Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus

Jürgen Kremer
Portfoliotheorie,
Risikomanagement und die
Bewertung von Derivten
Lösungen der Aufgaben
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Inhaltsverzeichnis
1 Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Ein-Perioden-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Portfoliotheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Mehr-Perioden-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Optionen, Futures und andere Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5 Value at Risk und kohärente Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.6 Diskrete Stochastische Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.7 Diskrete Stochastische Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1
Lösungen der Aufgaben
1.1 Ein-Perioden-Modelle
Aufgabe 1.1.
Konstruieren Sie ein Beispiel eines Marktmodells mit zwei Finanzinstrumenten
und zwei Zuständen, wobei das erste ein Vielfaches des zweiten ist. Machen
Sie sich klar, daßhier für ein replizierbares Auszahlungspro…l unendlich viele
replizierende Portfolios mit gleichem Anfangspreis existieren.
Lösung.
Mit
(b; D) =
10
100
gilt für ein beliebiges Portfolio h 2 R 2
D > h = 12h1 + 120h2
8h1 + 80h2
;
12 8
120 80
= 12
8
Es ist also jedes Vielfache der Auszahlung
Auszahlung
12
8
also durch h = 1
0 +
gleichen Preis
zum Zeitpunkt 0.
O¤enbar gilt
12
8
wird durch alle Portfolios h mit h
10
1
ker D > = h 2 R 2 h =
(h1 + 10h2) :
replizierbar. Speziell die
1
10
= 1 repliziert,
. Jedes dieser Portfolios besitzt jedoch den
h b = 10
10
1
? 10
100
= b:

2 1 Lösungen der Aufgaben
Aufgabe 1.2.
Machen Sie sich klar, daßdie Schnittmenge C \ B (0) im Beweis von Satz
1.44 gebildet wurde, um die Tatsache zu verwenden, daßstetige Funktionen
auf kompakten Mengen ein Minimum annehmen.
Lösung.
Stets kann ein > 0 so großgewählt werden, daßC \ B (0) 6= ; gilt, wobei
B (0) = fx 2 R n j kxk g. Für jedes x 2 C \ B (0) ist o¤ensichtlich
kxk . Für jedes x 2 CnB (0) gilt dagegen kxk > , so daßdas Minimum
der Funktion x 7 ! kxk tatsächlich nur in der Menge C \ B (0) gesucht werden
muß. Als Durchschnitt zweier kompakter, d.h. in R n abgeschlossener und
beschränkter, Mengen ist C \ B (0) selbst kompakt. Auf Grund der inversen
Dreiecksungleichung
jkxk kykj kx yk
ist die Abbildung x 7 ! kxk stetig. Da stetige Funktionen auf kompakten
Mengen ihr Minimum annehmen, folgt die Behauptung. (Stetige Funktionen
nehmen auf kompakten Mengen auch ihr Maximum an, aber dies wird hier
nicht benötigt.)
Aufgabe 1.3.
Sei K eine konvexe Teilmenge des R n , sei V ein Untervektorraum des R n
und sei C := K V = fx 2 R n j9(k; v) 2 K V; x = k v g. Weisen Sie die
Konvexität von C nach.
Lösung.
C ist konvex, wenn mit je zwei Punkten aus C auch die Verbindungslinie
dieser Punkte in C liegt. Seien also x; y 2 C beliebig. Dann gilt x = k v und
y = l w für k; l 2 K und für v; w 2 V . Sei weiter 0 1. Dann folgt
x + (1 + ) y = k + (1 + ) l ( v + (1 ) w) :
Da K konvex ist, gilt k + (1 + ) l 2 K und da V ein Untervektorraum ist,
gilt v + (1 ) w 2 V . Daraus folgt die Behauptung.
Aufgabe 1.4.
Zeigen Sie, daßUntervektorräume des R n abgeschlossen sind.

Lösung.
1.1 Ein-Perioden-Modelle 3
Sei V ein Untervektorraum des R n . Wähle eine Orthonormalbasis u1; : : : ; uk
von V und ergänze diese zu einer Orthonormalbasis u1; : : : ; uk; vk+1; : : : ; vn
des R n . Sei nun x 62 V beliebig gewählt. Dann gilt x = 1u1 + + kuk +
k+1vk+1 + + nvn. Weiter ist wenigstens ein j, j = k + 1; : : : ; n, von Null
verschieden, denn andernfalls wäre x 2 V . Dann gilt für jedes y = 1u1 +
+ kuk 2 V
kx yk 2 =
kX
( i i) 2 +
i=1
nX
i=k+1
2
i
2
j > 0:
Daraus folgt kx
o¤ene Kugel
yk j jj =: " > 0 für alle y 2 V . Dann besitzt aber die
die Eigenschaft
n
B " (x) = z 2 R 2 n kx zk < "
o
2
B " (x) \ V = ?:
2
Da x 62 V beliebig gewählt war, ist das Komplement von V o¤en, also V selbst
abgeschlossen.
Aufgabe 1.5.
Sei K eine kompakte Teilmenge des R n , sei V ein Untervektorraum des R n
und sei C = K V = fx 2 R n j9(k; v) 2 K V; x = k v g. Zeigen Sie, daß
C abgeschlossen ist.
Lösung.
Sei xn 2 C für n 2 N mit limn!1 xn = x 2 Rn . Zu zeigen ist x 2 C. Nach
De…nition gilt xn = kn vn, wobei kn 2 K und vn 2 V . Da K kompakt ist,
gibt es zu (kn) eine in K konvergente Teilfolge knj . Es gilt also
Daraus folgt die Konvergenz der Folge
lim
j!1 knj = k 2 K:
vnj = knj xnj
als Di¤erenz zweier konvergenter Folgen. Da V nach Aufgabe 1.4 abgeschlossen
ist, folgt
lim vnj = v 2 V:
j!1
Dies bedeutet aber
was zu zeigen war.
lim xnj = k v 2 C;
j!1

4 1 Lösungen der Aufgaben
Aufgabe 1.6.
Begründen Sie im Detail, warum die Menge
kompakt und konvex ist.
Lösung.
M = fx 2 R n j x > 0; x1 + + xn = 1g
Seien x; y 2 M. Zu zeigen ist, daßfür beliebiges 0 1 gilt x+(1 + ) y 2
M. Nun ist
x1 + (1 + ) y1 + + xn + (1 ) yn
= (x1 + + xn) + (1 ) (y1 + + yn)
= + (1 )
= 1:
Also ist M konvex. Weiter ist M beschränkt. Für x 2 M gilt zunächst xj
1 für alle j = 1; : : : ; n, denn andernfalls wäre x1 + + xn > 1, da nach
Voraussetzung xj 0 für alle j. Daraus folgt
kxk 2 = x 2 1 + + x 2 n
= 1:
x1 + + xn
Also gilt M B1 (0). Sei (xk) eine Folge in M. Da M beschränkt ist, gibt es
eine konvergente Teilfolge xkj in M. Es gilt also
Zu zeigen ist x 2 M. Nun gilt aber
lim
j!1 xkj = x 2 Rn :
1 = xkj;1 + + xkj;n ! x1 + + xn:
Daraus folgt aber x1 + + xn = 1, also x 2 M. Damit ist M auch abgeschlossen,
also zusammen mit der Beschränktheit kompakt, was zu zeigen
war.
Aufgabe 1.7.
Betrachten Sie das Marktmodell
(b; D) =
1
5
;
1:1 1:1
7 4
1. Untersuchen Sie (b; D) auf Vollständigkeit und auf Arbitragefreiheit.
2. Bestimmen Sie den Wert einer Call-Option auf S 2 mit Basispreis K = 6.
3. Berechnen Sie den Forward-Preis F eines Forward-Kontrakts auf S 2 .
:

Lösung.
1.1 Ein-Perioden-Modelle 5
1. Die Matrix D ist regulär, also ist das Marktmodell vollständig. Ferner gilt
D = b für
= 0:454 55
:
0:454 55
Wegen 0 ist (b; D) arbitragefrei.
2. Die Auszahlung c der Call-Option lautet c = 1
Wert c0 der Option zu
0
c0 = h ; ci = 0:454 55:
3. Die Auszahlung eines Forward-Kontrakts lautet c =
folgt
c0 = h ; ci = 0:454 55 11 2 0:454 55 F:
Es gilt c0 = 0 genau dann, wenn
F = 5:5:
Eine alternative Berechnungsmöglichkeit lautet
Aufgabe 1.8.
Betrachten Sie das Marktmodell
(b; D) =
F = S 2 0 (1 + r) = 5 1:1 = 5:5:
1
5
;
1:1 1:1 1:1
7 4 6
. Daraus ergibt sich der
:
7 F
4 F
. Daraus
1. Untersuchen Sie (b; D) auf Vollständigkeit und auf Arbitragefreiheit.
2. Bestimmen Sie den Wert einer Call-Option auf S 2 mit Basispreis K = 6.
3. Berechnen Sie den Forward-Preis F eines Forward-Kontrakts auf S 2 .
Lösung.
1. Die Abbildung D > : R 2 ! R 3 ist nicht surjektiv, also ist (b; D) nicht
vollständig. Die Gleichung D = b hat die Lösungen
0 1
0:454 55
:= @ 0:454 55 A +
0
@
1
0:666 67
0:333 33 A :
0
1

6 1 Lösungen der Aufgaben
Für = 1
2 gilt
also ist 1
2
1
2 =
0 1
0:121 22
@ A 0;
0:287 89
1
2
ein Zustandsvektor, und (b; D) ist arbitragefrei. Weiter ist auch
0 1
0:232 33
@ A 0:
1
3 =
0:343 44
1
3
0
2. Die Auszahlung c der Call-Option lautet c = @ 1
1
0 A. Damit ergibt sich
0
D
und D
E
1 ; c = 0:121 22
2
E
1 ; c = 0:232 33:
3
Daraus folgt, daßdie Auszahlung der Option nicht replizierbar ist, daßalso
die Option nicht durch den Preis eines replizierenden Portfolios bewertet
werden kann.
3. Hier gilt –wie in der letzten Aufgabe –
F = S 2 0 (1 + r) = 5 1:1 = 5:5:
0 1
7
Andererseits gilt aber auch c = @ 4 A
6
F für die Auszahlung des Forward-
Kontrakts und
D
also in beiden Fällen
Aufgabe 1.9.
E D
1 ; c =
2
F =
E
1 ; c
3
= 5 0:909 11 F;
5
= 5:5:
0:909 11
Betrachten Sie das Marktmodell
00
(b; D) = @@
1
5
1 0 11
1:1 1:1 1:1
A ; @ 7 4 6 AA
:
10 12 9 9
1. Zeigen Sie, daß(b; D) vollständig, aber nicht arbitragefrei ist.
2. Finden Sie eine Arbitragegelegenheit.

Lösung.
1.1 Ein-Perioden-Modelle 7
1. Der Rang von D ist 3, so daß(b; D) vollständig ist. Weiter ist die eindeutig
bestimmte Lösung von D = b gegeben durch
0 1
0:606 06
= @ 0:530 3 A :
0:227 27
Damit existieren in (b; D) Arbitragegelegenheiten.
2. Für
0
c = @
0
1
0:227 27 A > 0
0:530 3
gilt o¤enbar
h ; ci = 0:
Da (b; D) vollständig ist, ist c replizierbar. Damit ist c eine positive Auszahlung,
die zum Zeitpunkt 0 keinen Kapitaleinsatz erfordert und somit
eine Arbitragegelegenheit bietet. Das eindeutig bestimmte replizierende
Portfolio lautet
0
h = @
1: 515 1
0:151 52
0:227 27
1
A :
Damit gilt nun
und
also ist h eine Arbitragegelegenheit.
Aufgabe 1.10.
h b = 0
D > h = c > 0;
Betrachten Sie das Marktmodell
00
1
1 0
11
1:1 1:1 1:1 1:1
(b; D) = @@
5 A ; @ 7 4 6 3 AA
:
10 12 9 9 13
1. Zeigen Sie, daß(b; D) nicht vollständig, dagegen aber arbitragefrei ist.
2. Geben Sie eine zustandsabhängige Auszahlung c 2 R 4 an, die nicht repliziert
werden kann.
3. Bestimmen Sie die Menge aller replizierbaren Auszahlungen.

