Materialien zur Vorlesung ”Portfolio-Selektion” - Burkhard Erke

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Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong> 7 Varianz der Renditen eines Portfolios: Anwendung auf ein Portfolio mit zwei Aktien • Varianz einer Summe • Varianz eines Portfolios: Var(er1 + er2)=Var(er1)+Var(er2)+2Cov (er1, er2) Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1Var(er1)+x 2 2Var(er2)+2x1x2Cov (er1, er2) , denn Var(xieri) =x 2 i σ 2 i ,xi und Cov (x e1r 1,xf2r2) =x1x2Cov (er1, er2) . • Alternativ: • Portfoliorisiko hängt ab von: Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x1x2σ1σ2ρ 1,2 — der Varianz der Renditen der einzelnen Wertpapiere im Portfolio — der Kovarianz bzw. der Korrelation zwischen den Renditen • Wegen der Abhängigkeit von der Kovarianz kann der Beitrag einer Aktie zum Riskiko des Portfolios nicht isoliert erfaßt werden. • Bei m Wertpapieren: Var(erP )= mX i=1 mX k=1 xixkσi,k = mX i=1 x 2 i σ 2 i + mX i=1 mX k=1 k6=i xixkσi,k
Portfolio-Selektion B. <strong>Erke</strong> Umweltzustan d Aktie eri Portfolio erP x1 =0, 5 x1 =0, 67 x1 =0, 75 j pj er1 er2 x2 =0, 5 x2 =0, 33 x2 =0, 25 1 0,25 -6% 0% -3% -4% -4,5% 2 0,25 +2% -10% -4% -2% -1% 3 0,25 +10% +14% +12% +11.33% +11% 4 0,25 +14% +20% +17% +16% +15,5% σ 2 59 138 84,25 72,67 68,06 σ 7,68 11,75 9,18 8,52 8,25 DR 9,72 9,04 8,70 Table 4: Aktien- und Portfoliorenditen • Durchschnittsrisiko: DR 2 =(x1σ1+x2σ2) 2 = x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x1x2σ1σ2 · 1 • Portfoliorisiko: Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2+2x1x2σ1σ2ρ 1,2 • Nur für den Fall ρ 1,2 =1ist die Varianz (Standardabweichung) der Portfoliorendite gleich dem Durchschnittsrisiko. In allen anderen Fällen ist die Varianz der Portfoliorendite geringer ⇒Diversifizierungseffekt Diversifikation mindert das Risiko eines Portefeuilles • Für den Fall vollständiger negativer Korrelation gilt: Var(x1er1 + x2 er2)=x 2 1σ 2 1+x 2 2σ 2 2−2x1x2σ1σ2=(x1σ1−x2σ2) 2 — Anteile xi können so gewählt werden, dass x1 σ2 = x2 σ1 . — Dann ergibt sich Var(x1er1 + x2 er2) =0. — Aus zwei riskanten Wertpapieren kann ein risikoloses Portfolio zusammengestellt werden.
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