Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium ...

Rød certificering 

Finanssektorens Uddannelsescenter 

Kompendium om Aktieoptioner 

Version 1, opdateret den 10. april 2013


INDHOLDSFORTEGNELSE 

BAGGRUND ...................................................................................................................................................... 3 

INDHOLD OG AFGRÆNSNING ........................................................................................................................... 3 

1. INDLEDNING ................................................................................................................................................. 3 

2. OPBYGNING OG STRUKTUR .......................................................................................................................... 4 

2.1 DEFINITION PÅ EN OPTION .................................................................................................................................... 4 

2.2 BØRSNOTERING ................................................................................................................................................. 7 

2.3 TYPER AF OPTIONER ............................................................................................................................................ 8 

2.3.1 Europæiske optioner .............................................................................................................................. 8 

2.3.2 Amerikanske optioner ............................................................................................................................ 9 

2.3.3 Bermuda optioner ................................................................................................................................ 10 

2.3.4 Asiatisk option ...................................................................................................................................... 10 

2.3.5 Himalaya option ................................................................................................................................... 11 

2.4 DEFINITION PÅ EN WARRANT .............................................................................................................................. 12 

3. AFKAST ....................................................................................................................................................... 12 

3.1 AKTIEAFKAST ................................................................................................................................................... 12 

3.2 AFKASTPROFIL PÅ OPTIONER ............................................................................................................................... 14 

3.3 OPTIONSSTRATEGIER ......................................................................................................................................... 15 

3.3.1 Covered Call .......................................................................................................................................... 16 

3.3.2 Protective Put ....................................................................................................................................... 16 

3.3.3 Bull- og Bear spread ............................................................................................................................. 17 

3.3.4 Straddle og Strangle ............................................................................................................................. 19 

3.3.5 Butterfly spread .................................................................................................................................... 21 

4. PRISFASTSÆTTELSE ..................................................................................................................................... 21 

4.1 GENERELT OM PRISFASTSÆTTELSE ........................................................................................................................ 21 

4.2 BLACK-SCHOLES FORMEL ................................................................................................................................... 23 

4.2.1 Betydningen af dividende ..................................................................................................................... 25 

4.2.2 Implicit volatilitet ................................................................................................................................. 25 

4.3 PUT-CALL PARITETEN ........................................................................................................................................ 26 

4.4 KORT OM PRISFASTSÆTTELSE AF AKTIER OG AKTIENØGLETAL ...................................................................................... 26 

4.4.1 P/E, K/I og ROE ..................................................................................................................................... 26 

4.4.2 Gordons vækstformel ........................................................................................................................... 28 

5. RISIKO ........................................................................................................................................................ 29 

side 1 (59) 

Opdateret 10. april 2013 

© FINANSSEKTORENS UDDANNELSESCENTER


5.1 RISIKOMÅL FOR AKTIER ...................................................................................................................................... 30 

5.2 BEREGNING AF KONFIDENSINTERVAL .................................................................................................................... 31 

5.3 MODPARTSRISIKO PÅ OPTIONER .......................................................................................................................... 33 

5.4 NØGLETAL FOR OPTIONER .................................................................................................................................. 33 

5.4.1 Delta ..................................................................................................................................................... 34 

5.4.2 Gamma ................................................................................................................................................. 35 

5.4.3 Theta .................................................................................................................................................... 36 

5.4.4 Vega ..................................................................................................................................................... 36 

5.4.5 Rho ....................................................................................................................................................... 37 

5.5 GEARINGSEFFEKT VED KØB AF OPTIONER ............................................................................................................... 37 

6. OMKOSTNINGER ........................................................................................................................................ 38 

7. RÅDGIVNING .............................................................................................................................................. 38 

7.1 ANVENDELSE AF OPTIONER TIL RISIKOAFDÆKNING ................................................................................................... 38 

7.1.1 Deltahedge ........................................................................................................................................... 38 

7.1.2 Anvendelse af indeksoptioner .............................................................................................................. 39 

7.2 DÆKKEDE OPTIONSUDSTEDELSER VED REBALANCERINGSSTRATEGIER ........................................................................... 40 

8. BRUGEN AF KOMPENDIET .......................................................................................................................... 41 

9. KILDEHENVISNING ...................................................................................................................................... 42 

10. REGNEOPGAVER ....................................................................................................................................... 43 

11. OPDATERINGER AF NÆRVÆRENDE DOKUMENT ....................................................................................... 58 

12. LISTE OVER KOMPENDIER OM RØDE INVESTERINGSPRODUKTER ............................................................. 59 

side 2 (59) 




BAGGRUND 

Ansatte, der yder investeringsrådgivning om investeringsprodukter omfattet af § 4, stk. 4, i 

Bekendtgørelse om risikomærkning af investeringsprodukter, skal bestå en prøve, jf. § 5 i 

Bekendtgørelse om kompetencekrav til personer, der yder rådgivning om visse investerings- 

produkter. Prøven skal være bestået senest den 1. december 2012. Med tre års mellemrum 

skal den ansatte bestå en ny prøve. Efter den 1. december 2012 må man derfor ikke yde 

rådgivning, medmindre man har bestået prøven. 

INDHOLD OG AFGRÆNSNING 

Indholdet i dette kompendium er målrettet - og afgrænset til - at afdække de principielle 

forhold omkring produktet, som er relevante for de generelle kompetencekrav, der stilles via 

nye lovkrav til ansatte, der yder investeringsrådgivning om investeringsprodukter omfattet af 

§ 4, stk. 4, i Bekendtgørelse om risikomærkning af investeringsprodukter. 

Det er de kompetencekrav, som rådgiverne vil blive stillet spørgsmål i ved den røde certifice- 

ringsprøve. De centrale elementer i kompendiet er: 

Opbygning og struktur 

Afkast 

Prisfastsættelse 

Risiko 

Omkostninger 

Rådgivning 

1. INDLEDNING 

Aktieoptioner er en type finansielle kontrakter, der adskiller sig fra eksempelvis forwards og 

futures ved deres asymmetriske afkast/risiko profil. Det er et marked, som siden starten af 

1970’erne er vokset markant, og i dag anvendes optioner i stor udstrækning til både ren 

spekulation og som afdækningsinstrument. 

side 3 (59) 




Udviklingen overordnet set på optionsmarkedet har bevæget sig fra primært at være stan- 

dardiserede børsnoterede optionskontrakter til i større grad at bestå af produkter, der hand- 

les Over The Counter (OTC). Denne udvikling har medført mange nye optionstyper, da det er 

muligt at skræddersy produktet til kundens behov. Denne udvikling har dog været knap så 

udpræget for aktieoptioner, som stadig primært handles via børser. Den lette adgang til 

handel samt de mange aktører er med til overordnet at sikre et meget likvidt marked. 

2. OPBYGNING OG STRUKTUR 

2.1 Definition på en option 

Generelt set kan optioner defineres som rettigheder til at købe eller sælge et bestemt aktiv 

til en på forhånd aftalt pris. Ved aktieoptioner kan aktivet således både være enkeltaktier, 

nærmere definerede porteføljer eller aktieindeks såsom eksempelvis OMXC20, FTSE 100, 

Nikkei 225 eller S&P 500. Den bestemte aktie eller aktieindeks kaldes det underliggende 

aktiv, mens den aftalte kurs i en option kaldes strike eller aftalekurs, og den kan som navnet 

antyder frit aftales. Optioner har en fast udløbsdato, og denne kan som udgangspunkt også 

frit aftales. Dette gælder dog ikke for børsnoterede kontrakter – mere om det senere. 

Køberen af en option kaldes ofte erhververen, og det er denne part, der opnår en rettighed 

til at foretage køb eller salg på et bestemt niveau alt efter optionstypen. Bemærk, at erhver- 

veren ikke er forpligtet af optionen, og kan derfor vælge ikke at udnytte sin ret, hvis det er 

ugunstigt. Vælger erhververen at udnytte optionen, kaldes dette også at ”exercise”. Sælgeren 

af en option kan også kaldes udstederen – eller alternativt at vedkommende har ”skrevet” en 

option. I modsætning til erhververen er udsteder forpligtet af optionen. At det kun er en af 

parterne, der er forpligtet, kan betragtes som den fundamentale forskel mellem for- 

wards/futures og optioner. Da erhververen kan vælge ikke at exercise optionen, er han pr. 

definition afskåret fra downside på den underliggende aktie eller indeks. Omvendt er udste- 

deren afskåret fra upside. Dette kræver udstederen betaling for i form af en præmie på opti- 

onen, som betales i forbindelse med erhvervelsen (up front). 

Retten til at købe et aktiv kaldes en call option. Da købskursen fastlåses, tjener erhververen 

derved penge ved en stigning på kursen i det underliggende aktiv. Payoff kan dermed skri- 

ves som: 

( ) 

side 4 (59) 




hvor S t er kursen på det underliggende aktiv på udnyttelsestidspunktet, og K er den aftalte 

strikekurs. Dette kan illustreres grafisk - her for en option med strikekurs på 50 kr.: 

Figur 1 

Det ses, at payoff på en købt call option svarer til en lang position i det underliggende aktiv 

for spotkurser højere end strikekursen. For at bestemme erhververens samlede profit ved at 

have erhvervet optionen skal man trække den betalte præmie fra payoff. Er kursen på den 

underliggende aktie lavere end strikekursen ved udnyttelse, ender kunden derfor med et tab 

svarende til præmien. 

Erhververen af en put option opnår retten til at sælge et aktiv på et bestemt niveau, og det er 

derfor gunstigt, hvis det underliggende aktiv falder i værdi. Payoff kan her skrives og illu- 

streres som: 

( ) 

side 5 (59) 




Figur 2 

Det ses, at payoff på en købt put option svarer til en kort position i det underliggende aktiv 

for spotkurser lavere end strikekursen. Igen kan kundens samlede profit beregnes ved at 

fratrække den betalte præmie. 