8 1 Lösungen der Aufgaben
Lösung.
1. Die Abbildung D > : R 3 ! R 4 ist nicht surjektiv, also ist (b; D) nicht
vollständig. Ferner hat das Gleichungssystem D = b die Lösungen
0 1
0:606 06
B
= B 0:530 3 C
@ 0:227 27 A
0
+
0
B
@
1
1: 333 3
2: 166 7 C
2: 5 A
1
:
Dann gilt
und
Also sind sowohl 1
5
1
5 =
1
10 =
als auch 1
10
0 1
0:339 4
B 0:096 96 C
@ 0:727 27 A
0:2
0 1
0:472 73
B 0:313 63 C
@ 0:477 27 A
0:1
:
Zustandsvektoren, und (b; D) ist arbi-
tragefrei.
2. Daraus folgt beispielsweise, daßalle Einheitsvektoren e1; : : : ; e4 nicht re-
plizierbar sind, denn es gilt
D
1
5 i =
1 ; ei
5
E D
6=
1 ; ei
10
E
= 1
10 i:
3. Eine Auszahlung c 2 R4 ist dann replizierbar, wenn h 0;
ci den gleichen 1
1: 333 3
B
Wert für alle 2 R besitzt. Daraus folgt, daßalle zu B 2: 166 7 C
@ 2: 5 A
1
orthogonalen
Vektoren replizierbar sind. So besitzt beispielsweise das Gleichungssystem
D > 0 1
0
0 1
B
h = c für c := B 0 C
2: 272 7
C
@ 1 A die Lösung h = @ 0:5 A.
0:5
2: 5
Aufgabe 1.11.
Betrachten Sie das Marktmodell
00
(b; D) = @@
1
5
1 0 11
1:1 1:1 1:1
A ; @ 3 4 7 AA
:
10 12 9 11

1.1 Ein-Perioden-Modelle 9
1. Zeigen Sie, daßdas Marktmodell arbitragefrei und vollständig ist.
2. Bestimmen Sie die Werte einer Call- und einer Put-Option auf S 3 mit
Basispreis K = 10.
3. Veri…zieren Sie die Put-Call-Parität mit Hilfe der Ergebnisse aus 2.
4. Bestimmen Sie die Werte aus 2. mit Hilfe des diskontierten Marktmodells,
wobei S 1 als Numéraire gewählt werden soll.
5. Bestimmen Sie die Werte aus 2. mit Hilfe des diskontierten Marktmodells,
wobei S 3 als Numéraire gewählt werden soll.
Lösung.
1. Das Gleichungssystem D = b besitzt die eindeutig bestimmte Lösung
0 1
0:247 93
= @ 0:123 97 A :
0:537 19
Da 0, ist das Marktmodell (b; D) arbitragefrei. Da weiter die Lösung
eindeutig bestimmt ist, ist D injektiv und damit nach dem Dimensionssatz
auch surjektiv. Also ist (b; D) auch vollständig.
2. Für die Auszahlungen c und p der Call- und Put-Option gilt
c = max S 3
0
10; 0 = @ 2
1
0 A ;
1
p = max 10 S 3 0 1
0
; 0 = @ 1 A :
0
Da das Marktmodell vollständig ist, sind die Auszahlungen der Optionen
replizierbar, und die zugehörigen Preise c0 und p0 ergeben sich zu
3. Die Put-Call-Parität lautet
c0 = h ; ci = 1: 033;
p0 = h ; pi = 0:124:
c0 = S0 dK + p0:
Mit d = 1 + 2 + 3 = 0:909 09 = 1
1:1 gilt S0
10
dK + p0 = 10
0:124 = 1: 033 = c0.
4. Das diskontierte Marktmodell mit S1 als Numéraire lautet
00
~ b; D ~ B
= @@
1
1 0 11
1 1 1
5 A B 3 4 7 CC
; @ 1:1 1:1 1:1 AA
:
10
12
1:1
9
1:1
11
1:1
1:1 +

10 1 Lösungen der Aufgaben
Der zugehörige Zustandsvektor ~ ergibt sich als Lösung von ~ D ~ = ~ b zu
0 1
0:272 73
~ = @ 0:136 36 A :
0:590 91
Die diskontierten Auszahlungen lauten
0
~c = c
S 1 1
~p = p
S 1 1
= @
0
= @
2
1:1
0
1
1:1
0
1
1:1
0
Damit ergeben sich die Preise der Optionen im diskontierten Modell zu
c0 = S 1 D E
0 ~c0 = ~c0 = ~ ; ~c = 1: 033;
p0 = S 1 D E
0 ~p0 = ~p0 = ~ ; ~p = 0:124:
5. Das diskontierte Marktmodell mit S3 als Numéraire lautet
00
1 0 11
~ b; D ~ BB
= @@
1
10
1
2
1
1
A ;
1
A :
1:1 1:1 1:1
12 9 11
3 4 7
12 9 11
C B
A ; @
CC
AA
:
1 1 1
Der zugehörige Zustandsvektor ~ ergibt sich als Lösung von ~ D ~ = ~ b zu
0 1
0:297 52
~ = @ 0:111 57 A :
0:590 91
Die diskontierten Auszahlungen lauten
0
~c = c
S 3 1
~p = p
S 3 1
= @
0
= @
1
6
0
1
11
0
1
9
0
Damit ergeben sich die Preise der Optionen im diskontierten Modell wiederum
zu
1
A ;
1
A :
c0 = S 3 D E
0 ~c0 = 10~c0 = 10 ~ ; ~c
p0 = S 3 0 ~p0 = 10~p0 = 10
= 1: 033;
D E
~ ; ~p = 0:124:

Aufgabe 1.12.
Betrachten Sie das Marktmodell
00
(b; D) = @@
56
1 0 11
60 59 57
8 A ; @ 11 7 10 AA
:
33 32 36 41
1.1 Ein-Perioden-Modelle 11
1. Zeigen Sie, daß(b; D) arbitragefrei und vollständig ist, und bestimmen Sie
den eindeutig bestimmten Zustandsvektor .
2. Finden Sie die eindeutig bestimmte festverzinsliche Anlage mit der Eigenschaft
S1 (!) = 1 für alle ! 2 .
3. Bestimmen Sie daraus den Diskontfaktor d und den risikolosen Zinssatz
r.
4. Veri…zieren Sie d = P 3
j=1 j.
Lösung.
1. Die eindeutig bestimmte Lösung des Gleichungssystems D = b lautet
0
B
= @
1 0
C B
A = @
0:312 80
0:588 72
4: 381 8 10 2
1
C
A :
721
2305
1357
2305
101
2305
Also ist (b; D) arbitragefrei und vollständig.
2. Die eindeutig bestimmte Lösung von D > 0 1
1
= @ 1 A =: e lautet
1
=
0
B
@
1
32
2305
3 C
2305 A =
11
2305
0
1: 388 3
B
@
10 2
1: 301 5 10 3
4: 772 2 10 3
1
C
A :
Das Portfolio bildet damit eine festverzinsliche Kapitalanlage.
3. Der Wert d von zum Zeitpunkt 0 lautet
d = h ; ei = 2179
= 0:945 34;
2305
und entspricht gerade dem Diskontfaktor des Modells. Die zugehörige Rendite
r lautet
r = 1
d
4. Dies folgt unmittelbar aus d = h ; ei.
1 = 126
= 5: 782 5%:
2179

12 1 Lösungen der Aufgaben
Aufgabe 1.13.
Sei (b; D) ein arbitragefreies Marktmodell mit Zustandsvektor und seien
C und C 0 zwei Investitionsalternativen, die zu den beiden zukünftigen zustandsabhängigen
replizierbaren Auszahlungen c 2 R K und c 0 2 R K führen.
Wir möchten ein Kriterium einführen, nach dem derartige Investitionen miteinander
verglichen werden können und nach dem insbesondere festgestellt
werden kann, ob und wann C 0 gegenüber C zu bevorzugen ist. Dazu wird auf
Im D > Im D > eine Relation de…niert durch
c 0
c () h ; c 0 i h ; ci :
c 0 c bedeutet, daßc 0 wenigstens so gut ist wie c. Dies ist de…nitionsgemäß
also genau dann der Fall, wenn der auf t = 0 transformierte Wert h ; c 0 i von
c 0 größer gleich dem auf t = 0 transformierten Wert h ; ci von c ist.
1. Zeigen Sie, daß eine re‡exive und transitive Relation de…niert.
2. De…niert auch eine Ordnungsrelation?
Lösung.
1. Die Relation ist re‡exiv, denn für alle c 2 Im D > gilt h ; ci h ; ci.
Gilt c 0 c und c 00 c 0 , so folgt
also
Also ist transitiv.
2. Wähle c = 1
0 h ; c 0
0 h ; c 00
0 h ; c 0
= h ; c 00
ci und
c 0 i ;
ci + h ; c 00
ci :
; 0; : : : ; 0 und c
1
0 = 0; 1
2
h ; ci = h ; c 0 i = 1;
c 0 i
; 0; : : : ; 0 . Dann gilt
aber c 6= c 0 . Also ist nicht antisymmetrisch und damit keine Ordnungsrelation.
1.2 Portfoliotheorie
Aufgabe 2.1.
Betrachten Sie ein Portfolio, das aus den beiden Wertpapieren S 1 und S 2
besteht. Die erwartete Rendite von S 1 betrage 5%, die von S 2 habe den Wert
8%. Das Risiko von S 1 betrage 18%, das von S 2 sei 25%. Die Kovarianz der
Renditen von S 1 und S 2 betrage 0:0135.

1.2 Portfoliotheorie 13
1. Welche Werte besitzen die erwartete Portfoliorendite und das Risiko des
Portfolios, wenn 20% des eingesetzten Kapitals in S 1 und 80% in S 2 investiert
werden?
2. Wie mußdas Kapital zwischen S 1 und S 2 aufgeteilt werden, damit das
Portfolio ein minimales Risiko besitzt?
3. Berechnen Sie die erwartete Rendite und das Risiko dieses Portfolios.
Lösung.
1. Die erwartete Portfoliorendite lautet
= 0:2 5% + 0:8 8% = 7:4%:
Für die Portfoliovarianz 2 ( ) in Abhängigkeit des Kapitalanteils für
S 1 gilt
2 ( ) = ( 1) 2 + ((1 ) 2) 2 + 2 (1 ) Cov(R1; R2)
= 2 2 + 2 c
mit c := Cov(R1; R2). Daraus folgt
also
2. Mit
gilt
Dies verschwindet für
2 ( ) = 2 2 + 2 c
20 ( ) = 2 c
=
2
2 + 2 1 + 2 2 2c
2 (0:2) = 0:0456;
(0:2) = 21:36%:
2 ;
2
2 + 2 1 + 2 2 2c
2
2 + 2
2
2 c
2
1 + 2 2 2c
2
1 + 2 2 2c :
= 72:16%:
3. In diesem Fall lautet die erwartete Portfoliorendite
= 0:7216 5% + 0:2784 8% = 5:84%:
Für die Varianz der Portfoliorendite erhalten wir
also gilt für das Risiko
2 (0:7216) = 0:0271;
(0:7216) = 16:47%:
2

14 1 Lösungen der Aufgaben
Aufgabe 2.2.
Zeigen Sie, daßhX; Y i := E [XY ] ein Skalarprodukt auf dem Raum aller
Zufallsvariablen X : ! R de…niert. Geben Sie eine Basis des Vektorraums
aller Zufallsvariablen an, die bezüglich dieses Skalarprodukts orthonormal ist.
Lösung.
Unmittelbar aus der De…nition folgt die Symmetrie von h ; i. Die Bilinearität
folgt sofort aus der Linearität des Erwartungswerts. Sei schließlich hX; Xi = 0.
Dies bedeutet
E X 2 kX
= X 2 (!) P (!) = 0:
i=1
Da P (!) > 0 für alle ! 2 , folgt X2 = 0, also X = 0, was zu zeigen war.
Sei 1f!g die charakteristische Funktion der einelementigen Menge f!g,
also
1f!g (! 0 ) = 1, falls !0 = !
0 sonst
;
dann gilt mit der De…nition
o¤enbar
hei; eji =
kX
k=1
ei :=
1
p P (!i) 1 f!ig
1 f!ig (!k) 1 f!jg (!k)
p P (!i) P (!j) P (!k) = ij:
Andererseits gilt für jede beliebige Abbildung X : ! R
X =
=
kX
X (!i) 1f!ig i=1
kX
X (!i) p P (!i)ei;
i=1
also bilden die ei eine Orthonormalbasis.
Aufgabe 2.3.
(Bewertung einer Investition) Der Gesamtmarkt, repräsentiert etwa durch
einen Index, habe ein Jahresrisiko von 20% und eine erwartete Jahresrendite
von 8%. Der risikolose Zinssatz betrage 2%. Eine Investition S soll bewertet
werden. Das Jahresrisiko von S werde auf 30% geschätzt und für die Korrelation
zum Gesamtmarkt wird der Wert 0:4 angenommen. Wie hoch ist die
zum Gesamtmarkt passende Jahresrendite der Investition S?

