Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus

Aufgabe 1.12.
Betrachten Sie das Marktmodell
00
(b; D) = @@
56
1 0 11
60 59 57
8 A ; @ 11 7 10 AA
:
33 32 36 41
1.1 Ein-Perioden-Modelle 11
1. Zeigen Sie, daß(b; D) arbitragefrei und vollständig ist, und bestimmen Sie
den eindeutig bestimmten Zustandsvektor .
2. Finden Sie die eindeutig bestimmte festverzinsliche Anlage mit der Eigenschaft
S1 (!) = 1 für alle ! 2 .
3. Bestimmen Sie daraus den Diskontfaktor d und den risikolosen Zinssatz
r.
4. Veri…zieren Sie d = P 3
j=1 j.
Lösung.
1. Die eindeutig bestimmte Lösung des Gleichungssystems D = b lautet
0
B
= @
1 0
C B
A = @
0:312 80
0:588 72
4: 381 8 10 2
1
C
A :
721
2305
1357
2305
101
2305
Also ist (b; D) arbitragefrei und vollständig.
2. Die eindeutig bestimmte Lösung von D > 0 1
1
= @ 1 A =: e lautet
1
=
0
B
@
1
32
2305
3 C
2305 A =
11
2305
0
1: 388 3
B
@
10 2
1: 301 5 10 3
4: 772 2 10 3
1
C
A :
Das Portfolio bildet damit eine festverzinsliche Kapitalanlage.
3. Der Wert d von zum Zeitpunkt 0 lautet
d = h ; ei = 2179
= 0:945 34;
2305
und entspricht gerade dem Diskontfaktor des Modells. Die zugehörige Rendite
r lautet
r = 1
d
4. Dies folgt unmittelbar aus d = h ; ei.
1 = 126
= 5: 782 5%:
2179