I forbindelse med optioner taler man ofte om, hvorvidt de er out-of-the-money, at-the-money 

eller in-the-money. Dette relaterer sig til forholdet mellem den aktuelle spotkurs og den af- 

talte strikekurs. Følgende gælder for henholdsvis call og put optioner: 

Tabel 1 

Call option Put option 

In-the-money (ITM) S t > K S t < K 

At-the-money (ATM) S t = K S t = K 

Out-of-the-money (OTM) S t < K S t > K 

Det ses her, at ved en option, der er udstedt at-the-money, vil strikekursen være den samme 

som spotkursen på udstedelsestidspunktet. En forward at-the-money option er defineret som 

en option med strikekurs lig med forward/terminsprisen på det underliggende aktiv. Der er 

dog ingen krav til, at strikekursen skal være lig med spot- eller forwardkursen. 

side 6 (59) 




Eksempel: At-the-money og forward at-the-money optioner 

Der udstedes en option på Novo Nordisk aktien med seks måneder til udløb. Spotkursen er i 

øjeblikket 690, mens markedsrenten vurderes at være 1% p.a. kontinuert tilskrevet. En at- 

the-money option vil have en strikekurs på 690, mens strikekursen på en forward at-the- 

money option kan bestemmes som: 

2.2 Børsnotering 

Som nævnt gælder det stadig for aktieoptioner, at disse i udpræget grad handles som børs- 

noterede finansielle kontrakter. På den nordiske børs NASDAQ OMX Nordic tilbydes eksem- 

pelvis handel med optioner på svenske, danske, finske, islandske, norske, baltiske og russi- 

ske enkeltaktier og aktieindeks. Globalt set er den største markedsplads for handel med op- 

tioner den amerikanske Chicago Board Options Exchange (CBOE) 

Børsnoterede aktieoptioner er standardiserede kontrakter for så vidt angår strikekurs, ud- 

løbstidspunkt og kontraktstørrelse. Eksempelvis afregnes optioner på den nordiske børs 

altid den 3. fredag i måneden for udløb. Der handles som regel både call og put optioner 

med forskellige strikekurser og udløbsdatoer på den samme underliggende aktie. Kontrakt- 

størrelsen er typisk 100 stk. af den underliggende aktie, og i tilfælde af, at det underliggen- 

de aktiv er et indeks, multipliceres indeksets værdi med 100. Præmierne på optionerne er 

dog angivet for 1 stk. af den underliggende aktie. Det er muligt at handle blot 1 kontrakt, 

⁄ 

men der handles ofte kontrakter i et antal deleligt med 10. Handles der 10 kontrakter, svarer 

det altså til 1.000 stk. af den underliggende aktie. 

En væsentlig ting ved handel med optioner via børser er kravet til sikkerhedsstillelse. Købe- 

ren af en option kan som nævnt ikke tabe mere end den betalte præmie og skal derfor ikke 

stille sikkerhed. Dette er dog ikke tilfældet for sælger. For løbende at sikre, at sælger kan 

bære et eventuelt tab, opkræves der løbende margin. Dette kan ske enten via indbetaling på 

marginkonto eller ved at stille værdipapirer som sikkerhed. Hvor stort et beløb, der kræves, 

afhænger blandt andet af det underliggende aktivs volatilitet – altså hvor store udsving, der 

er i kursudviklingen. 

side 7 (59) 




2.3 Typer af optioner 

Strukturen i optioner kan overordnet set variere på to punkter – retten til udnyttelse af opti- 

onen (exercise right) og payoff strukturen ved udnyttelse. For så vidt angår retten til udnyt- 

telse betragtes europæisk og amerikansk som de mest almindelige. Nedenfor beskrives både 

de klassiske europæiske og amerikanske optioner, som typisk er dem, der handles på bør- 

serne, og så nogle få eksotiske optioner, der adskiller sig fra disse. Gennemgangen kan ikke 

betragtes som udtømmende. 

2.3.1 Europæiske optioner 

En europæisk option er umiddelbart den mest simple optionstype, og de handles eksempel- 

vis på OMX C20 indekset. En europæisk option er kendetegnet ved, at den kun kan udnyttes 

på et bestemt tidspunkt, nemlig ved udløb. Køber du således en indeksoption med udløb 

den 3. fredag i juni måned, er payoff alene afhængig af kursen på indekset denne ene dag, 

og så selvfølgelig den aftalte strikekurs. Formelt kan payoff for europæiske call og put opti- 

oner skrives som: 

( ) 

( ) 

Her angiver S T , at der er tale om spotkursen på det underliggende indeks på udløbstidspunk- 

tet for optionen. Ud fra dette ses det, at europæiske call optioner ikke er stiafhængige – det 

vil sige, at det endelige payoff alene afhænger af værdien på udløbstidspunktet, og er derfor 

ikke afhængig af, hvordan udviklingen i kursen på det underliggende aktiv har været op til 

den dag. Nedenfor er vist et eksempel på to aktiver med vidt forskellig kursudvikling, men 

som vil give samme payoff ved udløb. 

side 8 (59) 




Figur 3 

2.3.2 Amerikanske optioner 

Amerikanske optioner er også simple optioner i den forstand, at deres payoff bestemmes ud 

fra de generelle formler i afsnit 2.1. Eneste forskel på europæiske og amerikanske optioner 

er, at sidstnævnte kan udnyttes på et vilkårligt tidspunkt i optionens løbetid. Optioner på 

enkeltaktier, der handles på NASDAQ OMX Nordic er eksempelvis amerikanske. Formelt kan 

payoff skrives som: 

( ) 

( ) 

Selvom forskellen mellem en europæisk og en amerikansk option umiddelbart virker lille, 

illustrerer figur 3 meget godt, hvorfor en amerikansk option ofte er mere værd end en tilsva- 

rende europæisk. Antag, at investor har købt en amerikansk call option med en strike på 

kurs 1.000. Ses på aktiv A, ville investor altså have haft muligheden for at udnytte sin opti- 

on, da kursen på den underliggende aktie var 1.600 kr. og dermed have opnået et payoff på 

600 kr. Det kan dog vises, at det ikke er optimalt for erhververen at udnytte en amerikansk 

call option før udløb, såfremt det er en likvid option på en aktie, der IKKE betaler udbytte. 

Optionen vil i dette tilfælde have en positiv tidsværdi, og køberen vil derfor opnå et bedre 

afkast ved at sælge den i markedet. 

side 9 (59) 




2.3.3 Bermuda optioner 

Bermuda optioner kan betragtes som en mellemting mellem en europæisk option og en 

amerikansk option. Payoff bestemmes stadig ud fra den generelle formel, men her har inve- 

stor ret til at udnytte optionen på en række bestemte tidspunkter i løbetiden og naturligvis 

også ved udløb. Disse bestemte tidspunkter er aftalt ved indgåelse af kontrakten. 

2.3.4 Asiatisk option 

En asiatisk option anvender et gennemsnit i stedet for slutkursen på det underliggende aktiv 

til at bestemme payoff ud fra. På bestemte tidspunkter i optionens løbetid observeres kursen 

på det underliggende aktiv. Det kunne eksempelvis være ultimo hver måned. Ved udløb be- 

regnes gennemsnittet af de observerede værdier, og dette gennemsnit anvendes derefter til 

at bestemme payoff. 

Eksempel: Payoff på en asiatisk call option 

( ) 

( ) 

Din kunde har investeret i asiatiske call optioner, hvor kursværdien observeres månedligt. 

Strike er lig med startværdien for indekset, som er 1.100. De øvrige observerede kursværdier 

er givet som: 

Tabel 2 

Gennemsnittet af disse observerede værdier er 1.200, og det endelige payoff kan derfor be- 

stemmes som: 

1 måned 2 måneder 3 måneder 4 måneder 5 måneder 6 måneder 

Kurs 1.070 1.050 1.150 1.350 1.240 1.340 

( ) 

Det ses her, at payoff i dette tilfælde er væsentligt lavere, end hvis man alternativt havde 

købt europæiske optioner, da indekset falder i starten af perioden for derefter at stige hen 

side 10 (59) 




imod udløb. Omvendt er en asiatisk option en fordel, hvis det underliggende aktiv stiger 

markant i starten af perioden for derefter at falde hen imod udløb. Som det er illustreret 

ovenfor, kan forskellen på det beregnede afkast og afkastet på det underliggende aktiv være 

ganske markant. 

2.3.5 Himalaya option 

Himalaya optioner er væsentligt mere komplicerede end både klassiske europæiske og ame- 

rikanske samt asiatiske optioner og er kendetegnet ved, at de følger en kurv af forskellige 

underliggende aktiver. Med faste intervaller bestemmes afkastet på de enkelte aktiver, hvor- 

efter det bedste afkast fastlåses, og aktivet fjernes herefter fra kurven af aktiver. Denne pro- 

ces fortsættes et givent antal gange. Typisk er der overensstemmelse mellem antallet af pe- 

rioder og antallet af aktiver, således at der i sidste periode kun er ét aktiv tilbage. Det ende- 

lige afkast bestemmes herefter som gennemsnittet af de fastlåste afkast. 

Eksempel: Bestemmelse af afkast på baggrund af Himalaya optioner 

En himalaya option følger tre forskellige aktieindeks. Afkastene bestemmes årligt. Udviklin- 

gen i de enkelte aktieindeks er givet som: 

Tabel 3 

Det ses, at indeks 2 klarer sig bedst det første år med et afkast på 15%. Da dette eksklude- 

res, klarer indeks 1 sig bedst efter andet år med et afkast på 20%. Det sidste år er det kun 

indeks 3, der er tilbage, og afkastet bestemmes som -5%. Herefter kan det endelige afkast 

bestemmes som: 

St art værdi År 1 År 2 År 3 

Indeks 1 100 90 120 130 

Indeks 2 100 115 130 180 

Indeks 3 100 110 100 95 

Himalaya optioner findes dog i mange forskellige varianter, og ovenstående er derfor blot et 

eksempel på, hvordan en afkastberegning kan se ud. 

side 11 (59) 




2.4 Definition på en warrant 

En warrant minder på mange måder om en aktieoption, da payoff strukturen og retten til 

udnyttelse ofte er som det kendes fra europæiske eller amerikanske optioner. Der er dog 

også en række forskelle, herunder typisk løbetid og udsteder. En traditionel warrant er ud- 

stedt af selskaber på deres egne aktier og ses ofte koblet til en obligation. Selskabet udste- 

der altså warrants som en finansieringskilde. Hvis en warrant bliver udnyttet, vil selskabet 

udstede nye aktier, som så sælges til den aftalte strike. Warrants kan godt være børsnotere- 

de, men herhjemme ses de dog oftest som OTC-produkter. Vilkårene for warrants er ikke 

standardiserede, og løbetiden er oftest længere end på børsnoterede optioner. Derudover 

fastsættes conversion factor, der bestemmer, hvor mange aktier hver warrant sikrer køberen 

i tilfælde af udnyttelse. 

En anden variant af warrants er ”covered warrants”, hvor det er finansielle institutioner, der 

står bag udstedelsen. Den finansielle institution kaldes i dette tilfælde emittenten. Det er 

stadig en bestemt aktie, der er bagvedliggende aktiv, men ved udløb sker der som regel dif- 

ferenceafregning frem for levering af aktierne. Afregningen sker også som oftest ud fra et 

gennemsnit af priser over flere dage. Disse covered warrants findes som både call (købswar- 

rant) og put (salgswarrant), og kan også handles via børser. Et eksempel på dette er London 

Stock Exchange, hvor der er optaget en lang række covered warrants til handel. 