Lösung.
Nach Gleichung (2.25) gilt
= r + M r
= 2 +
= 5:6:
M
8 2
20
(R; RM )
30 0:4
Die zum Markt passende Jahresrendite beträgt also 5:6%.
Aufgabe 2.4.
1.2 Portfoliotheorie 15
Wir betrachten ein Portfolio, das aus Anteilen an der risikolosen Kapitalanlage
und aus Anteilen an P besteht und bezeichnen mit 0 den Prozentsatz des
Kapitals, der in P investiert wird. Nach (2.27) läßt sich die erwartete Rendite
P von P schreiben als P = r + ( r) P . Zeigen Sie, daßfür := E[R ]
mit R = RP + (1 ) r gilt
wobei = P .
Lösung.
Es gilt
Aufgabe 2.5.
= E[R ]
= r + ( r) ;
= E[ RP + (1 ) r]
= E[RP ] + (1 ) r
= (r + ( r) P ) + (1 ) r
= r + ( r) P :
Die Investition S aus Aufgabe 2.3 verspricht nach einem Jahr eine erwartete
Auszahlung von 10 000 Euro. Wie hoch ist der zum Markt passende Preis S0
heute?

16 1 Lösungen der Aufgaben
Lösung.
Nach Gleichung (2.34) gilt
S0 = E[S1]
1 +
= 10 000
1:056
= 9469:7:
Der zum Markt passende Preis beträgt also 9469:7 Euro.
Aufgabe 2.6.
Geben Sie einen alternativen Beweis für die Aussagen EQ [L] 1 und 1 =
EQ [L] () P = Q an. Gehen Sie dazu mit qj := Q (!j) und pj := P (!j) aus
von
KX
1 =
und verwenden Sie die Schwarzsche Ungleichung zum Nachweis von
Lösung.
1
KX
q 2 j
pj
j=1
j=1
qj
= E Q [L]:
Mit qj = Q (!j) und pj = P (!j) gilt E Q [L] = P K
j=1
Schwarzschen Ungleichung
Also gilt
KX KX qj p
1 = qj = p pj
pj
j=1
Weiter ist 1 = P K
j=1
q 2
j
pj
j=1
1
v
u
t K X
KX
q 2 j
pj
j=1
q 2 j
pj
j=1
:
q 2
j
pj
v
u
t K v
u
X u
pj = t K X
j=1
. Daraus folgt mit der
q 2 j
pj
j=1
nach (2.15) genau dann, wenn qj
p pj = p pj, also wenn
qj = pj für alle j = 1; : : : ; K gilt. Aus P K
j=1 qj = P K
j=1 pj = 1 folgt = 1.
Damit ist E Q [L] = 1 genau dann, wenn P = Q.
:

Aufgabe 2.7.
1.2 Portfoliotheorie 17
Zeigen Sie, daßder Punkt p V[L]; r + V[L] im - -Diagramm auf der Kapitalmarktlinie
liegt.
Lösung.
Für ( ; ) = p V[L]; r + V[L] gilt
r = p V(L):
Nach (2.50) liegt der Punkt ( ; ) daher auf der Kapitalmarktlinie.
Aufgabe 2.8.
Sei M ein Portfolio mit der Eigenschaft
RM = (1 ) r + RL:
Sei weiter M 0 ein Portfolio, das aus einer Investition von 0 Kapitalanteilen
in L und aus 1
gilt also
0 Anteilen der risikolosen Kapitalanlage gebildet wird. Es
RM 0 = 1
Zeigen Sie, dass es dann ein 2 R gibt mit
0 r + 0 RL:
RM 0 = (1 ) r + RM :
Dies bedeutet, daßdas Portfolio M 0 auch als Mischung der risikolosen Kapitalanlage
mit M dargestellt werden kann. In diesem Sinne sind also je
zwei riskante Portfolios auf der Kapitalmarktlinie gleichwertig, und das One
Fund Theorem gilt nicht nur für L selbst, sondern auch für jedes Portfolio
M = a + bL mit b 6= 0.
Lösung.
Mit
und
gilt der Zusammenhang
RM 0 = 1
0 r + 0 RL
RM = (1 ) r + RL

18 1 Lösungen der Aufgaben
RM 0 = 1
= 1
= 1
= 1
Wähle also := 0
.
Aufgabe 2.9.
0 r + 0 RL
0 r
0
0
r
r +
0
(1 ) r +
0
0
(1 ) r +
RM :
0
(1 ) r +
0
0
RL
((1 ) r + RL)
Betrachten Sie ein Ein-Perioden-Modell (S0; S1; P ). Die Kovarianzmatrix C
des Modells ist gegeben durch
Cij = Cov (Ri; Rj) :
1. Zeigen Sie, dass sich das Minimum-Varianz-Portfolio-Optimierungsproblem
formulieren läßt als
min 1
unter den Nebenbedingungen
h ; C i
2
D
; ( 1; : : : ; N) >E
D
=
; (1; : : : ; 1)
;
>E
= 1:
für eine vorgegebene Portfoliorendite . Dabei gilt i = hiSi
folio h 2 R
0
h S0
für ein Port-
N .
2. Angenommen, die Kovarianzmatrix C ist positiv de…nit. Zeigen Sie unter
Verwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren, daßdas
Minimum-Varianz-Optimierungsproblem eine Lösung besitzt, falls für
geeignete 1 und 2 gilt
C = 1 ( 1; : : : ; N) > + 2 (1; : : : ; 1) > :
3. Angenommen, es existieren Lösungen 2 R N und 0 2 R N für
C = ( 1; : : : ; N ) > ;
C 0 = (1; : : : ; 1) > :
Untersuchen Sie, unter welchen Voraussetzungen das Minimum-Varianz-
Optimierungsproblem in diesem Fall eine Lösung besitzt.

Lösung.
1. Für die Varianz 2 der Portfoliorendite gilt
2 = h ; C i :
1.2 Portfoliotheorie 19
Gesucht ist das durch die Gewichte gekennzeichnete Portfolio mit minimaler
Varianz bei vorgegebener erwarteter Rendite
=
NX
i=1
i i =
D
; ( 1; : : : ; N) >E
:
Die Portfoliogewichte summieren sich zu 1, d.h.
D
; (1; : : : ; 1) >E
= 1:
Daraus ergibt sich die behauptete Darstellung, wobei der Faktor 1
2 aus
Bequemlichkeitsgründen eingefügt wurde.
2. Für eine Minimallösung gilt mit den Lagrange-Multiplikatoren 1 und 2
Dies bedeutet
1
2 r h ; C i = 1r h ; ( 1; : : : ; N )i + 2r h ; (1; : : : ; 1)i :
C = 1 ( 1; : : : ; N) > + 2 (1; : : : ; 1) > :
Unter Voraussetzung det C > 0 besitzt das Minimierungsproblem
min 1
h ; C i
2
h ; i = gegeben
h ; 1i = 1
= ( 1; : : : ; N) ; 1 = (1; : : : ; 1)
eine Lösung. Wähle max := max ( 1; : : : ; N ) und min := min ( 1; : : : ; N ).
Dann gibt es ein s 2 R
gegeben = s max + (1 s) min:
Setzen wir in s die Kompontente für max gleich s, die für min gleich
1 s und alle anderen Null, so gilt h s; i = gegeben. Betrachte nun
A := 2 R N jh ; C i h s; C si :
Dann ist A kompakt, und die Funktion 1
2 h ; C i nimmt auf A ein Minimum
an. Weiter gilt folgendes: Angenommen, ist Lösung von

20 1 Lösungen der Aufgaben
dann folgt
Betrachte die Gleichungen
Mit
gilt
C = + 1;
= C 1 + C 1 1:
gegeben = h ; i = ;C 1 + ;C 1 1
1 = h ; 1i = 1;C 1 + 1;C 1 1 :
a = 1;C 1
b = ;C 1
c = 1;C 1 1
d = bc a 2
= c gegeben
d
Beachte: O¤enbar sind a; b > 0 sowie
0 < a b1;C 1 (a b1) = a 2
a
= b a gegeben
d
;C 1
= a 2 b 2a 2 b + b 2 a = b a 2 + ab = bd;
also d > 0.
3. Nehmen wir an, daß und 0 die Gleichungssysteme
lösen, so gilt
C = ( 1; : : : ; N ) > und
C 0 = (1; : : : ; 1) >
2ab ;C 1 1 + b 2 1;C 1 1
C ( 1 + 2 0 ) = 1 ( 1; : : : ; N ) > + 2 (1; : : : ; 1) > :
Für die Nebenbedingungen erhalten wir die Beziehungen
D
= 1 + 2 0 ; ( 1; : : : ; N) >E
D
= 1 ; ( 1; : : : ; N) >E
D
+
0;
2 ( 1; : : : ; N ) >E
= 1a11 + 2a12;

1.2 Portfoliotheorie 21
D
mit a11 := ; ( 1; : : : ; N) >E
D
und a12 := 0; ( 1; : : : ; N) >E
chend gilt
. Entspre-
D
1 = 1 + 2 0 ; (1; : : : ; 1) >E
D
= 1 ; (1; : : : ; 1) >E
D
+
0; >
2 (1; : : : ; 1) E
= 1a21 + 2a22;
D
für a21 := ; (1; : : : ; 1) >E
und a22 :=
trix
A = a11 a12
a21 a22
regulär, so besitzt das Gleichungssystem
A
1
2
D 0; (1; : : : ; 1) > E
. Ist also die Ma-
= 1
eindeutig bestimmte Lösungen 1 und 2.
Aufgabe 2.10.
Betrachten Sie das Marktmodell
0
0
0 1 0
1
B 100 110 98 80 105 B
B
(b; D; P ) = B@
5 A ; @ 7 4 6 3 A B
; B
@
@
10 12 9 9 13
2
10
3
10
3
10
2
10
11
CC
CC
CC
AA
:
Lösen Sie das Minimum-Varianz-Problem mit der in Aufgabe 2.9 vorgestellten
Methode für eine vorgegebene Portfoliorendite von = 19%.
Lösung.
Die Renditen Ri (!j) der Wertpapiere im Marktmodell (b; D; P ), geschrieben
als Matrix, lauten:
0
1
(Ri (!j)) ij =
B
@
1
10
2
5
1
5
1
50
1
5
1
10
1 1
5 20
1 2
5 5
1 3
10 10
C
A :
Mit Hilfe des Wahrscheinlichkeitsmaßes P berechnen sich daraus die erwarteten
Renditen E P [Ri] = i, geschrieben als Vektor, zu

22 1 Lösungen der Aufgaben
0
= RP = @
Damit lautet die Matrix (Ri (!j) i) ij
0
(Ri (!j) i) ij =
B
@
17
125
2
5
4
25
1
9
250
0 A :
1
25
2
125
1
5
7
50
41 43
250 500
1 2
5 5
7 13
50 50
Die Kovarianzmatrix C läßt sich damit berechnen als
0
1
C =
B
@
3331
250 000
17
2500
47
3125
17
2500
11
125
1
125
47
3125
1
125
19
625
C
A :
1
C
A :
Für die Gleichungssysteme Cv = und Cw = 1 erhalten wir die Lösungen
Mit Hilfe der Matrix
A = a11 a12
a21 a22
v =
w =
0
B
@
0
B
@
188 500
19 683
425
2187
118 150
19 683
620 000
6561
13 000
729
60 125
6561
1
C
A und
1
C
A :
= h ; i h 0 ; i
h ; 1i h 0 ; 1i =
11 512
19 683
24 725
6561
24 725
6561
225 625
2187
ergeben sich die Lagrange-Multiplikatoren 1 und 2 als Lösung des Gleichungssystems
Wir erhalten
1
2
A
=
1
2
= 1 = 19%
1
!
73 599
145 300 =
102 421
3632 500
Die optimalen Portfoliogewichte lauten damit
0 1
1 + 2 0 =
=
73 599 B
@
145 300
0
B
@
1
3177
1453
11 751 C
29 060 A =
80 849
29 060
188 500
19 683
425
2187
118 150
19 683
0
B
@
C
A +
2:186 5
0:404 37
2:782 1
!
0:506 53
:
0:028196
:
102 421
3632 500
1
C
A :
0
B
@
620 000
6561
13 000
729
60 125
6561
!
1
C
A

1.2 Portfoliotheorie 23
Zur Probe berechnen wir die erwartete Rendite des erhaltenen Portfolios:
0 1 0 1
B
@
3177
1453
11 751
29 060
80 849
29 060
C
A
B
@
9
250
0
1
25
Für die Portfoliovarianz erhalten wir
0 1 00
1 0
B
@
3177
1453
11 751
29 060
80 849
29 060
C
A
BB
@@
3331
250 000
17
2500
47
3125
17
2500
11
125
1
125
47
3125
1
125
19
625
C B
A @
C
A = 19
100 :
3177
1453
11 751
29 060
80 849
29 060
11
Dies entspricht einer Standardabweichung von
r
361 613
= 0:352 76 = 35:2%:
2906 000
Aufgabe 2.11.
Betrachten Sie das Marktmodell
0
0
0 1 0
1
B 100 102 102 102 102 B
B
(b; D; P ) = B@
5 A ; @ 7 4 6 3 A B
; B
@
@
10 12 9 9 13
CC
361 613
AA
= = 0:124 44:
2906 000
2
10
3
10
3
10
2
10
11
CC
CC
CC
AA
:
Lösen Sie das Minimum-Varianz-Optimierungsproblem mit Hilfe des in Abschnitt
2.3 entwickelten Verfahrens für ein Anfangskapital v = 1000 und für
die erwarteten Renditen 4% und 12%.
Lösung.
Zum Nachweis der Arbitragefreiheit des Marktmodells betrachten wir das
Gleichungssystem D = b und erhalten als Lösungsmenge
80
>< B
@
>:
20
51
65
102
5
102
0
1
C
A +
0
B
@
4
3
13
6
5
2
1
1
C
A
9
>=
2 R :
>;
Für = 0:15 erhalten wir die spezielle strikt positive Lösung

