Numerisk løsning af en integralligning fra en antennemodel

Kapitel 7
Sammenfatning
Det overordnet problem i dette projekt har været at analysere og implementere numeriske
metoder til løsning af en integralligning i en antennemodel. Den primære fokus har været p˚a
modellen for den lineære cylindriske dipol antenne. For denne atennemodel, er der blevet udledt
to integralligninger - henholdsvis Hallén’s integralligning og Pocklingtion’s integralligning. Hovedvægten
i projektet har været p˚a Hallén’s ligning, som er blevet løst med to forskellige diskretiseringsmetoder
- trapez metoden og produkt trapez metoden. I begge tilfælde er spændingskilden
for dipol antennen modelleret vha. Delta gap modellen, som blev beskrevet i afsnit 2.2.1.
Rammerne i dette projekt har primært været, at bestemme numeriske løsninger til Hallén’s
integralligning. Den beregningsmodel der har dannet grundlag for de numeriske implementationer,
har imidlertid vist sig at være utilstrækkelig - forst˚aet p˚a den m˚ade at konsekvensen af
at der ikke findes en analytisk integrabel løsning til Hallén’s ligning, er at der heller ikke findes
en numerisk stabil løsning. I hvert fald ikke for de diskretiseringsmetoder vi har undersøgt.
Det kunne derfor være interessant at undersøge, om problemerne med bestemmelse af en
numerisk løsning til Hallén’s ligning ogs˚a gør sig gældende for Pocklington’s integralligning. Til
dette form˚al har vi implementeret den s˚akaldte Moment metode, og anvendt den til diskretisering
af Pocklington’s integralligning. Vi nøjes her med at angive detaljerne af denne test. Yderligere
resultater fremg˚ar af bilag D.
Det viser sig, at de samme problemer ogs˚a gør sig gældende for numerisk løsning af Pocklington’s
ligning diskretiseret med Moment metoden. Af bilag D fremg˚ar det, at den numeriske løsning
ikke konvergerer til et brugbart resultat. Som det var tilfældet med Hallén’s ligning, opst˚ar der
oscillationer omkring centrum af antennen (nær punktet x = 0) samt i enderne af antennen (nær
punkterne x = −L/2 og x = L/2). Igen er svingningerne i enderne af antennen den primære˚arsag
til at løsningen ikke konvergerer. Diskretisering af Pocklington’s ligning med moment metoden
giver dermed ogs˚a et diskret system, som er ill-posed. Dog synes værdierne for konditionstallet af
koefficientmatricen i Pocklington’s tilfælde, at være mindre en de tilsvarende værdier for Hallen’s
ligning diskretiseret med henholdsvis trapez metoden og produkt trapez metoden.
M˚aske er det ikke overraskende, at den numeriske løsning af Pocklington’s ligning diskretiseret
med Moment metoden, ogs˚a lider under at det diskrete system er ill-posed. I den forbindelse er
det værd at huske, at Hallén’s ligning er en udledning af Pocklington’s ligning. Vi kan blot konstatere,
at den form af Pocklington’s ligning vi har fokuseret p˚a ikke kan bruges til bestemmelse
af strømmen i den lineære cylindriske dipol antenne.