3. AFKAST 

Afkastet på aktieoptioner afhænger dels af udviklingen i den underliggende aktie eller aktie- 

indeks og dels af den valgte optionstype, som beskrevet ovenfor. I følgende afsnit beskrives 

hvorledes det forventede afkast på en aktie kan estimeres samt hvordan den ønskede af- 

kastprofil kan sammensættes ud fra forskellige optionsstrategier. 

3.1 Aktieafkast 

Captial Asset Pricing Model (CAPM) er en hyppigt anvendt model til at forklare sammenhæn- 

gen mellem risiko og afkast for finansielle aktiver. CAPM kan bruges til at estimere egenka- 

pitalomkostningerne for et aktiv, svarende til det teoretiske afkastkrav, en investor bør stille 

til aktivet. Modellen beregner egenkapitalomkostningerne ud fra følgende formel: 

side 12 (59) 




[ ] ( [ ] ) 

hvor er den risikofri rente, er aktivets betaværdi, og [ ] er det forventede afkast på 

markedsporteføljen. 

Den generelle intuition bag CAPM er, at investorer skal kompenseres for henholdsvis tid og 

risiko. I formlen ses tiden repræsenteret via den risikofri rente, som netop kompenserer in- 

vestor for at placere sine penge i en risikofri investering i en given periode. Anden halvdel af 

formlen repræsenterer den risiko, som investor løber og dermed bør kompenseres for i form 

af højere afkast. Denne del svarer til at multiplicere aktivets beta med markedets risikopræ- 

mie. 

Forholdet mellem beta og det forventede afkast kan illustreres grafisk via The Security Mar- 

ket Line (SML). 

Figur 4 

Rm 

Rf 

Ri 

1 

M 

SML 

β 

Her betegner M markedsporteføljen med en betaværdi på 1 og et afkast på , . Et aktiv med 

en beta på nul er uden risiko og vil have et afkast svarende til den risikofri rente, . 

side 13 (59) 




Brugen af CAPM indebærer antagelsen af en række forudsætninger, der ikke alle afspejler 

den virkelig verden. Der er blandt andet rejst tvivl om, hvorvidt beta, som eneste risikopara- 

meter, kan forklare aktivets afkast. Såfremt forudsætningerne alligevel antages at være op- 

fyldt, kan afkastkravet nemt beregnes ved hjælp af førnævnte formel, forudsat at de nød- 

vendige oplysninger er tilgængelige. 

Eksempel - Beregning af egenkapitalomkostninger via CAPM 

Det antages, at et givent selskab har en betaværdi på 1,7 Den risikofrie rente er på 5%, mens 

afkastet på markedsporteføljen er 11%. Dette medfører, at selskabets egenkapitalomkost- 

ning kan beregnes til følgende: 

( ) 

Det ses tydeligt, at desto højere betaværdi, en aktie har, desto højere er det forventede af- 

kast som følge af den øgede risiko. 

3.2 Afkastprofil på optioner 

En af de vigtigste egenskaber ved optioner er den asymmetriske afkast/risiko profil. Uanset 

hvor meget den underliggende aktie eller indeks falder/stiger, er tabet begrænset til den 

betalte præmie set fra købers synspunkt. En kundes profit/gevinst bestemmes derimod som 

forskellen imellem spotkursen ved udnyttelse og den aftalte strikekurs minus præmiebeta- 

lingen. 

Eksempel: Beregning af gevinst/tab ved udløb 

Din kunde har købt 10 stk. call optioner på en given aktie med en strikekurs på 250 kr. og 

en præmiebetaling på 5 kr. pr. option. Hver kontrakt er skrevet på 100 stk. af den underlig- 

gende aktie Ved udløb er aktiekursen 258 kr., og den samlede gevinst for kunden kan be- 

stemmes som: 

( ( ) ) ( ) 

side 14 (59) 




Havde aktiekursen ved udløb i stedet for været 240 kr., ville kunden have haft et tab på: 

( ( ) ) ( ) 

Ønsker man i stedet at beregne afkastet på optionen, skal payoff ved udnyttelse sættes i 

forhold til den betalte præmie. Ved ovenstående eksempel ville afkastet være henholdsvis 

60% og -100%. 

Ønsker man at fastlåse en gevinst i løbet af en options løbetid, kan dette opnås ved at indgå 

en modsatrettet forretning. Har man udstedt optioner, skal man altså købe optioner med 

samme udløbsdato og strike for at fastlåse sin gevinst, og hvis man har købt optioner, skal 

man sælge sine optioner. 

Eksempel: Gevinst på en option før udløb 

Din kunde køber call optioner på 10.000 stk. aktier. Bid-offer er 12-14 kr. Kort tid efter ind- 

gåelsen stiger kursen på de underliggende aktier markant, hvilket medfører en stigning i 

optionspræmien, således at bid-offer nu er 21-23 kr. Kunden vælger at sælge alle sine optio- 

ner. Ses der bort fra diskontering, vil gevinsten for kunden være: 

Betalt præmie ved køb = 10.000 stk. * 14 kr. = 140.000 kr. 

Modtaget præmie ved salg = 10.000 stk. * 21 kr. = 210.000 kr. 

Gevinst = 210.000 – 140.000 = 70.000 kr. 

Ved køb anvendes offer prisen, mens man ved salg anvender bid prisen. Har kunden oprin- 

deligt udstedt (solgt) optioner, og er optionspræmien i stedet for faldet, kan kunden købe 

optionerne til en lavere pris og dermed dække den korte (solgte) position. 

3.3 Optionsstrategier 

Der findes en lang række forskellige handelsstrategier, hvorigennem man kan skabe ens 

ønskede afkastprofil. I dette afsnit beskrives kort en række af de mest almindelige strategier. 

side 15 (59) 




3.3.1 Covered Call 

Denne strategi består i, at man køber det underliggende aktiv (alternativt ejer det i forvejen) 

og sælger call optioner på samme antal underliggende og eventuelt med en strike lig med 

den aktuelle spotkurs. Denne strategi kan bruges, hvis man som investor har forventning om 

uændret eller en svagt stigende aktiekurs. Ved at udstede call optioner tjener man præmien, 

men giver omvendt afkald på højere afkast. Profit kan illustreres på følgende måde: 

Figur 5 

Den samlede profit svarer til en solgt put option, men det kaldes en covered call, da opti- 

onsudstedelsen er ”dækket” af positionen i det underliggende aktiv. Det ses også, at såfremt 

kursen på den underliggende aktie stiger meget, ville investor have været bedre stillet, hvis 

han havde undladt optionsudstedelsen. 

3.3.2 Protective Put 

Denne strategi sættes op ud fra en position i den underliggende aktie og køb af put optio- 

ner. Som navnet antyder, beskytter denne strategi investors position. Hvis investor ejer en 

aktiebeholdning, men frygter kursfald, kan han vælge at købe put optioner for at sikre sig 

mod dette. Alternativt kunne han sælge sine aktier, men i tilfælde af stigende aktiekurser går 

man glip af en kursgevinst. En protective put kan illustreres som vist nedenfor: 

side 16 (59) 




Figur 6 

Ved fald i aktiekursen begrænses ens tab til præmien, mens man stadig har mulighed for at 

tjene penge, hvis aktien stiger. Den samlede profit på en protective put er derfor lig med 

profitten på en købt call option, og derfor kaldes denne strategi også en syntetisk call opti- 

on. 

3.3.3 Bull- og Bear spread 

I modsætning til covered call og protective put bygger disse strategier alene på optionsposi- 

tioner og IKKE på positioner i den underliggende aktie. 

Et bull spread anvendes, hvis man som investor tror på moderat stigning i aktiekursen, og 

sættes op ved at købe call optioner med én strikekurs og sælge call optioner med en højere 

strikekurs, men med samme løbetid. Man finansierer således købet af call optioner delvist 

ved udstedelse af billigere call optioner. Derved giver man afkald på høje afkast. 

side 17 (59) 




Figur 7 

Det skal her bemærkes, at præmien på den solgte option altid vil være lavere end på den 

købte option, således at man har en nettopræmieudgift, hvilket samtidig er ens maksimale 

tab. Den maksimale gevinst vil være forskellen imellem de to strikekurser minus nettopræ- 

mien. 

Et bear spread er det modsatte af et bull spread og kan derfor anvendes, hvis man tror på 

moderat faldende priser. Det konstruereres ved at købe put optioner med en strike og så 

sælge put optioner med en lavere strike, og gøres dette, kan profitten illustreres som neden- 

for. 

side 18 (59) 




Figur 8 

For et bear spread gælder det også, at den maksimale gevinst er forskellen imellem strike- 

kurser minus nettopræmien, og maksimale tab er givet som nettopræmien. Det er også mu- 

ligt at kombinere et bull og et bear spread, hvilket benævnes et box spread. Dette gennem- 

gås dog ikke yderligere. 

3.3.4 Straddle og Strangle 

Straddle og strangle strategierne anvendes begge til at tjene på et forventet stort udsving i 

aktiekursen – enten positivt eller negativt. Strategierne sættes op ved at købe både call og 

put optioner med samme løbetid på en given aktie eller indeks. Købes optionerne med 

samme strike, kaldes strategien en straddle. 

side 19 (59) 




Figur 9 

Alternativt kan man vælge at købe call optioner med en højere strikekurs end på de købte 

put optioner. Dette kaldes en strangle. Fordelen ved dette er en lavere præmiebetaling, men 

der kræves omvendt et større kursfald eller kursstigning, før strategien giver en gevinst. 

Figur 10 

side 20 (59) 




3.3.5 Butterfly spread 

Et butterfly spread kan anvendes, hvis man som investor ikke forventer markante ændringer 

i aktiekursen. Dette spread kan sættes op ved at købe to call optioner – en med en lav strike 

kurs og en med en høj strikekurs, og så sælge to call optioner med strikekurser halvvejs 

imellem strikekurserne på de købte optioner. 

Figur 11 

4. PRISFASTSÆTTELSE 

4.1 Generelt om prisfastsættelse 

Helt generelt må det siges, at prisfastsættelse af optioner er ganske krævende og i stor grad 

afhængig af hvilken model, der anvendes. Af samme grund vil det kunne argumenteres, at 

sådan en prissætning er forbundet med en vis usikkerhed. Overordnet set er prisfastsættel- 

sen af optioner et spørgsmål om at tilbagediskontere et forventet fremtidigt payoff. Udfor- 

dringen består dog i at bestemme dette forventede payoff. For en lang række optioner gæl- 

der det, at dette bestemmes lettest eller udelukkende ved anvendelse af numeriske metoder. 

