Numerisk løsning af en integralligning fra en antennemodel

54 Sammenfatning
Det viser sig imidlertid, at hvis den approksimerede kerne Kap (7.1) erstattes af den eksakte
kerne Kex (7.2), s˚a eksisterer der løsninger til henholdsvis Hallén’s og Pocklington’s integralligninger
for den lineære cylindriske dipol antenne. I artiklerne [6] og [7], anvendes den eksakte
kerne (7.2) i henholdsvis Hallén’s og Pocklington’s integralligninger. I det følgende gives et overblik
over de vigtigste resultater fra disse artikler
• B˚ade Hallén’s og Pocklington’s ligninger har unikke løsninger for den eksakte kerne.
• Det bevises at disse løsninger er velstillet - dvs. de afhænger kontinuert af data g, hvor g
angiver højresiden i ligningerne.
• I [6] nævnes det, at hvis g ∈ L p (0, 1), s˚a er løsningen u for henholdsvis Hallén’s og Pocklingtion’s
ligninger kontinuert og afgrænset af randbetingelsen u(0) = u(1) = 0.
• I enderne af antennen opfylder løsningen u(x) =O( x(1 − x)) for x ≈ 0, 1.
• Der implementeres forskellige diskretiseringsalgoritmer :
– Galerkin’s metode med forskellige vægt- og basisfunktioner.
– Collocation (n˚ar den relative fejl ≥ 1%).
– Forskellige adaptive metoder, som ikke bruger ækvidistant interpolation.
• I b˚ade [6] og [7] anerkendes problemerne med kraftige svingninger omkring centrum samt
i enderne af antennen, n˚ar den approksimerede kerne benyttes.
• Det nævnes, at man ikke præcis er klar over, hvad ”løsningen” for henholdsvis Hallén’s og
Pocklingtion’s ligninger med den approksimerede kerne repræsenterer.
7.2 Konklusion
Dette projektet har vist, at man skal være p˚apasselig med at stole p˚a de numeriske løsninger
af henholdsvis Hallén’s og Pocklington’s integralligninger, n˚ar den approksimerede kerne anvendes.
Vi har set, at der skal mange iterationer til for at det bliver klart, at løsningen er kraftigt
svingende og dermed ubrugelig. I mange lærebøger vises numeriske løsninger af Hallen’s og Pocklington’s
integralligninger. Disse løsninger er ofte bestemt med den approksimerede kerne, samt
for et forholdsvis lille antal iterationer. Dermed ser løsningen ud til at være pæn og konvergent,
men faktum er at det ikke er tilfældet, og at der ikke eksisterer en velstillet numerisk løsning.
I langt hovedparten af den litteratur, som er studeret i dette projekt ”glemmer” man at nævne
problemerne omkring numerisk løsning af Hallén’s og Pocklington’s ligninger. Problematikken
omkring de forskellige kernefunktioner nævnes typisk heller ikke.
Det er blevet vist, at Hallén’s integralligning diskretiseret med henholdsvis trapez metoden
og produkt trapez metoden ikke har en velstillet numerisk løsning. Det underliggende diskrete
system er blevet analyseret vha. den diskrete Picard betingelse. Konklusionen er at ˚arsagen til
der ikke findes en velstillet numerisk løsning, er den anvendte beregningsmodel. Ved at bruge en
anden beregningsmodel for den lineære cylindriske dipol antenne, kan man bestemme en velstillet
konvergent løsning.