24 1 Lösungen der Aufgaben
0 1 49
255
B 637 C
B
:= 2040 C
B
@ 133 C
A
408
3
20
=
0 1
0:192 16
B 0:312 25
C
B C
@ 0:325 98 A
0:15
:
Also ist das Marktmodell arbitragefrei. Der Diskontfaktor lautet d = 1
1:02 =
0:980 39, und wir erhalten für das äquivalente Martingalmaß
Q = 1
d
0
B
= 1:02 B
@
49
255
637
2040
133
408
3
20
49
50
637
600
133
120
153
200
1
C
A =
0 1
0:196
B 0:318 50
C
B C
@ 0:332 50 A
0:153
:
Damit ergibt sich die Zustandsdichte
L = Q
P =
0 1
B C
B C
B C
@ A =
0 1
0:98
B 1:061 7
C
B C
@ 1:108 3 A
0:765
:
Es gilt L 62 Im D > , aber 1 2 Im D > . Das Portfolio mit D > = 1 lautet
0
= @
1
102
0
0
Wir orthonormieren die nun die beiden nicht konstanten Spaltenvektoren
c1; c2 2 Im D > der Matrix D > ,
Mit
gilt
1
A :
0 1
7
B
c1 = B 4 C
@ 6 A
3
; c2
0 1
12
B
= B 9 C
@ 9 A
13
:
1 = E [c1] = 5; und 2 = E [c2] = 52
5
r h
(c1) = E (c1 1) 2i
r h
(c2) = E (c2
r
11
= = 1:4832;
5
2) 2i
r
76
= = 1:7436 und
25
Cov (c1; c2) = E [(c1 1) (c2 2)] = 2
5 :

Damit werden die orthonormierten Vektoren berechnet. Es gilt
f1 = c1
(c1) =
0 1
r 7
5 B 4 C
11 @ 6 A
3
und
Weiter gilt
und daher
~f2 =
~f2 = c2 Cov (c2; f1) f1
= c2
1
2 (c1) Cov (c2; c1) c1
0 1
= c2 + 2
11 c1 =
s
f2 =
E ~ f2 ~ 2
1
~f2
~f2 =
B
@
2
146
11
107
11
111
11
149
11
=
r 275
816
C
A :
1.2 Portfoliotheorie 25
r
816
= 1:7226
275
0
B
@
146
11
107
11
111
11
149
11
1
C
A :
Die Vektoren f1 und f2 sind nun bezüglich der Kovarianz orthonormiert. Sie
besitzen also die Eigenschaften
(f1) = 1;
(f2) = 1 und
Cov (f1; f2) = 0:
Ferner gilt f1; f2 2 Im D > . Wir bestimmen jetzt Portfolios h1; h2 2 R 3 mit
f1 = D > h1 und f2 = D > h2 und erhalten
h1 =
h2 =
r
0
5
@
11
0
1
1 A und
0
r
0 1
275
@ A :
816
0 2
11
1
Mit diesen Ergebnissen berechnen wir zunächst

26 1 Lösungen der Aufgaben
Damit gilt
Daraus folgt
Wir berechnen nun
Damit gilt
L k =
h :=
j=1
Cov(f1; L) = 0:067407
Cov(f2; L) = 0:10555:
0
2X
B
Cov(fj; L)fj = B
@
kX
j=1
für alle h 2 R 3 . Daraus folgt
L k = 0:12524:
0
Cov(fj; L)
hj = @
Lk e := D > h , (e) = 1 und
1
0:495 17
0:414 26 C
0:345 64 A
0:693 65
:
0:0
0:273 91
1
A :
0:489 25
Cov D > h; L Cov(e; L)e = 0
h S0 = h b = 3:523
=
v
=
h S0
0
g = h = @
283:85
1
0:0
77:749 A
D
138:87
> 0
B
h = B
@
1
3:953 6
3:307 6 C
2:759 8 A
Rh
0
B
= B
@
5:538 5
1
0:12223
0:06114 1 C
0:21663 A
0:57210
h = E [Rh ] = E D> h
1 = 5:55%
h S0
r h
h = E (Rh h ) 2i
= 28:922%
g = h = ( r)
h
h
r =
r
h r h :

1.3 Mehr-Perioden-Modelle 27
Für die Renditen 4% und 12% erhalten wir mit diesen Ergebnissen folgende
Werte von und g und g
Rendite =
Aufgabe 2.12.
r
h r g = h g = (1 ) v
d
0 1
4:366 2
@ 43:802 A
+ g
0
78:237
@ 23:333
1
259:16 A
462:9
4 2
4% 5:55 2 = 0:563 38 16: 294%
12 2
12% 5:55 2 = 2:816 9 81: 47%
Konstruieren Sie ein Marktmodell, das keine replizierbare Zustandsdichte besitzt.
Lösung.
Setze
und
Dann folgt
D :=
1 2 3
1 2 5
:= (1; 1; 2) :
b = D = 5
9
und das Marktmodell (b; D) ist arbitragefrei. Andererseits gilt
0
1
h1 + h2
D > h = @ 2 (h1 + h2) A ;
3h1 + 5h2
d.h., kein strikt positiver Vektor ist replizierbar. Wähle schließlich P =
1
3
; 1
3
; 1
3 .
1.3 Mehr-Perioden-Modelle
Aufgabe 3.1.
Zeigen Sie: Der Durchschnitt beliebig vieler Algebren, die alle ein gegebenes
Mengensystem C enthalten, ist wieder eine Algebra, die C enthält. Machen Sie
sich klar: Da P( ) selbst eine Algebra ist, die C enthält, ist (C) nicht leer
und damit wohlde…niert.
;

28 1 Lösungen der Aufgaben
Lösung.
Wir betrachten
(C) :=
A Algebra
C A
Zunächst existiert für jedes Mengensystem C eine Algebra, die C enthält, denn
es gilt stets C P( ), und P( ) ist eine Algebra. Weiter gilt 2 A für jede
Algebra A mit C A. Daraus folgt aber 2 (C). Sei weiter A 2 (C). Nach
De…nition (1.1) gilt dann A 2 A für jede Algebra A mit C A. Da jedes A
eine Algebra ist, also abgeschlossen gegenüber allen Mengenoperationen, folgt
aber Ac 2 A. Damit gilt Ac 2 (C). Weiter seien A; B 2 (C). Dies bedeutet
A; B 2 A für jede Algebra A mit C A. Da A eine Algebra ist, gilt A[B 2 A,
also A [ B 2 (C).
Aufgabe 3.2.
Zeigen Sie: Ist C selbst eine Algebra, so gilt (C) = C.
Lösung.
Ist C eine Algebra, so gilt
Aufgabe 3.3.
\
C (C) = C\ \
Zeigen Sie, daßdie Menge aller Tupel
genau 2 n Elemente enthält.
Lösung.
A Algebra
C A
A: (1.1)
A C:
Tn := f("1; : : : ; "n) j"i 2 f0; 1g für i = 1; : : : ; ng
Beweis durch Induktion über n. Für n = 1 existieren die beiden 1-Tupel (0)
und (1). Angenommen, für ein n wurde bereits jTnj = 2 n gezeigt. Dann läßt
sich Tn+1 als disjunkte Vereinigung schreiben:
Tn+1 = Tn;0 [ Tn;1;
wobei Tn;0 := f(x; 0) jx 2 Tn g und Tn;1 := f(x; 1) jx 2 Tn g. O¤enbar gilt
jTn;0j = jTn;1j, also folgt
jTn+1j = 2Tn = 2 n+1 :

Aufgabe 3.4.
1.3 Mehr-Perioden-Modelle 29
Machen Sie sich klar, daßfür die durch P0 = f g de…nierte Algebra (P0) =
f ; ?g gilt und daßdie von PT = ff!1g; : : : ; f!Kgg de…nierte Algebra gerade
die Potenzmenge von ist, also (PT ) = P( ).
Lösung.
Nach Lemma 3.13 gilt für P = fB1; : : : ; Bng
(P) = fA j9I f1; : : : ng mit A = [i2IBi g :
Die zu P0 = f g gehörende Indexmenge lautet f1g mit B1 := . Die einzigen
Teilmengen von f1g sind ? und f1g. Daraus folgt (P0) = f ; ?g.
Die zu PT = ff!1g; : : : ; f!Kgg gehörende Indexmenge lautet f1; : : : Kg
mit B1 := f!1g; : : : ; BK := f!Kg. Sei A eine beliebige Teilmenge von .
Dann de…niere IA := fi j!i 2 A; i = 1; : : : ; K g. Dann gilt
also A 2 (PT ).
Aufgabe 3.5.
A = [i2IA Bi;
Seien A; B , A \ B = ?. Bestimmen Sie (fAg) und (fA; Bg).
Lösung.
Zu fAg bildet fA; A c g eine Partition. Mit Lemma 3.13 folgt
(fAg) = f?; ; A; A c g :
Zu fA; Bg mit A \ B = ? bildet fA; B; (A [ B) c g eine Partition. Dann gilt
(fA; Bg) = f?; ; A; B; A [ B; A [ B c ; B [ A c ; (A [ B) c g :
Wegen j (fA; Bg)j = 8 = 2 3 ist diese Zusammenstellung vollständig.
Aufgabe 3.6.
Seien f; g : ! R zwei meßbare Funktionen auf ( ; P). Zeigen Sie, daßdann
auch f + g, fg und f meßbar sind für beliebiges 2 R. Ist g (!) 6= 0 für alle
! 2 , so ist auch f
g meßbar.

30 1 Lösungen der Aufgaben
Lösung.
Sei P = fA1; : : : ; Ang. Dann nehmen sowohl f als auch g auf jedem Element
Ai 2 P die wohlde…nierten Werte f (Ai) und g (Ai) an. Damit gilt
Aufgabe 3.7.
(f + g) (Ai) = f (Ai) + g (Ai) ;
fg (Ai) = f (Ai) g (Ai) ;
( f) (Ai) = f (Ai) und
f
g (Ai)
f (Ai)
=
g (Ai) ; falls g (Ai) 6= 0:
Betrachten Sie für j = 1; : : : ; 8 die folgenden Pfade S : f0; 1; 2; 3g ! R 2 :
j S0 (j) S1 (j) S2 (j) S3 (j)
1
2
3
4
5
6
7
8
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1: 1
9
1: 1
9
1: 1
9
1: 1
9
1: 1
11
1: 1
11
1: 1
11
1: 1
11
1: 21
8
1: 21
8
1: 21
10
1: 21
10
1: 21
10
1: 21
10
1: 21
12
1: 21
12
1: 331
7
1: 331
9
1: 331
9
1: 331
11
1: 331
9
1: 331
11
1: 331
11
1: 331
13
Zeigen Sie, daßdie natürliche Filtration dieses Beispiels mit der Filtration aus
Beispiel 3.26 übereinstimmt.