Dog findes der for europæiske optioner en meget anerkendt prisfastsættelsesformel kaldet 

Black-Scholes, som beskrives nærmere i et senere afsnit 

side 21 (59) 




Værdien af en option kan overordnet set betragtes som bestående af to dele – en indre værdi 

og en tidsværdi. Den indre værdi er defineret som det payoff, investor ville opnå, hvis optio- 

nen blev udnyttet nu og her, mens tidsværdien er et udtryk for, at den underliggende aktie 

eller indeks muligvis udvikler sig gunstigt frem mod udløb af optionen. Udstedes en option 

ATM, vil den indre værdi være lig med 0, og hele den betalte præmie vil i dette tilfælde ud- 

gøres af tidsværdien. 

Eksempel: Værdien af en option 

En call option på A.P. Møller aktien handles i øjeblikket til 2.400 kr. Den aftalte strikekurs er 

43.000 kr., og den aktuelle spotkurs er 44.800 kr. Optionen udløber om 1 måned. Indre 

værdi og tidsværdi kan i dette tilfælde bestemmes som: 

Indre værdi = (44.800-43.000) = 1.800 kr. 

Tidsværdi = (2.400-1.800) = 600 kr. 

Værdi af option = 2.400 kr. 

Figur 12 viser payoff og værdier for en call option ved forskellige spotkurser, og det er netop 

forskellen mellem de to grafer, der angiver tidsværdien, som altså ses at være højest, når 

spotkursen er lig med strikekursen. Den indre værdi kan pr. definition ikke være negativ. For 

aktier eller indeks, der ikke udbetaler udbytte, vil tidsværdien på call optioner heller aldrig 

være negativ. 

side 22 (59) 




Figur 12 

4.2 Black-Scholes formel 

For at kunne bestemme optionspriser er det nødvendigt at gøre sig nogle antagelser om, 

hvordan aktiekurser og aktieindeks vil udvikle sig. Black-Scholes formlen stammer fra starten 

af 1970’erne og er siden hen blevet en af de mest anerkendte modeller til prisfastsættelse af 

optioner. Forfatterne bag modellen blev bl.a. tildelt nobelprisen i økonomi i 1997 for deres 

arbejde. Det var også i starten af 1970’erne, handel med finansielle optioner for alvor be- 

gyndte, bl.a. med oprettelsen af CBOE. På trods af dens anerkendelse har modellen også 

mødt en del kritik som følge af de antagelser, den bygger på - eksempelvis konstant og ob- 

serverbar risikofri rente samt konstant volatilitet. Der er lavet udvidelser af modellen, som 

håndterer nogle af disse begrænsninger, men i dette afsnit præsenteres den originale model. 

Den giver en god forståelse af principperne bag prisfastsættelse af optioner, og hvordan de 

enkelte inputparametre påvirker prisen. 

Black-Scholes formlen er et matematisk udtryk, der blandt andet bygger på en antagelse om, 

at aktieafkast er normalfordelte. Den kan anvendes til at prisfastsætte både europæiske call 

og put optioner. Formlerne er givet som: 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

side 23 (59) 




( 

) ( 

√ 

S 0 er den aktuelle kurs på den underliggende aktie, K er den aftalte strikekurs, σ er volatilite- 

ten, r er den risikofrie rente og c og p er henholdsvis præmien for en call og en put option. 

N(.) er den kumulative fordelingsfunktion for en standardnormalfordeling, så N(d 1 ) og N(d 2 ) 

er altså sandsynligheder og vil derfor altid have en værdi mellem 0 og 1. 

Af ovenstående formler er det tydeligt at se, hvordan forholdet mellem den aktuelle kurs og 

den aftalte strikekurs påvirker prisen. En højere strikekurs vil øge værdien af en put og 

mindske værdien af en call, mens det omvendte gør sig gældende for spotkursen. For de 

øvrige inputparametre er det umiddelbart lidt sværere at vurdere effekten. Følgende sam- 

menhænge mellem pris og stigning i inputparametrene gælder: 

Tabel 4 

Europæisk call opt ion Europæisk put opt ion 

Risikofri rent e Præmien stiger Præmien falder 

Volat ilit et Præmien stiger Præmien stiger 

Tid t il udløb ? ? 

En stigende risikofri rente vil alt andet lige betyde, at man forventer en højere kurs på den 

underliggende aktie eller indeks i fremtiden, hvilket er positivt for en call option og negativt 

for en put option. Stigende volatilitet får derimod alt andet lige præmien til at stige på både 

call og put optioner. Volatiliteten er et udtryk for den usikkerhed, der er knyttet til den for- 

ventede udvikling i kursen. Jo større usikkerhed, jo højere en præmie vil udstederen af opti- 

onen kræve, da han potentielt kan tabe stort på sådanne udsving. Erhververen derimod be- 

høver ikke bekymre sig om de store udsving, da han blot kan vælge ikke at ”exercise” optio- 

nen. Omvendt giver store udsving ham muligheden for at opnå et højt afkast. For så vidt 

angår tid til udløb, vil det oftest være sådan, at længere løbetid øger værdien af optionen – 

både for call og put optioner, men der er i visse situationer, hvor det ikke er tilfældet. Ek- 

sempelvis kan udbetaling af dividende medføre, at optioner med kort løbetid er mere værd 

end optioner med en lang løbetid. Betydningen af dividende uddybes senere. Et andet ek- 

sempel kunne være en put option, der er dybt in-the-money. 

√ 

) 

side 24 (59) 




Sammenhængen mellem pris og inputparametre er det samme for amerikanske optioner – 

dog kan man her entydigt konkludere, at længere løbetid øger prisen på både call og put 

optioner. Da man kan udnytte en amerikansk option på et hvilket som helst tidspunkt i løbe- 

tiden, vil erhververen af en option med lang løbetid have de samme muligheder for at udnyt- 

te optionen, som erhververen af en option med kortere løbetid. 

4.2.1 Betydningen af dividende 

En lang række selskaber udbetaler dividende/udbytte til deres aktionærer i løbet af året. 

Dette skal der tages højde for, når man ønsker at prisfastsætte en aktieoption. Som options- 

køber modtager man ikke et eventuelt udbytte fra den underliggende aktie i løbetiden, men 

da udbetaling af dividende påvirker den forventede kurs, vil optionsprisen blive påvirket. 

Dividende kan indarbejdes i den klassiske Black-Scholes ved at fratrække nutidsværdien af 

forventede dividende fra spotkursen. 

For europæiske optioner gælder det, at dividende medfører en lavere præmie for call optio- 

ner og en højere præmie for put optioner. Udbetaling af dividende vil alt andet lige medføre 

en lavere forventet kursværdi for den underliggende aktie, hvilket jf. payoff profilerne er 

gunstigt for put optioner og ugunstigt for call optioner. Det samme gør sig gældende for 

amerikanske optioner. Argumentet om, at det aldrig er optimalt at udnytte en amerikansk 

call option før udløb, holder ikke nødvendigvis, når den underliggende aktie udbetaler divi- 

dende i løbetiden. 

4.2.2 Implicit volatilitet 

Volatiliteten er som udgangspunkt det eneste input i modellen, der ikke kan observeres di- 

rekte. Man er nødt til at estimere den, hvilket eksempelvis kan gøres ved brug af historisk 

data. En anden brug af Black-Scholes formlen er dog at anvende de faktiske markedspriser 

på likvide optioner til at beregne volatiliteten for forskellige strikekurser og løbetider. Man 

kan dog også anvende andre prisfastsættelsesmodeller end Black-Scholes til at bestemme 

den implicitte volatilitet. Gøres dette, ses det, at markedspriserne som oftest ikke indikerer 

konstant volatilitet på tværs af forskellige løbetider og strikekurser. Den implicitte volatilitet 

er altså ikke et udtryk for en historisk volatilitet på den underliggende aktie eller indeks, 

men markedets forventning til volatiliteten på den underliggende aktie eller indeks i optio- 

nens løbetid. 

side 25 (59) 




4.3 Put-Call pariteten 

Put-call pariteten er en definition af sammenhængen mellem præmien på en call og en put 

option med samme strike, udløbsdato og underliggende aktiv. Ses der bort fra dividende, 

kan put-call pariteten skrives som: 

Hvor K er den aftalte strikekurs, S 0 er spotkursen på det underliggende aktiv ved indgåelse af 

aftalen og c og p er præmien på henholdsvis call og put optionen. Denne sammenhæng føl- 

ger fra det faktum, at hvis man har købt en call option og skrevet en put option, vil ens sam- 

lede payoff svare til en forwardkontrakt. Det er også relativt simpelt at se, at hvis den aftalte 

strikekurs er lig med forwardkursen for det underliggende aktiv, tilsiger put-call pariteten at 

præmien på de to optioner bør være ens. Erstattes strikekursen (K) med forwardprisen (F), 

ses det, at denne skal tilbagediskonteres. Den tilbagediskonterede forwardpris er pr. defini- 

tion lig med spotprisen 

Det kan også ses, at hvis strikekursen er lavere end terminskursen, er call optionen dyrere 

end put optionen og omvendt. Det skal dog understreges, at put call pariteten er en ren teo- 

retisk sammenhæng, som er baseret på visse antagelser, og man kan derfor godt observere 

priser i markedet, som ikke opfylder put-call pariteten præcist. 

4.4 Kort om prisfastsættelse af aktier og aktienøgletal 

4.4.1 P/E, K/I og ROE 

Aktienøgletallet P/E er en forkortelse for Price/Earnings og udtrykker forholdet imellem ind- 

tjening og pris på en aktie, og kan derfor fortolkes som prisen for 1 kr. overskud 

⁄ 

side 26 (59) 




Som det ses beregnes P/E på historisk indtjening – altså resultatet fra seneste offentliggjorte 

regnskab eller alternativt et gennemsnit af flere års indtjening. En høj P/E vil være et udtryk 

for, at markedet forventer stigende indtjening i selskabet fremover. 

Ofte beregnes der også et P/E nøgletal baseret på forventet indtjening for næste år. Dette 

kaldes forward P/E 

⁄ 

K/I (K/IV) er en forkortelse for kurs/indre værdi, og kan fortolkes som prisen for 1 kr. egen- 

kapital. 

⁄ 

Indre værdi pr. aktie fås ved at dividere den bogførte egenkapital med antallet af aktier i 

selskabet. Er K/I over 1 er investor således villig til at betale mere end den egentlige værdi af 

egenkapitalen. Omvendt hvis K/I er under 1 vil investor end ikke betale den bogførte værdi 

af egenkapitalen. En lav K/I er blandt andet et kendetegn ved value aktier. 

ROE er udtryk for selskabets evne til at forrente egenkapitalen og er bestemt af forrentning 

af aktivmassen og selskabets gearing. Den beregnes ved at sætte indtjening (pr. aktie) i 

forhold til den indre værdi (pr. aktie) 

Som det ses ud fra ovenstående definitioner er der følgende sammenhæng mellem P/E, K/I 

og ROE: 

⁄ 

⁄ 

side 27 (59) 




Heraf ses det, at en høj K/I enten kan skyldes en høj egenkapitalforrentning eller høj forven- 

tet fremtidig indtjening. 

