Numerisk løsning af en integralligning fra en antennemodel

10 Matematisk modellering
= µ
L/2
4π −L/2
2π
0
e
Jz
−jkR
R a dφ′ dz ′ . (2.17)
Hvis antennen er meget tynd afhænger strømtætheden Jz ikke af azimuthal vinklen φ, derfor
gælder det at
2πaJz = Iz(z ′ ) ⇒ Jz = 1
2πa Iz(z ′ ) (2.18)
hvor Iz(z ′ ) angiver den strøm, der løber i radial afstand ρ = a langs antennens z-akse, som vist
i figur 2.6. Dermed reduceres (2.17) til
hvor R er givet ved
Az = µ
L/2
4π −L/2
1
2πa
2π
0
Iz(z ′ ) e−jkR
a dφ′ dz
R ′
R = (x − x ′ ) 2 +(y − y ′ ) 2 +(z − z ′ ) 2
(2.19)
= ρ 2 + a 2 − 2ρa cos (φ − φ ′ )+(z − z ′ ) 2 (2.20)
her angiver ρ den radiale afstand fra antennen til observationspunktet og a angiver antennens
radius.
Pga. symmetri i det udg˚aende elektriske felt, afhænger observationerne ikke længere af vinklen
φ. Derfor vælges φ = 0. Desuden bevirker randbetingelserne p˚a overfladen af antennen, at zkomponenten
af det elektriske felt forsvinder, dvs. ρ = a. Det betyder at
L/2
Az(ρ = a) = µ Iz(z ′ 2π
1 e
)
2π
−jkR
4πR dφ′
dz ′
= µ
−L/2
0
L/2
Iz(z
−L/2
′ )G(z, z ′ ) dz ′
hvor G(z, z ′ ) er Green’s funktion og kaldes den eksakte kerne. Det gælder at
Og for ρ = a er R givet ved
G(z, z ′ )= 1
2π
R(ρ = a) =
2π
0
4a 2 sin 2
φ ′
(2.21)
e −jkR
4πR dφ′ . (2.22)
2
+(z − z ′ ) 2 . (2.23)
For ρ = a kan z-komponenten af det inducerede/udg˚aende elektriske felt skrives som
E s
1
z (ρ = a) =−j k
ωɛ
2 + ∂2
∂z2 L/2
Iz(z
−L/2
′ )G(z, z ′ ) dz ′ , (2.24)
som ved brug af (2.13) omskrives til
−j 1
2 L/2
∂
+ k2 Iz(z
ωɛ ∂z2 −L/2
′ )G(z, z ′ ) dz ′ = −E i z(ρ = a) (2.25)
eller ∂ 2
+ k2
∂z2 L/2
Iz(z
−L/2
′ )G(z, z ′ ) dz ′ = −jωɛE i z (ρ = a). (2.26)