Lösung.
1.3 Mehr-Perioden-Modelle 31
Nach De…nition der natürlichen Filtration besteht der Zustandsraum aus der
Menge aller Pfade. Also gilt
mit
!1 :=
!8 :=
Damit erhalten wir
Weiter folgt
A
A
1
10
1
10
;
;
1
10
1
10
1: 1
9
1: 1
11
A
;
;
1
10
= f!1; : : : ; !8g
1: 1
9
1: 1
11
A (c0; c1) = ? für c0 6= 1
10
Entsprechend erhalten wir weiter
Schließlich gilt
A
A
1
10
1
10
und wir erhalten die Filtration
;
.
;
1: 21
8
1: 21
12
= und
A (c0) = ? für c0 6= 1
10
;
;
= f!1; : : : ; !4g ;
= f!5; : : : ; !8g und
1: 1
9
1: 1
11
;
;
und c1 62
1: 21
8
1: 21
12
A (!1) = f!1g
.
A (!8) = f!8g ;
.
;
;
1: 331
7
1: 331
13
:
1: 1
9
;
= f!1; !2g ;
= f!7; !8g :
;
:
1: 1
11
:

32 1 Lösungen der Aufgaben
des Beispiels 3.26.
Weiter gilt
P = fP0; : : : ; P3g
St(!j) = !j(t) = St(j)
für j = 1; : : : ; 8. Dies bedeutet beispielsweise
Aufgabe 3.8.
!6 (2) =
1: 21
10
= S2 (!6) :
Konstruieren Sie für T = 3 sowie für festes S, u und d explizit den Raum
aller Pfade eines Binomialbaum-Modells und spezi…zieren Sie die zugehörige
natürliche Filtration.
Lösung.
Nach De…nition gilt
und
Damit erhalten wir
!1 = S; uS; u 2 S; u 3 S ;
.
!8 = S; dS; d 2 S; d 3 S
A (S) =
= f!1; : : : ; !8g :
A (S; u S) = f!1; : : : ; !4g
A (S; d S) = f!5; : : : ; !8g
.
.
A S; dS; d 2 S; ud 2 S = f!7g
A S; dS; d 2 S; d 3 S = f!8g :
Die zugehörige natürliche Filtration P = fP0; : : : ; P3g lautet also
P0 =
P1 = ff!1; : : : ; !4g ; f!5; : : : ; !8gg
P2 = ff!1; !2g ; f!3; !4g ; f!5; !6g ; f!7; !8gg
P2 = ff!1g ; f!2g ; f!3g ; f!4g ; f!5g ; f!6g ; f!7g ; f!8gg :

Aufgabe 3.9.
1.3 Mehr-Perioden-Modelle 33
Machen Sie sich klar, daßW und H tatsächlich Vektorräume sind.
Lösung.
Sei F = fF0; : : : ; FT g eine Filtration. Dann gilt nach De…nition
W := fX jX stochastischer, an F adaptierter Prozeßg :
Zwei Prozesse X und Y sind also genau dann in W, wenn Xt und Yt meßbar
sind für alle t = 0; : : : ; T . Der Prozeß, Nt (!) = 0 für alle ! 2 ist für
jedes t = 0; : : : ; T meßbar, also ist W nicht leer. Da weiter Linearkombinationen
meßbarer Funktionen wieder meßbar sind, de…niert W tatsächlich einen
Vektorraum. Dabei bildet der ProzeßN das Nullelement von W.
Analog wird für H argumentiert.
Aufgabe 3.10.
Betrachten Sie das folgende Zwei-Perioden-Modell mit den dort aufgeführten
Kursen der beiden Aktien S 1 und S 2 :
S0 =
1
0 (A11)
%
&
!
17
100
1
0 (A12)
2
1 (!1)
%
S1 (A11) =
&
2
1 (!2)
2
1 (!3)
%
S1 (A12) =
&
2
1 (!4)
!
19
96
!
14
108
S2 (!1) =
S2 (!2) =
S2 (!3) =
S2 (!4) =
t = 0 t = 1 t = 2
!
22
89
!
18
99
!
16
113
!
11
102

34 1 Lösungen der Aufgaben
Dabei gilt A11 = f!1; !2g und A12 = f!3; !4g. Bewerten Sie eine europäische
Put-Option auf S 2 mit Basispreis K = 101 und Fälligkeit T = 2 sowohl mit
dem direkten als auch mit dem rekursiven Verfahren. Geben Sie weiter einen
Zustandsprozeß an.
Lösung.
Für das Ein-Perioden-Teilmodell
(b; D) A11 = (S1 (A11) ; (S2 (!1) ; S2 (!2))) =
19
96
;
22 18
89 99
ergibt sich als Lösung von D (A11) = b der Zustandsvektor
(A11) =
!
2 (!1)
1 =
2 (!2)
!
: (1.2)
Für das nächste Ein-Perioden-Teilmodell
(b; D) A12 = (S1 (A12) ; (S2 (!3) ; S2 (!4))) =
1
17
64
421
576
14
108
;
16 11
113 102
erhalten wir entsprechend als Lösung von D (A12) = b den Vektor
(A12) =
!
2 (!3)
1 =
2 (!4)
!
: (1.3)
Für das verbleibende Ein-Perioden-Teilmodell
(b; D) A0 = (S0; (S1 (A11) ; S1 (A12))) =
1
240
389
146
389
17
100
erhalten wir schließlich als Lösung von D 0 = b das Ergebnis
! !
0 =
1
(A11)
0
1
(A12)
0
=
109
177
67
177
;
19 14
96 108
: (1.4)
Die Zustandsvektoren aller Ein-Perioden-Teilmodelle sind strikt positiv. Damit
ist das betrachtete Marktmodell arbitragefrei.
Die zustandsabhängigen Endauszahlungen cj = K S 2 2 (!j) + der Put-
Option lauten
c1 = (101 89) + = 12;
c2 = (101 99) + = 2;
c3 = (101 113) + = 0;
c4 = (101 102) + = 0:
Wir bestimmen nun den Wert V0 der Put-Option mit Hilfe des direkten und
mit Hilfe des rekursiven Verfahrens.

Direktes Verfahren
Mit (1.2), (1.3) und (1.4) gilt
2
0
2
0
2
0
2
0
(!1) = 1
(!2) = 1
(!3) = 1
(!4) = 1
(A11)
0
(A11)
0
(A12)
0
(A12)
0
2
1
2
1
2
1
2
1
1.3 Mehr-Perioden-Modelle 35
(!1) = 109 17
= 0:164;
177 64
(!2) = 109 421
= 0:450;
177 576
(!3) = 67 240
= 0:233;
177 389
(!4) = 67 146
= 0:142:
177 389
Daraus folgt für c2 := (c21; c22; c23; c24) = (12; 2; 0; 0)
V0 = E 0;2 [c2] =
= 2: 863:
2
; c2
0
2
=
4X
i=1
2
0
(!i) c2i
Damit ergibt sich der Wert V0 der Put-Option zum Anfangszeitpunkt t = 0
zu
V0 = 2: 863:
Rekursives Verfahren
Beim rekursiven Verfahren berechnen wir mit c2 = (12; 2; 0; 0) zunächst
z1 := E 1;2 [c2]
=
= 17
64
2
(!1) c21 +
1
2
1
+
12 + 421
576
= 4: 649 1A11 :
Anschließend berechnen wir
V0 = E 0;1 [z1] = 1
(!2) c22 1A11
2
(!3) c23 +
1
2
1
2 1A11 + 240
389
= 109
177
67
4: 649 +
177 0
= 2: 863
(!4) c24 1A12
146
0 + 0 1A12
389
(A11) z11 +
0
1
(A12) z12
0
und erhalten wiederum V0 = 2: 863, wie es sein sollte. Hier wurde wie üblich
die konstante Funktion V0 1 mit dem Wert V0 identi…ziert.

36 1 Lösungen der Aufgaben
Bestimmung eines Zustandsprozesses
Jedes Vielfache eines Zustandsprozesses ist wieder ein Zustandsprozeß. Skalieren
wir so, daß 0 := 1 gilt, so erhalten wir für den Zustandsprozeß folgende,
auf drei Nachkommastellen gerundete Darstellung
oder
= ( 0; 1 (A11) ; 1 (A12) ; 2 (!1) ; 2 (!2) ; 2 (!3) ; 2 (!4))
= 1:0 0:616 0:378 0:164 0:450 0:233 0:142
0 = 01
= 1
1 = 1 (A11) 1A11 + 1 (A12) 1A12
= 0:616 1A11 + 0:378 1A12
2 = 2 (!1) 1 f!1g + 2 (!2) 1 f!2g + 2 (!3) 1 f!3g + 2 (!4) 1 f!4g
= 0:164 1 f!1g + 0:450 1 f!2g + 0:233 1 f!3g + 0:142 1 f!4g:
Aufgabe 3.11.
Zeigen Sie, daßsich im Marktmodell aus Aufgabe 3.10 kein Preismaßde…nieren
läßt.
Lösung.
Jedes dieser Ein-Perioden-Teilmodell des Marktmodells ist vollständig, so daß
in jedem dieser Teilmodelle festverzinsliche Kapitalanlagen existieren und die
Komponentensummen der jeweiligen Zustandsvektoren ergeben den Diskontfaktor
des zugehörigen Teilmodells. Wir erhalten für das erste Teilmodell
(S1 (A11) ; (S2 (!1) ; S2 (!2))) den Diskontfaktor
d 1 1 := h (A11) ; 1i =
*
2
1
2
1
! +
(!1)
; 1
(!2)
Die zugehörige risikolose Rendite lautet
r 1 1 := 1
d 1 1
= 17 421 287
+ = = 0:996:
64 576 288
1 = 1
= 0:348%:
287
Entsprechend erhalten wir für das Teilmodell (S1 (A12) ; (S2 (!3) ; S2 (!4)))
den Diskontfaktor

d 2 1 := h (A12) ; 1i =
mit zugehöriger risikoloser Rendite von
*
2
1
2
1
r 2 1 := 1
d 2 1
1.3 Mehr-Perioden-Modelle 37
! +
(!3)
; 1 =
(!4)
240 146 386
+ = = 0:992
389 389 389
1 = 3
= 0:777%:
386
Da d 1 1 6= d 2 1, und damit r 1 1 6= r 2 1, existieren im betrachteten Zwei-Perioden-
Modell keine festverzinslichen Kapitalanlagen entsprechend der De…nition.
Daher de…nieren die Maße Qt in diesem Modell auch kein Preismaß.
Aufgabe 3.12.
Bewerten Sie die Put-Option aus Aufgabe 3.10 in einem diskontierten Marktmodell.
Lösung.
Wir betrachten das Beispiel aus Aufgabe 3.10 und wählen die Aktie S 1
als Numéraire. Auf diese Weise erhalten das unten aufgeführte diskontierte
Marktmodell.
Hier wurden die zustandsabhängigen diskontierten Endauszahlungen der
Put-Option sowie die Zustandsvektoren der zugehörigen diskontierten Ein-
Perioden-Teilmodelle eingetragen.
Für das erste diskontierte Ein-Perioden-Teilmodell
(b; D) A11 = (S1 (A11) ; (S2 (!1) ; S2 (!2))) =
1
96
19
;
1 1
ergibt sich als eindeutig bestimmte Lösung von D (A11) = b der Zustandsvektor
!
= 0:308
0:692
:
(A11) = ~ QA11 (!1)
=
~QA11 (!2)
Für das Ein-Perioden-Teilmodell
187
608
421
608
(b; D) A12 = (S1 (A12) ; (S2 (!3) ; S2 (!4))) =
1
108
14
;
89
22
99
18
1 1
erhalten wir entsprechend als Lösung von D (A12) = b den Vektor
(A12) = ~ QA12 (!3)
~QA12 (!4) =
!
= 0:705
0:295
;
1920
2723
803
2723
und für das verbleibende Ein-Perioden-Teilmodell
113
16
102
11

38 1 Lösungen der Aufgaben
(b; D) A0 = (S0; (S1 (A11) ; S1 (A12))) =
1
100
17
erhalten wir schließlich als Lösung von D 0 = b das Ergebnis
0 = ~ Q (A11)
~Q (A12) =
!
= 0:688
0:311
:
2071
3009
938
3009
;
1 1
Wir sehen, daßfür jeden Zustandsvektor jedes Ein-Perioden-Teilmodells
gilt 0 und 1 + 2 = 1, so daß formal ein Wahrscheinlichkeitsmaß
de…niert. Weiter demonstrieren die erhaltenen Ergebnisse die Tatsache, daß
aus der Arbitragefreiheit eines Marktmodells auch die Arbitragefreiheit des
diskontierten Marktmodells folgt.
96
19
108
14

S0 =
0 =
=
~Q (A11)
%
!
1
100
17
~Q (A11)
~Q (A12)
!
2071
3009
938
3009
&
~Q (A12)
!
~QA11 (!1)
%
S1 (A11) =
(A11) =
=
1.3 Mehr-Perioden-Modelle 39
!
1
96
19
~QA11 (!1)
~QA11 (!2)
!
187
608
421
608
&
~QA11 (!2)
~QA12 (!3)
%
S1 (A12) =
(A12) =
=
!
1
108
14
~QA12 (!3)
~QA12 (!4)
!
1920
2723
803
2723
&
~QA12 (!4)
!
!
S2 (!1) =
~c 1 = 12
22
S2 (!2) =
~c 2 = 2
18
S2 (!3) =
~c 3 = 0
S2 (!4) =
~c 4 = 0
t = 0 t = 1 t = 2
!
1
89
22
!
1
99
18
!
1
113
16
!
1
102
11