4.4.2 Gordons vækstformel 

Der findes en lang række metoder til at prisfastsætte aktier. En metode er tilbagediskonte- 

ring af fremtidig indtjening og den mest simple model er her Gordons vækstformel. 

Gordons vækstmodel er en generalisering af en uendelig annuitetsrække med konstant 

vækst og afkastkrav. Ifølge denne model er værdien af en aktie givet som følgende: 

hvor ( ), er den forventede vækst i dividenden, og er den konstante diskonte- 

ringsrente (afkastkravet). Såfremt der antages en forventelig udbetaling af konstant udbytte 

på 2,5% årligt, en diskonteringsrente på 5% samt en konstant vækst i udbyttebetalingen på 

0%, i hele den belyste periode, kan værdien af aktien bestemmes som: 

Havde der derimod været en forventet vækst på 3% i dividenden fremover ville værdien være: 

Stiger afkastkravet til 7% vil værdien være: 

Højere vækstforventning giver således alt andet lige højere aktiekurs, højere afkastkrav giver 

lavere aktiekurs ligesom højere dividende giver en højere aktiekurs. 

side 28 (59) 




Alle nyheder, der påvirker aktiekursen, påvirker enten dividendebetalingen, afkastkravet eller 

den forventede fremtidige vækst i dividendebetalingerne. 

Ved en simpel omskrivning ses det, at det vækstkorrigerede afkastkrav, også kaldet dividend 

yield, er givet som: 

Flyttes der om fås: 

Kender man således dividenden og markedsprisen P på en aktie, kan man med et givet 

afkastkrav beregne hvilken vækst, der skal være i dividenden i al fremtid, for at man opnår 

det krævede afkast. 

Eksempel – Gordons vækstmodel 

Aktiemarkedet har et afkastkrav på 12% til XX aktien. Aktien har et forventet udbytte på 5 kr. 

pr. aktie og en aktiekurs i markedet på 200. Hvad skal den årlige vækst i al fremtid være i 

virksomhedens dividendebetalinger, for at den kan leve op til markedets afkastkrav på 12%? 

5. RISIKO 

( 

Risikoen på optioner består af mulige tab som følge af ændringer i markedsforholdene samt 

en eventuel modpartsrisiko. Førstnævnte kan beskrives yderligere ud fra en række målbare 

nøgletal. Derudover er et markant risikoelement det faktum, at optioner kan betragtes som 

) 

side 29 (59) 




en gearet investering i den underliggende aktie eller indeks. Først og fremmest er det dog 

relevant at kende til risikomål for aktier og aktieindeks. 

5.1 Risikomål for aktier 

En akties risiko kvantificeres som oftest ved brug af to forskellige mål – standardafvigelsen 

og beta. Standardafvigelsen kaldes også volatiliteten og er et udtryk for en akties totale risi- 

ko. Både systematisk og usystematisk. Den systematiske risiko er et udtryk for den generelle 

risiko ved at investere i aktier, mens den usystematiske risiko er forhold, der kobler sig spe- 

cifikt til selskabet. Standardafvigelsen kan eksempelvis bestemmes på baggrund af historisk 

markedsdata. 

Beta er et udtryk for den systematiske risiko, og kan beregnes ud fra standardafvigelsen på 

den pågældende aktie og markedsindekset den ønskes sammenlignet med samt korrelatio- 

nen imellem aktiekursen og kursen på markedsindekset. 

Eksempel: Beregning af beta 

En aktie har en standardafvigelse på 0,35. Markedet, som er approksimeret ved et bredt ak- 

tieindeks, har en standardafvigelse på 0,18. Korrelationen imellem aktien og markedet er 

givet som 0,80. 

Beta for markedet er pr. definition 1, så betaværdier lavere end 1 betyder, at aktien er min- 

dre risikofyldt end markedet, mens beta over 1 betyder, at aktien er mere risikofyldt end 

markedet. Beta stammer fra CAPM modellen, som bygger på en antagelse, om at en akties 

forventede afkast alene bestemmes ud fra dens systematiske risiko. 

[ ] ( [ ] ) 

E[R i ] eller µ er det forventede afkast på aktien, imens r f er den risikofrie rente, og E[R m ] er det 

forventede markedsafkast. Ud fra denne sammenhæng ses det, at jo højere den systematiske 

side 30 (59) 




risiko er, jo højere vil det forventede afkast også være, ligesom en rentestigning også resul- 

terer i et øget forventet afkast. Da det forventede afkast er udtryk for investors afkastkrav, 

vil en sådan rentestigning eller højere beta alt andet lige medføre et fald i aktiekursen, da 

diskonteringsrenten for fremtidige cashflows stiger. 

5.2 Beregning af konfidensinterval 

Ud fra de forudsætninger som Blacks Scholes modellen bygger på er det muligt at opstille en 

øvre og nedre grænse for den forventede kurs på en aktie. Antages det eksempelvis, at den 

forventede værdi på en aktie er lig med terminskursen 1 kan konfidensintervallet tilnærmel- 

sesvis bestemmes som: 

( ( ) 

⁄ √ ) 

Z α /2 er den inverse værdi i en standardnormalfordeling, hvor α er lig med 1 minus konfiden- 

sintervallets sandsynlighed. Ved et 95% konfidensinterval er α = 0,05. σ er den årlige stan- 

dardafvigelse på aktiens afkast, mens T er tidshorisonten målt i år. LN er den naturlige loga- 

ritme, og terminskursen bestemmes på baggrund af den kontinuert tilskrevne risikofrie ren- 

te/afkast. 

Eksempel: Bestemmelse af konfidensinterval 

En aktie har en aktuel kurs på 200. Terminskursen på 1 års sigt er 210,25 svarende til en 

risikofri rente på 5%. Volatiliteten på afkastet er 0,15, og du ønsker at bestemme et 95% kon- 

fidensinterval for aktiens kurs om 1 år. 

( ) √ [ ] 

Aktiens forventede pris om 1 år ligger altså i intervallet 156,69-282,11med 95% sikkerhed. 

1 Terminskursen vil være et udtryk for den forventede aktiekurs under det risikoneutrale sandsynlighedsmål 

side 31 (59) 




Den inverse værdi i standardnormalfordelingen kan eksempelvis bestemmes i EXCEL ved 

brug af funktionen STANDARDNORM.INV(1- α/2). Nedenfor er den inverse værdi givet for de 

mest gængse konfidensniveauer: 

Figur 13 

Konfidensniveau Z α/2 

Konfidensintervallet (KI) er således en måde at benytte volatiliteten til at få et mål for risiko- 

en fremover. Jo længere ud i fremtiden, jo højere bliver risikoen for, at spotpriserne i fremti- 

den afviger fra den indgåede terminskurs. På grafen nedenfor ses således et eksempel på 

terminsprisen på en aktie, hvor fundingomkostningen overstiger den forventede udbyttebe- 

taling, med øvre og nedre KI over de næste 24 måneder. 

Spotkursen er 100 kr., (rente – forventet udbytte) er 3 % p.a. og volatiliteten er 0,22. 

Figur 14 

250 

200 

150 

100 

50 

0 

90% 1,64 

95% 1,96 

99% 2,58 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 

Bemærk, at terminskurserne stiger over tiden, da der er tale om en aktie, hvor fundingrenten 

overstiger det forventede udbytte. Bemærk ligeledes, at der er lige stor relativ afvigelse fra 

terminskursen på nedre KI og øvre KI. 

Terminspris KI øvre KI nedre 

side 32 (59) 




Volatiliteten kan måles på den historiske aktiekursudvikling, men er ingen garanti for, at 

volatiliteten fremover er af samme størrelse. Volatiliteten kan hurtigt ændre sig meget, og 

historisk volatilitet og KI-intervaller giver således ikke nogen garanti for hvad kunden kan 

tabe på en aktieposition. 

5.3 Modpartsrisiko på optioner 

Ved modpartsrisiko er det nødvendigt at skelne imellem OTC-produkter og børshandlede 

produkter. Modpartsrisikoen er risikoen for, at udsteder ikke er i stand til at opfylde sine 

forpligtelser ved udnyttelse af optionen. Som tidligere nævnt er der ved de børshandlede 

produkter klare retningslinjer omkring sikkerhedsstillelse, hvilket er med til at minimere 

modpartsrisikoen betragteligt. Er der derimod tale om OTC-produkter, er der selvsagt ikke 

nogle obligatoriske krav til sikkerhedsstillelse. Ønsker en kunde at udstede optioner, og 

kundens pengeinstitut indgår som modpart vil den typisk se på elementer som eksempelvis 

volatiliteten på det underliggende aktiv og positionens størrelse i forhold til kundens egen- 

kapital, når de skal fastsætte niveauet for sikkerhedsstillelse. 

Da præmiebetalingen på optioner modtages ved aftalens indgåelse, har sælger/udsteder af 

optioner ingen modpartsrisiko. Af samme grund vil købere af optioner ikke blive krævet at 

stille sikkerhed, nøjagtig ligesom det var tilfældet ved de børshandlede optioner. 

For warrants gælder det, at selvom disse er noteret til handel på en børs, er der ikke nød- 

vendigvis krav til marginindbetaling. Investor har derfor som udgangspunkt modpartsrisiko 

på udstederen/emittenten på det fulde beløb, uanset om det er et børsnoteret produkt eller 

et OTC-produkt. Sammenholdt med det faktum, at løbetiden på warrants ofte er længere, 

medvirker til større usikkerhed omkring en eventuel gevinst. 

5.4 Nøgletal for optioner 

En options nøgletal beskriver dens følsomhed over for ændringer i forskellige parametre. 

Derfor er nogle af disse af stor relevans, når man ønsker at beskrive risikoen på optioner, og 

kan bl.a. anvendes til at afdække/mindske risikoen på positioner. Nedenfor gennemgås dis- 

se nøgletal. 

side 33 (59) 




5.4.1 Delta 

Delta er et udtryk for, hvor meget prisen på en option ændrer sig, hvis prisen på det under- 

liggende aktiv ændrer sig: 

Da delta er udtrykt som en procentdel, vil den numeriske værdi altid være mellem 0 og 1. 

For call optioner gælder det, at en stigning i det underliggende aktiv vil øge værdien af opti- 

onen, så delta er positiv. Delta for en put option vil modsat have en værdi på mellem 0 og -1. 

