Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus

40 1 Lösungen der Aufgaben
Mit den erhaltenen Daten gilt
~Q (!1) = ~ Q (A11) ~ QA11 (!1) = 2071
~Q (!2) = ~ Q (A11) ~ QA11 (!2) = 2071
~Q (!3) = ~ Q (A12) ~ QA12 (!3) = 938
~Q (!4) = ~ Q (A12) ~ QA12 (!4) = 938
12
22 2
18
0
0
187
= 0:211;
3009 608
421
= 0:477;
3009 608
1920
= 0:220;
3009 2723
803
= 0:092:
3009 2723
Wir sehen, daß ~ Q ein Wahrscheinlichkeitsmaßauf
niert. Nun berechnen wir schließlich mit
= f!1; !2; !3; !4g de…-
~c2 := c2
S1 0
B
= B
@
2
1
C
A =
0 1
0:545
B 0:111 C
@ 0:0 A
0:0
den Ausdruck
V0 = S 1 0E ~ Q [~c2] = 2: 863
und erhalten gerade den in Aufgabe 3.10 berechneten Optionspreis. Diskontieren
wir also ein arbitragefreies Marktmodell mit einem geeigneten Numéraire,
so de…niert der zugehörige Zustandsprozeßselbst ein Wahrscheinlichkeitsmaß
auf dem Zustandsraum, und der Diskontierungsoperator hat die Struktur einer
bedingten Erwartung bezüglich dieses Maßes. Die diskontierten Kursprozesse
eines Finanzinstrumentes, das keine Dividenden auszahlt, bilden bezüglich
dieses Maßes ein Martingal.
Aufgabe 3.13.
Betrachten Sie die durch
P0 = f!1; : : : ; !4g = = A0;
P1 = ff!1; !2g ; f!2; !4gg = fA11; A12g und
P2 = ff!1g ; f!2g ; f!3g ; f!4gg = fA21; A22; A23; A24g
de…nierte Filtration P = fP0; P1; P2g. Ein an P adaptierter AktienprozeßS
sei mit u = 1:1 und d = 0:9 de…niert durch