Matematik for de nysgerrige eller nørdede

11. Matematiske Beviser
62
plads til et nyt som er forskelligt fra dem. Med andre ord har vi vist at
man ikke kan tælle de reelle tal. Q.E.D
11.3 Er √ 2 et rationelt tal?
Vi kan ogs˚a BEVISE at √ 2 er et irrationelt tal.
Beviset er af en type hvor vi antager det modsatte og viser at den antagelse
fører til en modsigelse. Det er en snedig matematisk bevisførelse
som kaldes ”reductio ad absurdum”.
Antag at √ 2 er rationel, dvs. at √ 2 kan skrives som en brøk a
b . Antag
ogs˚a at a og b ikke har nogen fælles divisor. Det vil sige vi forudsætter
at der ikke findes tal k, c, d s˚a a = kc og b = kd.
For hvis det var tilfældet kunne vi skrive √ 2 = a kc
b = kd . Efterfølgende
kunne vi s˚a forkorte k væk, og bare benytte c og d i stedet for a og b.
Men hvis det gælder at
√ a
2 =
b
s˚a kan vi kvadrere begge sider:
2 = a2
b 2
og ved at gange (p˚a begge sider) med b 2 ,
2b 2 = a 2
Da 2b 2 er et lige tal 1 betyder det (da det er en ligning) at a 2 ogs˚a
er lige. Men for at kvadratet af et tal skal være lige m˚a tallet selv være
lige 2 . Det vil sige at a kan skrives som 2c. Det sætter vi nu ind i den
oprindelige ligning:
√ a 2c
2 = =
b b
som vi kvadrerer til 2 = 4c2
b 2 . Det betyder at b 2 = 2c 2 , det vil sige at b 2
er lige. Men hvis b 2 er lige m˚a b ogs˚a være lige og det kan vi skrive som
b = 2d.
Vi har nu fundet ud af at a = 2c og b = 2d men hov! a og b har nu en
fælles faktor 2. Dette er i MODSTRID mod hvad vi antog til at starte
med. Det vil sige antagelsen om at √ 2 var rationel (kunne skrives som
en brøk af to hele tal) ikke kan være rigtig. Vi har dermed bevist at √ 2
er et irrationelt tal. Q.E.D
1Lad os gange alle tal fra 1 til 9 med 2: (2,4,6,8,10,12,14,16,18) hmm. de er alle
lige...
2Lad os kvadrere de ulige tal fra 1 til 9: (1, 9, 25, 49, 81) hmm de er alle ulige...