Der er dog kun tale om en approksimativ angivelse af ændringen i prisen på optionen, da 

denne ikke er en liniær funktion af spotprisen. Delta ændrer sig således alt efter spotprisen 

på det underliggende aktiv og er derfor mest præcis for små ændringer i det underliggende 

aktiv. Nedenfor er vist et eksempel på deltaværdier på tværs af forskellige spotpriser for 

henholdsvis en europæisk call og put option. Strike er i dette tilfælde 50 

Figur 16 

æ 

Figur 15 

Det ses, at for optioner, der er dybt ITM, nærmer delta sig numerisk 1, mens optioner, der er 

dybt OTM, vil have en delta omkring 0. Anvendes Black Scholes formlen til at prisfastsætte 

optioner, kan delta aflæses direkte i beregningerne som: 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

side 34 (59) 




En options delta bruges blandt andet til at afdække positioner – et såkaldt deltahedge. Dette 

uddybes i afsnittet omkring rådgivning. 

5.4.2 Gamma 

Som det blev illustreret ovenfor, er delta ikke konstant, og gamma måler netop ændringen i 

delta ved ændringer i kursen på den underliggende aktie eller indeks. 

Gamma kan således fortolkes som en angivelse af, hvor stor fejl der er ved at estimere opti- 

onspriser ud fra delta alene. Som nævnt er delta en relativ god approksimation for små æn- 

dringer, men ved store ændringer i det underliggende aktiv kan fejlen være ganske markant. 

Figur 17 

Figur 14 illustrerer fejlen ved at anvende delta alene til at estimere prisen på en call option, 

hvis den underliggende aktie stiger fra 50 til 60. Det kan også ses her, at jo mere ”kurvet” 

prisen for optionen er, jo større vil gamma være. Gamma vil være det samme for en europæ- 

isk call og put option med samme strike og løbetid og vil altid være positiv. Nedenfor ses 

det, at gamma er højest ved spotkurser tæt på strikekursen (strike = 50), og ved optioner, 

der er dybt ITM eller OTM, vil gamma nærme sig 0. 

side 35 (59) 




Figur 18 

5.4.3 Theta 

Theta angiver optionens følsomhed over for ændringen i restløbetid. 

Oftest er theta negativ for europæiske call og put optioner. Dette betyder, at når restløbeti- 

den forkortes, mindskes værdien af optionen. Theta kan dog godt være positiv for optioner, 

der er ITM. Hvis eventuel udbyttebetaling på en aktie er mindre end den risikofrie rente, vil 

man kunne se positiv theta for put optioner der er ITM. 

5.4.4 Vega 

Selvom der er antaget konstant volatilitet, er det som nævnt ikke tilfældet i praksis, og vega 

er et nøgletal, der angiver følsomheden i optionspræmien i forhold til ændringer i den impli- 

citte volatilitet. 

æ 

æ 

ø 

side 36 (59) 




Et højt vega nøgletal indikerer, at optionsprisen vil ændre sig meget selv ved små ændringer 

i volatiliteten. Vega er, ligesom det var tilfældet med gamma, det samme for call og put op- 

tioner skrevet på samme underliggende aktie eller indeks og med samme strike og løbetid. 

Vega vil altid være positiv for køberen af optionen, således at stigninger i volatiliteten på det 

underliggende aktiv øger værdien af optionen. Vega vil generelt være højest for ATM optio- 

ner og gå mod 0 for optioner der er dybt OTM eller ITM. 

5.4.5 Rho 

Det sidste nøgletal rho udtrykker, hvor meget optionsprisen ændrer sig, hvis den risikofrie 

rente ændrer sig. 

Ligesom ved volatiliteten antages renten at være konstant, men i praksis er dette heller ikke 

tilfældet. For købte optionspositioner gælder det, at rho er positiv for call optioner og nega- 

tiv for put optioner, og er højest ved optioner, der er dybt ITM. 

5.5 Gearingseffekt ved køb af optioner 

Det er vigtigt at understrege, at optioner kan være en investering, der er gearet markant i 

forhold til det underliggende aktiv, der bestemmer payoff for optionen. Ved køb af optioner 

binder man mindre likviditet end ved en direkte investering i den underliggende aktie, men 

som vist tidligere vil payoff være magen til en position i den underliggende aktie, såfremt 

udløbskursen er højere (lavere) end strikekursen for call (put) optioner. Så både optionspri- 

sen i løbetiden samt det endelige payoff er langt mere følsom end det underliggende aktiv. 

Eksempel: Gearingens effekt på optionsprisen 

En aktie handles til kurs 500. Anvendes en volatilitet på 12% og en risikofri rente på 3%, er 

prisen på en 1-årig call option med strike på 500 givet som 31,69. Umiddelbart efter købet 

falder kursen på aktien til 475, svarende til et tab på (475/500-1) = 5%. Optionsprisen der- 

imod falder til 18,22 svarende til et tab på (18,22/31,69-1) = 42,5% 

Var det i stedet for ved udløb, kursen var faldet til 475, ville optionen give et payoff på 0, 

svarende til et tab på 100%. 

æ 

side 37 (59) 




6. OMKOSTNINGER 

Som det kendes fra handel med andre typer af værdipapirer, vil handel med optioner også 

medføre omkostninger i form af blandt andet kurtage. Kurtagesatsen er ofte udtrykt som en 

procentdel af den betalte præmie. Herudover kan man opleve eksempelvis et fast gebyr pr. 

kontrakt, man handler, og eventuelt også et gebyr i forbindelse med exercise eller udløb af 

kontrakten. Det vil typisk være dyrere at handle udenlandske optioner end optioner noteret 

på NASDAQ OMX Nordic. 

Ud over kurtagen skal man tage højde for spændet imellem købs- og salgspris, der stilles af 

Market Maker. Antages det, at spændet er symmetrisk omkring optionens ”reelle” værdi, kan 

halvdelen af spændet også betragtes som en omkostning, da man køber dyrere og sælger 

billigere. 

Eksempel: Omkostning på en aktieoption 

En call option på Novo Nordisk aktien med strike på 700 og løbetid på 1 måned handles i 

øjeblikket til bud-udbud på 11-14 kr. Spændets størrelse er således 3 kurspoint. Antages 

det, at optionens ”fair” værdi er 12,50 kr., vil det være en omkostning på 1,50 kr. for inve- 

stor at købe til 14 kr. eller sælge til 11 kr. 

7. RÅDGIVNING 

7.1 Anvendelse af optioner til risikoafdækning 

7.1.1 Deltahedge 

Nøgletallet delta kan anvendes til at bestemme, hvor mange optioner man bør købe, hvis 

man ønsker at afdække en portefølje fra dag til dag. Ønskes 100% afdækning, skal man sør- 

ge for, at ens optionsposition giver en gevinst, der modsvarer tabet på ens aktier. Typisk vil 

der være tale om en lang position i den underliggende aktie, som man ønsker at beskytte 

mod kursfald. I dette tilfælde bør man købe put optioner. Antallet af optioner/kontrakter, 

man skal købe for at afdække risikoen på en given position, bestemmes som: 

side 38 (59) 




Eksempel: Deltahedge af aktieposition 

En kunde ejer 5.000 stk. aktier, og kursen er 600 svarende til en samlet værdi på 3.000.000 

kr. Kunden ønsker at sikre sig mod kursfald ved køb af put optioner. En put option med stri- 

ke på 600 har en delta på -0,40 og handles til en præmie på 20 kr. pr. aktie. Kontraktstørrel- 

sen er 100 stk. af den underliggende aktie. For at afdække porteføljen 100% skal kunden 

købe: 

Aktiekursen falder nu til 590, hvilket jf. delta medfører en stigning i optionsprisen på 4 kr. (- 

10 *-0,40). Effekten på kundens samlede position kan beregnes som: 

Tab på aktieportefølje: 5.000 stk. * -10 kr. = -50.000 kr. 

Gevinst på optioner: 125 stk. * 100 * 4 kr. = 50.000 kr. 

Samlede gevinst/tab = 0 kr. 

Denne beregning er naturligvis kun tilnærmelsesvis korrekt, da brugen af delta til at beregne 

optionsprisen kun er en approksimation af den sande pris, ligesom den kun fungerer for 

små kursændringer. Man kan forbedre sit hedge ved eventuelt at foretage dynamisk delta 

hedging, hvor man løbende rebalancerer antallet af optioner ud fra den aktuelle delta. Jo 

oftere man rebalancere, jo bedre bør ens afdækning blive. Ulempen ved dynamisk hedging 

er ekstra omkostninger ved rebalanceringen. 

Ønsker man kun at afdække ens risiko på en bestemt dato, og er denne dag lig med udløbs- 

datoen på optionen, behøver man ikke anvende delta til at beregne antallet af optioner. Her 

skal antallet af optioner blot være lig med antal stk. der ejes af det underliggende aktiv. Ved 

udløbstid er delta for en in-the-money put option nemlig -1. 

7.1.2 Anvendelse af indeksoptioner 

Ønsker man at afdække en aktieportefølje fra dag til dag ved brug af indeksoptioner i stedet 

for optioner på de enkelte aktier, kan dette gøres ved at anvende beta relationen imellem 

indekset og porteføljen, hvis man antager at CAPM relationen mellem indeks og portefølje 

side 39 (59) 




holder. Her kan antallet af put optioner, der skal købes for at afdække en lang position, be- 

regnes som: 

Det ses, at for stigende betaværdier skal der købes flere put optioner, og her bør man altså 

både løbende rebalancere ved ændring i delta og ændring i beta, hvis man ønsker at opret- 

holde den ønskede afdækning. 

Ønsker man igen kun at afdække sin risiko på udløbsdatoen for optionen, kan antallet af 

optioner bestemmes som: 

7.2 Dækkede optionsudstedelser ved rebalanceringsstrategier 

Ejer man som investor en aktieportefølje, og har man en helt klar rebalanceringsstrategi, kan 

man anvende udstedelse af aktieoptioner til at ”profitere” på dette. Dette gøres ved, at man 

udsteder call optioner, hvor strike er lig med den kurs, man ønsker at sælge til, og sælger 

put optioner, hvor strike er lig med den kurs, man ønsker at købe til. Man opnår således 

præmieindtægt på begge optionspositioner. 

Eksempel: Optionsudstedelse ved rebalanceringsstrategi 

Din kunde ejer 2.000 stk. Coloplast B aktier, som aktuelt har en kurs på 880 kr. Kunden har 

en klar strategi om, at han ønsker at sælge halvdelen af sin beholdning, hvis kursen kommer 

op på 1.200 kr., og han ønsker at købe yderligere 1.000 stk., til en kurs på 500 kr. Derfor 

udsteder han put optioner på 1.000 stk. med en strike på 500 og call optioner på 1.000 stk. 

med en strike på 1.200. 

Er kursen ved udløb af optionen over 1.200 kr., vil køber af optionerne udnytte disse, og 

kunden er dermed forpligtet til at sælge 1.000 stk. til 1.200 kr. Ender kursen under 500, vil 

køber af put optionerne udnytte disse, hvorved kunden er forpligtet til at købe 1.000 stk. 

Coloplast B aktier til 500 kr. Dette er i overensstemmelse med den strategi, kunden havde. 

