Lösungen der Aufgaben - RheinAhrCampus
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Aufgabe 6.3.<br />
1.6 Diskrete Stochastische Analysis 57<br />
Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und sei X eine F meßbare<br />
Zufallsvariable. Sei G F eine Unteralgebra von F und sei Z G meßbar. Zeigen<br />
Sie mit (6.2) und (6.3), daßEG[ZX] = Z EG[X].<br />
Lösung.<br />
Sei A 2 Z (G) beliebig. Dann ist Z auf A konstant und für beliebiges ! 2 A<br />
gilt<br />
EG[ZX] (!) = E[ZX jA]<br />
= 1 X<br />
P (A)<br />
= Z (!)<br />
! 0 2A<br />
1<br />
P (A)<br />
= Z (!) E[XjA]<br />
Z (! 0 ) X (! 0 ) P (! 0 )<br />
X<br />
! 0 2A<br />
= Z (!) EF[X] (!) :<br />
Da A beliebig war, folgt die Behauptung.<br />
Aufgabe 6.4.<br />
X (! 0 ) P (! 0 )<br />
Sei ( ; F; P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und sei X eine F meßbare<br />
Zufallsvariable. Sei weiter G F eine Unteralgebra von F. Weisen Sie mit<br />
(6.2) und (6.3) die Gültigkeit von E[EG[X]] = E[X] nach.<br />
Lösung.<br />
Mit E [1A] = P (A) folgt<br />
!
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