realizadas em sala de 

aula e gerar problemas interessantes que desenvolvam a capacidade de relacionar o mundo 

real com representações em forma de esquemas, tabelas e gráficos. Nesse processo, a 

comunicação tem grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a “falar” e 

a “escrever” sobre matemática, a trabalhar com representações gráficas, desenhos, 

construções, a aprender como organizar e tratar dados (PCN-Matemática, 1998, p.19). 

O exemplo a seguir apresenta a produção de um aluno para uma atividade em que a 

professora organizou de forma coletiva a montagem de um gráfico dos meses de aniversário 

das crianças. A partir deste gráfico, formulou problemas de comparação e interpretação de 

dados. 


Atividades envolvendo o contexto probabilístico 

O jogo da soma: lançar dois dados, observar os pontos registrados na face superior de cada 

um deles e somar os resultados. 

Em um primeiro momento, vamos pensar no jogo em si. Antes que os dados se imobilizem, 

temos como saber quais as faces que sairão? O lançamento dos dados pode ser reproduzido 

tantas vezes quantas queiramos? Os resultados possíveis podem ser identificados? Se as 

respostas a estas perguntas forem afirmativas, estamos diante de um experimento aleatório. 

Um experimento aleatório está sendo realizado quando: tem a intervenção do acaso, pode ser 

reproduzido nas mesmas condições iniciais, os resultados possíveis podem ser identificados a 

priori, mas não se pode determinar o resultado final. Neste caso, poderemos dizer que 

estamos trabalhando em um problema no contexto probabilístico. 

Voltemos aos dados: Quais as somas possíveis quando lançamos dois dados? A tabela de 

dupla entrada abaixo apresenta todas as possibilidades de resultado dos dois lançamentos 

simultâneos. 

1 2 3 4 5 6 

1 2 3 4 5 6 7 

2 3 4 5 6 7 8 

3 4 5 6 7 8 9 

4 5 6 7 8 9 10 

5 6 7 8 9 10 11 


6 7 8 9 10 11 12 

Se você tivesse que apostar, em qual soma você apostaria? Por quê? 

Determinar a priori as possibilidades de resultado para este jogo é uma das atividades que se 

pode realizar em sala e envolve o conceito de possibilidades. Quando, a partir disso, queremos 

saber a “chance” de uma aposta, estamos no contexto da probabilidade. No entanto, podemos, 

antes disso, realizar atividades exploratórias, que são fundamentais para compreender 

diversos conceitos. Vamos jogar? 

Cada dupla se organiza com um papel, lápis, dois dados e um copinho que será usado para 

misturar os dados e lançá-los sobre a mesa. Cada jogador anota sua aposta antes do início do 

jogo. Os jogadores lançam os dados alternadamente, 10 vezes cada. O número de vezes pode 

ser negociado de acordo com os objetivos da atividade, de acordo com o nível de 

escolaridade, etc. mas, quanto maior o número de lançamentos, mais fácil será a percepção 

das conclusões do jogo. Todos estes detalhes fazem parte do planejamento didático da 

atividade e mudanças neste planejamento acarretam mudanças nas estratégias dos alunos para 

a resolução do problema. 

Ao final das jogadas, podemos começar a organizar os resultados obtidos. É um primeiro 

contato com a idéia de variação, por meio da observação da seqüência de resultados 

observados. Com atividades deste tipo levamos os alunos a compreender termos básicos, 

usados comumente nos meios de comunicação diante de assuntos relacionados à ciência, 

como veremos a seguir. Em um nível seguinte, trabalharíamos a capacidade de conversar, ler 

e escrever informações utilizando este vocabulário de forma adequada. Assim, se desenvolve 

o que chamamos de “alfabetização estatística”. 

Cada dupla pode construir, em papel quadriculado, uma primeira representação de seus 

resultados. Com lápis de cor e imaginação, as duplas podem criar uma primeira “versão” do 


que mais tarde virá a ser um diagrama de colunas, colorindo um quadradinho acima do valor 

obtido em cada jogada da dupla. 

Com o diagrama pronto, podemos debater com os alunos questões como: É possível 

obtermos uma soma igual a 1? E igual a 15? 

Com esta atividade, o número passa a ter mais um significado: o número de vezes que cada 

soma ocorre. Então, esse seria o terceiro significado neste problema específico: o primeiro foi 

o significado de rótulo da face do dado que ficou voltada para cima; o segundo foi o 

significado de soma dos valores lidos. 

