Numerisk løsning af en integralligning fra en antennemodel

3.3 Betingelser for løsning af Fredholm integralligninger af 1. art 21
hvor funktionerne vi og ui kaldes singulære funktioner til L og µi kaldes singulære værdier til L.
Det gælder desuden, at
L ∗ ui = 1
L ∗ Lvi = µivi. (3.22)
µi
Til operatoren L hører alts˚a funktionerne ui og vi. Der gælder følgende sammenhæng mellem
disse funktioner
Lvi = µiui, L ∗ ui = µivi. (3.23)
Ved hjælp af de singulære funktioner samt de sigulære værdier, kan integralkernen K, ifølge
[10] skrives som summen
∞
K(x, y) = µiui(x)vi(y). (3.24)
i=1
Funktionerne ui og vi er ortonormale mht. til det indre produkt - dvs. (ui,uj) = (vi,vj), hvor
( , ) er defineret ved
(φ, ψ) ≡ φ(y)ψ(y) dy. (3.25)
De singulære værdier µi for K er positive, og kan altid ordnes s˚aledes
µ1 ≥ µ2 ≥ µ3 ≥ ...≥ 0. (3.26)
En vigtig sammenhæng mellem de singulære funktioner og de singulære værdier er udtrykt
i ligningen
b
a
K(x, y)vi(y) dy = µiui(x) i =1, 2, . . . , (3.27)
som viser at enhver singulære vektor ui mappes over i den tilhørende vektor vi. Yderligere virker
µi, som en forstærkning af denne mapping. Indsættes (3.27) og (3.24) i integralligningen (3.13),
f˚as ligningen
∞
∞
µi(vi,f)ui(x) = (ui,g)ui(x), (3.28)
i=1
som giver anledning til løsningen af (3.13), nemlig
∞ (ui,g)
f(y) = vi(y). (3.29)
i=1
Betingelsen for at f eksisterer, er at højresiden i (3.29) konvergerer. Af (3.29) ses det at f er
udtrykt ved de singulære funktioner vi samt koefficienterne (ui,g)/µi. Løsningen f kan derfor
findes, ved at analysere koefficienterne (ui,g)/µi samt funktionerne vi.
3.3.2 Picard betingelsen
Af afsnit 3.3.1 fremg˚ar det, at en hvilken som helst højreside g i (3.13), ikke giver en pæn
integrabel løsning f. Faktisk skal højresiden g være pænere end den ønskede løsning, for at sikre
at (3.29) konvergerer til løsningen f. Dette er formuleret i den s˚akaldte Picard betingelse
∞
(ui,g) 2
< ∞. (3.30)
i=1
µi
Picard betingelsen udtrykker, for et bestemt sted i summen, at den absolutte værdi af koefficienterne
(ui,g) skal aftage hurtigere end den tilhørende singulære værdi µi, for at der findes en
integrabel løsning f til (3.13).
µi
i=1