Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus

18 1 Lösungen der Aufgaben
RM 0 = 1
= 1
= 1
= 1
Wähle also := 0
.
Aufgabe 2.9.
0 r + 0 RL
0 r
0
0
r
r +
0
(1 ) r +
0
0
(1 ) r +
RM :
0
(1 ) r +
0
0
RL
((1 ) r + RL)
Betrachten Sie ein Ein-Perioden-Modell (S0; S1; P ). Die Kovarianzmatrix C
des Modells ist gegeben durch
Cij = Cov (Ri; Rj) :
1. Zeigen Sie, dass sich das Minimum-Varianz-Portfolio-Optimierungsproblem
formulieren läßt als
min 1
unter den Nebenbedingungen
h ; C i
2
D
; ( 1; : : : ; N) >E
D
=
; (1; : : : ; 1)
;
>E
= 1:
für eine vorgegebene Portfoliorendite . Dabei gilt i = hiSi
folio h 2 R
0
h S0
für ein Port-
N .
2. Angenommen, die Kovarianzmatrix C ist positiv de…nit. Zeigen Sie unter
Verwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren, daßdas
Minimum-Varianz-Optimierungsproblem eine Lösung besitzt, falls für
geeignete 1 und 2 gilt
C = 1 ( 1; : : : ; N) > + 2 (1; : : : ; 1) > :
3. Angenommen, es existieren Lösungen 2 R N und 0 2 R N für
C = ( 1; : : : ; N ) > ;
C 0 = (1; : : : ; 1) > :
Untersuchen Sie, unter welchen Voraussetzungen das Minimum-Varianz-
Optimierungsproblem in diesem Fall eine Lösung besitzt.