Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus

28 1 Lösungen der Aufgaben
Lösung.
Wir betrachten
(C) :=
A Algebra
C A
Zunächst existiert für jedes Mengensystem C eine Algebra, die C enthält, denn
es gilt stets C P( ), und P( ) ist eine Algebra. Weiter gilt 2 A für jede
Algebra A mit C A. Daraus folgt aber 2 (C). Sei weiter A 2 (C). Nach
De…nition (1.1) gilt dann A 2 A für jede Algebra A mit C A. Da jedes A
eine Algebra ist, also abgeschlossen gegenüber allen Mengenoperationen, folgt
aber Ac 2 A. Damit gilt Ac 2 (C). Weiter seien A; B 2 (C). Dies bedeutet
A; B 2 A für jede Algebra A mit C A. Da A eine Algebra ist, gilt A[B 2 A,
also A [ B 2 (C).
Aufgabe 3.2.
Zeigen Sie: Ist C selbst eine Algebra, so gilt (C) = C.
Lösung.
Ist C eine Algebra, so gilt
Aufgabe 3.3.
\
C (C) = C\ \
Zeigen Sie, daßdie Menge aller Tupel
genau 2 n Elemente enthält.
Lösung.
A Algebra
C A
A: (1.1)
A C:
Tn := f("1; : : : ; "n) j"i 2 f0; 1g für i = 1; : : : ; ng
Beweis durch Induktion über n. Für n = 1 existieren die beiden 1-Tupel (0)
und (1). Angenommen, für ein n wurde bereits jTnj = 2 n gezeigt. Dann läßt
sich Tn+1 als disjunkte Vereinigung schreiben:
Tn+1 = Tn;0 [ Tn;1;
wobei Tn;0 := f(x; 0) jx 2 Tn g und Tn;1 := f(x; 1) jx 2 Tn g. O¤enbar gilt
jTn;0j = jTn;1j, also folgt
jTn+1j = 2Tn = 2 n+1 :