Numerisk løsning af en integralligning fra en antennemodel

14 Matematisk modellering
2.6 Asymptotisk opførsel af Hallén’s integralligning
Vi ønsker at bestemme en numerisk løsning til Hallén’s integralligning. Men kigger vi imidlertid
lidt nærmere p˚a Hallén’s ligning, fremg˚ar det ikke umiddelbart som et trivielt problem at
bestemme en numerisk løsning.
Lad os betegne kernen i (2.34) G(z, z ′ ), da ses det at G(z, z ′ ) er en forholdsvis pæn og skikkelig
funktion. Anderledes er det med højresiden af (2.34). Her indg˚ar leddet C2 sin(k|z|), som har
diskontinuitet i punktet z = 0. Rent intuitivt virker det modstridende at integrere, en i forvejen
pæn og integrabel funktion, G(z, z ′ ), for derefter at f˚a en funktion (højresiden i (2.34)) der er
diskontinuert. Det er velkendt at integraloperatoren har en ”udglattende” effekt p˚a funktioner,
men det synes ikke at være tilfældet her. For at dette skal være opfyldt, kræver det imidlertid
at Iz(z ′ ) ikke er en integrabel funktion. Vi skal i det følgende se at det faktisk er tilfældet.
Vi har at h
I(z
−h
′ )K(z − z ′ ,a)dz ′ = i
η
hvor i = √ −1 angiver den imaginære enhed. Kernen er givet ved
K(z, a) = 1
4π
C2
2 sin(k|z|)+C1 cos(kz) (2.43)
eik√z2 +a2 √ . (2.44)
z2 + a2 Ligning (2.43) kan ikke have nogen analytisk løsning, hvis C2 = 0. Eller mere præcist, hvis I(z)
er integrabel - dvs. hvis integralet
h
−h
|I(z)| dz (2.45)
eksisterer.
˚Arsagen til (2.43) ikke har nogen løsning, er groft sagt følgende. Som det fremg˚ar af (2.44)
er K(z, a) en analytisk funktion af z, n˚ar z er reel. Derfor er venstresiden af (2.43) analytisk n˚ar
z er reel, mens højresiden har en diskontinuert differentialkvotient. Et formelt bevis herfor er i
følge [1] givet ved:
For z ≥ h defineres
α(z) =
samt følgende Fourier transformationer
¯V (ζ) =
h
−h
h
I(z
−h
′ )K(z − z ′ ,a) dz ′
Ī(ζ) =
¯K(ζ, a) =
h
−h
∞
−∞
(2.46)
I(z)e iζz dz (2.47)
K(z, a)e iζz dz (2.48)
i C2
η 2 sin(k|z|)+C1
cos(kz) e iζz dz (2.49)
¯α(ζ) =
∞
Da følger det af (2.43) og (2.46) samt reelle værdier af ζ, at
h
α(z)e iζz dz. (2.50)
Ī(ζ) ¯ K(ζ, a) = ¯ V (ζ) + ¯α(ζ) + ¯α(−ζ). (2.51)