Er kursen mellem 500 kr. og 1.200 kr., vil ingen af køberne udnytte deres optioner, og din 

side 40 (59) 




kunde har dermed tjent præmien og har stadig en beholdning på 2.000 stk. Coloplast B ak- 

tier. 

Rent teknisk kan ovenstående strategi betragtes som en strangle, hvilket blev beskrevet i 

afsnit 3.2. I stedet for at købe en strangle er dette blot et eksempel på en solgt strangle, og 

da udsteder rent faktisk ejer aktierne er det en ”covered” strangle. 

8. BRUGEN AF KOMPENDIET 

Indholdet i kompendiet er udarbejdet til brug som en del af forberedelsen til rød certifice- 

ringsprøve. Vi tilstræber, at indholdet er korrekt og udtryk for gældende ret, men eventuelle 

fejl kan ikke medføre ansvar for Finanssektorens Uddannelsescenter, og indholdet kan ikke 

erstatte juridisk rådgivning. Der henvises til Finanssektorens Uddannelsescenters Almindeli- 

ge Betingelser pkt. A.7. 

Det er ikke tilladt at kopiere og/eller videredistribuere kompendiet eller dele af kompendiet 

til tredje part uden forudgående tilladelse fra Finanssektorens Uddannelsescenter. 

Copyright Finanssektorens Uddannelsescenter. 

side 41 (59) 




9. KILDEHENVISNING 

Bøger og artikler 

Christensen, M. (2009): Aktieinvestering – Teori og praktisk anvendelse. 3. udgave, Jurist- og 

Økonomforbundets Forlag 

Elton, E.J. m.fl. (2011): Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 8. udgave, John 

Wiley & Sons 

Hull, J. (2009): Options, Futures and Other Derivatives. Pearson Prentice Hall 

Wilmott, P (2007): Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance, 2.udgave, Wiley 

Websites 

www.cboe.com 

www.nasdaqomxnordic.com 

www.rbs.com 

side 42 (59) 




10. REGNEOPGAVER 

Beregning af afkastkravet på aktier – CAPM 

Opgave 1: 

Den risikofrie rente er givet til at være 3% p.a., og den generelle risikopræmie på aktiemar- 

kedet er 5% p.a.. Beregn afkastkravet for en aktie med en estimeret beta på 1,30 ved brug af 

CAPM. 

Opgave 2: 

En af dine kunder henvender sig og spørger til en af jeres aktieanalyser, hvor han undrer sig 

over begrebet afkastkrav til egenkapitalen, og ikke mindst hvordan den beregnes. Du fortæl- 

ler, at en simpel model til at estimere aktionærernes afkastkrav er Capital Asset Pricing Mo- 

dellen (CAPM). Du giver kunden følgende eksempel: 

Risikofri rente: 2,5% p.a. 

Forventet afkast på aktiemarkedet generelt: 9% p.a. 

Udsvingene på aktien i forhold til markedet er dobbelt så store. Beregn afkastkravet til egen- 

kapitalen ud fra dette eksempel. 

Opgave 3: 

Afkastkravet på en aktie med en beta på 1,50 er beregnet via CAPM til at være 10,5% p.a.. Nu 

falder den risikofrie rente fra 3,00% til 2,50%. Beregn afkastkravet ifølge CAPM efter rente- 

faldet, hvis det forudsættes at beta og risikopræmien på aktiemarkedet generelt forbliver 

uændret. 

Beregning af gevinst/tab ved udløb 

Opgave 4: 

En kunde ønsker at sikre sig imod et kursfald, og har derfor købt en put option på en given 

aktie med en aftalekurs på 125 kr. Kontrakten er skrevet på 100 stk. af den underliggende 

aktie, og præmiebetalingen udgør 4,75 kr. pr. aktie. Såfremt aktiekursen ved udløb er 90 kr., 

hvad er da kundens gevinst/tab? 

Opgave 5: 

En virksomhed har solgt call optioner på en given aktie, med følgende karakteristika: 

side 43 (59) 




Aftalt strikekurs: 40 kr. 

Præmie: 0,70 kr. pr. enhed underliggende 

Kontraktstørrelse i alt: 50.000 stk. 

Hvis aktiekursen ved udløb er 45 kr., hvad er virksomhedens samlet tab/gevinst da? 

Beregning af gevinst/tab før udløb 

Opgave 6: 

En kunde har købt call optioner på en bestemt aktie, i hvilken forbindelse optionsprisen på 

købstidspunktet er 2,30-2,40 kr. (bid-offer). Den underliggende position er på i alt 10.000 

stk. af den pågældende aktie. Efterfølgende oplever aktien et fald, som betyder at options- 

præmien falder til 1,90-2,00 kr. (bid-offer). Kunden vælger herefter at lukke sin position. 

Såfremt kunden vælger at sælge sine optioner efter aktiefaldet, hvad bliver da hans ge- 

vinst/tab? 

Opgave 7: 

Din kunde sælger put optioner med en kontraktstørrelse på 10 stk. put optioner, som hver 

er skrevet på 100 stk. af en underliggende aktie. Optionspræmien er 66-68 kr. (bid-offer). 

Som følge at et stort prisfald i den underliggende aktie, stiger præmien efterfølgende på put 

optionen og er nu 92-94 kr. (bid-offer). Kunden vælger at købe en modsatrettet option. Hvil- 

ket tab/gevinst opnår kundens som følge heraf? 

Kendskab til sammenhæng mellem P/E, K/I og ROE 

Opgave 8: 

Du er blevet gjort opmærksom på følgende af en kunde: 

I det seneste regnskab fremgik det, at en given virksomheds forrentning af egenkapitalen 

var på 17%. Målt på den aktuelle kurs og det seneste regnskab havde virksomhedens aktier 

en K/I på 4,8. 

Kunden ønsker nu forklaret hvad dette indebærer for virksomhedens P/E? 

side 44 (59) 




Opgave 9: 

Målt på den aktuelle kurs og det seneste regnskab er følgende oplysninger om en aktie til- 

gængelige: 

P/E: 13 

K/I: 0,9 

Hvad kan virksomhedens forrentning af egenkapitalen beregnes til ud fra disse oplysninger? 

Gordons vækstformel 

Opgave 10: 

En investor har fulgt en given virksomhed i en længere periode, og overvejer nu at investere i 

virksomhedens aktie. Virksomheden forventes at udbetale et udbytte på 7 kr. pr. aktie samt 

at præstere en årlig vækst i udbetalingen af udbytte på 5% i al fremtid. Såfremt investoren 

har et afkastkrav til aktien på 10%, hvilken pris bør han da betale for aktien? 

Opgave 11: 

Din kunde overvejer at investere i en aktie og har i den forbindelse et afkastkrav til aktien på 

8%. Aktiens dividend yield er beregnet til 5,7% på baggrund af den nuværende kurs og først- 

kommende udbyttebetaling. Hvor meget skal virksomhedens dividendebetaling årligt vækste 

i al fremtid for at leve op til investorens afkastkrav? 

Opgave 12: 

Din kunde ønsker at købe en aktie, som han mener, er lavt prisfastsat. Aktien handles til en 

pris, der er 8 gange større end det forventede udbytte. Beregn på baggrund af forholdet mel- 

lem aktieprisen og udbyttet hvor meget virksomhedens dividendebetaling årligt skal vækste i 

al fremtid, såfremt kunden har et afkastkrav til aktien på 10%. 

Beregning intervaller 

Opgave 13: 

En kunde har en lang position i en aktie og overvejer i den forbindelse at afdække sig mod 

kursfald inden for det næste halve år ved køb af put optioner med udløb om 6 måneder. 

side 45 (59) 




Kunden vil i den forbindelse gerne vide, hvor store udsving der kan forventes i kursen på 6 

måneders sigt. 

Du for oplyst at den aktuelle aktiekurs er 110 og at terminskursen på 6 måneders sigt er 

112,1, svarende til en risikofri rente på 3,75% p.a. Den historiske volatilitet på afkastet er 

10% p.a. I hvilket interval ligger aktiekursen med 95% sandsynlighed om 6 måneder under 

antagelse af, at logafkastet er normalfordelt og at terminsprisen er lig med den forventede 

fremtidige spotpris på aktien? 

Opgave 14: 

En kunde ønsker at få oplyst kursintervallet for en given akties kurs med 90% sikkerhed om 

1 år. Du har oplyst, at aktiekursen er 320 og at volatiliteten på afkastet årligt er 14%. Såfremt 

den risikofrie rente er 5% p.a., hvad er da dit bedste bud på aktiekursen om 1 år? 

(Antag at logafkastet er normalfordelt, og at terminsprisen er lig med den forventede fremti- 

dige spotpris på aktien.) 

Gearingseffekt 

Opgave 15: 

En af dine kunder tror at prisen på en aktie vil falde over de næste 6 måneder og ønsker at 

udnytte denne forventning. Aktiekursen er i dag 310 kr., og en ATM put option handles til en 

præmie på 12 kr. Beregn det procentvise afkast ved køb af optioner sammenholdt med en 

kort position i den underliggende aktie i tilfælde af, at kursen efter 6 måneder er henholds- 

vis steget til 340 kr. eller faldet til 280 kr. 

Opgave 16: 

En kunde ønsker at geare en investering i en aktie. Kursen på aktien er 65 kr. og kunden har 

90.000 kr. til formålet. Antag at kunden har følgende to muligheder: 

A. Kunden kan låne 300.000 kr. i banken til en rente på 5% p.a. og dermed investere for 

i alt 390.000 i aktien. 

B. Kunden kan alternativt investere de 90.000 kr. i ATM call optioner med en løbetid på 

6 måneder og en præmie på 7,75 kr. 

Beregn henholdsvis gevinst/tab for de to alternativer efter 6 måneder såfremt: 

side 46 (59) 




1. Aktien er faldet med 30 % 

2. Aktien er steget med 30 % 

3. Aktiekursen er uændret 

Deltahedge 

Opgave 17: 

Din kunde har investeret 1.200.000 kr. i en aktie til kurs 300. Kunden ønsker at afdække sin 

position, således at han er sikret mod mindre kursfald i aktien. Kundens bank tilbyder, at 

han kan afdække risikoen ved at købe ATM put optioner til en præmie på 10 kr. Deltaværdi- 

en for en sådan option oplyses at være -0,50 og handles i en kontraktstørrelse på 100 stk. at 

den underliggende aktie. 

Bergen antallet af put optioner kunden skal købe, for at afdække sig mod mindre kursfald i 

aktien. 

Opgave 18: 

En kunde har solgt 20 call optioner med en kontraktstørrelse på 10 stk. af en underliggende 

aktie pr. option. Optionens deltaværdi er fastsat til 0,30. Beregn hvor mange stk. af den un- 

derliggende aktie kundens skal købe eller sælge for at hedge sin position bedst muligt. 

