Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus
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60 1 <strong>Lösungen</strong> <strong>der</strong> <strong>Aufgaben</strong><br />
Daraus folgt<br />
Et 1 [ (XY [X; Y ]) t ] = Yt 1Et 1 [ Xt] + Xt 1Et 1 [ Yt]<br />
= 0:<br />
Mit Lemma 6.26 folgt die erste Behauptung.<br />
2. Der Prozeß[X; Y ] ist nicht vorhersehbar, daher ist<br />
keine Doob-Zerlegung von XY .<br />
Aufgabe 6.7.<br />
XY = (XY [X; Y ]) + [X; Y ]<br />
Betrachten Sie für den in Abb. 6.1 dargestellten Kursprozess das Ereignis E,<br />
daß<strong>der</strong> Kurs zum ersten Mal den Mittelwert <strong>der</strong> Kurse längs eines Pfades<br />
! 2 übersteigt. Zeigen Sie, daßdie Zuordnung <strong>der</strong> Zeitpunkte (!) für den<br />
Eintritt von E keine Stopzeit de…niert.<br />
Lösung.<br />
Für die Mittelwert <strong>der</strong> Kurse längs <strong>der</strong> durch !1; : : : ; !4 de…nierten Pfade gilt<br />
Daraus ergibt sich<br />
Wegen<br />
Pfad Mittelwerte <strong>der</strong><br />
Kurse längs des<br />
Pfades<br />
!1<br />
!2<br />
!3<br />
!4<br />
100+120+140<br />
3<br />
100+120+110<br />
3<br />
100+80+90<br />
3<br />
100+80+60<br />
3<br />
Pfad (!)<br />
!1 2<br />
!2 1<br />
!3 2<br />
1<br />
!4<br />
= 120<br />
= 110<br />
= 90<br />
= 80:<br />
1 (1) = f!2; !4g 62 F1 und<br />
1 (2) = f!1; !3g 62 F2<br />
de…niert keine Stopzeit. Zur Ermittlung des Zeitpunkts, zu dem E eintritt,<br />
mußzu jedem Zeitpunkt <strong>der</strong> gesamte Pfad, also die zukünftige Entwicklung<br />
des Prozesses, bekannt sein. Zum Zeitpunkt 1 kann daher noch nicht entschieden<br />
werden, ob das Ereignis eingetreten ist o<strong>der</strong> nicht.
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