Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus

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42 1 Lösungen der Aufgaben h = h1 h2 = 0 0 und besitzt damit den Wert 0 im Knoten A12. Es gilt also z (A12) = 0. Damit lautet das Gleichungssystem für das replizierende Portfolio im verbleibenden Ein-Perioden-Teilmodell: Dies bedeutet 1:02 110 1:02 90 1 + r uS 1 + r dS h1 h2 h1 h2 = 12:354 0 = z (A11) z (A12) =) h1 h2 = : 54:503 0:617 7 Der Wert c0 dieses Portfolios zum Zeitpunkt 0, und damit der gesuchte Preis der Call-Option, lautet schließlich c0 = h1 + h2S = 7:267: 3. Wir bestimmen nun für das Marktmodell einen Zustandsprozeß. Das Gleichungssystem D = b lautet in jedem Ein-Perioden-Teilmodell und besitzt die Lösung = 1 2 1 + r 1 + r u d = 1 1 + r 1 2 q 1 q = 1 1 ; q = 1 + r d u d : Damit erhalten wir für das MartingalmaßQ die Darstellung Q (!1) = 1 d2 Q (!2) = 1 d2 Q (!3) = 1 d2 Q (!4) = 1 d2 1 1 = q 2 1 2 = q (1 q) 2 1 = q (1 q) 2 2 = (1 q) 2 : Damit gilt für den Preis c0 der Call-Option mit q = 1+r d u d c0 = 2 1c1 + 1 2c2 + 1 2c3 + 2 2c4 = d2E Q 1 [c] = (1 + r) 2 EQ [c] = 7:2664: = 0:6 :
4. Im diskontierten Marktmodell gilt ~S (A0) = S = 100 ~S (A11) = uS = 107:84 1 + r ~S (A12) = dS = 88:235 1 + r ~S (A21) = u2S 2 = 116:3 (1 + r) ~S (A22) = udS 2 = 95:156 (1 + r) ~S (A23) = udS 2 = 95:156 (1 + r) ~S (A24) = d2S 2 = 77:855: (1 + r) 1.3 Mehr-Perioden-Modelle 43 Die Gleichungen für die Zustandsvektoren im diskontierten Modell lauten so daß ~ = ~ 1 ~ 2 1 1 u 1+r d 1+r = ~ 1 ~ 2 = 1 1 ! 1 d=(1+r) (u d)=(1+r) u=(1+r) 1 = (u d)=(1+r) 0:6 0:4 Die Komponenten der diskontierten Endauszahlung ~c lauten Damit gilt so daß ~c1 = c1 (1 + r) 2 = 20:185; ~c2 = ~c3 = ~c4 = 0: ~Q (!1) = ~ 1 ~ 1 = ~q 2 ~Q (!2) = ~ 1 ~ 2 = ~q (1 ~q) ~Q (!3) = ~ 2 ~ 1 = ~q (1 ~q) ~Q (!4) = ~ 2 ~ 2 = (1 ~q) 2 ; c0 = E ~ Q [~c] = ~q 2 ~c 2 4 = 7:2666: 5. Für eine Put-Option auf die Aktie mit Basispreis 100 erhalten wir im diskontierten Modell die Endauszahlungen ; :
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