Com este mesmo problema, podemos ainda explorar o conceito de porcentagem: basta 

pensarmos em freqüências relativas, ao invés de freqüências absolutas. Isso significa passar 

da simples contagem do número de vezes que se obteve cada resultado, comparando os 

resultados absolutos, para uma “comparação” mais apurada que leva em conta a 

representatividade de cada resultado em relação ao total de jogadas, ou seja, que porcentagem 

cada resultado é do total de jogadas. 

Como você pode notar, as possibilidades de articulação com diversos conceitos matemáticos 

que um jogo como este proporciona, quando bem planejado, são grandes! Além de 

desenvolver uma postura investigativa, por meio de atividades de resolução de problemas, é 

possível explorar conteúdos matemáticos que utilizem o raciocínio estatístico como 

ferramenta principal: significado de número, ordenação, operações, frações, porcentagens, 

números decimais, localização no plano (gráficos de pontos, gráficos de colunas e/ou barras). 

Com este mesmo jogo, podemos ainda explorar o conceito intuitivo de probabilidade, e neste 

caso vamos usar o termo “chance”. 


Qual o resultado que tem a maior chance de ser observado: o 4 ou o 8? Por quê? 

Este é um momento importante para trabalhar com as crianças o fato de que a ocorrência de 

um resultado no lançamento do dado não interfere nos próximos lançamentos. Para que 

poderia servir, então, a informação sobre resultados anteriores? No máximo, para nos dar uma 

dica se os dados não estão viciados! 

Para finalizar... 

Como os exemplos mostram, podemos planejar atividades que levem os alunos a resolver 

problemas interessantes, algumas vezes lúdicos, que atraem o interesse e mostram uma forma 

gostosa e correta de se fazer matemática: de forma integrada, sem repartições estanques, 

isoladas. 

Um trabalho que permita a resolução de problemas contextualizados nos temas relativos ao 

Bloco Tratamento da Informação depende muito de um trabalho colaborativo, tanto entre os 

professores como entre os alunos e, principalmente, entre alunos e professores. 

Os jogos e situações simples podem ser um bom contexto para o trabalho com a 

probabilidade, sem que nos limitemos às situações de mesma chance de ocorrência 

(eqüiprobabilidade). O mais importante é que a criança perceba que aquilo que ela está 

observando é um experimento aleatório (no qual pode ser percebida a ação do acaso no 

decorrer do desenvolvimento do processo observado: os resultados possíveis podem ser 

identificados mas não determinados a priori). Afinal, sem o acaso não podemos falar de 

probabilidades. 

Pontos para reflexão... 


Na discussão do jogo de dados, apresentamos uma tabela com as possibilidades de resultados 

dos dois lançamentos e uma proposta de representação gráfica dos resultados obtidos após um 

certo número de jogadas. Pensando nestas representações, responda: 

Qual a vantagem entre uma representação gráfica e uma representação em forma de tabela? 

Que tipo de informações se pode tirar de uma ou de outra representação? 

Após várias jogadas dos dois dados, você acha que todos os resultados ocorrem um mesmo 

número de vezes? Por quê? Para fazer uma nova aposta, você prefere observar a tabela com 

as possibilidades de resultado ou o gráfico com os resultados obtidos numa jogada anterior? 

Por quê? 

Notas: 

Professora no Departamento de Matemática da Universidade do Rio de 


2 Professora no Programa de Estudos Pós-graduados em Educação 

Matemática da PUC-SP. 


Presidência da República 

Ministério da Educação - MEC 

Secretaria de Educação a Distância - SEED 

TV ESCOLA SALTO/PARA O FUTURO 

Diretoria do Departamento de Produção e Capacitação em Educação a Distância 

Coordenação Geral de Produção e Programação 

Coordenação Geral de Capacitação 

Supervisora Pedagógica 

Rosa Helena Mendonça 

Coordenadoras de Utilização e Avaliação 

Mônica Mufarrej e Leila Atta Abrahão 

Copidesque e Revisão 

Magda Frediani Martins 

Diagramação e Editoração 

Equipe do Núcleo de Produção Gráfica de Mídia Impressa 

Gerência de Criação e Produção de Arte 

Consultora especialmente convidada 

Elizabeth Belfort 

Colaboração de Ana Teresa de Carvalho Correa de Oliveira e Mônica Mandarino 

Email: salto@tvebrasil.com.br 

Home page: www.tvebrasil.com.br/salto 

Rua da Relação, 18, 4º andar. Centro. 

CEP: 20231-110 – Rio de Janeiro (RJ) 

Agosto/Setembro 2006

Discutindo Práticas em Matemática - TV Brasil

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