Numerisk løsning af en integralligning fra en antennemodel

4.4 Bestemmelse af Hallén’s konstant 31
Alts˚a f˚as følgende udtryk for Sj(x), idet vi har udnyttet at xj−1 = xj − h
Sj(x) = 1
(xj − x)i1 − i2 g(xj−1) −
h
1
(xj−1 − x)i1 − i2 g(xj). (4.38)
h
Den diskrete form af integralligningen er givet ved
Indsættes (4.38) i (4.39) f˚as
j=1
n
Sj(x) =D1(xi), ∀ i =0, . . . , n. (4.39)
j=1
n 1
(xj − x)i1 − i2 g(xj−1) −
h
1
(xj−1 − x)i1 − i2 g(xj) =D1(xi), ∀ i =0, . . . , n. (4.40)
h
Vi har tidligere, i forbindelse med interpolationen benyttet relationen g(y) = u(y)f(x, y). I
den diskrete form af integralligningen (4.40), erstattes g(xj−1) og g(xj) derfor af henholdsvis
f(xi,xj−1)uj−1 og f(xi,xj)uj. Her har vi indført approksimationerne uj−1 ≈ u(xj−1) samt
uj ≈ u(xj).
Dermed kan den diskrete form af Hallén’s integralligning skrives
1
h
n
j=1
hvor i =0, . . . , n.
(xj − x)i1 − i2 f(xi,xj−1)uj−1 − (xj−1 − x)i1 − i2 f(xi,xj)uj = D1(xi), (4.41)
En numerisk løsning af Hallén’s integralligning med 2 produkt trapez metoden, kan nu bestemmes
ved at implementere (4.41). Dermed opstilles et lineært ligningssystem med n+1 ligninger i n+1
ubekendte. Løses dette system med hensyn til vektor u, f˚as strømmen i antennen.
4.4 Bestemmelse af Hallén’s konstant
Som nævnt tidligere kendes parameteren C1 i Hallén’s integralligning ikke p˚a forh˚and. Derimod
skal parameteren C1, kaldt Hallén’s konstant, bestemmes s˚aledes at randbetingelsen I(L/2) = 0
er opfyldt. Randbetingelsen udtrykker at strømmen i enden af dipol antennen er nul, hvilket er
en rimelig antagelse set ud fra en fysisk betragtning. Følgende randbetingelse er gældende
I − L
L
= I =0. (4.42)
2 2
Hallén’s konstant C1 kan bestemmes ved at opfatte I(L/2), som en funktion af C1. Derfor
defineres funktionen
L
ϕ(C1) =I
2
(4.43)
hvor I er løsningen svarende til C1. Det betyder at vi søger en numerisk løsning til ligningen
ϕ(C1) = 0. (4.44)
2 Løsning af Hallén’s integralligning med produkt trapez metoden findes i filerne ”hallenProductTrapez.m”
(Matlab) samt ”hallenProductTrapez original.nb” (Mathematica). Se bilag E for indhold af CD.