Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus

2 1 Lösungen der Aufgaben
Aufgabe 1.2.
Machen Sie sich klar, daßdie Schnittmenge C \ B (0) im Beweis von Satz
1.44 gebildet wurde, um die Tatsache zu verwenden, daßstetige Funktionen
auf kompakten Mengen ein Minimum annehmen.
Lösung.
Stets kann ein > 0 so großgewählt werden, daßC \ B (0) 6= ; gilt, wobei
B (0) = fx 2 R n j kxk g. Für jedes x 2 C \ B (0) ist o¤ensichtlich
kxk . Für jedes x 2 CnB (0) gilt dagegen kxk > , so daßdas Minimum
der Funktion x 7 ! kxk tatsächlich nur in der Menge C \ B (0) gesucht werden
muß. Als Durchschnitt zweier kompakter, d.h. in R n abgeschlossener und
beschränkter, Mengen ist C \ B (0) selbst kompakt. Auf Grund der inversen
Dreiecksungleichung
jkxk kykj kx yk
ist die Abbildung x 7 ! kxk stetig. Da stetige Funktionen auf kompakten
Mengen ihr Minimum annehmen, folgt die Behauptung. (Stetige Funktionen
nehmen auf kompakten Mengen auch ihr Maximum an, aber dies wird hier
nicht benötigt.)
Aufgabe 1.3.
Sei K eine konvexe Teilmenge des R n , sei V ein Untervektorraum des R n
und sei C := K V = fx 2 R n j9(k; v) 2 K V; x = k v g. Weisen Sie die
Konvexität von C nach.
Lösung.
C ist konvex, wenn mit je zwei Punkten aus C auch die Verbindungslinie
dieser Punkte in C liegt. Seien also x; y 2 C beliebig. Dann gilt x = k v und
y = l w für k; l 2 K und für v; w 2 V . Sei weiter 0 1. Dann folgt
x + (1 + ) y = k + (1 + ) l ( v + (1 ) w) :
Da K konvex ist, gilt k + (1 + ) l 2 K und da V ein Untervektorraum ist,
gilt v + (1 ) w 2 V . Daraus folgt die Behauptung.
Aufgabe 1.4.
Zeigen Sie, daßUntervektorräume des R n abgeschlossen sind.