Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus

Aufgabe 6.8.
1.6 Diskrete Stochastische Analysis 61
Geben Sie einen alternativen Beweis des Optional Sampling Theorems mit
Hilfe der De…nition der bedingten Erwartung und der Darstellung (6.70).
Lösung.
Wir betrachten Et[X (t+1)^ ]. Mit A 2 Z (Ft) und ! 2 A gilt wegen (6.70)
und 1 f t+1g = 1 f >tg die Darstellung
X (t+1)^ =
tX
i=0
Daraus folgt mit (6.1) und (6.3)
Xi 1 f =ig + Xt+1 1 f >tg:
P (A) Et[X (t+1)^ ] (!) = E[Et[X (t+1)^ ] 1A]
= E[X (t+1)^
= X
! 0 2A
= X
=
! 02A i=0
tX
1A]
X (t+1)^ (! 0 ) P (! 0 )
tX
X
Xi 1 f =ig (! 0 ) P (! 0 )
+ X
i=0 ! 02A\f =ig
+
! 0 2A
Xt+1 1 f >tg (! 0 ) P (! 0 )
Xi (! 0 ) P (! 0 )
X
! 0 2A\f >tg
Xt+1 (! 0 ) P (! 0 ) :
Die t + 2 Mengen f = ig, i = 0; : : : ; t, und f > tg bilden eine disjunkte
Zerlegung von . Ferner gilt f = ig 2 Fi Ft für i = 0; : : : ; t und f >
tg = f tg c 2 Ft. Daher ist die Menge A 2 Z (Ft) in genau einer dieser
t + 2 Mengen enthalten.
Wir betrachten zunächst den Fall, daßA f = kg für ein 0 k t gilt.
Dann erhalten wir A \ f = kg = A und A \ f = ig = ? für i 6= k sowie
A \ f > tg = ?. Daher folgt mit (!) = k t für beliebiges ! 2 A
Et[X (t+1)^ ] (!) = 1
P (A)
= Xk (!)
= X (!) (!)
= Xt^ (!) :
X
! 0 2A\f =kg
1
P (A)
Xk (! 0 ) P (! 0 )
X
P (! 0 )
! 0 2A