Brug af indeksoptioner til afdækning 

Opgave 19: 

En virksomhed ønsker at afdække en aktieportefølje med en kursværdi på 7.000.000 kr. ved 

brug af indeksoptioner. Deltaværdien for en put option på et indeks med strikekurs 500 er - 

0,6. Kontraktstørrelsen er fastsat således at 1 option svarer til 100 andele i indekset. Beregn 

hvor mange put optioner på indekset virksomheden skal købe for at afdække sig mod kurs- 

fald, såfremt porteføljen har en beta på henholdsvis 0,8 og 1,8. 

Opgave 20: 

En virksomhed ønsker at halvere markedsrisikoen på en aktieportefølje i den kommende 

periode ved brug af indeksoptioner. Følgende oplysninger er tilgængelige: 

side 47 (59) 




Kursværdi på aktieportefølje: EUR 11.000.000 

Porteføljens betaværdi: 1,4 

Type af option: Put option på DAX-indekset 

Optionens deltaværdi: -0,8 

Aftalt strike: EUR 7.000 

Kontraktstørrelse: 1 option = 10 andele i indekset 

Beregn hvor mange put optioner virksomheden skal købe for at opnå den ønskede afdæk- 

ning? 

side 48 (59) 




Løsninger til regneopgaver 

Svar 1: 

Formlen for CAPM er: 

[ ] ( [ ] ) 

Leddet [ ] er lig med risikopræmien på markedet. Derfor kan aktionærernes afkast- 

krav beregnes til at være: 

Svar 2: 

Igen anvendes formlen for CAPM: 

[ ] 

[ ] ( [ ] ) 

Da udsvingene på aktien er dobbelt så store som markedets betyder det, at kovariansen mel- 

lem selskabets aktier og markedet er dobbelt så høj som variansen på markedet og beta er 

derfor 2,00. Afkastkravet til egenkapitalen er derfor ifølge CAPM: 

Svar 3: 

Følgende formel er udgangspunktet: 

[ ] ( ) 

[ ] ( [ ] ) 

I dette tilfælde er der to måder at løse opgaven på. Den første går ud på at bestemme [ ] 

for at fastslå risikopræmien for markedet [ ] . 

side 49 (59) 




[ ] 

[ ] ( [ ] ) 

( ) 

Risikopræmien er derfor 5,00%, og da den antages uændret efter rentefaldet må [ ] falde 

tilsvarende – altså med 0,5 procentpoint. Det nye afkastkrav kan derfor beregnes som: 

[ ] ( ) 

Denne metode kan også anvendes, hvis der samtidig med renteændringen sker en ændring i 

beta. I dette tilfælde får man dog oplyst, at beta (og risikopræmien [ ] ) er uændret så 

leddet ( [ ] ) har samme værdi efter renteændringen. Man har derfor hverken be- 

hov for at kende risikopræmien eksplicit, og dermed heller ikke markedsporteføljens forven- 

tede afkast. Ændringen i afkastkravet på den givne aktie vil blot være lig med ændringen i 

den risikofrie rente: 

Svar 4: 

[ ] ( ) 

Da kunden har købt en put option, er afkastet ved udløb givet som: 

⁄ ( ( ) ) 

hvor er spotkursen på udløbstidspunktet, K er den aftalte strike, og er den betalte præ- 

mie pr. enhed underliggende. 

Svar 5: 

⁄ ( ( ) ) 

Gevinst/tab ved udløb kan for køberne af de oplyste call optioner beregnes som: 

side 50 (59) 




⁄ ( ) 

Hvor er den betalte præmie pr. enhed underliggende. 

⁄ ( ) 

Da virksomheden har solgt call optioner vedrørende i alt 50.000 stk. af den underliggende 

aktie, taber virksomhedens samlet således: 

Svar 6: 

Til beregning af kundens gevinst/tab på investeringen skal offer-prisen anvendes til præ- 

miebetalingen på købstidspunktet, imens bid-prisen benyttes til at beregne indtægten på 

salgstidspunktet. 

Svar 7: 

( ) 

Da optionen er solgt, anvendes bid-prisen til at beregne kundens indtægt på salgstidspunk- 

tet, hvorimod offer-prisen angiver kundens udgift på købstidspunktet. 

Svar 8: 

( ) 

P/E kan beregnes ud fra nedenstående sammenhæng mellem de tre nøgletal: 

⁄ 

⁄ 

⁄ 

Baseret på seneste regnskab indikerer en P/E på 28,24 således en forventning om relativ høj 

indtjeningsvækst fremover. 

Svar 9: 

side 51 (59) 




Ud fra de givne oplysninger kan ROE kan beregnes til: 

⁄ 

⁄ 

Virksomhedens forrentning af egenkapitalen har i seneste regnskabs periode dermed været 

6,92%. 

Svar 10: 

Med udgangspunkt i Gordons vækstformel kan prisen på aktien bestemmes ud fra dividen- 

debetalingen og den forventede vækst samt investorernes afkastkrav: 

Svar 11: 

På baggrund af de givne oplysninger kan den implicitte vækst beregnes til: 

Svar 12: 

En pris på 8 gange udbyttet, svarer til en dividend yield på 

Med et afkastkrav på 10% kan væksten i fremtidige dividendebetalinger dermed beregnes til: 

. 

side 52 (59) 




Forventningerne til virksomheden er altså relativt beskedne, og dividendebetalingen må fal- 

de med 2,5% årligt for at levere et afkastkrav på 10% til kunden. 

Svar 13: 

Med udgangspunkt i terminsprisen, kan aktiens forventede pris om 6 måneder med 95% 

sikkerhed bestemmes som: 

Svar 14: 

( ) √ [ ] 

Terminskursen som intervallet tager udgangspunkt i kan bestemmes som: 

( ) 

Med 90% sikkerhed ligger aktiekursen om 1 år derfor i intervallet: 

Svar 15: 

( ) √ [ ] 

I begge tilfælde kan afkastet beregnes ved blot at sætte ”gevinst/tab” i forhold til det inve- 

sterede beløb. 

For den direkte investering i den underliggende aktie gælder det at (bemærk: ganges med 

-1 pga. kort position): 

( 

) 

side 53 (59) 




For optionsinvesteringen skal afkastet ved udløb sættes i forhold til den betalte præmie: 

Svar 16: 

( 

( 

) 

) 

( ) 

( ) 

( ) 

For lånealternativet kan afkastet ved henholdsvis fald/stigning på 30% beregnes som: 

⁄ ( ( 

Ved uændret aktiekurs taber kunden renteudgiften: 

( ( 

( ( 

)) 

)) 

)) 

side 54 (59) 




For optionsinvesteringen kan afkastet på en call option bestemmes som: 

( ) 

Ved både et fald på 30% samt uændret aktiekurs ses det at ( ) , hvorfor afka- 

stet bliver: 

Dvs. hele det investerede beløb tabes svarende til præmiebetalingen på 90.000 kr. 

Ved en stigning på 30% kan afkastet beregnes som: 

( ) 

Ved en investering på 90.000 kr. er gevinsten således: ( ) 

Resultaterne er gengivet i nedenstående tabel: 

1 (30% fald) 2 (30% stigning) 3 (uændret aktiekurs) 

A (Lån i bank) -124.500 kr. 109.500 kr. -7.500 kr. 

B (Optionsinvestering) -90.000 kr. 136.452 kr. -90.000 kr. 

Svar 17: 

Såfremt aktiekursen falder på kort sigt, vil kunden approksimativt være afdækket ved køb af 

80 put optioner ud fra følgende beregning: 

side 55 (59) 




Svar 18: 

Ved salg af call optioner taber kunden penge, såfremt den underliggende aktie stiger i værdi. 

For at afdække risikoen for kursstigninger, bør kunden således tage en lang position i aktien 

samtidig. Antallet af aktier som skal købes, kan beregnes til: 

I tilfælde af at aktiekursen stiger med 1 kr. vil kundens gevinst/tab være lig 0: 

1. Gevinst på aktiepositionen: 

2. Tab som følge af stigning i optionspris: ( ) , 

svarende til et samlet tab på - 

I tilfælde af at aktiekursen falder med 1 kr. vil kundens gevinst/tab være lig 0: 

1. Tab på aktieposition: 

2. Gevinst som følge af fald i optionspris: , 

Svar 19: 

svarende til en samlet gevinst på 

Antallet af optioner til afdækning kan beregnes ud fra nedenstående formel: 

side 56 (59) 




Såfremt porteføljen har en betaværdi på 0,8, bliver resultatet: 

Har porteføljen derimod en betaværdi på 1,8, bliver resultatet: 

Svar 20: 

For at halvere markedsrisikoen på aktieporteføljen skal virksomheden købe: 

side 57 (59) 




11. OPDATERINGER AF NÆRVÆRENDE DOKUMENT 

Version 1: Dateret den 17. februar 2012 

Opdateret den 21. februar 2012 

Afsnit 2.3.1 og 2.3.2: I afsnittene omkring europæiske og amerikanske optioner er 

teksten omformuleret, så det fremgår, at optioner på enkeltaktier på NASDAQ OMX 

NORDIC er amerikanske, imens indeksoptionerne er europæiske. 

Afsnit 3.2.1: Illustration af Covered Call er tilrettet, således den er korrekt og i over- 

ensstemmelse med teksten. 

Afsnit 4.4 tilføjet 

Opdateret den 12. marts 2012 

Afsnit 5.2: Afsnit omkring udregning af konfidensintervaller er ændret, herunder be- 

regningsmetoden. 

Opdateret den 17. april 2012 (med mindre sproglige justeringer) 

Opdateret den 14. september 2012 

Afsnit 4.4.2: Beregningen af den implicitte vækst er præciseret. 

Opdateret den 10. april 2013 

Afsnit 3: Underafsnit om aktieafkast (via CAPM) tilføjet 

Afsnittet om konfidensintervaller: Grafik med terminskurser og KI over de næste 24 

måneder er tilføjet 

Afsnit 4.4.2 Gordons vækstformel: forenklet til dividendemodel 

Nyt afsnit med regneopgaver er tilføjet sidst i kompendiet 

side 58 (59) 




12. LISTE OVER KOMPENDIER OM RØDE INVESTERINGSPRODUKTER 

Aktieterminskontrakter/futures 

Aktieoptioner/warrants 

Anparter 

Exchange traded funds (ETF) (indeholder appendix om ETN) 

Hedgefonde 

Obligationsterminskontrakter/futures 

Renteoptioner/renteswaptioner 

Renteswaps 

Repo 

Råvareterminskontrakter/futures 

Strukturerede obligationer 

Unoterede aktier 

Unoterede erhvervsobligationer 

Valutaoptioner 

Valutaswap 

Valutaterminskontrakter/futures 

side 59 (59)

Rød certificering Finanssektorens Uddannelsescenter Kompendium ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?