Numerisk løsning af en integralligning fra en antennemodel

4.1 Visualisering af funktioner i Hallén’s integralligning 25
4.1.1 Visualisering af kernen
Kernen K(x, y) iHallén’s integralligning er symmetrisk - dvs. K(x, y) =K(y, x). At kernen
er symmetrisk er normalt en positiv egenskab, idet symmetrien i nogle tilfælde overføres til
koefficientmatricen i ligningssystemet. En symmetrisk koefficientmatrix er attraktiv set ud fra
et numerisk synspunkt, eftersom løsning af ligningssystemet dermed bliver væsentligt lettere at
h˚andtere. Om symmetri i integralkernen medfører symmetri i koefficientmatricen for det diskrete
system, afhænger i høj grad af hvilken diskretiseringsmetode der anvendes.
Betragtes kernen K(x, y) i (4.2) ses det at K : R 2 → C - alts˚a er kernen K en kompleks
funktion. Yderligere er kernens koncentration domineret langs linien x = y. Figur 4.1 viser et
tredimensionelt plot af kernen K(x, y).
8
6
z
4
2
0
-0.55
-0.25
x
0
0.25
0.5-0.5
0
-0.25
0.5
0.25
Figur 4.1: Tredimensionelt plot af den absolutte
værdi af kernen K(x, y) iHallén’s integralligning.
y
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
y
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4
Figur 4.2: Densitetsplot af den absolutte værdi
af kernen K(x, y) iHallén’s integralligning.
Som det fremg˚ar af figur 4.1, og endnu tydeligere af figur 4.2, er kernen K(x, y) iHallén’s
ligning stærkt domineret langs linien x = y. Dette stiller imidlertid krav til de numeriske metoder,
som skal integrere K(x, y), idet intervalinddelingen dermed skal være meget lille for at opn˚a en
tilfredstillende nøjagtighed. Det betyder derimod at integrationen kræver mange iterationer,
hvilket ikke er ønskeligt.
4.1.2 Visualisering af højresiden
P˚a figur 4.3 ses højresiden D1(x) iHallén’s integralligning. Som det fremg˚ar er højresiden D1(x)
diskontinuert i punktet x = 0. Denne diskontinuitet overføres til den diskrete form af Hallén’s
ligning.
x