Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus

46 1 Lösungen der Aufgaben
Aufgabe 4.2.
Geben Sie unter Berücksichtigung einer Dividendenzahlung der Aktie S explizit
eine Handelsstrategie an, die zum Forward-Preis F in (4.56) für einen
Forward-Kontrakt auf S führt.
Lösung.
Gleichung (4.56) für den Forward-Preis F lautet
F = e rcT S0 e rc :
Dabei zahlt die Aktie S die Dividende zum Zeitpunkt 0 < T aus. Zur
Replikation werden zum Zeitpunkt 0 folgende Handelsgeschäfte getätigt:
Es wird ein Kredit mit Fälligkeit T der Höhe S0 e rc zum Zinssatz rc
aufgenommen.
Es wird ein weiterer Kredit mit Fälligkeit der Höhe e rc zum Zinssatz
rc aufgenommen.
Insgesamt wird für das zur Verfügung stehende Kapital eine Aktie zum
Preis von S0 gekauft.
Zum Zeitpunkt zahlt die Aktie die Dividende aus. Damit kann der zweite
Kredit zurückbezahlt werden, denn es gilt = e rc ( e rc ).
Zum Zeitpunkt T zahlt der Kontrahent für die Aktie S den vereinbarten
Forward-Preis F = e rcT (S0 e rc ). Damit wird schließlich der erste Kredit
zurückgezahlt.
Aufgabe 4.3.
Leiten Sie mit Hilfe der Put-Call-Parität und der Black-Scholes-Formel für
die Call-Option die Black-Scholes-Formel für die Put-Option her.
Lösung.
Für den Preis C einer Call-Option gilt die Black-Scholes-Formel C = S (d+)
pv K (d ). Zur Herleitung der entsprechenden Black-Scholes-Formel für eine
Put-Option wird die Put-Call-Parität verwendet. Es gilt
Nun gilt
P = C S + pv K
= S (d+) pv K (d ) S + pv K
= S (1 (d+)) pv K (1 (d )) :