Numerisk løsning af en integralligning fra en antennemodel

7.1 Diskussion 53
I det følgende opsummeres de væsentligste observationer, som er blevet gjort i forbindelse
med numerisk løsning af Hallén’s ligning for dipol antennen.
• Diskontinuitet i punktet x = 0 for højresiden D1 (4.3) i Hallén’s ligning (4.1), er den direkte
˚arsag til de kraftige svingninger omkring centrum af dipol antenne.
• For svingningerne i centrum af antennen gælder:
De er en konsekvens af Delta gap modellen, idet antennen ”klippes” over p˚a midten,
dermed løber der ingen strøm i centrum af antennen.
De opst˚ar tilsyneladende, n˚ar antallet af diskretiseringspunkter bliver større end værdien
L/a - dvs. n˚ar n > L/a, hvor L angiver længden af antennen og a angiver
antennens radius.
De bliver kraftigere efterh˚anden som antallet af iterationer n øges.
De er primært for˚arsaget af den imaginære del af strømmen.
De kan elimineres ved at ændre modellen - f.eks. ved at gøre højresiden D1 differentiabel
i punktet x = 0.
• Udseendet af kernen K (4.2) i Hallen’s ligning, betyder at der opst˚ar svingninger i enderne
af dipol antennen.
• For svingningerne i enderne af antennen gælder:
De er en konsekvens af at Hallén’s ligning ikke har en integrabel analytisk løsning -
dvs. Picard betingelsen ikke er opfyldt.
De synes at opst˚a, n˚ar antallet af diskretiseringspunkter overskrider den vigtige parameter
L/a.
De bliver kraftigere efterh˚anden som antallet af iterationer n øges.
De er repræsenteret i b˚ade den reelle og den imaginære del af stømmen.
De har indfyldelse p˚a størrelsen konditionstallet for koefficientmatricen i det diskrete
system. Konditionstallet vokser i takt med svingningernes størrelse.
7.1 Diskussion
I dette afsnit diskuteres alternative modeller for den lineære cylindriske dipol antenne, som
gør at der eksisterer løsninger til henholdsvis Hallén’s og Pocklington’s integralligninger. Vi har
konstateret at kernen K i Hallen’s ligning er den primære˚arsag til, at der ikke findes en integrabel
analytiske løsning - og dermed ingen numerisk stabil løsning. I dette projekt har vi brugt den
s˚akaldte approksimerede eller reducerede kerne, som her betegnes Kap, iHallén’s ligning. Modsat
den eksakte kerne, som betegnes Kex. I afsnit 2.3, s˚a vi at den approksimerede kerne Kap, er
givet ved
mens det den eksakte kerne Kex(x, y) er givet ved
Kap(x, y) = 1 e
4π
−ik√a2 +(x−y) 2
, (7.1)
a2 +(x− y) 2
Kex(x, y) = 1
4π2 π
0
e −ik
s
4a 2 sin 2
4a 2 sin 2
φ ′
2 +(x−y) 2
φ ′
2 +(x − y) 2
dφ ′ . (7.2)