40 1 Lösungen der Aufgaben
Mit den erhaltenen Daten gilt
~Q (!1) = ~ Q (A11) ~ QA11 (!1) = 2071
~Q (!2) = ~ Q (A11) ~ QA11 (!2) = 2071
~Q (!3) = ~ Q (A12) ~ QA12 (!3) = 938
~Q (!4) = ~ Q (A12) ~ QA12 (!4) = 938
12
22 2
18
0
0
187
= 0:211;
3009 608
421
= 0:477;
3009 608
1920
= 0:220;
3009 2723
803
= 0:092:
3009 2723
Wir sehen, daß ~ Q ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf
niert. Nun berechnen wir schließlich mit
= f!1; !2; !3; !4g de…-
~c2 := c2
S1 0
B
= B
@
2
1
C
A =
0 1
0:545
B 0:111 C
@ 0:0 A
0:0
den Ausdruck
V0 = S 1 0E ~ Q [~c2] = 2: 863
und erhalten gerade den in Aufgabe 3.10 berechneten Optionspreis. Diskontieren
wir also ein arbitragefreies Marktmodell mit einem geeigneten Numéraire,
so de…niert der zugehörige Zustandsprozeßselbst ein Wahrscheinlichkeitsmaß
auf dem Zustandsraum, und der Diskontierungsoperator hat die Struktur einer
bedingten Erwartung bezüglich dieses Maßes. Die diskontierten Kursprozesse
eines Finanzinstrumentes, das keine Dividenden auszahlt, bilden bezüglich
dieses Maßes ein Martingal.
Aufgabe 3.13.
Betrachten Sie die durch
P0 = f!1; : : : ; !4g = = A0;
P1 = ff!1; !2g ; f!2; !4gg = fA11; A12g und
P2 = ff!1g ; f!2g ; f!3g ; f!4gg = fA21; A22; A23; A24g
de…nierte Filtration P = fP0; P1; P2g. Ein an P adaptierter AktienprozeßS
sei mit u = 1:1 und d = 0:9 de…niert durch

S (A0) = S = 100
S (A11) = uS = 110
S (A12) = dS = 90
S (A21) = u 2 S = 121
S (A22) = udS = 99
S (A23) = udS = 99
S (A24) = d 2 S = 81:
1.3 Mehr-Perioden-Modelle 41
Wir nehmen an, daßS keine Dividenden auszahlt. Neben der Aktie S betrachten
wir eine risikolose Kapitalanlage B mit einem festen Zinssatz r = 2%.
1. Untersuchen Sie das Marktmodell ((S; B) ; P) auf Arbitragefreiheit und
auf Vollständigkeit.
2. Bewerten Sie eine europäische Call-Option mit Basispreis K = 100 durch
Bestimmung einer replizierenden Handelsstrategie h.
3. Bestimmen Sie für das Marktmodell ((S; B) ; P) einen Zustandsprozeß
und bewerten Sie die Call-Option mit Hilfe von .
4. Diskontieren Sie das Marktmodell ((S; B) ; P) mit der risikolosen Kapitalanlage
und bewerten Sie die Call-Option im diskontierten Modell.
5. Berechnen Sie im Modell ((S; B) ; P) eine Put-Option mit Basispreis 100
und veri…zieren Sie die Put-Call-Parität.
Lösung.
1. Wegen u > 1 + r > d ist jedes Ein-Perioden-Teilmodell arbitragefrei und
wegen u 6= d ist es vollständig. Also ist das Marktmodell ((S; B) ; P) selbst
arbitragefrei und vollständig.
2. Die Endauszahlung c der Call-Option lautet: c1 = 20, c2 = c3 = c4 =
0. Das Gleichungssystem für ein replizierendes Portfolio im ersten Ein-
Perioden-Teilmodell lautet
Dies bedeutet:
1:0404 121
1:0404 99
(1 + r) 2 u 2 S
(1 + r) 2 udS
h1
h2
= 21
0
h1
h2
= c1
c2
=) h1
h2
=
:
90:83
0:95455
Damit beträgt der Wert des replizierenden Portfolios im Knoten A11
z (A11) = h1 (1 + r) + h2uS = 12:354:
Das replizierende Portfolio h im zweiten Ein-Perioden-Teilmodell lautet
o¤enbar
:

42 1 Lösungen der Aufgaben
h = h1
h2
= 0
0
und besitzt damit den Wert 0 im Knoten A12. Es gilt also z (A12) =
0. Damit lautet das Gleichungssystem für das replizierende Portfolio im
verbleibenden Ein-Perioden-Teilmodell:
Dies bedeutet
1:02 110
1:02 90
1 + r uS
1 + r dS
h1
h2
h1
h2
= 12:354
0
= z (A11)
z (A12)
=) h1
h2
=
:
54:503
0:617 7
Der Wert c0 dieses Portfolios zum Zeitpunkt 0, und damit der gesuchte
Preis der Call-Option, lautet schließlich
c0 = h1 + h2S = 7:267:
3. Wir bestimmen nun für das Marktmodell einen Zustandsprozeß. Das Gleichungssystem
D = b lautet in jedem Ein-Perioden-Teilmodell
und besitzt die Lösung
= 1
2
1 + r 1 + r
u d
= 1
1 + r
1
2
q
1 q
= 1
1
; q =
1 + r d
u d :
Damit erhalten wir für das MartingalmaßQ die Darstellung
Q (!1) = 1
d2
Q (!2) = 1
d2
Q (!3) = 1
d2
Q (!4) = 1
d2
1 1 = q 2
1 2 = q (1 q)
2 1 = q (1 q)
2 2 = (1 q) 2 :
Damit gilt für den Preis c0 der Call-Option mit q =
1+r d
u d
c0 = 2 1c1 + 1 2c2 + 1 2c3 + 2 2c4
= d2E Q 1
[c] =
(1 + r) 2 EQ [c] = 7:2664:
= 0:6
:

4. Im diskontierten Marktmodell gilt
~S (A0) = S = 100
~S (A11) = uS
= 107:84
1 + r
~S (A12) = dS
= 88:235
1 + r
~S (A21) = u2S 2 = 116:3
(1 + r)
~S (A22) = udS
2 = 95:156
(1 + r)
~S (A23) = udS
2 = 95:156
(1 + r)
~S (A24) = d2S 2 = 77:855:
(1 + r)
1.3 Mehr-Perioden-Modelle 43
Die Gleichungen für die Zustandsvektoren im diskontierten Modell lauten
so daß
~ = ~ 1
~ 2
1 1
u
1+r
d
1+r
=
~ 1
~ 2
= 1
1
!
1 d=(1+r)
(u d)=(1+r)
u=(1+r) 1 =
(u d)=(1+r)
0:6
0:4
Die Komponenten der diskontierten Endauszahlung ~c lauten
Damit gilt
so daß
~c1 =
c1
(1 + r) 2 = 20:185; ~c2 = ~c3 = ~c4 = 0:
~Q (!1) = ~ 1 ~ 1 = ~q 2
~Q (!2) = ~ 1 ~ 2 = ~q (1 ~q)
~Q (!3) = ~ 2 ~ 1 = ~q (1 ~q)
~Q (!4) = ~ 2 ~ 2 = (1 ~q) 2 ;
c0 = E ~ Q [~c] = ~q 2 ~c 2 4 = 7:2666:
5. Für eine Put-Option auf die Aktie mit Basispreis 100 erhalten wir im
diskontierten Modell die Endauszahlungen
;
:

44 1 Lösungen der Aufgaben
~p1 = K u2 S +
(1 + r) 2
~p2 = ~p3 =
= 0
(K ud S)+
(1 + r) 2 = 1
= 0:96117
1:0404
~p4 = K d2S +
19
2 = = 18:262:
(1 + r) 1:0404
Damit lautet der Wert p0 der Put-Option mit
Nun gilt
p0 = 2 0:6 0:4 0:96117 + 0:4 2 18:262 = 3:3833:
S d2K + p0 = 100
1
100 + 3:3833 = 7:266 4 = c0;
1:0404
und damit ist die Put-Call-Parität c0 = S d2K + p0 bestätigt.
1.4 Optionen, Futures und andere Derivate
Aufgabe 4.1.
Geben Sie einen direkten Beweis für die Aussagen (4.17) und (4.18) in Lemma
4.7.
Lösung.
Wir kürzen im folgenden pn durch p ab und berechnen zunächst
tX
jP (j) = tp
j=0
= tp
tX
j=1
tX
j=1
Xt
1
= tp
= tp:
k=0
Daraus folgt (4.17) wegen
(t 1)!
(j 1)! ((t 1) (j 1))! p(t 1) (j 1) j 1
(1 p)
t 1
j 1
t 1
k
p (t 1) (j 1) j 1
(1 p)
p (t 1) k (1 p) k

1.4 Optionen, Futures und andere Derivate 45
E t;pn ln Stj
S = Et;pn [(t 2j) ln un]
= t ln un 2 ln unE t;pn [j]
= t ln un (1 2p) :
Zur Bestimmung der Varianz berechnen wir
tX
j 2 P (j) =
j=0
Daraus folgt
tX
j 2
j=1
= tp
= tp
tX
j
j=1
tX
j
j=1
t 1
= tp
t
j
p t j (1 p) j
(t 1)!
(j 1)! ((t 1) (j 1))! p(t 1) (j 1) j 1
(1 p)
t 1
j 1
X
(k + 1)
k=0
X
k
t 1
= tp
k=0
X
k
t 1
= tp
k=0
t 1
k
t 1
k
= tp (t 1) p + tp
= t 2 p 2
und damit (4.18) wegen
tp 2 + tp:
p (t 1) (j 1) j 1
(1 p)
t 1
k
V t;pn [j] = E t;pn j 2
= t 2 p 2
p (t 1) k (1 p) k
p (t 1) k (1 p) k + tp
p (t 1) k (1 p) k + tp
= tp (1 p)
E t;pn [j] 2
tp 2 + tp t 2 p 2
V t;pn ln Stj
S = Vt;pn [(t 2j) ln un]
= 4 (ln un) 2 V t;pn [j]
= 4 (ln un) 2 tp (1 p) :

46 1 Lösungen der Aufgaben
Aufgabe 4.2.
Geben Sie unter Berücksichtigung einer Dividendenzahlung der Aktie S explizit
eine Handelsstrategie an, die zum Forward-Preis F in (4.56) für einen
Forward-Kontrakt auf S führt.
Lösung.
Gleichung (4.56) für den Forward-Preis F lautet
F = e rcT S0 e rc :
Dabei zahlt die Aktie S die Dividende zum Zeitpunkt 0 < T aus. Zur
Replikation werden zum Zeitpunkt 0 folgende Handelsgeschäfte getätigt:
Es wird ein Kredit mit Fälligkeit T der Höhe S0 e rc zum Zinssatz rc
aufgenommen.
Es wird ein weiterer Kredit mit Fälligkeit der Höhe e rc zum Zinssatz
rc aufgenommen.
Insgesamt wird für das zur Verfügung stehende Kapital eine Aktie zum
Preis von S0 gekauft.
Zum Zeitpunkt zahlt die Aktie die Dividende aus. Damit kann der zweite
Kredit zurückbezahlt werden, denn es gilt = e rc ( e rc ).
Zum Zeitpunkt T zahlt der Kontrahent für die Aktie S den vereinbarten
Forward-Preis F = e rcT (S0 e rc ). Damit wird schließlich der erste Kredit
zurückgezahlt.
Aufgabe 4.3.
Leiten Sie mit Hilfe der Put-Call-Parität und der Black-Scholes-Formel für
die Call-Option die Black-Scholes-Formel für die Put-Option her.
Lösung.
Für den Preis C einer Call-Option gilt die Black-Scholes-Formel C = S (d+)
pv K (d ). Zur Herleitung der entsprechenden Black-Scholes-Formel für eine
Put-Option wird die Put-Call-Parität verwendet. Es gilt
Nun gilt
P = C S + pv K
= S (d+) pv K (d ) S + pv K
= S (1 (d+)) pv K (1 (d )) :

Analog folgt
1 (d+) = 1
p
2
= 1
p
2
1.4 Optionen, Futures und andere Derivate 47
Z 1
1
Z 1
d+
= 1
p
2
Z d+
1
= ( d+) :
e x2
2 dx
e x2
2 dx
e x2
2 dx
1 (d ) = ( d ) ;
Z d+
1
e x2
2 dx
und daraus folgt die Black-Scholes-Formel für die Put-Option:
Aufgabe 4.4.
P = pv K ( d ) S ( d+) :
Implementieren Sie mit folgenden Abkürzungen
Name Abkürzung
Call C
Put P
Forward F
Europäisch E
Amerikanisch A
Rekursiv R
Direkt D
Black-Scholes BS
Bewertungsalgorithmen für Call- und Put-Optionen gemäßfolgender Tabelle
in C++, Java oder in Excel-VBA.
Derivat Typ Dividenden Verfahren
C, P E Nein D, R, BS
C, P E Ja D, R, BS
C A Nein D, R, BS
P A Nein R
C, P A Ja R

48 1 Lösungen der Aufgaben
Lösung.
Implementierungsvorschläge für die verschiedenen Verfahren in der Programmiersprache
Java können von der Homepage des Autors 1 heruntergeladen werden.
1.5 Value at Risk und kohärente Risikomaße
Aufgabe 5.1.
Seien ck, k = 1; : : : ; m, beliebige replizierbare Auszahlungspro…le in einem
arbitragefreien Ein-Perioden-Marktmodell (S0; S1; P ). Sei weiter =
( 1; : : : ; m) 2 Rm ein beliebiges Portfolio bestehend aus den ck mit V0 ( ) 6=
0, also
mX
V1 ( ) = kck:
Zeigen Sie, daß
wobei
R =
i :=
Weisen Sie weiter die Eigenschaft
nach.
Lösung.
mX
k=1
NX
i=1
k=1
NX
i=1
iRi;
khk;iS i 0
V0 ( ) :
i = 1:
Zu jedem ck gibt es ein Portfolio hk 2 R N mit ck = hk S1, und daher ist
V1 ( ) =
V0 ( ) =
mX
k=1
mX
k=1
1 www.rheinahrcampus.denkremer
kck =
mX
k=1
khk S0:
khk S1

Damit gilt
also
wobei i := P m
k=1
NX
i=1
V1 ( ) V0 ( ) =
1.5 Value at Risk und kohärente Risikomaße 49
=
=
V1 ( ) V0 ( )
V0 ( )
i = 1
V0 ( )
mX
k=1
NX
i=1
NX
i=1
=
=
NX
i=1
NX
i=1
khk;iS i
0
V0( ) . Weiter gilt
mX
k=1
NX
khk (S1 S0)
mX
k=1
mX
k=1
mX
k=1
iRi;
khk;i
!
khk;iS i 0
k hk;iS
i=1
i 0 = 1
S i 1
!
khk;iS i 0
V0 ( )
V0 ( )
mX
k=1
Ri;
!
S i 0
Ri
khk S0 = 1:
Damit sind die i wie in der Portfoliotheorie die relativen Kapitalanteile, die
in das i-te Finanzinstrument investiert werden.
Aufgabe 5.2.
Zeigen Sie, daßfür europäische Call- und Put-Optionen, deren Underlyings
während der Laufzeit keine Dividenden auszahlen, gilt
Call Put
(d+) (d+) 1 = ( d+)
KT e rT (d ) KT e rT ( (d ) 1) = KT e rT ( d )
S p T 0 (d+) S p T 0 (d+)
0 1
Dabei ist (x) = p2 x exp 2
S
1
ln( K )+(r 2
2 sowie d = p
T
Lösung.
Die Black-Scholes-Formeln für Call- und Put-Optionen lauten
2 )T
C = e rT (F (d+) K (d )) (1.5)
P = e rT (K ( d ) F ( d+)) :
.

50 1 Lösungen der Aufgaben
Zur Berechnung von
Zunächst gilt mit F = exp (rT ) S und d =
Daher folgt
Weiter gilt
also
d+ = d + p T :
ln( F
K )
p T
d 2 + = d 2 + 2d p T + 2 T
= d 2 + 2 ln F
K :
0 (d+) = 1
p 2 exp
So erhalten wir wegen @ F
@S ln K
und berechnen damit
= F 1
p
K 2
exp
= K
F
0
(d ) ;
1
2 d2 +
1
2 d2
1
2
ln F
K
p T
F 0 (d+) = K 0 (d ) : (1.6)
@ = @S ln erT S
K
= 1
S
@
@S d = 1 @ F
p ln
T @S K =
1
S p T
@
@S C = (d+) + e rT
= (d+) +
= (d+) :
e rT
F 0 (d+) @d+
@S
S p T (F 0 (d+) K 0 (d ))
Aus der Put-Call-Parität P = C + Ke rT S folgt
K 0 (d ) @d
@S
@ @
P =
@S @S C 1 = (d+) 1 = ( d+) ;
wobei in der letzten Gleichheit der Zusammenhang (x) = 1 ( x) verwendet
wurde.

Zur Berechnung von
Aus d =
Damit erhalten wir
S ln( K ) 1 2
2 T
p + r
T
p T folgt
1.5 Value at Risk und kohärente Risikomaße 51
@
d =
@r
p T :
@ @
C =
@r @r S (d+) e rT K (d )
@
= S
(d+)
@r
e rT @
K
(d )
@r + e rT T K (d )
p
T rT
+ e T K (d )
= e rT (F 0 (d+) K 0 (d ))
= e rT T K (d ) ;
wobei (1.6) verwendet wurde. Mit der Put-Call-Parität P = C + Ke rT S
und wegen (x) = 1 ( x) folgt
Zur Berechnung von
Wir berechnen
@ @
P = C
@r @r
rT
T Ke
= e rT T K ( (d ) 1)
@d
@
= e rT T K ( d ) :
= @
@
= 1
= 1 d :
ln F
K
p T
ln F
K
p T
Daraus folgt mit d+ = d + p T und mit (1.6)
C = e rT
F 0 (d+) @d+
@
1
2
1
2
K 0 (d ) @d
@
p T
p T
= 1 e rT (F 0 (d+) d K 0 (d ) d+)
= 1 e rT F 0 (d+) d+ F 0 (d+) p T K 0 (d ) d+
= e rT p T F 0 (d+)
= S p T 0 (d+) :
!
!

52 1 Lösungen der Aufgaben
Aus der Put-Call-Parität folgt unmittelbar
Aufgabe 5.3.
@
@
P = @
@ C:
Die Jahresrenditen eines Portfolios seien näherungsweise normalverteilt mit
= 6% und = 37%. Der aktuelle Wert des Portfolios betrage 457 452
Euro. Die Liquidationsperiode betrage 10 Handelstage, das Kon…denzniveau
sei 99%. Legen Sie 250 Handelstage für ein Jahr zugrunde. Bestimmen Sie den
Value at Risk für das gegebene Portfolio
1. mit Hilfe von Satz 5.27
2. sowie unter Verwendung der Faustformel (5.48).
Lösung.
1. Es gilt
V@R (h) = V0 T + p T Q0;1( )
= 457452
= 77 641:
2. Mit der Faustformel erhalten wir
Aufgabe 5.4.
V@R(h)
10
250
6
100
1
2 V0 (h)
= 1
2
457 452
= 84 629:
r 10
250
37
100
37
100 2:326
!
Berechnen Sie die modi…zierten Sensitivitäten für den Index-Performance-
Sparvertrag aus Abschnitt 4.16.

Lösung.
1.5 Value at Risk und kohärente Risikomaße 53
Der Index-Performance-Sparvertrag besitzt die Struktur eines Portfolios P
bestehend aus einem Zerobond g = G (1 + r) 5 und aus vier Forward-Start-
Performance-Calls f1; : : : ; f4, also
P = g + f1 + + f4:
G bezeichnet hier den Garantiebetrag. Nach (4.117) gilt
fi = e rti G C (1; T ti; 1) ;
wobei N G den Kaufpreis des Sparvertrags bezeichnet. Daraus folgt @fi
@S =
0, und daher folgt
Dabei gilt
Nun gilt mit
dP = dg +
4X
dfi
i=1
= 5 1
Gdr +
1 + r
= 5 r
1 + r G Rr +
4X
i=1
4X
i=1
@fi
@S
@fi @fi
dS + dr +
@r @ d
@fi
@r r Rr + @fi
@
= mod
S RS + mod
r Rr + mod R :
mod
S
=
4X
i=1
@fi
S = 0;
@S
mod
r = 5 r
G +
1 + r
mod =
4X
i=1
1 ln
d (1; T ti; 1) =
4X
i=1
G (1; T ti; 1) :
1 + r 1
2
p T ti
und den Ergebnissen von Aufgabe 5.1
R
N (1; T ti; 1) r;
2 (T ti)
r(T ti)
= r 1
2
(1; T ti; 1) = (T ti) e ( d )
(1; T ti; 1) = p r
0 T ti
T ti (d+) = e
2
1
2 d2 +:
2 p T ti
Damit können die modi…zierten Sensitivitäten explizit berechnet werden.

54 1 Lösungen der Aufgaben
1.6 Diskrete Stochastische Analysis
Aufgabe 6.1.
Berechnen Sie die bedingte Erwartung für folgendes Beispiel. Seien =
f!1; : : : ; !8g und F = P ( ). Durch
P (!1) = 1
12
P (!2) = 2
12
P (!3) = 3
12
P (!4) = 1
12
P (!5) = 1
12
P (!6) = 1
12
P (!7) = 2
12
P (!8) = 1
12
wird ein WahrscheinlichkeitsmaßP auf de…niert. Sei weiter
Z (G) = ff!1; !2g ; f!3; !4g ; f!5; !6g ; f!7; !8gg :
Eine Zufallsvariable X : ! R sei durch X (!i) = 5 i de…niert.
1. Berechnen Sie die bedingte Erwartung EG [X].
2. Sei
Z (H) = ff!1; !2; !3; !4g ; f!5; !6; !7; !8gg :
Veri…zieren Sie die Eigenschaft der iterierten bedingten Erwartung
Lösung.
1. Mit (6.3) gilt
Dies bedeutet
EH [EG [X]] = EG [EH [X]] = EH [X] :
EG [X] = X
A2Z(G)
0
B
1
@P
(A)
X
B2Z(F)
B A
1
C
X (B) P (B) C
A 1A:

EG [X] =
+ +
= 12
3
+ 12
4
+ 12
2
+ 12
3
1.6 Diskrete Stochastische Analysis 55
1
P (!1; !2) (4P (!1) + 3P (!2)) 1 f!1;!2g
4
2
0
1
P (!7; !8) ( 2P (!7) 3P (!8)) 1f!7;!8g 1
+ 3
12
2
12
1f!1;!2g 3
+ 1
12
1
12
1f!3;!4g 1
12
1
1
12
1f!5;!6g 2
2
12
3
1
12
1f!7;!8g = 10
3 1 f!1;!2g + 7
4 1 f!3;!4g
1
2 1 f!5;!6g
7
3 1 f!7;!8g:
2. Wir berechnen mit A1 := f!1; !2; !3; !4g und A2 := f!5; !6; !7; !8g
1
EH [EG [X]] =
P (A1)
+
1
P (A2)
= 12
7
10
3
+ 12
5
1
2
2
12
Andererseits gilt
10
3 P (!1; !2) + 7
4 P (!3; !4) 1A1
1
2 P (!5; !6)
3 7
+
12 4
4
12
7
3
= 17
7 1 f!1;!2;!3;!4g
7
3 P (!7; !8) 1A2
1A1
3
12
1A2
8
5 1f!5;!6;!7;!8g: EH [X] = 4 P (!1) + 3 P (!2) + 2 P (!3) + 1 P (!4)
P (A1)
+ 0 P (!5) 1 P (!6) 2 P (!7)
P (A2)
3 P (!8)
Schließlich gilt
= 12
7
+ 12
5
4
0
1
+ 3
12
1
1
12
2
+ 2
12
1
12
= 17
7 1 f!1;!2;!3;!4g
2
3
+ 1
12
2
3
12
1
12
1
12
8
5 1 f!5;!6;!7;!8g:
1A1
1A2
1A1
1A2

56 1 Lösungen der Aufgaben
EG [EH [X]] = EH [X] (!1) P (!1) + EH [X] (!2) P (!2)
P (!1; !2)
Aufgabe 6.2.
+ + EH [X] (!7) P (!7) + EH [X] (!8) P (!8)
P (!7; !8)
=
+
+
17
7 P (!1) + 17
7
P (!2)
P (!1; !2)
17
7 P (!3) + 17
7
P (!4)
P (!3; !4)
8
5 P (!5) 8
5
P (!6)
P (!5; !6)
8
5 P (!7) 8
5
1 f!1;!2g
1 f!3;!4g
1 f!5;!6g
+
P (!8)
P (!7; !8)
1f!7;!8g = 17
7 1f!1;!2g + 17
7 1f!3;!4g 8
5 1f!5;!6g = 17
7 1f!1;!2;!3;!4g 8
5 1f!5;!6;!7;!8g = EH [X] :
1 f!1;!2g
1 f!7;!8g
8
5 1 f!7;!8g
Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, und sei G F eine Unteralgebra
von F. Sei X eine G meßbare Zufallsvariable. Weisen Sie mit der
Darstellung (6.2) und (6.3) die Gültigkeit von EG[X] = X nach.
Lösung.
Ist X G meßbar, so ist X auf jedem A 2 Z (G) konstant, so daßfür ! 2 A
gilt
EG[X] (!) = E[XjA]
= 1 X
P (A)
= X (!)
= X (!) :
! 0 2A
1
P (A)
X (! 0 ) P (! 0 )
X
P (! 0 !
)
! 0 2A

Aufgabe 6.3.
1.6 Diskrete Stochastische Analysis 57
Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und sei X eine F meßbare
Zufallsvariable. Sei G F eine Unteralgebra von F und sei Z G meßbar. Zeigen
Sie mit (6.2) und (6.3), daßEG[ZX] = Z EG[X].
Lösung.
Sei A 2 Z (G) beliebig. Dann ist Z auf A konstant und für beliebiges ! 2 A
gilt
EG[ZX] (!) = E[ZX jA]
= 1 X
P (A)
= Z (!)
! 0 2A
1
P (A)
= Z (!) E[XjA]
Z (! 0 ) X (! 0 ) P (! 0 )
X
! 0 2A
= Z (!) EF[X] (!) :
Da A beliebig war, folgt die Behauptung.
Aufgabe 6.4.
X (! 0 ) P (! 0 )
Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und sei X eine F meßbare
Zufallsvariable. Sei weiter G F eine Unteralgebra von F. Weisen Sie mit
(6.2) und (6.3) die Gültigkeit von E[EG[X]] = E[X] nach.
Lösung.
Mit E [1A] = P (A) folgt
!

58 1 Lösungen der Aufgaben
2
E[EG[X]] = E 4 X
Aufgabe 6.5.
= X
A2Z(G)
A2Z(G)
A2Z(G) !2A
E[XjA] 1A
E[XjA] E [1A]
3
5
!
X X P (!)
X (!)
P (A)
A2Z(G) !2A
= X X
X (!) P (!)
= X
X (!) P (!)
!2
= E[X]:
P (A)
Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, und sei X eine Fmeßbare
Zufallsvariable. Seien weiter H G F Unteralgebren von F.
Weisen Sie mit der Darstellung (6.2) und (6.3) die Eigenschaften 5. aus Satz
6.6 nach.
Lösung.
Zu beliebigem ! 2 gibt es genau ein G 2 Z (G) mit ! 2 G und genau ein
F1 2 Z (F) mit ! 2 F1. Wegen F G gilt Z (F) Z (G) und daher ist
F1 G mit G = F1 [ F2 [ [ Fn für gewisse F2; : : : ; Fn 2 Z (F). Damit gilt

0
E[E[XjF]jG] (!) = @ X
A2Z(G)
1.6 Diskrete Stochastische Analysis 59
1
E[E[XjF]jA] 1A
= E[E[XjF]jG]
= X
E[XjF] (! 0 ) P (!0 )
P (G)
! 0 2G
= 1
P (G)
= 1
P (G)
= 1
P (G)
= 1
P (G)
= E[XjG]
nX
X
i=1 ! 02Fi i=1
A (!)
E[XjF] (! 0 ) P (! 0 )
nX
E[XjFi] X
P (! 0 )
nX
i=1
X
! 00 2G
= E[XjG] (!) :
1
P (Fi)
! 0 2Fi
X
! 00 2Fi
X (! 00 ) P (! 00 )
X (! 00 ) P (! 00 )
!
P (Fi)
Schließlich betrachten wir den Ausdruck E[E[XjG]jF]. Wir wissen, daßE[XjG]
eine G-meßbare Zufallsvariable ist. Wegen Z (F) Z (G) ist diese jedoch
insbesondere auch F-meßbar. Für jede F-meßbare Zufallsvariable Y gilt aber
E[Y jF] = Y , daher folgt E[E[XjG]jF] = E[XjG].
Aufgabe 6.6.
Angenommen, X und Y sind Martingale.
1. Zeigen Sie, daßdann auch
XY [X; Y ]
ein Martingal ist.
2. Nach Satz 6.40 ist auch XY hX; Y i ein Martingal. Warum liegt hier kein
Widerspruch zur Eindeutigkeit der Doob-Zerlegung vor?
Lösung.
1. Mit (6.23) gilt
(XY [X; Y ]) t = (XY ) t [X; Y ] t
= XtYt Xt 1Yt 1 Xt Yt
= XtYt 1 + Xt 1Yt 2Xt 1Yt 1
= XtYt 1 + Xt 1 Yt:

60 1 Lösungen der Aufgaben
Daraus folgt
Et 1 [ (XY [X; Y ]) t ] = Yt 1Et 1 [ Xt] + Xt 1Et 1 [ Yt]
= 0:
Mit Lemma 6.26 folgt die erste Behauptung.
2. Der Prozeß[X; Y ] ist nicht vorhersehbar, daher ist
keine Doob-Zerlegung von XY .
Aufgabe 6.7.
XY = (XY [X; Y ]) + [X; Y ]
Betrachten Sie für den in Abb. 6.1 dargestellten Kursprozess das Ereignis E,
daßder Kurs zum ersten Mal den Mittelwert der Kurse längs eines Pfades
! 2 übersteigt. Zeigen Sie, daßdie Zuordnung der Zeitpunkte (!) für den
Eintritt von E keine Stopzeit de…niert.
Lösung.
Für die Mittelwert der Kurse längs der durch !1; : : : ; !4 de…nierten Pfade gilt
Daraus ergibt sich
Wegen
Pfad Mittelwerte der
Kurse längs des
Pfades
!1
!2
!3
!4
100+120+140
3
100+120+110
3
100+80+90
3
100+80+60
3
Pfad (!)
!1 2
!2 1
!3 2
1
!4
= 120
= 110
= 90
= 80:
1 (1) = f!2; !4g 62 F1 und
1 (2) = f!1; !3g 62 F2
de…niert keine Stopzeit. Zur Ermittlung des Zeitpunkts, zu dem E eintritt,
mußzu jedem Zeitpunkt der gesamte Pfad, also die zukünftige Entwicklung
des Prozesses, bekannt sein. Zum Zeitpunkt 1 kann daher noch nicht entschieden
werden, ob das Ereignis eingetreten ist oder nicht.

Aufgabe 6.8.
1.6 Diskrete Stochastische Analysis 61
Geben Sie einen alternativen Beweis des Optional Sampling Theorems mit
Hilfe der De…nition der bedingten Erwartung und der Darstellung (6.70).
Lösung.
Wir betrachten Et[X (t+1)^ ]. Mit A 2 Z (Ft) und ! 2 A gilt wegen (6.70)
und 1 f t+1g = 1 f >tg die Darstellung
X (t+1)^ =
tX
i=0
Daraus folgt mit (6.1) und (6.3)
Xi 1 f =ig + Xt+1 1 f >tg:
P (A) Et[X (t+1)^ ] (!) = E[Et[X (t+1)^ ] 1A]
= E[X (t+1)^
= X
! 0 2A
= X
=
! 02A i=0
tX
1A]
X (t+1)^ (! 0 ) P (! 0 )
tX
X
Xi 1 f =ig (! 0 ) P (! 0 )
+ X
i=0 ! 02A\f =ig
+
! 0 2A
Xt+1 1 f >tg (! 0 ) P (! 0 )
Xi (! 0 ) P (! 0 )
X
! 0 2A\f >tg
Xt+1 (! 0 ) P (! 0 ) :
Die t + 2 Mengen f = ig, i = 0; : : : ; t, und f > tg bilden eine disjunkte
Zerlegung von . Ferner gilt f = ig 2 Fi Ft für i = 0; : : : ; t und f >
tg = f tg c 2 Ft. Daher ist die Menge A 2 Z (Ft) in genau einer dieser
t + 2 Mengen enthalten.
Wir betrachten zunächst den Fall, daßA f = kg für ein 0 k t gilt.
Dann erhalten wir A \ f = kg = A und A \ f = ig = ? für i 6= k sowie
A \ f > tg = ?. Daher folgt mit (!) = k t für beliebiges ! 2 A
Et[X (t+1)^ ] (!) = 1
P (A)
= Xk (!)
= X (!) (!)
= Xt^ (!) :
X
! 0 2A\f =kg
1
P (A)
Xk (! 0 ) P (! 0 )
X
P (! 0 )
! 0 2A

62 1 Lösungen der Aufgaben
Nun betrachten wir den Fall A f > tg. Dann gilt A \ f = ig = ? für alle
i = 0; : : : ; t, und daher folgt
Et[X (t+1)^ ] (!) = 1
P (A)
= 1
P (A)
X
! 0 2A\f >tg
X
! 0 2A
= Et[Xt+1] (!)
= Xt (!)
= Xt^ (!) :
Xt+1 (! 0 ) P (! 0 )
Xt+1 (! 0 ) P (! 0 )
1.7 Diskrete Stochastische Finanzmathematik
Aufgabe 8.1.
Zeigen Sie, daßmit den Bezeichnungen in Abschnitt 7.3 und mit E P [j] = n
2
sowie Sn = S0 (1 + + ) n j (1 + ) j gilt
Lösung.
E P ln Sn
S0
! T M 1
2 T 2 für n ! 1:
Mit E P [j] = n
2 und mit Sn = S0 (1 + + ) n j (1 + ) j gilt
E P ln Sn
S0
= E P [(n j) ln (1 + + ) + j ln (1 + )]
= n ln (1 + + ) + (ln (1 + ) ln (1 + + )) E P [j]
= n ln (1 + + ) + n
(ln (1 + ) ln (1 + + ))
2
= n
(ln (1 + + ) + ln (1 + ))
2
= n
(ln u + ln d)
2
= n T
n
M 1
2
2
+ O 1
n
! T M 1
2 T 2 für n ! 1:

Aufgabe 7.2.
1.7 Diskrete Stochastische Finanzmathematik 63
Betrachten Sie ein Zwei-Perioden-Binomialbaum-Modell mit zwei Finanzinstrumenten,
einer festverzinslichen Kapitalanlage zum Zinssatz r = 2% und
einer Aktie mit Anfangskurs S. Die beiden Renditefaktoren der Aktie seien
u = 1:1 und d = 0:9. Veri…zieren Sie Folgerung 7.14 für eine amerikanische
Put-Option auf die Aktie mit Basispreis K = S.
Lösung.
Es gilt
und
Der Wert cj =
lautet
q =
(S2(!j) K)+
(1+r) 2
S2 (!1) = u 2 S
S2 (!2) = udS
S2 (!3) = udS
S2 (!4) = d 2 S
S1 (A11) = uS
S1 (A12) = dS
S0 ( ) = S
1 + r d
u d
Wir setzen ~z2 := ~c und berechnen
Wir erhalten
und
= 0:12
0:2
= 0:6:
= ~ f2 (!j) der Put-Option zum Endzeitpunkt 2
c1 = 0; c2 = 1; c3 = 1; c4 = 19:
~z1 = max ~ f1; E Q [~z2] :
~z1 (A11) = max ~ f1 (A11) ; E Q
1 [~z2] (A11)
= max
= max (0; 0; 384)
= 0:384
(S1 (A11) K) +
1 + r
; q~z2 (!1) + (1 q) ~z2 (!2)
!

64 1 Lösungen der Aufgaben
~z1 (A12) = max ~ f1 (A12) ; E Q
1 [~z2] (A12)
= max
(S1 (A12) K) +
1 + r
= max (9: 804; 7: 881)
= 9: 804:
; q~z2 (!1) + (1 q) ~z2 (!2)
Hier sehen wir, daßdie Put-Option zum Zeitpunkt 1 im Zustand A12 ausgeübt
werden sollte. Damit schließlich berechnen wir z0 = ~z0 zu
~z0 = max ~ f0; E Q [~z1]
= max (S K) + ; q~z1 (A11) + (1 q) ~z2 (A12)
= max (0; 4: 152)
= 4: 152:
Die berechneten Werte werden im folgender Abbildung zusammengestellt.
%
q = 0:6
S0 =
1
100
z0 = 4: 152
1 q = 0:4
&
%
q = 0:6
S1 (A11) = 1:02
110
~z1 (A11) = 0:384
1 q = 0:4
&
%
q = 0:6
S2 (A12) = 1:02
90
~z1 (A12) = 9: 804
1 q = 0:4
&
S2 (!1) = 1:0404
121
~z2 (!1) = 0
S2 (!2) = 1:0404
99
~z2 (!2) = 0:961 17
S2 (!3) = 1:0404
99
~z2 (!3) = 0:961 17
S2 (!4) = 1:0404
81
~z2 (!4) = 18: 262
t = 0 t = 1 t = 2
Nun berechnen wir die Stopzeit
= min
n
t ~zt = ~ o
ft :
!

Es gilt
1.7 Diskrete Stochastische Finanzmathematik 65
(!1) = (!2) = 2
(!3) = (!4) = 1:
Damit berechnen wir den mit gestoppten Prozeß
und erhalten
~f = ~ f2^
~f (!1) = ~ f2^ (!1) (!1) = ~ f2 (!1) =
(1 + r) 2 (K S2 (!1)) + = 0
~f (!2) = ~ f2^ (!2) (!2) = ~ 1
f2 (!2) =
(1 + r) 2 (K S2 (!2)) + = 1
= 0:961
1:0404
~f (!3) = ~ f2^ (!3) (!3) = ~ f1 (!3) = 1
1 + r (K S1 (!3)) + = 10
= 9: 804
1:02
~f (!4) = ~ f2^ (!4) (!4) = ~ f1 (!4) = 1
1 + r (K S1 (!4)) + = 10
= 9: 804:
1:02
Damit berechnen wir
E Q h i
f~
1
= q 2 ~ f (!1) + q (1 q) ~ f (!2) + ~ f (!3) + (1 q) 2 ~ f (!4)
= 4: 152: