Kapitel

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ABCDEFG 

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Hermann-Föttinger-Institut für Strömungsmechanik 

Technische Universität Berlin 

Lehrveranstaltung 1034L577 

Statistische Turbulenzmodellierung 

zweite, korrigierte Fassung vom WS 03/04 

Th. Rung 

Global Center of Competence Aerodynamic and Thermodynamic 

Bombardier Transportation 

Hermann-Föttinger-Institut für Strömungsmechanik, Sekr. HF 1, 

Müller-Breslau-Strasse 8, 10623 Berlin, Germany 

rung@pi.tu-berlin.de

Inhaltsverzeichnis 

Seite 

Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 

Überblick 1 

1 Mathematische Grundlagen 8 

1.1 Transportgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.2 Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.3 Statistische Beschreibung turbulenter Strömungen . . . . . . . . . . . . 15 

1.3.1 Statistische Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

1.3.2 Reynolds–gemittelte Transportgleichungen . . . . . . . . . . . . 18 

1.3.3 Fluktuations–Transportgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.3.4 Transportgleichungen zweiter statistischer Momente . . . . . . . 20 

1.3.5 Schließungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.4 Energiespektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

1.5 Instationäre Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

1.5.1 Instationäre RANS (URANS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

1.5.2 Hybride RANS/LES Techniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

1.5.3 Periodische Strömungen & Phasenmittelung . . . . . . . . . . . 34 

1.6 Grobstruktursimulation (LES; Beitrag von St. Schmidt) . . . . . . . . . 35 

1.6.1 Filtertechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

2 Wirbelzähigkeit 41 

2.1 Semi–empirische Wirbelzähigkeits–Turbulenzmodelle . . . . . . . . . . 41 

2.2 Isotrope und anisotrope Wirbelzähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2.3 Isotrope Zwei–Parameter–Wirbelzähigkeitsmodelle . . . . . . . . . . . . 47 

2.3.1 k − ε Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

2.3.2 Alternative Zwei–Parameter–Formulierungen (k n − ζ Modelle) . 53 

2.3.3 Prallstrahlproblematik (Launder–Kato Modifikation) . . . . . . 54 

2.3.4 Turbulenter Wärmestrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

2.4 Primäre, sekundäre und tertiäre Stress–Strain Interaktion . . . . . . . . 56 

3 Rationale Modellierungstechniken 60 

3.1 Materielle Objektivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

3.2 Realisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

3.3 Darstellungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3.3.1 Funktions– und Integritätsbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 

3.3.2 Anisotrope Wirbelzähigkeitsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

i

4 Reynolds–Spannungsmodelle 82 

4.1 Lineare Transportgleichungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 

4.2 Algebraische Spannungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

5 Lineare Druck–Scher–Korrelationsmodelle 88 

5.1 Modellbildung des langsamen Anteils Φij1 . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

5.2 Modellbildung des schnellen Anteils Φij2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

5.3 Kalibrierung linearer Druck–Scher–Korrelationsmodelle . . . . . . . . . 94 

5.4 Wandreflektionsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

5.5 Elliptic Relaxation Verfahren von Durbin . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

6 Projektionstechniken 102 

6.1 Illustratives Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

6.2 Gatski & Speziale Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 

6.3 Erweiterungen klassischer EASM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

7 Wandrandbedingung 108 

7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

7.2 Lokal-orthogonale Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 

7.3 Schnittlastbezogene Impuls- und Druckrandbedingungen . . . . . . . . 116 

7.3.1 Druck- und Druckkorrekturgleichung . . . . . . . . . . . . . . . 117 

7.3.2 Impulsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 

7.4 High-Re Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 


7.4.2 Parameter der Wirbelzähigkeitsmodelle . . . . . . . . . . . . . . 125 

7.4.3 Reynoldspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 

7.5 Low-Re Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 


7.5.2 Parameter der Wirbelzähigkeitsmodelle . . . . . . . . . . . . . . 131 

7.5.3 Reynoldspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 

7.6 Universelle high-Re Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 

7.6.1 Zweiparameter-Turbulenzmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 

7.6.2 Spalart-Allmaras Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 

8 Eingleichungsmodelle 142 

8.1 Spalart–Allmaras Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 

8.1.1 Edwards Modifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 

8.2 Parameterreduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 

8.2.1 Transportgleichung der Wirbelzähigkeit . . . . . . . . . . . . . . 145 

9 Schließung der Produktionsrate 150 

9.1 Iterative Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 

9.2 Regularisierte Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 

9.3 Selbstkonsistente Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 

ii

9.4 Quasi–Selbstkonsistente Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 

10 Analyse 164 

10.1 Homogene Scherturbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 

10.2 Homogene Turbulenz in rotationsfreier Distorsion . . . . . . . . . . . . 173 

10.3 Realisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 

10.4 Rotierende homogene Scherströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 

10.5 Turbulente Sekundärströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 

Literaturverzeichnis 210 

A Invarianten des Anisotropietensors 211 

B Koordinatentransformation 214 

C Caley–Hamilton Theorem 217 

D Hintergrundmodelle 222 

E Greensche Integration 224 

F Zweipunktkorrelationen 226 

iii

Symbolverzeichnis 

Das Symbolverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Es soll vielmehr 

nur die wichtigsten Symbole erklären, die über größere Textpassagen hinweg Verwendung 

finden. Ansonsten sei auf die Definition der Symbole im laufenden Text verwiesen. 

Über doppelt auftretende lateinische Indizes wird nach der Einsteinschen Summenkonvention 

summiert. Die Summenkonvention gilt jedoch ausdrücklich nicht in Verbindung 

mit griechischen Indizes. Zur Vereinfachung der Darstellung werden Mittelwerte und 

Schwankungsgrößen im Bedarfsfalle nicht weiter gekennzeichnet, sondern durch Großbzw. 

Kleinbuchstaben unterschieden. Die Koordinaten von Vektoren und Tensoren beziehen 

sich in der Regel auf ein kartesisches Basissystem. 

Lateinische Kleinbuchstaben 

Skalare 

a = √ γRT Schallgeschwindigkeit 

ca, cw 

Auftriebs– und Widerstandsbeiwert 

cp 

Druckbeiwert 

spezifische isobare Wärmekapazität 

cv 

spezifische isochore Wärmekapazität 

cµ, cµ 

Anisotropiekoeffizient des Wirbelzähigkeitsmodells, bzw. des 

konventionellen isotropen Wirbelzähigkeitsmodells (cµ = 0.09) 

e innere Energie 

kleinskaliger Anteile der Turbulenzenergie (Zwei-Skalen-Modell) 

g, ˜g, g selbstkonsistenter (g), quasi–selbstkonsistenter (˜g) bzw. 

regularisierter (g) Gleichgewichtsparameter, 

gravitative Erdfeldstärke (g) 

h Enthalpie 

k Turbulenzenergie 

ˆk Betrag des Wellenzahlvektors 

kp 

großskaliger Anteil der Turbulenzenergie (Zwei-Skalen-Modell) 

m Masse 

n Wandnormalenabstand 

p Druckfluktuation 

r lokaler Radius, radiale Zylinderkoordinate 

sφ 

volumenspezifischer Quellterm der Transportgleichung von φ 

t 

uτ = 

Zeitkoordinate 

τw/ρ Wandschubspannungsgeschwindigkeit 

x, y, z kartesische Raumkoordinaten 

Vektoren 

fi 

ki 

Volumenkraftdichte 

Wellenzahl 

iv

qi 

ui 

xi 

Tensoren 

bij = uiuj 

2k 

eijk 

− 1 

3 δij 

Wärmestromdichte 

Schwankungsgeschwindigkeit 

kartesische Raumkoordinaten 

Anisotropietensor der Reynolds-Spannungen 

Permutationstensor 

sij = Tt ˜ Sij dimensionloser, spurfreier Scherraten–Tensor 

Reynolds–Spannungstensor 

wij = Tt(Wij − eijkΩk) dimensionloser, objektiver Wirbeltensor 

uiuj 

w ∗ ij 

= TtW ∗ 

ij 

Lateinische Großbuchstaben 

dimensionsloser, effektiver Wirbeltensor 

Skalare 

A, B, C Koeff. des expliziten algebraischen Spannungsmodells 

A0 . . . A4 

Koeff. der quasi–selbstkonsist. Formulierung von (P/ε)g 

C∗ 1 

Koeff. des Druck–Scher–Korrelationsmodells 

C1 . . . C4 

Koeff. des Druck–Scher–Korrelationsmodells 

Koeff. der Dissipationsratengleichung 

D diffusiver Fluß der Turbulenzenergie 

IIb, IIIb 

Hauptinvarianten des Anisotropietensors bij 

Beschleunigungsparameter 

Cε1, Cε2, C5 

K = ν 

U 2 δ 

Lt 

Ma, = |U| 

Mat = 

√ 

a 

2k 

a 

∂Uδ 

∂x 

integrales turbulentes Längenmaß 

Machzahl 

Turbulenzmachzahl 

P Produktion von Turbulenzenergie 

statischer Druck 

µ cp 

P r = λ 

R 

Prandtlzahl 

spezifische Gaskonstante 

Außenradius einer achsensymmetrischen Konfiguration 

Re = UL 

ν 

Reynoldszahl 

Ret = k2 

lokale Turbulenz–Reynoldszahl 

ε 

√ 

ν 

k n 

ν 

Rek = 

Ri = 

nicht–lokale Turbulenz–Reynoldszahl 

2Ω3 

S∗ 2Ω3 1 − S∗ 

 

Richardsonzahl 

S = 2s2 kk 

S 

skalierte Invariante des Tensors sij 

∗ 

= 2 ˜ S2 kk 

skalierte Invariante des Tensors ˜ Sij 

St = fL 

U = 

T 

L 

UTm 

Strouhalzahl (dimensionslose Frequenz) 

Temperatur 

Tt = k/ε integrales turbulentes Zeitmaß (eddy–turn–over–time) 

v

Tm 

Zeitmaß der transienten mittleren Geschwindigkeit 

U, V, W kartesische Geschwindigkeitskomponenten 

U + = |U| 

V, V, V 

uτ 

Tangentialgeschwindigkeit im Wandkoordinatensystem 

bewegtes, raumfestes und materielles Volumen 

Vt 

charakteristisches integrales Geschwindigkeitsmaß 

Y + = nuτ 

ν 

dimensionslose Wandkoordinate 

Vektoren 

Ui 

Tensoren 

Dij 

Pij 

Rij 

Sij = 0.5 

∂Ui 

∂xj 

˜Sij = Sij − 1 

Wij = 0.5 

3 Skk 

∂Ui 

∂xj 

 

∂Uj 

+ ∂xi 

− ∂Uj 

∂xi 

 

Reynolds–gemittelter Geschwindigkeitsvektor 

diffusiver Fluß der Reynolds-Spannungen 

Produktionstensor der Reynolds–Spannungen 

allgemeiner Korrelationstensor 

Scherraten–Tensor 

spurfreier Scherraten–Tensor 

Wirbeltensor 

W ∗ 

ij = Wij − 4−C4 

2−C4 eijkΩk effektiver Wirbeltensor 

˜Wij = Wij − eijkΩk objektiver Wirbeltensor 

Griechische Buchstaben 

Skalare 

α Koeffizient 

β1,2,3 

Koeffizienten des algebraischen Spannungsmodells 

γ allg. Koeffizient 

Isentropenexponent 

δ, δ1, δ2 

Grenzschicht–, Verdrängungs–, Impulsverlustdicke 

ε isotrope Dissipationsrate 

ηk = 

ν 3 

ε 

1/4 

Kolmogorovsches Längemaß dissipativer Skalen 

η0 . . . η6 

Invarianten der Integritätsbasis bij(sij, wij) 

θ Drall- bzw. Azimutalkoordinate 

κ von–Kármán Konstante 

λ Eigenwert und isotrope Wärmeleitfähigkeit 

µ dynamische Zähigkeit 

µt 

dynamische turbulente Wirbelzähigkeit 

ν kinematische Zähigkeit 

νt 

kinematische turbulente Wirbelzähigkeit 

ρ 

τk = 

Dichte 

 

ν 1/2 

ε 

Kolmogorovsches Zeitmaß dissipativer Skalen 

Betrag der Wandschubspannung 

τw 

vi

˜φ, φ = φ Momentan–, Mittelwert einer generischen Variablen 

ϕ = φ ′ Schwankungswert einer generischen Variablen 

φd 

Druckdilatationsterm 

ϕ Koeffizient 

ψ 

ω = 

Parameter der quasi–selbstkonsist. Darstellung von (P/ε)g 

ε 

cµk 

spezifische isotrope Dissipationsrate 

Diffusionskoeffizient der Transportglg. von φ 

Γφ 

Ψ = 

Ω = 

Vektoren 

√ 

6η3 

η1 1.5 

 

2w∗2 kk 

Schiefenparameter 

skalierte Invariante von w ∗ ij 

ωi = eijkUk,j Rotation des Geschwindigkeitsvektors 

Rotation des Basissystems 

Ωi 

Tensoren 

δij 

νijkl, νij 

φij 

τij 

εij 

Einheitstensor 

anisotrope kinematische Wirbelzähigkeit 

Tensor der Druck-Scher-Korrelationen 

Tensor der molekularen Reibungsspannungen 

Tensor der Dissipationsraten 

Symbolische Vektoren, Matrizen und Operatoren 

A , B , C Matrix, Tensor zweiter Stufe 

A , B , C Vektor 

U Geschwindigkeitsvektor 

∇ Gradientenoperator 

ei Basisvektor des kartesischen Koordiantensystems 

˜e i 

Basisvektor eines beliebigen Koordiantensystems 

êi Basisvektor eines Hauptachsensystems 

˜e r, ˜e θ, ˜e x 

physikalische Zylinderkoordinatenbasis 

T (1) . . . T (10) Generatoren der Funktionsbasis 

M Systemmatrix des Projektionsverfahrens 

G Gram–Matrix der Funktionsbasis 

untere Indizes 

(·)0 

(·)i 

(·)ij... 

(·)reg 

(·)ref 

(·)t 

(·),xyz 

Zeiger zur Kennzeichnung von Ruhegrößen 

Vektorkoordinate 

Tensorkoordinate 

Zeiger der regularisierten Modellbildung 

Referenzwert 

Zeiger zur Kennzeichnung turbulenter Größen 

partielle Ableitung nach kartesischen Koordinaten 

vii

(·) (NW) 

(·)R 

(·)∞ 

Zeiger zur Kennzeichung wandnaher Größen 

Zeiger zur Kennzeichung äusserer radialer Werte 

Zeiger zur Kennzeichung von Anströmgrößen 

obere Indizes 

(·) (2D/3D) Zeiger für zwei– bzw. dreidimensionale Größen 

(·) ′ Zeiger zur Kennzeichnung von Fluktuationswerten 

(i) Zeiger zur Kennzeichnung von Koordinaten eines 

bestimmten, durch i gekennzeichneten Bezugssytems 

Sonstige Symbole 

O(·) von der Ordnung 

(·) T transponierte Matrix 

|(·)| Betrag eines Skalars, Determinante einer Matrix 

tr{·} Spur eines Tensors 

(·) Wert zur rückwertigen Iteration, konstanter Wert 

[·] von der Dimension 

O(V ) geschlossene Oberfläche des betrachteten Volumens 

ˆφ Koordinaten des Hauptachsenssystems 

φ Mittelwert bei konventioneller Mittelung 

φψ . . . höheres statistisches Moment 

φ Mittelwert bei dichtegewichteter Mittelung 

φ Momentanwert 

˙φ, Dφ 

Dt 

˜Γ j 

im 

+ U · (∇φ) substantielle Ableitung 

physikalische Christoffel-Symbole zweiter Art 

F Funktionsbasis 

FGS 

Drei–Generator–Basis nach Gatski und Speziale 

E Energie–Spektralfunktion 

N Integritätsbasis 

A → B Übergang von A nach B 

= ∂φ 

∂t 

Abkürzungen 

1D,2D,3D ein-, zwei- dreidimensional 

ASM algebraisches Spannungsmodell 

EVM Wirbelzähigkeitsmodell (engl.: eddy–viscosity model) 

EASM explizites algebraisches Spannungsmodell 

HOT Terme höherer Ordnung 

IP Druck-Scher–Korrelationsmodell nach 

dem Isotropization–of–Production Konzept 

LL Lien–Leschziner (1993) low-Re k − ε Modell 

QI Druck-Scher–Korrelationsmodell nach 

dem Quasi–Isotropization–of–Production Konzept 

viii

QS quasi-selbstkonsist. Darstellung des Parameters ˜g 

REG regularisierte Darstellung des Parameters ˜g 

RHS rechte Seite einer Gleichung 

RSTM Reynolds–Spannungs Transportgleichungsmodell 

SA Spalart–Allmaras Eingleichungsmodell 

SK selbstkonsist. Darstellung des Gleichgewichtsparameters g 

SST Shear–Stress Transport Modell (Menter, 1994) 

WC Wilcox (1988,1993) k − ω Modell 

Druck–Scher–Korrelationsmodelle 

FRLT Fu, Rung, Lübcke und Thiele (1999) 

GL Gibson und Launder (1978) 

GY Gibson und Younis (1986) 

GS linearisiertes SSG Modell nach Gatski und Speziale (1993) 

LRR Launder, Rodi, und Reece (1975) 

RO Rotta (1951) 

SSG Speziale, Sarkar und Gatski (1991) 

TB Druck–Scher–Korrelation nach Taulbee (1992) 

ix

Überblick 

Die Simulation komplexer Problemstellungen aus dem Entwurfsprozeß strömungstechnisch 

hochbelasteter Bauteile stellt hohe Anforderungen an die Genauigkeit der 

strömungsphysikalischen Modellbildung. Hierbei hängt die Güte der Simulation wesentlich 

von der Behandlung des Turbulenzproblems ab. Turbulente Austauschmechanismen 

basieren auf Schwankungen von Druck, Dichte und Geschwindigkeit. Aufgrund der 

Nichtlinearität der (Eulerschen) Transportgleichungen treten die Schwankungen miteinander 

in Wechselwirkung, weswegen selbst für geringe Schwankungsaktivitäten stark 

veränderte Transportvorgänge auftreten. Eine detaillierte Beschreibung der räumlichen 

und zeitlichen Fluktuationen ist sehr aufwendig, da sie sich über ein breites Wellenzahl– 

und Frequenzspektrum erstrecken. Eine vollständige Auflösung des Schwankungsspektrums 

durch die numerische Diskretisierung ist in industriellen Strömungen auch langfristig 

nicht realisierbar. Die Berechnung technischer Strömungen ist daher auf eine 

effizientere Berücksichtigung von Strömungsturbulenz durch mathematische Modelle 

angewiesen. 

Stand der technischen Turbulenz–Simulations–Forschung 

In technischen Anwendungen sind zumeist nur die statistischen Eigenschaften einer turbulenten 

Strömung von Bedeutung. Numerische Verfahren zur Berechnung praxisrelevanter 

turbulenter Strömungen basieren daher fast ausnahmslos auf einer statistischen 

Betrachtung der Strömung. Hierzu werden die Transportgleichungen nach einem Vorschlag 

von Reynolds (1895) punktweise statistisch gemittelt. Die Reynolds–gemittelten 

Impulsgleichungen (Reynolds–Averaged Navier–Stokes Gleichungen; RANS) enthalten 

aufgrund der Nichtlinearität des Konvektionsterms zusätzliche Unbekannte in Gestalt 

zweiter statistischer Momente von lokalen Geschwindigkeitsfluktuationen. Diese sogenannten 

Reynolds–Spannungen werden durch eigene Transportgleichungen beschrieben, 

in denen wiederum neue Unbekannte in Form höherer bzw. zusätzlicher statistischer 

Momente auftreten. Die Verkettung der Transportgleichungen, von niedrigeren 

zu höheren Momenten, ist kennzeichnend für die statistische Betrachtung, weswegen 

die Herleitung weiterer Transportgleichungen prinzipiell zu keiner Schließung des Gleichungssystems 

führt. Ausgangspunkt der statistischen Turbulenzmodellierung ist der 

zunächst willkürlich gewählte Abbruch der Schließungskette. 

Die Empfehlung eines optimalen Abbruchstadiums ist schwierig, da sich der Einfluß 

höherer Momentengrade pauschal nicht abschätzen läßt. Die Modellierung höherer Momente 

ist oftmals ungleich schwieriger, zudem stellen sie aufgrund ihrer komplexeren 

mathematischen Gestalt höhere Anforderungen an das Modell. Aus Effizienzgründen 

sind anwendungsorientierte Disziplinen auf einen Abbruch der Schließungskette im Bereich 

zweiter statistischer Momente angewiesen. In diesem Falle müssen entweder die 

Reynolds–Spannungen (Wirbelzähigkeitsmodelle), oder aber die in ihren Transportgleichungen 

auftretenden höheren statistischen Momente (Transportgleichungs–Reynolds– 

Spannungsmodelle) durch ein Turbulenzmodell geschlossen werden. 

1

KAPITEL 

Isotrope Wirbelzähigkeitsmodelle 

Lineare niederparametrige Wirbelzähigkeits–Turbulenzmodelle (Baldwin und Lomax 

1978; Jones und Launder 1972; Wilcox 1993; Spalart und Allmaras 1992) bilden bis heute 

die Basis für die Mehrzahl industrieller Berechnungen turbulenter Strömungen. Ihre 

Popularität beruht vor allem auf programmtechnischen Aspekten. Die hohe numerische 

Stabilität des resultierenden Gesamtsystems und die algorithmisch einfache, effiziente 

Umsetzung des Ansatzes machen lineare isotrope Wirbelzähigkeitsmodelle (Eddy– 

Viscosity Modelle; EVM) äußerst attraktiv. Dies gilt insbesondere für industrielle Anwendungen, 

in denen keine wesentlichen Prioritätsunterschiede zwischen numerischer 

Effizienz und Genauigkeit existieren. Lineare Wirbelzähigkeitsmodelle stützen sich auf 

einen nach Boussinesq benannten isotropen Zusammenhang zwischen den Reynolds– 

Spannungen und den Scherraten. Der isotrope Wirbelzähigkeitsansatz besitzt erhebliche 

konzeptionelle Defizite in Bezug auf die Darstellung komplexer turbulenter Austauschmechanismen. 

Aussagen über strömungsmechanische Belastungen sind, vor allem 

im Hinblick auf deren kritische Grenzen, mit herkömmlichen Wirbelzähigkeitsmodellen 

nur unter starken Einschränkungen machbar (Leschziner 1995). Das diesbezüglich am 

häufigsten zitierte Beispiel für Modelldefizite von erheblicher industrieller Relevanz ist 

der klassische druckinduzierte turbulente Nichtgleichgewichtszustand mit stark variierendem 

Clauserparameter. Die erzielbare Vorhersagegenauigkeit im Bereich abgelöster 

oder ablösenaher Strömungssituationen unter Einfluß eines positiven Druckgradienten 

ist bei konventioneller Modellierung nahezu ausnahmslos unbefriedigend. Weitere 

(un)populäre Beispiele sind die unzulängliche Modellierung von anisotropiegetriebenen 

Sekundärströmungen und starke 3D Effekte, wie sie bei der Strömungssimulation in rotierenden 

Bauteilen oder als Folge von krümmungsinduzierten Variationen turbulenter 

Schubspannungen auftreten. 

Grobstruktursimulation 

Im Unterschied zur statistischen Modellierung ermöglicht die Grobstruktursimulation 

(Large–Eddy Simulation; LES) detaillierte Einsichten in die strömungsphysikalischen 

Prozesse. Während statistische Ansätze auch bei instationären Strömungen einen im 

Prinzip zeitlich gemittelten Prozess betrachten, versucht die LES die dreidimensionale 

instationäre Entwicklung aller makroskopisch relevanten (Wirbel–)Strukturen durch 

das numerische Verfahren aufzulösen. Hierzu werden entsprechend feine räumliche und 

zeitliche Maschenweiten benötigt. Die energetisch untergeordneten Beiträge von geringer 

zeitlicher und räumlicher Ausdehnung werden analog zur RANS–Technik über 

ein Turbulenzmodell (Subgrid–Scale–Modell; SGS) geschlossen. Die industrielle Anwendung 

von LES in wandgebundenen Strömungen ist gegenwärtig jedoch begrenzt 

auf geometrisch einfache Konfigurationen bei niedrigen Reynoldszahlen (Re ≤ 10 4 ). 

Die Gründe hierfür liegen im prohibitiven Aufwand zur Auflösung der extrem dünnen 

(δ ∼ Re −0.5 ), in ihren Details jedoch hoffnungslos komplizierten Wandgrenzschichten 

durch die LES. Chapman (1979) schätzt, daß der Aufwand zur Auflösung des Außenbereichs 

einer turbulenten Grenzschicht proportional zu Re 0.4 anwächst. Mit Annäherung 

an die viskose Unterschicht steigt diese Proportionalität auf Re 1.8 . Ein besonderes 

2

KAPITEL 

Problem ist die nahezu isotrope Struktur des benötigten wandnahen Rechengitters, 

weswegen vor allem die spannweitige (laterale) Auflösung aufwendiger als bei einer 

RANS Simulation ist. Für eine einfache Flügelumströmung bei einer Reynoldszahl von 

Re = 10 6 wird die Anzahl der benötigten Gitterpunkte in Spalart (1999) mit 10 11.5 

und die Anzahl der benötigten Zeitschritte mit 10 6.7 angegeben. Geht man von einer 

Verfünffachung der verfügbaren Rechenleistung in fünf Jahren aus, was eine realistische 

Abschätzung derzeitiger Zuwachsraten darstellt, so ist mit der Durchführbarkeit einer 

LES–Flügelsimulation nicht vor dem Jahr 2045 zu rechnen. Zudem ist die Qualität der 

LES mit steigender Reynoldszahl zunehmend von der Güte des Subgrid–Scale–Modells 

im Wandbereich abhängig. Um den qualitätsmindernden Einfluß des SGS zu reduzieren, 

entspricht das wandnahe Auflösungsvermögen aktueller LES Simulation häufig 

dem der direkten numerischen Simulation (DNS). 

Hochauflösende Turbulenz–Simulations–Verfahren werden üblicherweise auf massiv parallelen 

Systemen eingesetzt, welche heutzutage durch den Einsatz von Standardkomponenten 

aus dem PC–Bereich zu günstigen Preis–Leistungs–Verhältnissen installiert 

werden können. Aufgrund der konzeptionellen Unterschiede zwischen der vielfach nichtparallelen 

pre– und postprocessing Software und dem massiv parallelen Strömungslöser 

stellt die schlechte Skalierbarkeit der Gittergeneratoren und Visualisierungswerkzeuge 

ein weiteres, wesentliches Hindernis für den industriellen Einsatz hochauflösender 

Verfahren dar. 

In Hinblick auf eine physikalisch fundierte und zugleich praxisnahe Strategie galt die 

Grobstruktursimulation lange Zeit als Hoffnungsträger der ingenieurwissenschaftlich 

orientierten Turbulenzforschung. Aus den oben genannten Gründen zeichnet sich mittlerweile 

ein Paradigmenwechsel ab, durch den eine modellierungsbehaftete Vorgehensweise 

wieder stärker in den Blickpunkt des Interesses gerückt ist. 

Der Großteil industrieller Simulationen wird auch in Zukunft auf eine partiell statistische 

Betrachtung der Turbulenz angewiesen sein. Dies gilt insbesondere für die Berechnung 

wandnaher inhomogener Scherschichten, welche auch in instationären Strömungen 

häufig durch die spektrale Trennung von turbulenten und transienten mittleren 

Anteilen gekennzeichnet sind. Bei der industriellen Berechnung instationärer Probleme 

mit gebietsweise nichtlinearen Impuls– und Energieflüssen über das gesamte Spektrum 

zeichnet sich gegenwärtig die Verwendung hybrider RANS/LES Ansätze ab. 

Hierbei werden die wandfernen Wirbelstrukturen einer instationären Strömung im 

Grobstruktur–Modus simuliert, die wandnahen Grenzschichten jedoch im wesentlich 

effizienteren RANS–Modus berechnet. Nichtzonale hybride Techniken sind unter dem 

Namen Very Large–Eddy Simulation (VLES; Speziale 1997b) bzw. Detached–Eddy Simulation 

(DES; Spalart 1999, Shur et al. 1999) bekannt. 

Transportgleichungs–Reynolds–Spannungsmodelle 

Der Einsatz von Transportgleichungs–Reynolds–Spannungsmodellen (RSTM) anstelle 

defizitärer EVM fand im industriellen Kontext trotz ihrer Prädestinierung für komplexe 

Strömungssituationen und der jahrzehntelangen Verfügbarkeit solcher Ansätze (Launder 

et al. 1975; Gibson und Launder 1978; Fu et al. 1987; Speziale et al. 1991) kaum 

3

KAPITEL 

Verbreitung. Die primäre Ursache hierfür ist der hohe Kernspeicher– und Rechenbedarf, 

der mit den üblicherweise sieben zu lösenden Transportgleichungen des RSTM 

verbunden ist. Die quelltermdominierten, eng gekoppelten Transportgleichungen der 

RSTM sind stark nichtlinear und numerisch steif. Ihre formal konvektive Bindung an 

die gemittelten Impulsgleichung schwächt die numerische Stabilität und verursacht 

einen erheblichen Implementierungsaufwand (Obi, Perić und Scheuerer 1991; Lien und 

Leschziner 1994; Rung 2000). Einfache (lineare) RSTM vermögen erfahrungsgemäß 

nicht alle Defizite isotroper EVM zu vermeiden. Diesbezüglich existieren leider nur 

wenige systematische Untersuchungen, da die Modellbildung aufgrund ihrer wesentlich 

komplexeren Struktur schwieriger zu analysieren und modifizieren sind. Neuere 

Ad–hoc–Ansätze zur Erweiterung des Gültigkeitsbereichs der RSTM auf der Grundlage 

hochgradig nichtlinearer Umverteilungsterme werden vielfach mit Skepsis betrachtet 

(Speziale 1995). Ungeachtet ihrer theoretischen Vorteile steht die erfolgreiche Validierung 

fortschrittlicher Transportgleichungs–Reynolds–Spannungsmodelle in Bezug 

auf die genauere Darstellung von komplexen, praxisrelevanten Strömungen noch aus 

(Bradshaw et al. 1996). Erste vielversprechende Arbeiten hierzu findet man z.B. bei 

Batten et al. (1999) oder Hanjalić et al. (1999). 

Anisotrope Wirbelzähigkeitsmodelle 

Zur Verbesserung der strömungsphysikalischen Modellbildung werden derzeit vielerorts 

nichtlineare Erweiterungen der Zwei–Parameter–Wirbelzähigkeitsmodelle untersucht. 

Diese gleichen in Bezug auf den Rechenaufwand und ihre numerischen Eigenschaften 

den isotropen Wirbelzähigkeitsmodellen. Sie sind daher besonders für den Einsatz 

in industriellen Simulationsverfahren geeignet. Gemeinsames Merkmal dieser Ansätze 

ist der im Unterschied zu isotropen EVM nichtlineare Zusammenhang zwischen den 

Reynolds–Spannungen und den Geschwindigkeitsgradienten (nichtlineare Stress–Strain 

Beziehung). Neben mehreren heuristisch motivierten Vorschlägen, z.B. von Speziale 

(1987) oder Craft et al. (1996), sind aus der Literatur eine Vielzahl unterschiedlicher 

Vorgehensweisen bekannt, welche sich bei der Konstruktion der nichtlinearen 

Wirbelzähigkeitsbeziehungen an einem übergeordneten mathematisch/physikalischen 

Prinzip orientieren. Nichtlineare Stress–Strain Beziehungen wurden beispielsweise auf 

der Grundlage von Renormalisierungsgruppen–Theorien (Rubinstein und Barton 1990; 

Yakhot et al. 1992), der Direct–Interaction–Approximation (Yoshizawa 1984), dem 

Realizability–Prinzip (Shih et al. 1993) oder der Rationalen Mechanik (Pope 1975; Taulbee 

1992; Gatski und Speziale 1993; Wallin und Johansson 2000) formuliert. 

Im Vergleich zu anderen Vorschlägen erscheinen die Expliziten Algebraischen Spannungsmodelle 

(EASM) überlegen. Die ursprünglich auf Pope (1975), Gatski und Speziale 

(1993) zurückgehende Entwicklung expliziter algebraischer Spannungsmodelle basiert 

auf der Vereinfachung linearer RSTM für strukturell stationäre Turbulenz. Durch 

diese Vereinfachung lassen sich die Transportgleichungen der Reynolds–Spannungen 

als System gekoppelter algebraischer Bilanzgleichungen darstellen (Rodi 1976), welche 

ergänzend zu den Transportgleichungen des Zwei–Parameter–Modells gelöst werden 

müssen. Die Algebraischen Spannungsmodelle (ASM) können mit Hilfe der Darstellungs– 

4

KAPITEL 

bzw. Invariantentheorie (Spencer 1971; Zheng 1994) in explizite nichtlineare Wirbelzähigkeitsmodelle 

überführt werden. Der entscheidende Vorteil der EASM ist ihr strenger 

mathematischer Zusammenhang zu impliziten linearen RSTM, wodurch die exakte 

Darstellung der dominanten Produktionsterme und eine Berücksichtigung von Umverteilungsmechanismen 

gewährleistet ist. Die enge Beziehung zum impliziten Reynolds– 

Spannungsmodell ermöglicht eine verbesserte Vorhersage von Effekten, welche aus 

Spannungsanisotropie, Systemrotation oder extremer Stromlinienkrümmung gespeist 

werden, und erleichtert die Analyse der Modellbildung. Die EASM verfügen prinzipiell 

über ähnliche physikalische Gültigkeitsbereiche wie RSTM und besitzen im Vergleich 

zu Transportgleichungs–Reynolds–Spannungsmodellen Vorteile in Bezug auf die Integration 

des wandnahen low–Re Bereichs. In Anbetracht des engen Zusammenhangs 

zwischen RSTM und nichtlinearen EVM erscheint die klassische Gliederung statistischer 

Turbulenzmodelle nach Wirbelzähigkeits– und Reynolds–Spannungsmodellen unangemessen. 

Ein alternatives Kriterium wäre die Differenzierung nach expliziten und 

impliziten Reynolds–Spannungsmodellen. 

Gliederung und Zusammenfassung der Lehrveranstaltung 

Die Vorlesung widmet sich vornehmlich der Entwicklung und Analyse von statistischen 

Turbulenzmodellen aus der Ingenieurpraxis. Den Schwerpunkt der Vorlesung bilden 

isotrope (lineare), anisotrope (nichtlineare) Transportgleichungs–Wirbelzähigkeitsmodelle 

sowie einfache lineare Transportgleichungs–Reynolds–Spannungsmodelle. Im Fokus 

der nichtlinearen Modellierung stehen vornehmlich explizite algebraische Spannungsmodelle, 

deren Diskussion gebräuchliche lineare Transportgleichungs–Reynolds– 

Spannungsmodelle einschließt. 

Neben der Erörterung konventioneller, empirisch/heuristischer Modellierungstechniken 

wird besonderer Wert auf die systematische Einordnung formal unterschiedlicher Modelle 

in eine kanonische Hierarchie statistischer Turbulenzmodelle gelegt. Die systematische 

Gliederung offenbart mathematische und physikalische Zusammenhänge zwischen 

verschiedenen Modelltypen. Der damit verbundene mathematische Formalismus wird 

zur Analyse der Modellbildung in vielerlei Hinsicht intensiv benutzt. 

Der natürlichen Gliederung folgend, befaßt sich das erste Kapitel den mathematischen 

Grundlagen. Neben den strömungsmechanischen Grundgleichungen werden hier insbesondere 

die Grundzüge der statistischen Turbulenzmodellierung dargelegt, und erste 

Modellierungstechniken, wie z.B. die Gradientendiffusion oder die Entwicklung der 

Transportgleichungen für konventionelle Zweigleichungsmodelle, erläutert. 

Im zweiten Kapitel erfolgt eine kritische Bewertung des linearen Wirbelzähigkeitskonzepts 

aus dem Blickwinkel der Darstellungstheorie. Das Kapitel strebt eine formale 

Erörterung von Defiziten konventioneller isotroper Wirbelzähigkeitsmodelle an, und 

versucht so die Motivation zur Verwendung einer im darstellungstheoretischen Sinne 

höherwertigen Modellbildung zu entwickeln. Daran anschließend wirden im dritten 

Kapitel ein Einblick in rationale Modellierungspraktiken, insbesondere die für die 

Entwicklung nichtlinearer Wirbelzähigkeitsmodelle relevanten Grundlagen der Darstel- 

5

KAPITEL 

lungstheorie erörtert. Die hierbei verwendeten vektoralgebraischen Hilfsmittel können 

Anhang C entnommen werden. 

Kapitel vier diskutiert implizite, lineare Reynolds–Spannungsmodelle. Letztere umfassen 

sowohl Transportgleichungsmodelle, als auch algebraische Spannungsmodelle. Die 

Schwerpunkte dieses Kapitels liegen auf der Entwicklung von Modellen zur Beschreibung 

der Druck–Scher–Korrelationen. 

Im Kapitel fünf wird, ausgehend von den impliziten algebraischen Reynolds–Spannungsmodellen, 

eine Projektionstechnik zur Formulierung beliebig aufwendiger expliziter algebraischer 

Spannungsmodelle skizziert. Ein wichtiges Merkmal dieser Vorgehensweise 

ist ihre hohe Flexibilität in Hinblick auf die gezielte Modellierung einzelner physikalischer 

Mechanismen. Ferner eignet sich die Prozedur zur Erweiterung klassischer 

expliziter algebraischer Spannungsmodelle. Die explizite Darstellung der Reynolds– 

Spannungen verlangt zusätzliche Annahmen zur Schließung der spezifischen Produktionsrate 

P/ε innerhalb der Koeffizienten des expliziten algebraischen Spannungsmodells. 

Kapitel sechs diskutiert unterschiedliche Schließungstechnikenund erläutert den Begriff 

der asymptotischen Konsistenz. 

Ein Analysekapitel befaßt sich mit der Vorhersage fundamentaler Strömungszustände 

durch unterschiedliche explizite algebraische Spannungsmodelle. Im Vordergrund des 

Kapitels stehen die Darstellbarkeit homogener Turbulenzfelder, die physikalische Realisierbarkeit 

der modellierten Reynolds–Spannungen sowie die Konsistenz zur Rapid– 

Distortion–Theorie. Daneben findet die Darstellung normalspannungsgetriebener Sekundärströmungen 

und krümmungsinduzierter Variationen von Schubspannungen besondere 

Beachtung. Die Betrachtungen ermöglichen eine Validierung des linearen Druck– 

Scher–Korrelationsmodells und eignen sich zur Formulierung von Restriktionen für 

die dazugehörigen Koeffizienten. Das achte Kapitel erörtert Optimierungsstrategien 

und befaßt sich mit der Erweiterung expliziter algebraischer Spannungsmodelle für 

Wandturbulenz, kompressible Medien, Mehrskalentheorien und dreidimensionale Strömungszustände. 

Daneben werden die traditionellen Schwierigkeiten von Wirbelzähigkeitsmodellen 

in Bezug auf die Vorhersage krümmungsbehafteter Strömungen analysiert. 

Im Anschluß daran wird der Modellkanon durch die Herleitung von Eingleichungsmodellen 

aus hierarchisch übergeordneten Zweigleichungsmodellen vervollständigt und 

die mathematisch/physikalischen Zusammenhänge zer schen einzelnen Modellen zusammengefasst. 

Im Rahmen eines abschließenden Kapitels werden numerische Aspekte, welche zur Umsetzung 

der Modelle in finiten Approximationsverfahren wichtig sind, erörtert. Hierzu 

zählen insbesondere die Formulierung von geeigneten Randbedingungen im Bereich 

fester Wände, wie z.B. high-Re und Low-Re Bedingungen, sowie die Diskussion von 

Fernfeldrandbedingungseinflüssen im Zusammenhang mit unterschiedlichen Modellierungstechniken. 

Die Validierung bezieht sich vorwiegend auf akademische Beispiele, welche einen vertieften 

Einblick in isolierte physikalische Mechanismen erlauben. Die diesbezüglichen 

Anwendungen sind begleitend in den laufenden Text integriert. Hierzu zählen unter 

6

KAPITEL 

anderem die Berechnung von scherfreier und schergetriebener Turbulenz, die Simulation 

von Sekundärströmungsphänomenen und Wandturbulenz, sowie die Untersuchung 

von Strömungsdrall bzw. die Vorhersage von Strömungen in rotierenden Systemen. 

Weite Teile der Darstellung und Berurteilung von Ergebnissen erfolgen unter Verwendung 

der Invariantenkarte nach Lumley (1978) und der damit verbundenen skalaren 

Deskriptoren, deren Herleitung man Anhang A entnehmen kann. 

7

Kapitel 1 Mathematische Grundlagen 

?? 

Für die Berechnung von Strömungsproblemen bieten die in einer Vielzahl bewährter 

Literaturstellen (z.B. Bird et al. 1962, Spurk 1989) angebotenen Ausgangsgleichungen 

einen attraktiven Einstieg in die Problematik. Der Vollständigkeit halber erfolgt zu 

Beginn dieses Manuskripts eine knappe Zusammenfassung der mathematischen Grundlagen. 

Der erste Abschnitt befaßt sich mit den fundamentalen Bilanzgleichungen. Die 

Schließung der Bilanzgleichungen stützt sich auf die Materialgesetze einfacher Navier– 

Stokes/Fourier Fluide und perfekter Gase, welche im zweiten Abschnitt wiedergegeben 

sind. Die folgenden Abschnitte stellen die Grundzüge der statistischen Modellierung 

turbulenter Strömungen dar, zu dessen Ergänzung bereits hier auf die Bücher von Hinze 

(1959), Tennekes und Lumley (1972), Launder und Spalding (1972), Rotta (1972), 

Wilcox (1993) und Hallbäck et al. (1996) hingewiesen sei. Zur Abgrenzung der statistischen 

Turbulenzmodellierung werden abschliessenwerden die Grundzüge der Grobstruktursimulation 

dargelegt. 

1.1 Transportgleichungen 

Im Rahmen der Strömungsmechanik werden die Bilanzgleichungen in der Regel nicht 

auf der Basis körperfester materieller oder Lagrange–Koordinaten, sondern auf der 

Basis raumfester Euler–Koordianten betrachtet. Die zeitliche Ableitung eines Integrals, 

dessen Grenzen und Integrand von der Zeit t abhängen, erfolgt unter Verwendung der 

Leibnitzschen Integrationsregel: 

d 

dt 

 

V 

 

φdV → 

V 

∂φ 

dV + 

∂t 

 

O(V) 

dA · (Uφ) = Sφ . (1.1) 

Hierin repräsentiert V den räumlichen Bereich, der momentan mit dem materiellem Volumen 

V zusammfällt, und Sφ eine spezifische rechte Seite, die aus sogenannten Quelltermen 

zur Erzeugung, Vernichtung oder Umverteilung von φ beiträgt. Die Leibnitzsche 

Integrationsregel für Volumina (1.1) ist auch als Reynoldssches Transporttheorem bekannt. 

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes erhält man anstelle von (1.1) die alternative 

Darstellung: 

 

V 

∂φ 

∂t 

 

+ ∇ · (Uφ) dV = Sφ . (1.2) 

Im Rahmen der Kontinuumshypothese gilt (1.2) für beliebige Kontrollräume V, weswegen 

die differentielle Form der Bilanzgleichungen 

∂φ 

∂t + ∇ · (Uφ) = sφ 

 

, mit Sφ = sφdV (1.3) 

lautet. Die Gültigkeit der differentiellen Form beschränkt sich genaugenommen auf 

Punkte, in denen die Feldgrößen stetig sind, insbesondere also keine Diskontinuitätsflächen 

auftreten. Für die numerische Simulation von Strömungsproblemen wird die 

8

1.1. TRANSPORTGLEICHUNGEN 

konservative Integralform (1.1) zumeist bevorzugt. Die Herleitung der Transportgleichungen 

für die zweiten statistischen Momente stützt sich vorwiegend auf die differentielle 

Form, deren Notation im weiteren Verlauf des Kapitels auf kartesischen Tensorkoordinaten 

basiert und die übliche Definition der substantiellen Ableitung verwendet 

Kontinuitätsgleichung 

˙φ = Dφ 

Dt 

= ∂φ 

∂t 

∂φ 

+ Uk . 

∂xk 

Der Satz von der zeitlichen Erhaltung der Masse in quellfreien Strömungsgebieten 

(Sρ=0) wird durch den Transport der Dichte (φ := ρ) in (1.1) beschrieben 

 

∂ρ 

dV + dA · (Uρ) = 0 . (1.4) 

∂t 

V 

O(V) 

Auf der Basis kartesischer Tensorkoordinaten lautet die entsprechende differentielle 

Form 

Impulsgleichung 

V 

∂ρ 

∂t 

+ ∂ ρ Ui 

∂xi 

= 0 . (1.5) 

Die Impulsgleichung ergibt sich aus dem 1. Newtonschen Grundgesetz, nach dem die 

Änderung des Impulses (φ := ρU) der Summe aller äußeren Kräfte auf das Fluid 

entspricht. Auf der rechten Seite der Eulerschen Beziehung (1.1) sind daher sämtliche, 

auf den flüssigen Körper wirkenden mechanischen Lasten zu bilanzieren: 

 

∂ 

∂t (ρU) 

 

dV + ρU U · dA = − P dA + τ · dA + fdV . (1.6) 

O(V) 

Hierin ist P der statische Druck, τ der noch zu definierende (symmetrische) Tensor der 

Reibungsspannungen und f eine beliebige Volumenkraftdichte – z.B.(0, 0, −ρg) –. Mit 

Hilfe des Gaußschen Satzes lassen sich die Integrale über die Oberflächenkraftdichten 

in Volumenintegrale wandeln, und man erhält für beliebige Teilbereiche lokal stetiger 

Feldvariablen die folgende differentielle (kartesische) Koordinatenbeziehung 

ρ DUi 

Dt 

O(V) 

∂P 

= − + 

∂xi 

∂τij 

∂xj 

O(V) 

+ fi . (1.7) 

Im Falle eines mit der Winkelgeschwindigkeit Ω stationär um den Koordinatenursprung 

rotierenden Bezugsssystems ist die rechte Seite um Coriolis– (−2ρ Ω × U) und Zentrifugalbeschleunigungen 

(−ρ Ω × Ω × x) zu ergänzen, woraus sich 

ρ DUi 

Dt 

= −∂P ∗ 

∂xi 

+ ∂τij 

∂xj 

9 

+ f ∗ i 

V 

(1.8)

KAPITEL 

ergibt. Hierin sind der um die Zentrifugalbeschleunigungen erweiterte Druck durch 

P ∗ = P − 0.5ρ (xmxm)(ΩkΩk) + 0.5ρ (Ωmxm)(Ωkxk) , (1.9) 

und die um die Coriolisbeschleunigung ergänzte Volumenkraftdichte durch 

f ∗ i = fi − 2ρ eijk ΩjUk (1.10) 

erklärt. Der in (1.10) auftretende Permutationstensor eijk folgt der Definition 

⎧ 

⎪⎨ 1 für ijk = 123, 231, 312 , 

eijk = −1 

⎪⎩ 

0 

für ijk = 213, 132, 321 , 

sonst . 

(1.11) 

Druckpoissongleichung 

Für die statistische Turbulenzmodellierung spielt die Poissongleichung des Drucks in 

inkompressiblen Medien eine zentrale Rolle. Diese gewinnt man mit Hilfe der Kontinuitätsaussage 

∇ · U = 0 aus der Divergenz von Gleichung (1.8) 

1 

ρ 

∂ 2 P ∗ 

∂xi∂xi 

 

∂Uk ∂Ui 

= − 

∂xi ∂xk 

+ 2eijkΩj 

 

∂Uk 

∂xi 

+ 1 

ρ 

∂fi 

∂xi 

, (1.12) 

wobei der Reibungsspannungstensor dem in Abschnitt 1.2 notierten Materialgesetz 

(1.32) folgt. 

Wirbeltransportgleichung 

Die Transportgleichung des Wirbelvektors ωi = eijk ∂Uk repräsentiert ein weiteres, 

∂xj 

geeignetes Instrument zur Analyse turbulenter Strömungen 

 

D ωi D ∂Uk ∂ ∂ ∂Uk 

= eijk = + Um eijk 

Dt Dt ∂xj ∂t ∂xm ∂xj 

 

∂ DUk ∂Uk ∂Um 

= eijk 

− eijk . (1.13) 

∂xj Dt ∂xm ∂xj 

Für inkompressible Medien erhält man mit Hilfe des in Abschnitt 1.2 notierten Materialgesetzes 

(1.32) für den ersten Term der rechten Seite von Gleichung (1.13) 

 

∂ DUk 

(...)eijk 

= 

∂xj Dt 

eijk 

2 ∂ τkm 

+ 

ρ ∂xm ∂xj 

∂ fk 

 

+ d 

∂xj 

eijk ∂ fk 

(1.14) . 

ρ ∂xj 

= (1.32) ν ∂2 ωi 

∂x 2 m 

Bei Verwendung statistischer Turbulenzmodelle ergibt sich im Volumenkraftdichtefreien 

Fall fk = (ukum),m. Der zweite Summand der rechten Seite von Gleichung (1.13) 

läßt sich für inkompressible Strömungen, wegen m = i, wie folgt vereinfachen 

eijk 

∂Uk 

∂xm 

∂Um 

∂xj 

= emjk 

∂Uk 

∂xm 

∂Ui 

∂xj 

10 

= −ejmk 

∂Uk 

∂xm 

∂Ui 

∂xj 

= −ωj 

∂Ui 

∂xj 

,

womit sich die Wirbeltransportgleichung schließlich in Form von 

ergibt. 

Energiegleichung 

D ωi 

Dt 

= ωk 

∂Ui 

∂xk 

+ ν ∂2 ωi 

∂x 2 k 

+ eijk 

ρ 

1.1. TRANSPORTGLEICHUNGEN 

∂ fk 

∂xj 

(1.15) 

Der energetische Transport durch einen Kontrollraum V wird durch den 1. Hauptsatz 

der Thermodynamik beschrieben. Hiernach ist die Änderung von kinetischer Energie 

K und innerer Energie E in V gleichgewichtig zur Summe aus Spannungsleistungen Ps, 

Wärmeflüssen über die Oberfläche ˙ Q sowie dem pro Zeiteinheit produzierten Anteil an 

eingeprägter Wärme ˙ Qe (beispielsweise aus Strahlung resultierend): 

˙E + ˙ K = Ps + ˙ Q + ˙ Qe . (1.16) 

Eingeprägte Wärmeanteile bleiben fortan unberücksichtigt. Da diese zumeist Quelltermgestalt 

besitzen, sind sie im Bedarfsfall leicht zu ergänzen. Mit Hilfe der Leistungsdichten 

 

 

 

 

˙Q = − q · dA bzw. Ps = U · τ · dA − dA · (U P ) + U · fdV (1.17) 

erhält man unter Verwendung intensiver Feldgrößen 

dE := ρe dV und dK := ρ 

die Integralgleichung 

 

∂ 

ρ e + 

∂t 

U 2 

g 

dV + 

2 

 

V 

− 

 

O(V) 

O(V) 

2 U · U dV = ρU 2 g 

2 

dA · 

dA · q + U P − τ T · U 

+ 

V 

 

ρU e + U 2 

g 

= 

2 

dV (1.18) 

U · fdV . (1.19) 

Die Beziehung (1.19) geht nach Wandlung der Oberflächenintegrale unter der Voraussetzung 

stetiger Feldgrößen in eine differentielle Formulierung über. Subtrahiert man 

hiervon die durch skalare Multiplikation mit der Geschwindigkeit erweiterte Impulsbilanz 

(1.7), so ergibt sich eine weitere differentielle Bilanzgleichung 

ρ De 

Dt 

∂qi 

= − − P 

∂xi 

∂Ui 

∂xi 

∂Ui 

+ τji . (1.20) 

∂xj 

 

Die hierin auftretende doppelte Überschiebung zwischen den Verzerrungsgeschwindigkeiten 

und den daran wirkenden Reibungsspannungen wird zumeist als Dissipationsfunktion 

φD bezeichnet und symbolisiert die volumenbezogene Spannungsleistung infolge 

von Kontrollraumverzerrung. 

11 

:=φD

KAPITEL 

Enthalpiegleichung 

Neben (1.20) finden eine Reihe weiterer Formulierungen der Energiegleichung Verwendung. 

Hierzu zählt beispielsweise die in Termen der Enthalpie h formulierte Variante, 

zu der man vermöge ρh := ρe + P gelangt 

ρ Dh 

Dt 

∂qi 

= − + φd + 

∂xi 

DP 

Dt 

. (1.21) 

Diese Beziehung geht für kalorisch ideale Medien (vgl. Abschnitt 1.3) in 

DT 

ρcp 

Dt 

∂qi 

= − + φd + 

∂xi 

DP 

Dt 

(1.22) 

über. Die Beziehung (1.22), bzw. deren konservative Integralform dienen im Folgenden 

als Ausgangsgleichung zur Berechnung kompressibler Probleme. 

Generische Transportgleichung 

Der Transport einer generischen Strömungsvariablen folgt der Beziehung 

ρ Dφ 

 

∂ ∂φ 

= Γφ + sφ . (1.23) 

Dt ∂xi ∂xi 

1.2 Materialgleichungen 

Im Rahmen der Lehrveranstaltung werden lediglich Strömungen einfacher Navier– 

Stokes–Fourier Fluide behandelt. Die mechanischen und thermodynamischen Konsequenzen 

aus dieser Vereinfachung sind allgemein bekannt und sollen daher im folgendem 

Abschnitt nur kurz skizziert werden. Das im vorangehenden Abschnitt notierte System 

von Bilanzgleichungen ist für alle Materialien und Strömungszustände gültig. Dennoch 

bildet es kein geschlossenes Gleichungssystem, sondern benötigt hierzu folgende Konstitutivbeziehungen 

• eine thermische Zustandsgleichung, 

• ein Stoffgesetz zur Verknüpfung von Zustandsgrößen, 

• Ansätze für die Transportkoeffizienten. 

Thermische Zustandsgleichung 

Vernachlässigt man die intermolekularen Phänomene, wir z.B. Binnendruck und Kovolumen, 

so spricht man von idealem oder auch perfektem Gas. Für dieses Fluid sind 

die Zustandsgrößen Druck p, Dichte ρ und Temperatur T durch die Zustandsgleichung 

P = ρRT (1.24) 

12

1.2. MATERIALGLEICHUNGEN 

beschrieben. Die medienspezifische Gaskonstante R bestimmt sich darin über 

R = 

˜ R/M 

˜R = universelle Gaskonstante = 8.3143 J 

mol K 

M = Molmasse des Strömungsmediums z.B. Luft = 29g 

mol 

. (1.25) 

Aus der Voraussetzung eines thermisch idealen Stoffverhaltens ergibt sich für die differentiellen 

Zustandsgrößen der inneren Energie de und der Enthalpie dh 

de = cvdT bzw. dh = cpdT = d(e + P/ρ) (1.26) 

mit (nicht notwendigerweise konstanten) isobaren bzw. isochoren Wärmekapazitäten 

cp und cv. Das Stoffgesetz (1.24) des Idealgases ergibt die Restriktion 

dh = de + d(P/ρ) → cpdT = cvdT + RdT → cp − cv = R , (1.27) 

welche sich bei Verwendung des Quotienten cp 

γ = cp 

cv 

cv 

(:= Isentropenexponent γ) zu 

→ cp = Rγ 

γ − 1 , cv = R 

γ − 1 

(1.28) 

notiert. Die in dieser Vorlesung berechneten kompressiblen Strömungen setzen zudem 

kalorisch ideales Verhalten voraus (cp und cv =konst.), weswegen sich die differentiellen 

Stoffgesetze (1.26) der inneren Energie und Enthalpie zu 

h − href = cp(T − Tref) und e − eref = cv(T − Tref) (1.29) 

integrieren lassen. Eine Modifikation für kalorisch reale Stoffe sollte mit Hilfe von Stoffgesetztabellen, 

z.B. Blanke (1989), leichterdings möglich sein. Für die Berechnungen 

benötigt man somit die Vorgabe einer spezifischen Gaskonstante R sowie eines Isentropenexponenten 

γ. Das verwendete numerische Verfahren ist vornehmlich zur Berechnung 

von Luftströmungen entwickelt worden. Für dieses, in der Hauptsache aus zweiatomigen 

Stickstoffmolekülen bestehende Medium, ist die Gültigkeit der thermischen 

Zustandsgleichung bei nicht zu hohen Drücken im wesentlichen vom lokalen Temperaturzustand 

abhängig. Bei Temperaturen oberhalb von 500 K wird vom Medium zusehends 

mehr Energie in die Nutzung des Vibrationsfreiheitsgrades des Hantelmodells 

umgesetzt. In diesem Fall kann nicht mehr mit konstanten spezifischen Wärmen gerechnet 

werden (kalorisch reales Verhalten). Oberhalb von ca. 2000 K ist die verstärkt 

einsetzende Dissoziation der Sauerstoffanteile zu berücksichtigen, von 5000 K an findet 

zudem Stickstoffdissoziation statt. Berechnungen für T > 2000 K erscheinen auch 

bei Berücksichtigung von Realgasfaktoren fragwürdig. Eine Abschätzung der maximal 

berechenbaren Temperaturen in Abhängigkeit der Anströmzahl kann mit Hilfe der 

Staupunkttemperatur erfolgen. Mit γ = 1.4 sowie T∞ ≈ 300 K ermittelt man (für in 

erster Näherung zu 1 gesetzte Recoveryfaktoren) aus: 

13

KAPITEL 

To 

T∞ 

= 1 + 

γ − 1 

2 Ma2 ∞ , (1.30) 

die T0 ≈500 K Grenze bei Ma∞ ≈ 2 sowie den Realgasbereich bei Ma∞ ≈ 5. Die 

in (1.30) verwendete dimensionslose Kennzahl Ma∞ (Anströmmachzahl) ist durch das 

Verhältnis von Anströmgeschwindigkeitsbetrag Ug∞ zu Schallgeschwindigkeit der Anströmung 

a∞ definiert 

Stoffgesetz 

Ma := Ug 

a 

mit a 2 := γRT . (1.31) 

Der molekulare Reibungsspannungstensor τ wird im Rahmen einfacher Medien üblicherweise 

durch den Deformationsgeschwindigkeitsansatz nach Navier–Stokes beschrie- 

ben 

 

∂ Ui 

τij = µ + 

∂ xj 

∂ Uj 

 

+ µd − 

∂ xi 

2 

3 µ 

 

∂ Uk 

δij . (1.32) 

Hierin sind µ die molekulare Scherzähigkeit und µd die Druckzähigkeit. Die Symmetrie 

des Spannungstensors ist zwingend notwendig, wie die Analyse des Drehimpulserhaltungssatzes 

ergibt (Spurk 1989). Diese erlaubt die Redefinition der oben genannten 

Dissipationsfunktion (1.20) 

φD = Sij τij mit Sij = 0.5 

 

∂ Ui 

+ ∂ Uj 

∂ xj 

∂ xk 

 

∂ xi 

. (1.33) 

Die mittlere Gesamtnormalspannung entspricht für inkompressible Strömungen gerade 

dem negativen Druck. Damit dies für kompressible Strömungen auch gilt, muß die 

Druckzähigkeit µd gemäß der Stokesschen Hypothese verschwinden, wovon im Folgenden 

ausgegangen werden soll: 

τij = 2 µ Sij − 2 

3 µ 

 

∂ Uk 

δij mit µ = ρ ν . (1.34) 

∂ xk 

Die Druckzähigkeit dient üblicherweise zur Beschreibung der Anregung innerer Molekülfreiheitsgrade 

durch den Übergang von kinetischer Energie. Für einatomige Gase 

ohne innere Freiheitsgrade ist die Druckzähigkeit folglich null. Für die hier vorwiegend 

betrachteten Luftströmungen im Idealgasbereich ist der aus der Stokesschen Hypothese 

resultierende Fehler von untergeordneter Bedeutung. 

Die über die Oberfläche in den Kontrollraum einfließende Wärmemenge sei positiv für 

nach innen gerichtete Wärmeflüsse. Die Komponenten des Vektors der Wärmestromdichten 

q bestimmen sich dann aus dem nach Fourier benannten isotropen Gradienten- 

Diffusionsansatz: 

qi = −λ ∂T 

. (1.35) 

∂xi 

14

Transportkoeffizienten 

1.3. STATISTISCHE BESCHREIBUNG TURBULENTER STRÖMUNGEN 

Die (Scher-)Zähigkeit µ und die Wärmeleitfähigkeit λ von Fluiden sind im allgemeinen 

eine Funktion von Druck und Temperatur. Die Druckabhängigkeit spielt bei verdünnten 

Gasen (z.B. Luft bei mäßig hohen Drücken) nur eine untergeordnete Rolle. Die 

exakten Abhängigkeiten werden durch die kinetische Gastheorie beschrieben (Sommerfeld 

1988). Für die Viskosität wird zumeist eine von Sutherland (1893) angegebene 

Näherungsformel verwendet 

 

T 

µ(T ) = µref(Tref) 

Tref 

3 

2 Tref + ϑ 

T + ϑ 

. (1.36) 

Darin ist µref die Viskosität für die Referenztemperatur Tref und ϑ eine stoffabhängige 

Konstante. Für Luft findet man (Jischa 1982) 

5 kg 

ϑ = 110K Tref = 280K, µref = 1.75 · 10 . (1.37) 

ms 

Eine analoge Formel läßt sich zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit finden. Da die 

dynamische Viskosität und die Wärmeleitfähigkeit für verdünnte Gase in sehr ähnlicher 

Weise mit der Temperatur variieren, kann λ im interessierenden Temperaturbereich 

einfacher über die Definition der konstant gesetzten Prandtlzahl P r bestimmt werden: 

λ = µcp 

P r 

, mit P r ≈ 0.7 . (1.38) 

Abschließend sei bemerkt, daß sämtliche Stoffwerte als schwankungsfrei betrachtet werden. 

1.3 Statistische Beschreibung turbulenter Strömungen 

Die mathematische Beschreibung von Strömungsturbulenz ist die Grundlage für das 

Verständnis und die Optimierung technischer Strömungen. Dabei ist die Effizienz des 

verwendeten Ansatzes ebenso wichtig wie dessen Genauigkeit. Turbulente Austauschmechanismen 

basieren auf Wechselwirkungen der zeitlichen und räumlichen Schwankungen 

von Druck, Dichte und Geschwindigkeit, welche sich über ein großes Spektrum 

unterschiedlicher Skalen erstrecken. Eine präzise Simulation der Vorgänge verlangt die 

Auflösung sämtlicher Skalen durch die Diskretisierung. Dies ist aus Effizienzgründen 

für praxisnahe Anwendungen in absehbarer Zeit nicht möglich, darüber hinaus sind 

in technischen Anwendungen nur die statistischen Eigenschaften der Strömung von 

Interesse. Numerische Verfahren zur Berechnung praxisrelevanter Problemstellungen 

basieren daher fast ausnahmslos auf einer statistischen Betrachtung der Strömung unter 

Verwendung semi–empirischer Turbulenzmodelle zur Schließung der statistisch gemittelten 

Bilanzgleichungen. Der letzte Abschnitt des ersten Kapitels diskutiert die 

mathematischen Grundlagen statistischer Turbulenzmodelle. 

15

KAPITEL 

1.3.1 Statistische Mittelung 

Bei den im Folgenden definierten Mittelungsoperatoren handelt es sich um die klassische 

Reynolds– oder Ensemblemittelung (Reynolds 1895) und die zur Behandlung kompressibler 

Strömungen vorteilhafte dichtegewichtete Favré–Mittelung (Favré 1965). Daneben 

werden die unter dem Oberbegriff Reynoldssche Mittelung firmierenden Derivativa 

der Ensemblemittelung für statistisch stationäre und homogene Strömungen skizziert. 

Die Definition der Mittelungsoperatoren macht von Hilfsgrößen Z(i) Gebrauch, 

die eine beliebige statistische Variable (U, P , T oder ρ) repräsentieren. 

Die Reynoldssche Mittelung ist die am häufigsten gebrauchte Mittelungstechnik. 

Ihre allgemeingültigste Definition gründet auf der klassischen Ensemblemittelung 

˜Z = Z + z mit ˜ Z = Z bzw. z = 0 . (1.39) 

Hierin kennzeichnen ˜ Z den Momentanwert, Z den Mittelwert und z den Schwankungswert 

von ˜ Z. Die Definition des Ensemblemittelwerts (·) lautet 

Z(x, t) = A E [ ˜ 

N 

 

1 

Z] = lim ˜Zn(x, t) . (1.40) 

N→∞ N 

Für einen im Mittel stationären Prozess geht der Ensemblemittelwert nach dem Ergoden– 

Theorem in den zeitlichen Mittelwert über 

Z(x) = A T [ ˜ Z] = lim 

δt→∞ 

1 

δt 

n=1 

t+δt/2 

t−δt/2 

˜Z(x, t ′ ) dt ′ . (1.41) 

Im Falle einer homogenen (translationsinvarianten) Strömung ist das Ensemblemittel 

äquivalent zu einem räumlichen Mittelwert, welcher durch 

Z(t) = A S [ ˜ 

1 

Z] = lim ˜Z(x, t) dV 

V→∞ V 

′ , (1.42) 

erklärt ist. Die Mittelwerte werden auch als erste statistische Momente bezeichnet. Aus 

der Definition der oben angeführten Mittelwerte lassen sich eine Reihe von Rechenregeln 

ableiten, die bei der Herleitung der statistisch gemittelten Transportgleichungen 

Verwendung finden 

˜Z = Z = Z , ˜ Z(1) + ˜ Z(2) = Z(1) + Z(2) , ˜ Z,x = Z ,x , 

˜Zdx = Z dx , Z(1) . . . Z(i) z(k) = 0 , Z(1) . . . Z(i) z(k) . . . z(l) = 0 . 

V 

(1.43) 

Die Zerlegungen der wichtigsten im Verlauf dieser Vorlesung verwendeten Variablen 

lauten 

16


Ũ = U + u , ˜ P = P + p , ˜ T = T + T ′ , ˜ρ = ρ + ρ ′ , ˜ f = f + f ′ , ˜ φ = φ + ϕ . 

Die homogene Turbulenz spielt bei der Entwicklung und Analyse von Turbulenzmodellen 

eine zentrale Rolle. Man beachte, daß die hiermit vebundene Translationsinvarianz 

statistisch gemittelter Größen auch für höhere statistische Momente z(i)...z(k) gilt. Neben 

der strengen Form der Homogenität existiert noch eine weniger restriktive Form, 

die homogene Gradienten von Mittelwerten zuläßt (vgl. Abschnitt 1.3.4). Der Begriff 

der Homogenität wird im Weiteren für beide Situationen verwendet. 

Die Favrésche Mittelung erleichtert die Formulierung der gemittelten Transportgleichungen 

für kompressible Medien. Anstelle der konventionellen Mittelungsoperationen 

(1.40–1.42) werden hierbei die entsprechenden dichtegewichteten Mittelwerte 

benutzt, deren Zusammenhang zur Reynoldsschen Mittelung durch 

ρ Z = ˜ρ ˜ Z , mit ˜ρ = ρ + ρ ′ 

(1.44) 

erklärt ist. Unter Verwendung eines dichtegewichteten Mittelwertes Z lautet die Zerlegung 

des Momentanwertes 

˜Z = Z + z ′′ 

mit ˜ Z = Z bzw. z ′′ = 0 und z ′′ = Z − Z . (1.45) 

Die Favrésche Mittelung ist eine rein mathematische Vereinfachung. Sie degeneriert 

unter Beschränkung auf schwach kompressible Medien zur Reynoldsschen Mittelung, 

wie die im Folgenden skizzierte Morkovin–Hypothese zeigt. 

Die Morkovin–Hypothese (1964) dient der Abschätzung der Dichtefluktuationen 

in schwach kompressiblen Medien. Die statistische Betrachtung der thermischen Zustandsgleichung 

(1.24) liefert nach Bildung der logarithmischen Ableitung 

d ˜ P 

P 

d˜ρ 

= 

ρ + d ˜ T 

T 

❀ 

p 

P 

= ρ′ 

ρ 

+ T ′ 

T 

. (1.46) 

Die erste Aussage der Hypothese basiert auf der Analyse empirischer Daten und besagt, 

daß der Druckfluktuationsterm p/P vernachlässigbar ist. Im Weiteren ordnet die 

Hypothese den Schwankungen der Gesamtenthalpie 

˜h0 = cp ˜ T0 = cp ˜ T + 0.5 Ũ 2 g , mit ˜ h0 = h0 + h ′ 0 , 

eine nachrangige Bedeutung zu. Die Reynoldssche Zerlegung der Gesamtenthalpie liefert 

damit 

˜h0 ≈ h0 ❀ T + U 2 g 

= T + T 

2cp 

′ + 1 

 

U 

2cp 

2 √ 

g + 2Ug 2k + 2k . 

17

KAPITEL 

In Gleichung (1.3.1) bezeichnet k = 0.5 uiui die kinetische Energie der turbulenten 

Schwankungsbewegung. Unterdrückt man hierin den von höherer Ordnung kleinen 

Term k/cp, dann lassen sich die Temperatur– und Dichtefluktuationen als Funktion 

der Machzahl darstellen 

ρ ′ 

ρ 

= −T ′ 

T 

√ 

2k 

= (γ − 1) Ma 2 

Ug 

= (γ − 1) Ma Mat , mit Ma 2 t := 2k 

. 

a2 (1.47) 

Hierin kennzeichnen Mat die Turbulenzmachzahl, Ma die klassische Machzahl und a 

die Schallgeschwindigkeit, deren Definition bereits in Kapitel 1.2 erfolgte. 

Für die in dieser Vorlesung betrachteten geringen Machzahlen (Ma ≤ 2, Mat ≤ 0.2) 

können die Dichtefluktuationen vernachlässigt werden. Die Kompressibilitätseffekte beschränken 

sich dann auf Veränderungen der mittleren Dichte 

ρ ′ /ρ


das Auftreten der zweiten statistischen Momente uiuj, uiT ′ und uiϕ . Die Reynolds– 

gemittelten Quellterme ergeben sich aus den in Kapitel 1.2 beschriebenen Materialgleichungen 

 

∂Ui 

τij = µ + 

∂xj 

∂Uj 

 

 

µcp ∂T 

= 2µ Sij , qi = − 

∂xi 

P r ∂xi 

, (1.53) 

φd = τijSij = 2µS 2 ii , f ∗ 

i = f i − 2ρeijk ΩjUk . (1.54) 

Die turbulente Dissipationsrate ˜ε ist das turbulente Analogon der molekularen Dissipationsfunktion 

φd 

˜ε := 2ν S ′ 2 

ii , mit S ′ 

∂ui 

ik = 0.5 + 

∂xk 

∂uk 

 

 

∂ui ∂ui 

und ε := ν 

∂xi 

∂xk ∂xk 

 

∂ui ∂ui 

= ν 

∂xk ∂xk 

+ ∂ui 

∂xk 

 

∂uk 

= 

∂xi 

(1.49) 

ε + ν 

∂ 2 uiuk 

∂xi∂xk 

 

 

1 

= ε 1 + O 

Re 

(1.55) 

Der zweite Summand von ˜ε wird üblicherweise vernachlässigt. Die Vereinfachung ˜ε = ε 

ist sowohl für Wandturbulenz (Anhang D) als auch homogene Turbulenz exakt, weswegen 

ε vielfach auch homogenene Dissipationsrate genannt wird. Die homogene Dissipationsrate 

steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff der Enstrophie, welche 

wie folgt definiert ist 

Homogenität : 2 W ′ 2 

ii ≈ 2 S′ 2 ε 

ii = . (1.56) 

ν 

Die zweiten statistischen Momente können entweder durch ein Wirbelzähigkeits– bzw. 

Wirbeldiffusivitäts–Turbulenzmodell oder eine höherwertige Modellierungstechnik geschlossen 

werden. Die höherwertige Modellbildung stützt sich auf die exakten Transportgleichungen 

der zweiten statistischen Momente, welche sich unmittelbar aus den 

Transportgleichungen der beiden an der Korrelation beteiligten Fluktuationen entwickeln 

lassen. 

1.3.3 Fluktuations–Transportgleichungen 

Die Differenz von Reynolds–gemittelten und Momentangleichungen führt zu Transportgleichungen 

für die Fluktuationen, von denen vor allem die Kontinuitätsbeziehung 

und die Transportgleichung einer Geschwindigkeitsfluktuation von Interesse sind 

∂ui 

∂xi 

D ui 

Dt 

≡ 0 , (1.57) 

= −uj 

∂Ui 

= − 1 ∂p 

ρ ∂xi 

∂xj 

+ ∂ui 

 

∂xj 

− 1 ∂p 

ρ ∂xi 

+ ∂ ′ 

2νS ij + uiuj − 2eijkΩjuk + 

∂xj 

f ′ i 

ρ , 

∂Ui 

− uj + 

∂xj 

∂ 

(uiuj − uiuj) + ν 

∂xj 

∂2ui ∂x2 − 2eijkΩjuk + 

j 

f ′ i 

ρ 

19 

. (1.58)

KAPITEL 

Die Nichtlinearität des ersten Terms der rechten Seite von Gleichung (1.58) verursacht 

das Schließungsproblem der statistischen Modellierung. Dieses ist eine unmittelbare 

Konsequenz aus der Nichtlinearität des Transporttheorems und kann nur durch einen 

Wechsel in die Lagrangsche Betrachtung vermieden werden. 

Die Transportgleichung des Fluktuationswertes einer beliebigen skalaren statistischen 

Variablen lautet 

D ϕ 

Dt 

 

∂φ 

= − uj 

∂xj 

+ ∂ϕ 

 

+ 

∂xj 

1 

ρ 

∂ 

∂xj 

 

Γφ 

 

∂ϕ 

∂xj 

+ ∂(ujϕ) 

∂xj 

+ s′ φ 

ρ 

. (1.59) 

Die zu (1.12) analoge Poissongleichung des fluktuierenden Drucks ergibt sich aus 

1 

ρ 

∂ 2 p 

∂xi∂xi 

 

∂Ui 

= −2 

∂xk 

+ eijkΩj 

∂uk 

∂xi 

 

p schnell 

− ∂2 (uiuk) 

∂xk∂xi 

+ ∂2 (uiuk) 

∂xk∂xi 

 

p langsam 

1.3.4 Transportgleichungen zweiter statistischer Momente 

+ 1 ∂f 

ρ 

′ i 

∂xi 

 

p Auftrieb 

. (1.60) 

Die Fluktuations–Transportgleichungen (1.57)–(1.59) lassen sich in systematischer Weise 

zur Herleitung von Transportgleichungen für höhere statistische Momente verwenden. 

Die Transportgleichung der kinematischen Reynolds–Spannungen uiuj erhält 

man mit Hilfe der Transportgleichung der Geschwindigkeitsfluktuation (1.58) und der 

Abkürzung 

N(ui) = 

D ui 

Dt 

aus der Identität 

❀ 

1 ∂p 

+ 

ρ ∂xi 

∂Ui 

+ uj 

∂xj 

∂ui 

+ uj 

∂xj 

+ ∂ ′ 

2νS ij − uiuj + 2eijkΩjuk − 

∂xj 

f ′ i 

ρ 

N(ui)uj + uiN(uj) = 0 

−Dij 

= 0 

D(uiuj) 

Dt + Gij = φij − εij + Pij − ∂ 

 

D 

∂xk 

t ijk − ν ∂uiuj 

 

. (1.61) 

∂xk 

 

In Gleichung (1.61) symbolisieren φij, εij und Pij die Tensoren der Druck–Scher–Korrelation, 

viskosen Disspation und Produktion von Reynolds–Spannungen. Die Terme Gij 

und (D t ijk ),k benennen die Volumenkraftdichte–Geschwindigkeitskorrelationen und die 

turbulente Diffusion, deren Druckanteil von einigen Autoren auch als Druckdiffusion 

20


bezeichnet wird. Die Definition der einzelnen Beiträge lautet: 

φij = 2 

ρ pS′ ij , Dt ijk = uiujuk + 1 

ρ p (uiδjk + ujδik) , 

εij = 2ν ∂ui ∂uj 

∂xk ∂xk 

 

∂Ui 

, Pij = − ujuk 

∂xk 

Gij = 2Ωm(emkjuiuk + emkiujuk) − (uif ′ j ) 

ρ − (ujf ′ i ) 

ρ 

 

∂Uj 

+ uiuk , 

∂xk 

. (1.62) 

In Gleichung (1.61) spielen die Transportterme D(uiuj)/Dt und Dij häufig eine untergeordnete 

Rolle. Die Transportgleichung wird zumeist von den Anteilen der Produktion, 

Dissipation und Druck–Scher–Korrelation dominiert. Die Dominanz von Pij 

und εij ist aufgrund ihrer energetischen Bedeutung für die Bilanzgleichung unmittelbar 

einsichtig; die Reynolds–Spannungen werden durch den Produktionsterm von 

der Grundströmung energetisch gespeist, der Dissipationsratentensor repräsentiert den 

Übergang von Schwankungsenergie in Wärme infolge viskoser Reibungskräfte. 

Im Gegensatz zu Pij und εij ist der Druck–Scher–Korrelationstensor φij in inkompressiblen 

Strömungsmedien von deviatorischem Charakter und tritt weder mit der 

Viskosität noch mit der Grundströmung in Wechselwirkung. Die Druck–Scher–Korrelationen 

sind primär für die Spannungsumverteilung, insbesondere den Abbau von anisotropen 

Normalspannungszuständen, verantwortlich. Man spricht in diesem Zusammenhang 

auch von einem return–to–isotropy Operator oder redistribution Term. Man 

beachte, daß die mathematisch–physikalischen Eigenschaften des Coriolisterms denen 

der Druck–Scher–Korrelation gleichen. 

Die Transportgleichung der massespezifischen Tubulenzenergie gewinnt man 

durch die Kontraktion der freien Indizes in Gleichung (1.61) 

Produktion:=P 

k := 0.5 uiui , mit (1.63) 

Dk 

Dt = −(uiuk) Sik−ε 

− 

 

∂ 

 

0.5 uiuiuk + 

∂xk 

1 

ρ ukp − ν ∂k 

 

+ 

∂xk 

 

1 

ρ pS′ ii 

 

Diffusion:=D 

Druckdilatation:=φd 

+ (uif ′ i ) 

ρ 

. (1.64) 

Im weiteren Verlauf werden die Produktion, Diffusion und Druckdilatation von Turbulenzenergie 

durch P , D und φd gekennzeichnet. Die Diffusionsterme sind für die Entwicklung 

der Turbulenzenergie vielfach von untergeordneter Bedeutung. Die Druck– 

Scher–Korrelationen φij und die Coriolisterme haben aufgrund ihres deviatorischen 

Charakters keinen Einfluß auf die Transportgleichung der Turbulenzenergie, worin ein 

wichtiger Unterschied zur Transportgleichung der Reynolds–Spannungen besteht. Der 

Druckdilatationsbeitrag ist gemäß (1.57) zumeist vernachlässigbar klein. 

21

KAPITEL 

Die Transportgleichung einer beliebigen Doppelkorrelation (uiϕ) findet man 

unter Verwendung des Operators 

D ϕ 

N(ϕ) = 

Dt + 

 

∂φ 

ui + 

∂xi 

∂ϕ 

 

− 

∂xi 

1 

 

∂ ∂ϕ 

Γφ − 

ρ ∂xi ∂xi 

∂(uiϕ) 

− 

∂xi 

s′ φ 

= 0 

ρ 

aus der Identität 

D(uiϕ) 

Dt 

 

= − 

uiuk 

∂φ 

∂xk 

− (Γφ + ν) ∂ui 

∂xk 

N(ϕ)ui + ϕN(ui) = 0 , 

+ ukϕ ∂Ui 

 

+ 

∂xk 

(uisϕ) 

ρ − 2eijkΩj(ukϕ) + 1 

ρ 

∂ϕ 

− 

∂xk 

∂ 

 

(ukuiϕ) + 

∂xk 

1 

ρ (pϕ) δik 

∂ϕ 

− Γφ ui 

∂xk 

∂ϕ 

p + 

∂xi 

(ϕf ′ i ) 

ρ 

(1.65) 

− ν ϕ ∂ui 

 

∂xk 

Mit Ausnahme des Konvektionsterms der substantiellen Ableitung beeinflussen die 

Mittelwerte der ursprünglichen Variablen die Entwicklung der zweiten statistischen 

Momente nur durch ihren räumlichen Gradienten. Für konstante Gradienten der Mittelwerte 

lassen sich daher homogene höhere statistische Momente verwirklichen (homogene 

Turbulenz). In diesem Falle entkoppeln die Transportgleichungen der Mittelwerte 

(1.49)–(1.52) von den zweiten statistischen Momenten. Für die Entwicklung von Turbulenzmodellen 

ist dieser Zustand besonders attraktiv, weil er zu geschlossenen Lösungen 

führt. 

1.3.5 Schließungsproblem 

Aus den Transportgleichungen der zweiten statistischen Momente (1.61), (1.64) und 

(1.65) ergibt sich der Bedarf zur Schließung bzw. Modellierung weiterer statistischer 

Momente, deren Transportgleichungen sich analog zu den oben entwickelten Doppelkorrelations–Bilanzen 

herleiten lassen. Transportgleichungen für die in den Diffusionstermen 

auftretenden Trippelkorrelationen ϕ1ϕ2ϕ3 erhält man z.B. von 

ϕ1ϕ2Nφ3 + ϕ2ϕ3Nφ1 + ϕ3ϕ1Nφ2 = 0 . 

Der Transport der isotropen Dissipationsrate ε ergibt sich nach kurzer Zwischenrechnung 

von (Nui ),m (Nui ),m = 0 zu 

Dε 

Dt 

= 

 

−2ν Sij (ui,kuj,k + uk,iuk,j) + ∂2 

Ui 

(ujui,k) + (ui,jui,kuj,k) 

∂xj∂xk 

−2ν 

(1.66) 

2 (ui,jkui,jk) − ∂ 

 

ν (ui,jui,jum) + 

∂xm 

2 

ρ (p,ium,i) 

 

− ν ∂ε 

 

∂xm 

 

+2ν 

. 

 

1 

ρ (ui,mf ′ i,m ) − 2eijkΩj(ui,muk,m) 

22 

.

1.4. ENERGIESPEKTRUM 

Die Herleitung zusätzlicher Transportgleichungen führt zu keiner endgültigen Schließung 

des Gleichungssystems, weswegen die Schließungskette an geeigneter Stelle abgebrochen 

werden muß. Die Transportgleichungen höherer statistischer Momente sind den 

ursprünglichen Gleichungen zahlenmässig überlegen. In den drei Reynolds–gemittelten 

Impulsgleichungen treten 6 Reynolds–Spannungen auf, durch deren Bilanzgleichungen 

(1.61) weitere 22 Unbekannte in das Gleichungssystem eingeführt werden. Aufgrund 

ihres Konstruktionsprinzips sind die Gleichungen der höheren Momente hochgradig 

nichtlinear, eng gekoppelt und numerisch äußerst steif. Aus Effizienzgründen sind anwendungsorientierte 

Ingenieurwissenschaften auf einen Abbruch der Schließungskette 

im Bereich zweiter statistischer Momente angewiesen. In diesem Falle werden entweder 

die Reynolds–Spannungen (Wirbelzähigkeitsmodelle) oder die in ihren Transportgleichungen 

auftretenden höheren statistischen Momente (Transportgleichungs-Reynolds- 

Spannungsmodelle) durch ein mathematisches Modell geschlossen. 

1.4 Energiespektrum 

Die Verteilung der turbulenten Energie in Abhängigkeit des Längenmaßes wird als Turbulenzenergiespektrum 

E bezeichnet, welches üblicherweise im Fourierraum dargestellt 

wird. Der Zusammenhang zwischen der Energie–Spektralfunktion E – kurz: Turbulenzspektrum 

– und der Turbulenzenergie bzw. Dissipationsrate lautet 

Energiespektrum 

∞ 

mit k = E dˆ ∞ 

k , und ε = 2ν ˆk 2 E dˆ k. (1.67) 

0 

Die Einheit der Wellenzahl ist [ ˆ k] = m−1 , so daß die großräumigen Wirbelstrukturen, 

die ca. 90% der turbulenten kinetischen Energie enthalten, bei kleinen Wellenzahlen lie- 

Gleichgewichtsbereich 

k 

-5/3 

k 

k 

Wellenzahl 

4 

gen. Abbildung 1.1 illustriert 

eine klassische Verteilung der 

Energie–Spektralfunktion als 

Funktion der Wellenzahl. Aus 

Traegheitsbereich 

der Lage des Spektralmaxi- 

Dissipationsbereich mums kann eine integrale Län- 

energietragende 

Wirbel 

ge bestimmt werden, welche 

die Abmessungen der größten 

Wirbel charakterisiert. Da die 

großen Wirbelstruktuturen zumeist 

auch relativ langlebig 

Abbildung 1.1: Turbulenzenergiespektrum 

als Längenmaß interpretiert werden. 

sind, kann der Abszissenwert 

sowohl als Zeitmaß als auch 

23 

0

KAPITEL 

Energiekaskade 

Eine grundlegende Eigenschaft turbulenter Strömungen ist der Energieaustausch zwischen 

unterschiedlichen Skalen. Eine qualitativ korrekte Beschreibung des Mechanismus 

stützt sich auf die Veranschaulichung von Turbulenz als Überlagerung von Wirbelfäden 

(turbulent eddies) unterschiedlicher Größe in einem hierarchisch strukturierten Prozeß. 

Hiernach wird die Schwankungsbewegung durch großskalige Wirbelfäden niedriger Frequenz 

(Wellenzahl) eingeleitet. Diese beziehen ihre kinetische Energie von der Hauptströmung 

und reichen sie an immer kleinskaligere eddies weiter, bis hin zur Wandlung 

von mechanischer Energie in Wärme. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von 

einer Energiekaskade infolge Wirbelfadenstreckung. Der Mechanismus läßt sich anhand 

der laminaren Wirbeltransportgleichung (1.15) veranschaulichen 

Dωi 

Dt 

= 

∂Ui 

ωk 

∂xk 

+ ν 

Wirbelstreckungsterm 

∂2ωi ∂x2 k 

viskose Dissipation 

• Wirbelfäden großen Durchmessers werden durch die Geschwindigkeitsgradienten 

der Hauptströmung gestreckt. Durch den Wirbelstreckungsmechanismus wird 

Energie von der Hauptströmung in die Schwankungsbewegung eingespeist (Produktionsbereich). 

Für näherungsweise reibungsfreie Prozesse vergrößert sich die 

Wirbelstärke in Richtung der gestreckten Achse. Wegen der Erhaltung des Drehimpulses 

(1. Helmholtzscher Wirbelsatz) verringern sich gleichzeitig die Querschnitte 

der gestreckten Wirbelfäden. 

• Kleinere Wirbelfäden werden über die vergrößerte Wirbelstärke anders gerichteter, 

großer eddies ihrerseits gestreckt. Die ursprünglich der Hauptströmung entzogene 

Energie wird so von größeren zu kleineren Turbulenzelementen transferiert 

(Trägheitsbereich). 

• Am Ende des Kaskadenprozesses wird die Viskosität aufgrund des stark angewachsenen 

räumlichen Geschwindigkeitgradienten im Bereich kleiner Strukturen 

wirksam (Dissipationsbereich). Energie wird hier der Schwankungsbewegung entzogen 

(ε–Term in Glg. (1.64)) und in Wärme gewandelt (ρ ˜ε–Term in Glg. (1.51)). 

Lokale Isotropiehypothese 

Das oben beschriebenen Kaskadenmodell ist mit der Hypothese von der lokalen Isotropie 

der kleinen, dissipativen Skalen verbunden. Am Ende von hinreichend vielen 

Kaskadenstufen verteilt sich die Energie, wie in Abbildung 1.2 dargestellt, zu gleichen 

Teilen auf kleinskalige eddies aller drei Richtungen. Die Anzahl der Kaskadenstufen 

ist proportional zur Anzahl der beteiligten Wellenzahlen, welche ihrerseits mit 

der Reynoldszahl zunimmt. Die Hypothese impliziert, daß turbulente eddies nur dann 

miteinander in Wechselwirkung treten, wenn sie von der selben Größenordnung sind. 

Die großkalige Schwankungsbewegung kommuniziert mit den kleinskaligen, dissipativen 

24


Fluktuationen über eine Vielzahl von Skalen. Daraus ergibt sich, daß die großskalige 

Bewegung nahezu reibungsfrei und daher unabhängig von der Reynoldszahl ist. Die in 

statistischen Turbulenzmodellen auftretenden Vernichtungsterme (z.B. ε) symbolisieren 

die Änderung des Energieinhalts der großen Skalen, und beschreiben daher nicht 

nur Dissipationsprozesse sondern auch Transfermechanismen. 

Ω1 

Ω2 

Ω2 Ω3 Ω2 

Ω1 Ω3 

Ω1 Ω2 Ω3 Ω1 

Ω2 Ω3 

Ω1 

Ω3 

Ω3 

Ω1 

Ω1 Ω2 

Ω1 

Ω2 

Ω3 

Ω1 

Ω3 

Ω2 

Ω1 Ω3 

Ω2 

Ω3 

Ω1 

Ω2 

Ω1 Ω2 Ω3 

1 0 0 

0 

2 1 

2 

1 1 

1 

3 3 

6 5 5 

Abbildung 1.2: Veranschaulichung der Hypothese von der lokalen Isotropie dissipativer 

Strukturen nach Bradshaw. 

Energiespektrum homogener Turbulenz 

Eine allgemeingültigere statistische Beschreibung der Turbulenz basiert auf der Formulierung 

von Korrelationen zwischen den Fluktuationen zweier Geschwindigkeitskomponenten 

an zwei Punkten zu zwei verschiedenen Zeiten (Rotta 1972) 

Rij = ui(x, t)uj(x + r, t + τ) = uiuj , analog Rijk = uiujuk etc. . 

Der Vorteil von Zwei–Punkt–Korrelationen ist die Erfassung von Transfermechnismen, 

die eine Einsicht in die physikalische Bedeutung der modellierten Disspationsratengleichung 

ermöglichen. Der Einfacheit halber beruft man sich dabei auf homogene 

Zustände, für die man (vgl. Rotta, 1972) in Analogie zu Gleichung (1.61) 

bzw. 

∂Rij 

∂t = ∂(Rikj − Rijk) 

− 2ν 

∂rk 

∂2Rij ∂rk∂rk 

∂Rii 

∂t = ∂(Riki − Riik) 

∂rk 

 

Transferterm 

− 2ν ∂2 Rii 

∂rk∂rk 

 

Dissipation 

− 1 

ρ 

∂puj 

∂ri 

− ∂pui 

 

∂rj 

(1.68) 

(1.69) 

findet. Man beachte, daß die Produktionsterme unter der Voraussetzung homogener 

Geschwindigkeiten nicht auftreten. Im Grenzübergang zur punktweisen Betrachtung 

(lim rk, τ → 0) genügen die Trippelkorrelationen dem Kommutativitätsgesetz Riki = 

Riik , und die Gleichung (1.69) geht in ˙ k = ε über. 

25

KAPITEL 

Für das tiefere Verständnis der energetischen Prozesse empfiehlt sich die Analyse der 

Beziehung (1.69) auf der Grundlage einer Fouriertransformation der Doppelkorrelation 

Rij 

Φij( ˆ k) = 1 

(2π) 3 

 

Rij e 

V (r) 

−i (ˆ k·r) 

dr , Rij(r) = 

 

V ( ˆ Φij e 

k) 

i (ˆ k·r) 

dk ˆ , 

in der ˆ k [m−1 ] den Wellenzahlvektor und dˆ k = dˆ k1dˆ k2dˆ k3 ein Volumenelement im Wellenzahlraum 

kennzeichnen. Die Fouriertransformation ermöglicht die wellenzahlspezifische 

Zuordnung von (Energie-)Anteilen. Insbesondere gilt für r = 0 

 

lim 

r→o Rij = uiuj = 

V ( ˆ Φij d 

k) 

ˆ k , 

weshalb Φij die spektrale Verteilungsdichte der Reynoldsspannungen im Wellenzahlraum 

repräsentiert. Obwohl zur Beschreibung des momentanen Geschwindigkeits– und 

Turbulenzfelds eine dreidimensionale Fourier–Zerlegung notwendig ist, läßt sich eine 

qualitative Analyse der Turbulenzenergie mit Hilfe einer eindimensionalen Beschreibung 

durchführen, in der lediglich der Betrag des Wellenzahlvektors ˆ 

k = ˆki ˆ ki von 

Bedeutung ist. Unter Verwendung einer sogenannten Energie–Spektralfunktion (Rotta 

1972) 

E( ˆ k, t) := 0.5 ˆ k 2 

 

Φii dΩ , mit E[m 3 s −2 ] 

findet man ein Fourier–transformiertes Pendant zur Beziehung (1.69), dessen Gestalt 

in homogenen oder isotropen Strömungen besonders einfach ist: 

∂E( ˆ k, t) 

∂t 

= T ( ˆ k, t) 

 

Transfer 

− 2ν ˆ k 2 E( ˆ k,t) 

 

Dissipation 

Die Energie–Spektralfunktion E( ˆ k, t) ist der Anteil der Turbulenzenergie, der aus den 

Fourierkomponenten aller Wellenzahlbeträge zwischen ˆ k und ˆ k + d ˆ k resultiert. In Gleichung 

(1.70) bezeichnen dΩ den Raumwinkel ( dΩ = 4π) und T das wellenzahlspezifische 

Transferdefizit, welches die Änderung des Energieflusses F( ˆ k, t) zwischen zwei 

benachbarten Skalen kennzeichnet 

T ( ˆ k, t) = − ∂F(ˆ k, t) 

∂ ˆ k 

Trägt man das Energiespektrum doppelt logarithmisch über der Wellenzahl auf, so 

findet man typischerweise den in Abbildung 1.3 skizzierten Verlauf. Das in der Abbildung 

auftretende makroskopische Turbulenzlängenmaß entspricht der Abmessung 

energietragender Wirbel. Das ergänzend angeführte transiente Längenmaß Lm kennzeichnet 

die charakteristische Länge der Strukturen einer möglicherweise transienten 

Grundströmung (z.B. Lm = UrefTm). Das dissipative Längenmaß ηk entspricht dem 

26 

. 

.

log E 

Produktionsbereich 

-1 

L m 

Gleichgewichtsbereich 

-1 

L t 

3 

-5 

Traegheitsbereich Dissipationsbereich 

η-1 k 

log k 

L t 

η k 


: makroskopisches Laengenmass 

L : transientes Laengenmass 

m 

: dissipatives Laengenmass 

F 

k E 

2 

log k 

Abbildung 1.3: Schematische Darstellung des Energiespektrums im Wellenzahlbereich bei 

doppelt logarithmischer Auftragung. 

unten definierten Grenzwert für die Ausdehnung der kleinsten turbulenten Strukturen 

nach Kolmogorov. 

Üblicherweise unterteilt man das Spektrum in Wellenzahlbereiche. Den unterschiedlichen 

Wellenzahlbereichen lassen sich verschiedenartige Beiträge zum Turbulenzenergiehaushalt 

– Energieeintrag, Energietransfer und Energiedissipation – zuordnen. Im 

Zusammenhang mit der statistischen Turbulenzmodellierung und der Interpretation 

des Modellparameters ε ist die in Tabelle 1.1 skizzierte Dreiteilung des Spektrums 

dienlich. 

Tabelle 1.1: Dreiteilung des Wellenzahlbereichs eines turbulenten Energiespektrums. 

Produktionsbereich Gleichgewichtsbereich 

Trägheitsbereich Dissipationsbereich 

Primär– Produktion Transfer Dissipation 

beitrag 

Basis– ε, S ∗ ε, ˆ k ε, ν 

parameter 

Länge Lt = (ε/S ∗ 3 ) 1/2 ∼ k 3/2 /ε 1/ ˆ k ηk = (ν 3 /ε) 1/4 

Geschwind. Vt = (ε/S ∗ ) 1/2 ∼ √ k (ε/ ˆ k) 1/3 vk = (νε) 1/4 

Zeit 1/S ∗ ∼ k/ε (ε ˆ k 2 ) −1/3 Tk = (ν/ε) 1/2 

Die Definition des Produktionsbereichs ist unmittelbar einleuchtend. Im Gleichgewichtsbereichs 

spielen makroskopische Details, wie z.B. die Produktion von Turbulenzenergie 

durch große eddies, bereits keine Rolle mehr (Hinze 1959), weswegen die 

Gleichung (1.70) Aussagekraft besitzt. Der Gleichgewichtsbereich umfasst seinerseits 

27

KAPITEL 

zwei Anteile, in denen die lokale Änderung ∂E des Energiespektrums zumeist ver- 

∂t 

nachlässigbar ist, so daß man von einem statistischen Gleichgewicht der Turbulenz 

ausgehen kann. Der Trägheitsbereich wird von einem konstanten Energiefluß (T = 0) 

bei gleichzeitig vernachlässigbarer Dissipation bestimmt. Im Dissipationsbereich großer 

Wellenzahlen treten nennenswerte Anteile von Energiedissipation auf, welche den lokalen 

Transferüberschuß kompensieren. 

Im Produktionsbereich der großen, energietragenden Wirbel ( ˆ k


Der Trägheitsbereich ist der klassische Arbeitsbereich der Grobstruktursimulation, die 

Direkte Numerische Simulation löst sämtliche Skalen bis in den Dissipationsbereich 

auf. Mit Hilfe der oben durchgeführten Größenordnungsabschätzung (1.70) läßt sich 

der Rechenaufwand einer DNS beziffern 

DNS : Knotenpunkte ∼ Re 9/4 , Zeitschritte ∼ Re 1/2 . 

Chapman (1979) schätzt, daß der Aufwand zur Auflösung des Außenbereichs einer turbulenten 

Grenzschicht bei der Grobstruktursimulation proportional zu Re 0.4 anwächst. 

Mit Annäherung an die viskose Unterschicht steigt diese Proportionalität jedoch auf 

Re 1.8 . Spalart (1999) schätzt den Rechenaufwand einer wandauflösenden LES bei Re = 

10 6 auf NP ∼ Re 1.92 und NT ∼ Re 1.1 . 

Aufgrund des konstanten Energieflusses sind weder viskose, noch Produktionsmechanismen 

im Trägheitsbereich bedeutend. Der Bereich nimmt für hinreichend große Reynoldszahlen 

den größten Teil des Spektrums ein. Der Verlauf des Energiespektrums kann 

durch Anpassung der Funktionen g(Lt ˆ k) und f(ηk ˆ k) aus den beiden benachbarten 

Bereichen gewonnen werden 

ν −5/4 = η −5/3 

k ε −5/12 , und S ∗ 5/2 = L −5/3 

t 

ε 5/6 , 

❀ f(ηk ˆ k) = γ [ηk ˆ k] −5/3 , und g(Lt ˆ k) = γ [Lt ˆ k] −5/3 , (1.71) 

Dissipation von Turbulenzenergie 

❀ E = γ ε 2/3 ˆ k −5/3 

γ ≈ 1.5 . (1.72) 

Die Transportgleichung der Energie–Spektralfunktion erfüllt im Gleichgewichtsbereich 

die Beziehung 

˙ 

E ≈ 0 . (1.73) 

Aus der Integration der Gleichgewichtsbeziehung (1.73) über hinreichend große Wellenzahlen 

(T ( ˆ k (1) )

KAPITEL 

daher in der unter (1.74) angezeigten weise mit makroskopischen Turbulenzgrößen skalieren. 

Die Beziehung (1.74) besagt, daß die Dissipationsrate auch im Falle einer unendlich 

großen Reynoldszahl (ν → 0) nicht veschwindet, und daher für große Reynoldszahlen 

unabhängig von der Zähigkeit sein muß. 

Die skalare Größe ε ist das Maß für die Vernichtung von Turbulenzenergie. Nach dem 

Impulssatz ist der Widerstand eines Turbulenzballens der durchschnittlichen räumlichen 

Ausdehnung Lt proportional zum Quadrat der Relativgeschwindigkeit (∼ k) des 

beteiligten Massenstroms gegen die Umgebung. Der Massenstrom zerfällt seinerseits in 

das Produkt aus Dichte, Querschnittsfläche (∼ L 2 t ) und Schwankungsgeschwindigkeit 

(∼ √ k). Für den massespezifischen Widerstand spezifiziert man den obigen Ansatz 

daher zu 

ε ∼ k · (ρ √ k L 2 t ) 

ρ L 3 t 

1.5 Instationäre Strömungen 

= k3/2 

Lt 

. (1.75) 

Die Entwicklung statistischer Turbulenzmodelle zur Schließung der Reynolds–gemittelten 

Bilanzgleichungen basiert nahezu ausschließlich auf statistisch stationären Strömungen, 

weshalb bei deren Anwendung auf instati- 

U 

Tt onäre Probleme Vorsicht geboten ist. 

Grundsätzlich sind die Ergebnisse der statistischen 

Modellierung solange vertrauenswürdig, wie 

der zeitliche Mittelwert (1.41) in guter Näherung 

anstelle des Ensemblemittelwerts verwendet wer- 

Tm den kann. Der zeitliche Mittelwert kann zur Be- 

t schreibung von statistisch instationären Strömungen 

herangezogen werden, sofern die Existenz einer 

Abbildung 1.4: Zeitschrieb einer in– spektralen Lücke (engl. spectral gap) gewährleistet 

stationären, turbulenten Strömung mit 

langwellig schankendem Mittelwert. 

ist. In solchen Fällen liegt das Frequenz– und Wellenzahlband 

der numerisch aufgelösten transienten 

Grundströmung, klar getrennt von den turbulenten Fluktuationen, um ein bis zwei zeitliche 

Größenordnungen unterhalb des modellierten Turbulenzspektrums 

Tm 

Tt 

= O(10 1 ) − O(10 2 ) . 

Für Tm/Tt ≤ 1 führt das Bestreben, die transienten (deterministischen) Schwankungen 

der Strömung zeitgenau numerisch aufzulösen und gleichzeitig die turbulente Schwankungsbewegung 

(zeit)gemittelt zu erfassen zu formalen Konflikten in Gestalt einer 

spektralen Überlappung. Eine Veranschaulichung dieses Sachverhalts im Zeit– bzw. Frequenzbereich 

kann man den Abbildungen 1.4 und 1.5 entnehmen. 

30

log. Energie 

transiente Frequenzen 

Simulation 

spektrale Luecke 

Turbulenzmodell 

log. Frequenz 

log. Energie 

1.5. INSTATIONÄRE STRÖMUNGEN 

transiente Frequenzen 

Simulation 

Turbulenzmodell 

spektrale Ueberlappung 

log. Frequenz 

Abbildung 1.5: Schematische Darstellung des Energiespektrums im Frequenzbereich: Vergleich 

einer statistisch modellierbaren Strömung mit ausgeprägter spektraler Lücke (links), 

und einer durch spektrale Überlappung für konventionelle statistische Methoden unzugänglichen 

instationären Strömung (rechts). 

Ein anschauliches Beispiel für eine ausgeprägte spektrale Lücke ist der ozeanische Tiedenhub, 

dessen Rhytmus von 12h bzw. 24h die im Hz–Bereich liegenden Wellenschwankungen 

um mehrere Größenordnungen übersteigt (White 1990). Die spektrale Trennung 

von transienten und turbulenten Mechanismen berechtigt zur Vernachlässigung 

nichtlinearer Impuls– und Energieflüsse über das gesamte Spektrum. Das Turbulenzfeld 

anliegender Wandgrenzschichten operiert typischerweise unter diesen quasi–stationären 

Bedingungen. Die Existenz der spektralen Lücke ist in vielen technischen Anwendungen 

zumindest gebietsweise nicht mehr zu gewährleisten. Das bekannteste Beispiel hierfür 

sind instationäre, oszillierende Nachlaufströmungen hinter stumpfen Körpern. Ebenso 

sollte die Anwendung statistischer Turbulenzmodelle zur Simulation von Turbomaschinenströmungen 

mit Skepsis betrachtet werden (Eulitz 2000). Für Maschinendrehzahlen 

im Bereich von 10 4 U/min und Schaufelzahlen von ca. 60 findet man transiente Grundfrequenzen 

von etwa 10 kHz. Diese können zwar von der Simulation aufgelöst werden, 

liegen jedoch bereits deutlich oberhalb experimentell ermittelter Energiemaxima, welche 

typischerweise bei ca. 1 kHz und somit im Bereich der Modellbildung liegen. 

Mit Verringerung des Quotienten aus dem (kleinsten) Zeitmaß der transienten Grundströmung 

Tm und größtem turbulenten Zeitmaß (eddy–turn–over time) Tt kommt es zu 

nichtlinearen Wechselwirkungen zwischen Turbulenz und transienter Grundströmung. 

Der Arbeitsbereich des statistischen Turbulenzmodells deckt in diesem Falle auch einen 

Teil des transienten Spektrums ab. Die vielzitierten Schwierigkeiten statistischer Turbulenzmodelle 

bei der Behandlung von Strömungen, in denen es zu einer Überlagerung 

von transienten und turbulenten Phänomenen im Wellenzahlbereich kommt, resultieren 

aus dem dissipativen Charakter des Modells. 

Der Ursprung der dissipativen Modelleigenschaften ist die Vorstellung von einem einsei- 

31

KAPITEL 

tig gerichteten Energietransfer. Das statistische Turbulenzmodell entzieht der transienten 

Grundströmung Energie und transferiert diese in Anlehnung an das Kaskadenmodell 

von kleineren zu größeren Wellenzahlen. Sämtliche in das Modell eingespeiste Energie 

dissipiert folglich unwiderruflich in Wärme. Ein Rücktransfer (engl. back–scatter) 

zur Grundströmung ist nicht möglich. Die Analyse der Energie–Spektralfunktion in 

Kapitel 1.4 offenbarte den Transfercharakter der modellierten Dissipationsrate. Analoge 

Überlegungen führen zu einer ähnlichen Interpretation des effektiven Produktionsterms 

in transienten Strömungen. Die Existenz solcher Rücktransferterme wird durch 

das Auftreten transienter Produktions– und Konvektionsterme 

DRij 

Dt 

∂Ui 

= −Rkj 

∂xk 

− Rik 

∂Uj 

∂xk 

− (Uk − Uk) ∂Rij 

∂rk 

+ . . . 

in den Rottaschen (1972) Korrelations–Transportgleichungen bestätigt, deren Übersetzung 

wie folgt lauten könnte 

D uiuj 

Dt = Pij − ∂Um 

 

 

∂ uiuj 

γ1Uk (uiuk δmj + ujuk δmi) + γ2Tt δkm + . . . . 

∂t 

∂xk 

1.5.1 Instationäre RANS (URANS) 

Die einfachste Form instationärer Prozesse ist die Relaxation stark gestörter (nichtgleichgewichtiger) 

Anfangszustände in den Gleichgewichtszustand. Hierbei wird die 

zeitliche Entwicklung des Turbulenzfeldes von zumeist sehr einfachen, z.B. homogenen, 

Strömungen beobachtet. Für eine angemessene Modellierung instationärer Phänomene 

ist die adequate Darstellung der Relaxation aus einem stark nichtgleichgewichtigen 

Anfangszustand ein notwendiges Kriterium, daß natürlich weder hinreichend noch allgemeingültig 

ist. Die Dastellung von Relaxationsprozessen gelingt wesentlich besser 

auf der Basis von Modellen, die sich zur Simulation von Nichtgleichgewichtszuständen 

eignen. Ungeachtet der spectral–gap Problematik ergibt sich daraus eine mögliche Erklärung 

für den Erfolg von Nichtgleichgewichtsmodellen in instationären Anwendungen 

(vgl. Kapitel 7.1 und 8.1). 

Instationäre Anwendungen offenbaren besonders deutlich evt. Schwächen eines Turbulenzmodells 

in Bezug auf die Darstellung komplexer stationärer Phänomene. Beispiele 

hierfür sind die Vernachlässigung von Krümmungseffekten, oder die vielzitierte 

Überschätzung der Produktion von Turbulenzenergie P im Staupunktbereich, wie exemplarisch 

in Abbildung 2.4 illustriert. Im Zuge der Simulation instationärer Nachlaufströmungen 

hinter stationär angeströmten Körpern kann die Prallstrahlproblematik 

aus Kapitel 2.3.3 zu völlig unrealistischen Ergebnissen führen. Abbildung 1.6 verdeutlicht 

dies anhand der Umströmung eines quadratischen Zylinders, welche von Lyn, 

Einav, Rodi und Park (1995) experimentell untersucht worden ist. 

Spalart (1999) weist darauf hin, daß das Turbulenzmodell in Zonen ohne spektrale 

Lücke (Tt >> Tm) kaum Zeit hat die transiente gemittelte Strömung zu manipulieren, 

weswegen sich der Fehler einer falschen Modellbildung hier kaum zu Buche schlägt. Ein 

32

Y 

Y 

Y 

Y 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

Phase 01 

-1 0 1 2 3 

X 

Phase 05 

-1 0 1 2 3 

X 

Phase 09 

-1 0 1 2 3 

X 

Phase 11 

-1 0 1 2 3 

X 

¡ 

¢ 

Y 

Y 

Y 

Y 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

¡ 

£ 

Phase 01 

-1 0 1 2 3 

X 

Phase 05 

-1 0 1 2 3 

X 

Phase 09 

-1 0 1 2 3 

X 

Phase 11 

-1 0 1 2 3 

X 

¢ 

¤ 

1.5. INSTATIONÄRE STRÖMUNGEN 

Y 

Y 

Y 

Y 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

1 

0.5 

0 

-0.5 

-1 

-1.5 

 

¨© 

§ 

¥¦ 

Phase 01 

-1 0 1 2 3 

X 

Phase 05 

-1 0 1 2 3 

X 

Phase 09 

-1 0 1 2 3 

X 

Phase 11 

-1 0 1 2 3 

X 

Abbildung 1.6: Umströmung eines quadratischen Zylinders (Re= 22 000, Lyn et al. 1995): 

Vergleich der (phasengemittelten) Stromlinien. Der Terminus ”LES” kennzeichnet die Grobstruktursimulation, 

”EASM” die Ergebnisse des Nichtgleichgewichtsmodells (RANS) und 

”Wilcox” die Resultate des entsprechenden Gleichgewichtsmodells (RANS) (Simulationen 

von Schmidt et al. 1999). 

bleibender Nachteil instationärer RANS Techniken ist ihre Neigung zur Unterschlagung 

dreidimensionaler Erscheinungen. 

1.5.2 Hybride RANS/LES Techniken 

In welchem Frequenzbereich sich das deterministische Spektrum und das turbulente 

Spektrum möglicherweise überlagern hängt neben einer evt. Erregerfrequenz auch von 

der Reynoldszahl und dem betrachteten Ort ab. Beispielsweise weisen die wandnahen 

Scherschichten instationär umströmter Körper im Unterschied zu ihren Nachläufen 

oftmals die spektrale Lücke auf (Abbildung 1.7). Zur Berechnung nichtlinearer, instationärer 

Probleme empfiehlt sich folglich die Anwendung zonaler oder lokal adaptiver 

Techniken. Die in letzter Zeit populäre hybride, adaptive RANS/LES–Vorgehensweise 

(DES, VLES) von Spalart (1999) bzw. Speziale (1997) versucht den Arbeitsbereich des 

Turbulenzmodells im Spektrum zu beschneiden. Hierbei werden die modellinhärenten 

turbulenten Zeit– und Längenmaße in Abhängigkeit von der Diskretisierung limitiert, 

wodurch eine Trennung zwischen aufgelösten und modellierten Frequenzen 

gewährleistet werden kann. Man beachte, daß sich diese Vorgehensweise fundamental 

von den URANS–Techniken unterscheidet. Im Falle einer Verfeinerung der numerischen 

Diskretisierung ermöglichen hybride Verfahren ein gesteigertes physikalisches 

Auflösungsvermögen von Strömungsdetails, wie z.B. koherente Strukturen, wohingegen 

instationäre URANS–Methoden lediglich zu einer genaueren numerischen Approxima- 

33

KAPITEL 

k/ε = ~ 0.01s 

k/ε = ~ 0.08s 

k/ε = ~ 0.001s k/ε = ~ 0.01s 

Abbildung 1.7: Umströmung eines oszillierenden NACA 0015 Tragflügelprofils (Piziali 

1993, αo = 11.0 o , ∆α = 4.2 o , Re = 2 · 10 6 , Ma = 0.29, Str = 0.1/π); Exemplarische 

Angabe berechneter turbulenter Zeitmaße Tt = k/ε bei einer Simulationszeitschrittweite von 

∆t ≈ Tm/15 = 5 · 10 −4 (Simulation von Bunge, 2000). 

tion führen. 

1.5.3 Periodische Strömungen & Phasenmittelung 

Einen Sonderfall instationärer Strömungen stellen die periodischen Strömungen dar. 

Das Energiespektrum einer quasi–harmonischen Grundströmung beschränkt sich im 

Unterschied zum turbulenten Spektrum auf einen engen Wellenzahlbereich (Abbildung 

1.3). Im Falle einer spektralen Lücke ist daher die Superposition beider Anteile möglich. 

Hierzu erweitert man die Zerlegung (1.39) um einen nichtturbulenten zeitabhängigen 

(periodischen) Term ˜z(x, t) 

˜Z = Z(x) + ˜z(x, t) +z(x, t) mit Z ˜ = Z bzw. z = ˜z = 0 . (1.76) 

 

Z ∗ (x,t) 

Neben dem zeitlichen Mittelwert Z(x) wird in diesem Falle oftmals ein Phasenmittel 

Z∗ (x, t), dessen Definiton auf der Periodenlänge Tm der Grundströmung basiert, 

verwendet 

Z ∗ (x, t) =< ˜ Z >= A P [ ˜ Z] = lim 

N→∞ 

 

1 

N 

N−1 

n=0 

˜Zn(x, t + nTm) 

 

. (1.77) 

Die Anwendung der Operation (1.77) auf verschiedene Variablenkombinationen ergibt 

< ˜ Z >= Z + ˜z(x, t) , < Z >= Z , < z >= 0 , < ˜z(i) z(k) >= 0 (1.78) 

˜z(i) z(k) = 0 , < ˜z(i) ˜ Z(k) >= ˜z(i) < ˜ Z(k) > < Z(i) ˜ Z(k) >= Z(i) < ˜ Z(k) > . 

In der Regel werden die zeitabhängigen Transportgleichungen, beispielsweise für U ∗ i (x, t), 

numerisch gelöst, und der dabei auftretende phasengemittelte turbulente Spannungstensor 

< uiuj > mangels geeigneter Alternativen durch ein konventionelles Turbulenzmodell 

geschlossen. Prinzipiell kann man bei der Formulierung des Problems auch 

34

1.6. GROBSTRUKTURSIMULATION (LES; BEITRAG VON ST. SCHMIDT) 

von der Dreifachzerlegung (1.76) Gebrauch machen. Die stationären Transportgleichungen 

der zeitlich gemittelten Größe Ui enthalten dann zusätzlich zu den Reynolds– 

Spannungen uiuj einen deterministischen Spannungstensor ũiũj. Die Schließung der 

deterministischen Schwankungsbewegung ũi geschieht mittels dreier instationärer, phasengemittelter 

Transportgleichungen in denen weitere sechs Unbekannte in Form des 

phasengemittelten turbulenten Reynolds–Spannungstensors < uiuj > auftreten. Die 

Vorgehensweise ist aufgrund des damit verbundenen Lösungsaufwands nicht sehr verbreitet, 

ihre Anwendung ist zudem auf Probleme mit ausgeprägter Grundfrequenz und 

vernachlässigbaren höheren Moden beschränkt. 

Zur Abschätzung der Güte einer Simulation periodischer Strömungen mit Hilfe statistischer 

Turbulenzmodelle mag die folgende Näherung dienen 

Tm 

Tt 

≈ γ Re1/5 

St 

, mit St = fL 

U 

= L 

UTm 

Wandgrenzschicht : γ ∈ [1, 10] freie Scherschicht : γ ∈ [0.1, 1] . 

(1.79) 

1.6 Grobstruktursimulation (LES; Beitrag von St. Schmidt) 

Die Direkte Numerische Simulation (DNS) basiert auf der instationären, dreidimensionalen 

Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen. Da bei diesem Ansatz alle turbulenten 

Zeit- und Längenskalen bis zur Kolmogorofflänge ηk (vgl. Kapitel 1.4) durch das Gitter 

aufgelöst werden müssen, sind zur Durchführung einer DNS mindestens 

 

L 

NDNS = 

ηk 

3 

= Re 9/4 

L 

(1.80) 

Punkte notwendig. Bei einer Reynolds-Zahl von ReL = 10 5 ergeben sich demnach rund 

NDNS = 10 11 Punkte, was aus heutiger Sicht in naher Zukunft nicht mit den zur 

Verfügung stehenden Höchstleistungsrechnern bewältigt werden kann. Daher können 

mit dieser Methode derzeit nur akademische Strömungskonfigurationen kleiner und 

mittlerer Reynolds-Zahlen untersucht werden. 

Für einfache wandgebundene Scherströmungen bei moderaten Reynolds-Zahlen (Re ≈ 

10 4 ) existieren bereits einige DNS–Lösungen, z.B. die von Kim, Moin und Moser (1987) 

veröffentlichte Kanalströmungssimulation. Diese erfüllen mit Punktzahlen von N ≈ 10 6 

zwar nicht obiges Kriterium (NDNS = 10 9 ), durch die gezielte Verdichtung des Rechengitters 

zur Wand hin konnten die turbulenten Strukturen auch in diesen Gebieten 

vollständig erfaßt werden. Aus den umfangreichen Daten können wertvolle Strömungsdetails 

gewonnen werden, die meßtechnisch gar nicht oder nur sehr begenzt zugänglich 

sind. Für die ingenieurmäßige Untersuchung technischer Strömungen kommt die DNS 

aus den vorher diskutierten Gründen in näherer Zukunft nicht in Frage. Ihre Daten stellen 

jedoch eine hervorragende Basis für die Weiterentwicklung von Turbulenzmodellen 

zur Verfügung. 

35

KAPITEL 

Eine Möglichkeit, die Auflösungsproblematik der DNS zu umgehen, ist die Large Eddy 

Simulation (LES). Bei dieser Methode werden nur die größten, energiereichsten Wirbel 

(Grobstruktur, engl. large eddies) des Turbulenzspektrums aufgelöst und deren 

räumlich-zeitliche Entwicklung verfolgt. Die kleinskalige Bewegung unterhalb einer bestimmten 

Größe wird modelliert und als Feinstruktur (engl. subgrid-scales) bezeichnet. 

Die Motivation für dieses Vorgehen liegt in der Tatsache begründet, daß die dissipierenden 

Wirbel – wie in Kapitel 1.4 dargestellt – praktisch keine Vorzugsrichtung aufweisen 

und bei hohen Reynoldszahlen unabhängig von den gewählten Randbedingungen und 

der Geometrie des Strömungsgebietes sind. Es kann davon ausgegangen werden, daß 

das Verhalten dieser Feinstruktur weitaus universeller, d.h. allgemeingültiger zu beschreiben 

ist als als das gesamte Turbulenzspektrum. 

Für die Durchführung einer LES ist es notwendig, die turbulenten Skalen in Grobund 

Feinstruktur aufzuspalten. Im Trägheitsbereich des Turbulenzspektrums, in dem 

hauptsächlich Transportvorgänge eine Rolle spielen, wird aus diesem Grund eine Trennungslinie 

bei einer Cut-Off Wellenzahl (kCut−Off) gezogen. Der Feinstrukturanteil 

(k > kCut−Off) wird hierbei von der Grobstruktur (k < kCut−Off) getrennt, wobei 

sichergestellt werden muß, daß sich in den aufgelösten Skalen der größte Energieanteil 

befindet, damit das Prinzip der LES Gültigkeit behält. 

Bei der LES ist es ebenso wie bei der DNS notwendig, das Strömungsfeld durch eine 

instationäre, dreidimensionale Simulation zu bestimmen. Die Vorteile gegenüber einer 

DNS liegen im geringeren numerischen Aufwand und der damit verbundenen Anwendbarkeit 

auf höhere Reynoldszahlen. Die LES stellt trotz dessen einen relativ zeitaufwendigen 

Kompromiß zwischen der DNS und RANS dar, dem erst in der jüngsten 

Vergangenheit aufgrund verfügbarer Hochleistungscomputer großes wissenschaftliches 

Interesse gewidmet wurde. 

1.6.1 Filtertechnik 

Bei der Large-Eddy Simulation werden die Transportgleichungen 1.5 und 1.7 gefiltert, 

d.h. die aufgelösten Längenskalen werden durch einen Filter von den zu modellierenden 

Längenskalen getrennt. Dies wird durch eine Filterfunktion G(xi, x ′ 

i) erreicht, die die 

Form der Filterkurve festlegt. Die gefilterte Geschwindigkeit ergibt sich zu: 

 

U i(xk) = 

Ω 

G(xk, x ′ 

′ 

k) Ũi(x k) dx ′ 

k, (1.81) 

wobei sich die Integration über das gesamte Rechengebiet Ω erstreckt. Für den Filterkern 

G muß dabei gelten: 

 

G(xk, x ′ 

k) dx ′ 

k = 1 (1.82) 

Einen allgemeinen Einblick in Filtertechniken bei turbulenten Strömungen gibt Germano 

(1992). Bei der Grobstruktursimulation kommen im wesentlichen folgende Filtertypen 

zum Einsatz: 

36


Gauß-Filter Zur Trennung von Grob- und Feinstruktur wird eine Gaußsche Glockenkurve 

verwendet, die zu einer weiten spektralen Überlappung von beiden Längenskalen 

führt, was bei bestimmten Feinstrukturmodellen zu Fehlern führt. Die 

Größe ∆ legt die Filterweite fest und wird üblicherweise gleich der Gitterweite 

gewählt. 

G(xk, x ′ 

1/2 6 

 

k) = exp −6(xk − x 

π ∆ 

′ 

k) 2 /∆ 2 

 

(1.83) 

Box-Filter (Top Hat) Es wird lediglich ein Mittelwert über ein Kontrollvolumen 

gebildet. Der so gewonnene Funktionswert ist ein stufenweise konstanter Wert. 

Dieser Filter bietet sich bei der Verwendung von Finiten-Volumen Verfahren an. 

G(xk, x ′ 

 

1 ; |xk − x 

k) = 

′ 

k | < ∆/2 

0 ; sonst 

(1.84) 

Eine wiederholte Filterung elimiert schrittweise die kleinsten Skalen aus dem 

Turbulenzspektrum. Dies ist für das tiefere Verständnis der Wirkungsweise der 

dynamischen Modelle sehr wichtig. 

Cut-Off-Filter Dieser Filter gilt in Verbindung mit Spektralverfahren, da dieser ab 

einer Grenzwellenzahl alle höherfrequenten Spektralanteile abschneidet. Grobund 

Feinstrukturanteile werden mit diesem Filter sauber voneinander getrennt. 

Mehrfache Anwendung des Cut-Off-Filters verändert die gefilterte Größe nicht. 

Gitterfilter Bei diesem Filter werden die Bewegungsgleichungen nicht explizit gefiltert, 

d.h. es wird an keiner Stelle im Verfahren eine Filterfunktion auf irgendeine 

Größe (z.B. Geschwindigkeit) angewendet. 

Bei der Herleitung der gefilterten Gleichungen (Gl. 1.87) wird davon ausgegangen, 

daß bei der realen LES eine gröbere Lösung als bei einer DNS erzeugt wird 

(daher der Ausdruck Grobstruktursimulation) und das Rechengitter bereits einen 

Filter der angestrebten Ziellösung (nämlich die der DNS) darstellt. Die Analogie 

eines Box-Filters zu den diskreten Kontrollvolumen einer Finiten-Volumen- 

Approximation erlaubt die Anwendung dieser impliziten Filtertechnik auf die 

Differentialgleichungen 1.5 bzw. 1.7, zumal die bei dynamischen Modellen angewandte 

explizite Filterung mit einem Box-Filter ähnliche spektrale Eigenschaften 

wie der Gitterfilter aufweist. Aus diesem Grund gibt es im Frequenzspektrum keine 

exakte Cut-Off Wellenzahl (kCut−Off), sondern es tritt eine spektrale Überlappung 

zwischen großen und kleinen Skalen im Bereich dieser Cut-Off Wellenzahl 

auf. Diese spektrale Verschmierung der Fein- und Grobstruktur ist wichtiger Bestandteil 

der dynamischen Modellierung. 

37

KAPITEL 

Mit Hilfe eines dieser Filter ist es möglich, die Momentangeschwindigkeit Ũi in einen 

Grobstrukturanteil U i bzw. U gs 

i und einen Feinstrukturanteil ui bzw. u sgs 

i aufzuspalten. 

In dieser Arbeit wird keine explizite Filterung der Grundgleichungen vorgenommen. 

Ũi = U i + ui bzw. Ũi = U gs 

i 

+ usgs 

i 

(1.85) 

Diese Zerlegung ist nicht zu verwechseln mit der von Reynolds üblicherweise verwendeten 

Aufspaltung von Momentanwert Ũi in Mittel- U i und Schwankungswert ui. 

Die Anwendung der Filterfunktion 1.81 auf die Gleichungen 1.5 und 1.7 ergeben die 

für die Grobstruktursimulation gültigen inkompressiblen Beziehungen 1.86 und 1.87: 

∂U i 

∂t + ∂(U i U j) 

∂xj 

= − 1 ∂p 

ρ ∂xi 

∂U k 

∂xk 

+ ∂ 

∂xj 

= 0 , (1.86) 

 

∂U i 

ν + 

∂xj 

∂U 

j 

− 

∂xi 

∂qij 

∂xj 

. (1.87) 

Die Größe qij im letzten Term der Gleichung 1.87 stellt den anisotropen Teil des 

Feinstruktur-Spannungstensors τij dar, der den Einfluß der unaufgelösten Längenskalen 

(u ′ 

i/u sgs 

i ) auf die aufgelösten Skalen (U i/u gs 

i ) beschreibt. Die einfachsten Wirbelviskositätsmodelle 

beschreiben lediglich den anisotropen Teil des Spannungstensors, da sie 

auf der Annahme beruhen, daß die Feinstrukturspannungen proportional zu dem Tensor 

der Scherrate der aufgelösten Längenskalen sind. 

qij ∼ Sij = 1 

 

∂U i 

+ 

2 ∂xj 

∂U 

j 

∂xi 

(1.88) 

Bei inkompressiblen Strömungen ist die Spur der Scherrate gleich Null (Gl. 1.86), so daß 

diese auch für die Spur des Spannungstensors τij gelten muß. Dies wird erreicht, indem 

dessen Spur τkk dem Druck beaufschlagt wird und einen neuen ” Pseudo“-Druck P 

ergibt. Im Folgenden wird dieser nach wie vor als Druck bezeichnet. Die resultierenden 

Größen lauten: 

qij = τij − 1 

3 τkk δij 

(1.89) 

P = p + 1 

3 τkk , (1.90) 

wobei δij das Kroneker-Symbol ist und nur für i = j den Wert δi i = 1 annimmt. Die unbekannte 

Größe τij kann nicht aus den Grobstrukturwerten (ui, p) gebildet werden, d.h. 

dieser Term muß modelliert werden. Die Modellierung dieser Feinstrukturspannungen 

wird im nächsten Abschnitt ausführlich erläutert (Kap.1.6.1) 

τij = uiuj − uiuj . (1.91) 

38


Dieser Tensor τij kann in drei Anteile zerlegt werden, die eine physikalische Interpretation 

dieses Terms erleichtern. Dabei wird der erste Term entsprechend der Zerlegung 

(Gl. 1.85) in Grob- ui und Feinstrukturanteil u ′ i aufgespalten (?), wodurch sich 

τij = uiuj − uiujLij + uiu ′ j + u′ i ujCij + u ′ i u′ j Rij 

(1.92) 

ergibt. Die Terme können zu neuen Tensoren zusammengefaßt werden und bezeichnen 

die Leonard-Spannungen Lij, die die Wechselwirkung zwischen Grobstrukturgrößen 

beschreiben und die Clark- bzw. Kreuz-Spannungen Cij, die Interaktionen zwischen 

Fein- und Grobstruktur erfassen. Beide Tensoren liefern im zeitlichen Mittel positiven 

Energietransport von großen zu kleinen Skalen, während Cij im Momentanfeld 

auch rückwärtigen Energietransport (auch Rückstreuung, engl. backscatter) von kleinen 

zu großen Skalen zuläßt. Die Feinstruktur-Reynoldsspannungen Rij beeinhalten 

dagegen auch im Zeitmittel lokale Rückstreuung von kinetischer Energie und setzen 

sich ausschließlich aus Feinstrukturgrößen zusammen. Da Lij explizit aus den Grobstrukturgrößen 

berechnet werden kann, sollte die Aufspaltung von τij die Modellierung 

der beiden verbleibenden unbekannten Terme (Cij + Rij) erleichtern. Dieser Ansatz 

ist jedoch aufgrund fehlender Galilei-Invarianz der Einzelterme Lij bzw. Cij verworfen 

worden, weil diese in starkem Maße vom verwendeten Filtertyp abhängen. Eine 

neue Definition hat Germano (?) vorgeschlagen, bei der die Tensoren (Gl. 1.92) leicht 

modifiziert werden und damit Galilei-invariant sind. Diese Terme lauten 

L ∗ ij = uiuj − ui uj (1.93) 

C ∗ ij = uiu ′ j + u′ i uj − ui u ′ j − u′ i uj (1.94) 

R ∗ ij = u ′ i u′ j − u′ i u′ j (1.95) 

und ergeben in der Summe τ ∗ ij = L ∗ ij + C ∗ ij + R ∗ ij ≡ τij mit L ∗ ij + C ∗ ij = Lij + Cij und 

R ∗ ij = Rij. Im Folgenden werden diese Modifikationen nicht verwendet, sondern τij in 

der ursprünglichen Form (Gl. 1.91) verwendet. 

Feinstrukturmodellierung 

Grundsätzlich basiert das Prinzip der Grobstruktursimulation darauf, die großräumigen 

Wirbel direkt zu simulieren, und die kleinsten Wirbelstrukturen durch ein Modell 

wiederzugeben. Da der größte Teil der turbulenten kinetischen Energie in den voll aufgelösten 

Wirbelstrukturen steckt, kann eine weniger aufwendige Form der Turbulenzmodellierung 

für die Feinstrukturen gewählt werden. Dies ist möglich, da die Feinstrukturen, 

die ihre Energie über Wirbelstreckungsmechanismen größerer Wirbel erhalten, 

immer weniger von der ursprünglichen Lage der größten Wirbel mitbekommen. Anders 

ausgedrückt bedeutet dies, daß durch das Durchreichen der Energie von größten 

zu kleinsten Skalen anisotrope Spannungszustände, aufgeprägt durch die Randbedingungen, 

abgebaut werden. Im Allgemeinen ist daher ein Modell, welches von isotroper 

Turbulenz ausgeht, nicht zwangsläufig schlechter, als eines, welches diese Anisotropien 

berücksichtigt. 

39

KAPITEL 

In diesem Abschnitt werden die verwendeten Feinstrukturmodelle vor- und gegenübergestellt. 

Dies sind algebraische Modelle, die lokale Strömungsgrößen und in der Regel 

eine Modellkonstante zu einer Spannung τij verrechnen und dadurch ihren Einfluß 

in die Gleichung übertragen. Bei einfachen Wirbelzähigkeitsmodellen geschieht dies 

über die Zähigkeit, die mit einer turbulenten Scheinzähigkeit (auch Wirbelviskosität, 

engl. eddy-viscosity) modifiziert wird. Das Smagorinsky-Modell (Kap. ??) weist eine 

Modellkonstante auf, die unabhängig vom Strömungstyp universell zu wählen ist. Damit 

einhergehende Modellunstimmigkeiten lassen sich entweder durch Korrektur dieser 

Konstante oder durch Adaption an die lokale Strömungskonfiguration erreichen, wie es 

bei dynamischen Modellen praktiziert wird (Kap. ??). Diese sind in der Lage sich an 

die lokale Strömungskonfiguration und Turbulenzstruktur anzupassen und beheben somit 

die Parameterschwäche des Smagorinsky-Modells. Das dynamische Modell in seiner 

Grundform ist jedoch numerisch labiler, was in komplexen Gebieten unter Umständen 

zur Divergenz des Lösungsverfahrens führen kann. Eine Kopplung des dynamischen 

Modellparameters mit der Feinstrukturenergie beseitigt diese Probleme, bewahrt aber 

die wichtigsten Eigenschaften des dynamischen Modells (Kap. ??). In den nächsten 

Abschnitten werden diese Modelle sowie ihre grundlegenden physikalischen und numerischen 

Eigenschaften vorgestellt. 

40

Kapitel 2 Wirbelzähigkeit 

Numerische Methoden zur Simulation turbulenter aerodynamischer Problemstellungen 

werden gegenwärtig sowohl zur Leistungssteigerung bestehender Konfigurationen, 

als auch zur Entwicklung und Optimierung neuer Flugzeuge in zunehmendem Umfang 

genutzt. Die numerische Simulation turbulenter Strömungen ist im Wesentlichen 

durch drei Primärthemenkreise gekennzeichnet (Spalart 1999). Hierzu zählen neben 

der Vorhersage von Strömungstransition (I) die Berechnung anliegender und quasi– 

stationär abgelöster Grenzschichten im Einflußbereich von Körperberandungen (II), 

sowie die Simulation stark instationärer (periodischer) Strömungszustände, in denen 

keine ausgeprägte Zeitskalentrennung zur Unterscheidung von Hintergrundturbulenz 

und transienten Strukturen eines gemittelten Feldes auftritt (III). 

Die Vorhersage von Strömungstransition auf der Basis statistischer Turbulenzmodelle 

ist, mit Ausnahme der By–Pass Transition, gegenwärtig nur eingeschränkt möglich. Die 

Simulation instationärer Prozesse mit kontinuierlichen Energiespektren stößt ebenfalls 

auf die konzeptionellen Grenzen statistischer Ansätze. Der überwiegende Teil industrieller 

Anwendungen ist jedoch einer stationären Simulation bzw. einer instationären 

Simulation, in denen das Turbulenzmodell aufgrund der vorhandenen spektralen Lücke 

im quasi-stationären Modus operiert, formal zugänglich. 

Die Qualität der Simulation komplexer dreidimensionaler, quasi-stationärer Strömungen 

hängt entscheidend von der Darstellbarkeit fundamentaler Strömungsphänomene 

durch das zu Grunde liegende Turbulenzmodell ab. Isotrope Wirbelzähigkeitsmodelle 

bilden bis heute die Basis für die industrielle Berechnung komplexer turbulenter 

Strömungen. Obwohl sich diese Modelle durch eine einfache, robuste und vor allem 

numerisch effiziente Formulierung auszeichnen, sind sie oft nicht in der Lage, komplexe 

turbulente Austauschmechanismen korrekt vorherzusagen. Der folgende Abschnitt befaßt 

sich daher ebenfalls mit den strukturellen Defiziten isotroper Wirbelzähigkeitsmodelle 

und versucht, die Motivation für eine im darstellungstheoretischen Sinne höherwertige 

Modellbildung zu entwickeln. 

2.1 Semi–empirische Wirbelzähigkeits–Turbulenzmodelle 

Im Zentrum des zweiten Kapitels stehen klassische Wirbelzähigkeitsmodelle zur Berechnung 

der Reynolds–Spannungen. Hierbei wird der Tensor der kinematischen Reynolds–Spannungen 

in Anlehnung an das Materialgesetz (1.32) durch den symmetrischen 

Anteil des Geschwindigkeitsgradienten–Tensors und eine isotrope turbulente Wirbelzähigkeit 

νt modelliert (vgl. Kapitel 2.2) 

uiuj ∼ νt 

∂Ui 

∂xj 

+ ∂Uj 

 

∂xi 

. (2.1) 

Die Wirbelzähigkeit (eddy–viscosity) wird aus Dimensionsgründen zumeist in ein tur- 

41

KAPITEL 

bulentes Längemaß Vt und ein turbulentes Geschwindigkeitsmaß Lt zerlegt 

νt ∼ Lt · Vt . (2.2) 

Durch den Ansatz (2.1) verlagert sich das Problem der unbekannten Reynolds–Spannungen 

uiuj in ein Schließungsproblem zur Bestimmung der Wirbelzähigkeit νt bzw. 

der damit assoziierten turbulenten Längen– und Geschwindigkeitsmaße. Wirbelzähigkeitsmodelle 

unterscheidet man üblicherweise nach der Anzahl der abhängigen Turbulenzvariablen 

zur Bestimmung von Lt und Vt. Verwendet man hierzu einen Ansatz, 

der mit Hilfe rein algebraischer Beziehungen das System aus Impuls– und Kontinuitätsgleichung 

schließt, so spricht man von einem algebraischen oder Nullgleichungs– 

Turbulenzmodell (Baldwin und Lomax 1978; Cebeci und Smith 1974). Analog nennt 

man Modelle auf der Basis einer oder zweier zusätzlicher Transportgleichungen zur 

Berechnung von νt Eingleichungs– (Wolfshtein 1969; Baldwin und Barth 1991; Spalart 

und Allmaras 1992) bzw. Zweigleichungsmodelle. 

Algebraische Modelle und Eingleichungsmodelle lassen sich mit Hilfe der Hypothese 

vom lokalen Gleichgewicht (P ≡ ε) aus Zweigleichungsmodellen rekonstruieren (Rung 

1998a). Dabei werden die Turbulenzvariablen durch Fixierung der Invarianten des Wirbelzähigkeitsansatzes 

(2.1) sukzessive reduziert. Wirbelzähigkeitsmodelle mit weniger 

als zwei Freiheitsgraden zur Bestimmung von Lt und Vt verschliessen sich einer darstellungstheoretischen 

Betrachtung und finden daher in dieser Vorlesung wenig Verwendung. 

WET–Hypothese von Launder 

Einen einfachen, intuitiven Weg zur Formulierung des Wirbelzähigkeitsansatzes (2.1) 

wurde von Launder (1987) angegeben. Aufbauend auf der Erfahrung, daß die wichtigsten 

Beiträge der Reynolds–Spannungs–Transportgleichung (1.61) aus den Produktionstermen 

stammen, formulierte Launder die WET–Hypothese 

Wealth = Earnings × Time , 

deren Bezug zu allgemeinen Erfahrungen (Guthaben = Einkommen × Zeit) unmittelbar 

einsichtig ist. Übertragen auf den Wert der Reynolds–Spannungen lautete die 

WET–Hypothese 

 

 

∂Uj ∂Ui 

uiuj ∼ Pij × Tt = −Tt uiuk + ujuk . (2.3) 

∂xk ∂xk 

Vereinfacht man die obige Beziehung weiter, indem man die Reynolds–Spannungsterme 

der rechten Seite von (2.3) durch eine isotrope Darstellung (ukuj = 2k/3 δkj) approximiert, 

so ergibt sich erneut das lineare Wirbelzähigkeitsgesetz (vgl. auch Tabelle 1.1) 

 

∂Uj 

uiuj ∼ Tt k 

∂xi 

+ ∂Ui 

∂xj 

 

, mit Tt k ∼ Tt V 2 

t ∼ Lt Vt . 

42

Phänomenologische Analyse einachsiger Scherungen 

KAPITEL 

Ausgangspunkt der Betrachtungen ist das illustrative Beispiel einer einfachen, zweidimensionalen 

Scherschicht auf der Basis raumfester, kartesischer Koordinaten. Die 

additive Zerlegung des Geschwindigkeitsgradienten–Tensors 

∂Ui 

∂xj 

= Sij + Wij 

nach symmetrischem (Sij) und antimetrischem (Wij) Anteil lautet in diesem Fall: 

mit 

⎛ 

Sij = ⎝ 

0 S12 0 

S12 0 0 

0 0 0 

⎞ 

Sij = 1 

 

∂Ui 

+ 

2 ∂xj 

∂Uj 

 

∂xi 

⎛ 

⎠ und Wij = ⎝ 

0 W12 0 

−W12 0 0 

0 0 0 

Wij = 1 

 

∂Ui 

− 

2 ∂xj 

∂Uj 

 

∂xi 

. 

⎞ 

(2.4) 

⎠ , (2.5) 

Der symmetrische Anteil wird im Folgenden als Deformationgeschwindigkeiten- oder 

Scherraten– (Strain–Rate) Tensor, der antimetrische Anteil als Drehgeschwindigkeitenoder 

Wirbeltensor bezeichnet. Im Falle kompressibler Strömungen läßt sich der Deformationsgeschwindigkeitentensor 

in einen kugelsymmetrischen Dilatationsbeitrag und 

einen Deviator zur Beschreibung der Distorsionsanteile zerlegen 

Sij = 

1 

3 δijSkk + 

 

Dilatationsbeitrag 

 

Sij − 1 

3 Skkδij 

 

 

Distorsionsbeitrag 

= 1 

3 δijSkk + ˜ Sij . (2.6) 

Der einfachheithalber stelle man sich beispielsweise eine ungekrümmte, zweidimensionale 

Grenzschicht– oder Kanalströmung mit S12 = W12 = 0.5 U,y vor. Wertet man das 

nach Boussinesq (1877) benannte klassische isotrope Wirbelzähigkeitsprinzip 

uiuj = 2 

3 δijk − 2νt 

 

Sij − 1 

3 Skk 

 

δij 

, (2.7) 

für den Strömungstyp (2.5) aus, so erkennt man unmittelbar die in extremem Widerspruch 

zur Realität stehende Vorhersage isotroper kinematischer Normalspannungen 

u2 1 = u2 2 = u2 3 = 2 

k . (2.8) 

3 

43

KAPITEL 

k + , u 2+ , v 2+ , w 2+ , 10uv + 

8.0 

6.0 

4.0 

2.0 

0.0 

DNS k + 

DNS u 2+ 

DNS v 2+ 

DNS w 2+ 

DNS 10 |uv| + 

0 50 100 150 200 250 300 350 

Y + 

Abbildung 2.1: Turbulente Kanalströmung (Reτ =395); Reynolds-Spannungen aus direkter 

numerischer Simulation (Kim et al. 1987). 

Hierin repräsentieren uiuj die kartesischen Komponenten des kinematischen Reynolds– 

Spanungstensors und k die massespezifische Turbulenzenergie, deren Definition in (1.61) 

und (1.63) erfolgte. Tatsächlich liegt das Verhältnis zwischen kleinster und größter Normalspannung 

bei diesem Strömungstyp in vollturbulenten Zonen erfahrungsgemäß im 

Bereich von 3–10 (Abbildung 2.1). Bei genauerer Betrachtung der Normalspannungsanomalie 

(2.8) linearer Wirbelzähigkeitsmodelle tritt ein weiteres eigenartiges Phänomen 

zu Tage: 

• Der strukturell einfachste Zustand mit dem höchstmöglichen Symmetriegrad ist 

die isotrope Turbulenz, deren Korrelationstensor invariant gegen eine Drehung 

des Koordinatensystems ist. Isotrope Turbulenz wird daher mit kugelsymmetrischen 

Korrelationstensoren verbunden (Rotta 1972). Im Grenzfall isotroper 

Normalspannungszustände sollten folglich sämtliche Schubspannungskomponenten 

aus Konsistenzgründen verschwinden, was bei einem expliziten linearen Wirbelzähigkeitsansatz 

(2.7) augenscheinlich nur im trivialen Grenzfall S12=0 gelingt. 

Kennzeichnend für die in dieser Lehrveranstaltung schwerpunktmäßig diskutierten anisotropen, 

nichtlinearen Wirbelzähigkeitsmodelle ist das Bemühen, die strukturellen Eigenschaften 

der Turbulenz besser zu erfassen. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei 

der Turbulenz in Scherströmungen gewidmet, deren Struktur im wesentlichen durch 

den Grad der (An)Isotropie der Reynolds–Spannungen gekennzeichnet ist. Dieser wird 

geeigneterweise mit Hilfe des spurfreien, dimensionslosen Anisotropietensors der Rey- 

nolds–Spannungen 

bij := 

uiuj 

2k 

1 

− 

3 δij 

 

und dessen Invarianten beschrieben (vgl. Anhang A). 

, (2.9) 

Der nächste Abschnitt erörtert die beiden theoretisch möglichen Wirbelzähigkeitskonzepte 

auf der Basis einer isotropen bzw. anisotropen Wirbelzähigkeit. Daran anschlie- 

44

2.2. ISOTROPE UND ANISOTROPE WIRBELZÄHIGKEIT 

ßend werden klassische Mängel der herkömmlichen isotropen Modellbildung in praxisrelevanten 

Scherströmungen zusammengetragen. 

2.2 Isotrope und anisotrope Wirbelzähigkeit 

Das Wirbelzähigkeitskonzept verknüpft definitionsgemäß den Geschwindigkeitsgradienten–Tensor 

mit dem Tensor der Reynolds–Spannungen 

u u ∼ U ∇ . 

Isotrope und anisotrope Techniken unterscheiden sich dabei durch die tensorielle Stufe 

der Verknüpfung. Prinzipiell kommen Wirbelzähigkeitsansätze auf der Basis ungerader 

Tensorenstufen zur Verknüpfung zweier Tensoren zweiter Stufe nicht in Frage, weswegen 

letztlich die unten angeführten drei Möglichkeiten verbleiben 

⎧ 

⎪⎨ νt (Sij + Wij) isotrope Wirbelzähigkeit, 

uiuj ∼ 

⎪⎩ 

νik (Skj + Wkj) schwach anisotrope Wirbelzähigkeit, 

νijkl (Skl + Wkl) anisotrope Wirbelzähigkeit. 

In der Regel wird nur der Beitrag des Scherraten–Tensors zur Verknüpfung berücksichtigt, 

da man zur Abbildung der maximal sechs verschiedenen Reynolds–Spannungen 

höchstens sechs Geschwindigkeitsgradientenbeiträge benötigt. 

Der wesentliche Vorteil anisotroper Wirbelzähigkeitsmodelle ist die linear unabhängige 

Modellierung individueller Reynolds–Spannungen. Erste Hinweise zur Formulierung 

einer anisotropen Wirbelzähigkeit durch nichtlineare Geschwindigkeitsgradiententerme 

gehen auf Neuzgliadov (1960) zurück. Ziel der Überlegungen ist die Formulierung 

anisotroper Wirbelzähigkeitstensoren νijkl in Gestalt von nichtlinearen Stress–Strain 

Beziehungen, deren Herleitung auf algebraischen Spannungsmodellen basiert. 

Für eine erste Beurteilung der oben genannten Wirbelzähigkeitsalternativen ist deren 

Konsistenz zu den untenstehenden simplen Symmetrie– und Kontraktionseigenschaften 

des Reynolds–Spannungstensors von zentraler Bedeutung 

Anisotrope Modellierung 

uiuj = ujui und uiui = 2k . 

Der allgemeinste Ansatz zur Formulierung einer Wirbelzähigkeit wird, analog zu anisotropen 

linear-elastischen Materialgesetzen, durch einen Tensor vierter Stufe (Hinze 

1959; Gatski und Speziale 1993) beschrieben 

uiuj = 2 

3 δijk − νijkl (Skl + Wkl) . (2.10) 

45

KAPITEL 

Der kugelsymmetrische erste Summand erleichtert die Formulierung einer homogenen 

Kontraktionsrestriktion (bkk = 0), das Vorzeichen des zweiten Summanden fußt auf 

Kontinuitätsüberlegungen von Prandtl (1925) für das oben angesprochene Beispiel einer 

ebenen Scherströmung (uv ∼ −U,y ). Die vorstehend zitierten Kontraktions– und 

Symmetriebedingungen ergeben 

νijkl = νjikl und νiikl = 0 . 

Aus dem Blickwinkel des Scherraten–Tensors ist eine zusätzliche Symmetrie des Wirbelzähigkeitstensors 

νijkl in Bezug auf die hinteren beiden Indizes einleuchtend, da Skl 

und Slk letztlich denselben Beitrag zu uiuj leisten sollten 

uiuj = 2 

3 δij k − νijkl Skl , (2.11) 

νijkl = νjikl , νiikl = 0 , νijkl = νijlk . 

Die doppelte Überschiebung von symmetrischen und antimetrischen Indizes bleibt wirkungslos. 

Der antimetrische Wirbeltensor muß daher in Gleichung (2.11) nicht mehr 

mitgeführt werden, was die o.g. Aussagen zur Vernachlässigbarkeit eines expliziten 

Wij–Beitrags bestätigt. Nichtsdestoweniger können die Koordinaten des Wirbeltensors 

zur Definition der Koordinaten des Wirbelzähigkeitstensors beitragen. 

Schwach anisotrope Modellierung 

Im Rahmen der zweiten Möglichkeit wird die Wirbelzähigkeit durch einen Tensor zweiter 

Stufe beschrieben 

uiuj = 2 

3 δijk − νik (Skj + Wkj) . (2.12) 

Anhand der Kontraktionsbedingung erkennt man unmittelbar die Defizite des Ansatzes 

0 = νik (Ski + Wki) . 

Da die Geschwindigkeitsgradienten i. Allg. linear unabhängig sind, degeneriert der Wirbelzähigkeitstensor 

zweiter Stufe bei Beachtung der Kontraktionsbedingung zu einem 

Nulltensor. 

Isotrope Modellierung 

Die anisotrope Wirbelzähigkeit νijkl wird im Rahmen linearer Wirbelzähigkeitsmodelle 

(EVM) einer Isotropiehypothese unterworfen. Mit Hilfe der allgemeinen Darstellung 

eines isotropen Tensors vierter Stufe findet man anstelle von (2.10) 

ν EVM 

ijkl := Aδijδkl + Bδikδjl + Cδilδjk , 

❀ uiuj = 2 

3 δij k − [ AδijSkk + (B + C)Sij + (B − C)Wij ] . (2.13) 

46

2.3. ISOTROPE ZWEI–PARAMETER–WIRBELZÄHIGKEITSMODELLE 

Hieraus ergibt sich vermöge der Symmetrierestriktion B = C, bzw. des Kontraktionszwangs 

A = −2B/3 das lineare Boussinesqgesetz (νt := B) 

uiuj = 2 

3 δijk 

 

− 2νt Sij − 1 

3 Skkδij 

 

, (2.14) 

mit νt := isotrope Wirbelzähigkeit = cµkT t . 

Modelle von Typ (7.20) werden aufgrund der skalaren Wirbelzähigkeit auch isotrope 

Wirbelzähigkeitsmodelle genannt. Die in Gleichung (7.20) gewählte Zerlegung der isotropen 

kinematischen Wirbelzähigkeit ist willkürlich und erleichtert die im Folgenden 

bevorzugte dimensionslose Darstellung. Hierin repräsentiert Tt ein geeignet gewähltes 

turbulentes Zeitmaß und cµ den – i. Allg. nicht notwendigerweise konstanten – dimensionslosen 

Anisotropieparameter, auf dessen Bedeutung später näher eingegangen wird. 

Typische turbulente (high–Re) Zeitmaße einer Zwei–Parameter–Modellierung sind 

⎧ 

k k − ε Modell (Jones und Launder 1972) , 

Tt = 

⎪⎨ 

ε 

1 

cµ ω 

k − ω Modell (Wilcox 1993) , 

τ k − τ Modell (Speziale, Abid und Anderson 1992) , 

⎪⎩ l k − l Modell (Rotta 1968) . 

√ 

cµ k 

Der strukturelle Nachteil (expliziter) isotroper EVM läßt sich aus der Definition der 

isotropen Wirbelzähigkeit ergründen 

νt(k, Tt, b, ∇U) = −k bαβ 

˜Sαβ 

. (2.15) 

Hiernach ist die Wirbelzähigkeit eine Funktion des mittleren Geschwindigkeitsfeldes 

und des Turbulenzfeldes, letzteres in Form von sowohl isotropen (k) als auch anisotropen 

(bij) Beiträgen. Eine allgemeingültige Modellierung der Wirbelzähigkeit verlangt 

folglich neben der Berücksichtigung geeignet gewählter Normen des Distorsionsfeldes 

und isotropen Turbulenzgrößen auch die Einarbeitung des Anisotropiezustands der 

Reynolds–Spannungen, was zu einer impliziten Wirbelzähigkeitsformulierung führen 

würde. 

2.3 Isotrope Zwei–Parameter–Wirbelzähigkeitsmodelle 

Den aus der Lösung zweier gekoppelter partieller Differentialgleichungen bestehenden 

Schließungsansatz nennt man Zwei–Parameter– oder Zweigleichungs–Modell. Zweigleichungsmodelle 

basieren ursprünglich auf dem isotropen Wirbelzähigkeitsprinzip. 

Sie lassen sich jedoch, wie in dieser Arbeit gezeigt, in höherwertige anisotrope Wirbelzähigkeitsmodelle 

auf der Grundlage nichtlinearer Stress–Strain Kopplungen (2.1) 

47

KAPITEL 

überführen. Zweigleichungsmodelle unterscheidet man nach dem Typ der gewählten 

abhängigen Turbulenzvariabeln. Die am weitesten verbreitete Formulierung basiert auf 

modellierten Transportgleichungen für die Turbulenzenergie k und die Dissipations– 

bzw. Transferrate ε (k−ε Modell). Alle weiteren in der Literatur verfügbaren Formulierungen 

sind weitestgehend äquivalent und lassen sich prinzipiel ineinander überführen. 

Ein natürliches turbulentes Geschwindigkeitsmaß ist die Wurzel der turbulenten kinetischen 

Energie √ k. Zur Schließung der Turbulenzenergiegleichung (1.64) werden die 

diffusiven Beiträge nach dem Gradienten–Diffusionsmodell modelliert 

− ukuiϕ − 1 

ρ pϕ δik = 1) k 

Cφ 

ε ukul 

 

∂ uiϕ 

= 

∂xl 

2) C ∗ k 

φ 

2 

ε δkl 

 

∂ uiϕ 

= 

∂xl 

νt 

 

∂ uiϕ 

. 

P rφ ∂xk 

(2.16) 

Der Druckdiffusionsbeitrag ist in der Regel von untergeordneter Bedeutung. Die Symmetrieeigenschaften 

der verbleibenden Trippelkorrelation werden vom Gradienten–Diffusionsmodell 

gebrochen, was jedoch aufgrund der untergeordneten Bedeutung der Diffusionsterme 

in der Regel akzeptiert wird. Die algorithmische Struktur der meisten 

numerischen Verfahren basiert auf isotropen Diffusionsprozessen, weswegen sich die 

Anwendung des zweiten, isotropisierenden Modellierungschrittes empfiehlt. Unter Vernachlässigung 

von Volumenkraftdichten ergibt sich für inkompressible Medien die modellierte 

Turbulenzenergiegleichung 

 

Dk 

∂ 

= P − ε + ν + 

Dt ∂xk 

νt 

 

∂k 

, mit P rk = O(1) . (2.17) 

P rk ∂xk 

2.3.1 k − ε Modell 

Die Schließung der modellierten Turbulenzenergiegleichung (2.17) bedarf einer Vorschrift 

zur Berechnung der isotropen Dissipationsrate ε. Die in Gleichung (1.66) notierte 

exakte Transportgleichung der Dissipationsrate enthält eine Vielzahl ungeschlossener 

Beiträge und ist in ihren Details inakzeptabel komplex. Daneben kommt der modellierten 

Dissipationsrate nach Gleichung (1.74) eine andere physikalische Bedeutung 

als der ursprünglichen Dissipationsrate zu. Die Modellierung der Energietransferbilanz 

geht auf Jones und Launder (1972) zurück und lehnt sich eng an die Modellgleichung 

der Turbulenzenergie (2.17) an 

Dε 

Dt 

= ε 

k 

 

 

Cε1P − Cε2 ε 

+ ∂ 

 

ν + 

∂xk 

νt 

 

∂ε 

P rε ∂xk 

. (2.18) 

Die Basisgleichung (2.18) gilt ausdrücklich nur für voll–turbulente (sog. high–Reynolds 

number) Bereiche in hinreichender Entfernung fester Berandungen. Im Wandbereich 

sollte die Transferrate mit der isotropen Dissipationsrate übereinstimmen, wozu –wie 

in Anhang D skizziert– eine Manipulation ihrer Transportgleichung notwendig ist. Die 

48


Kalibrierung der Koeffizienten P rε, Cε1 und Cε2 basiert auf Erfahrungswerten. Hierzu 

werden üblicherweise die im folgenden skizzierten drei aussagekräftigen Referenzströmungen 

betrachtet. 

Gittertubulenz (Bestimmung von Cε2) 

Der Wert des Parameters Cε2 bestimmt sich aus dem experimentell untersuchten Abklingverhalten 

der homogenen Turbulenz in einer scherfreien Grundströmung.Die modellierten 

Differentialgleichungen von k und ε degenerieren in diesem Fall zu einer 

Balance zwischen instationären und dissipativen Termen 

Dk 

Dt 

= −ε , und Dε 

Dt 

die sich analytisch lösen läßt 

ε 

= −Cε2 

2 

k 

k = k0 (t − t0) −n 

❀ D2k Cε2 

= 

Dt2 k 

mit n = 

1 

Cε2 − 1 

2 Dk 

Dt 

, (2.19) 

. (2.20) 

Das oben skizzierte Abklingverhalten entspricht dem Abklingverhalten von Gitterturbulenz,für 

das man D/Dt = U0 d/dx findet, woraus sich unmittelbar k ∼ (x − x0) −n 

folgt (Abbildung 2.2). Experimentelle Untersuchungen von Comte-Bellot und Corrsin 

(1966) weisen dem Exponenten einen Wert von n = 1.1–1.3 zu, woraus man Cε2 = 1.8– 

2.0 erhält. 

U o 

k 

Abbildung 2.2: Bestimmung des Koeffizienten Cε2; Veranschaulichung von Gitterburbulenz. 

Homogene Scherturbulenz (Kalibirierung von Cε1) 

Die Kalibirierung des Koeffizienten Cε1 folgt aus der Betrachtung einer homogenen 

Scherung im Gleichgewichtszustand. Die Analyse der berechneten Gleichgewichtswerte 

des Reynolds–Spannungstensors für homogene Scherturbulenz zählt zu den wichtigsten 

49 

x

KAPITEL 

Eckpfeilern einer Beurteilung von Turbulenzmodellen. Die einzige von Null verschiedene 

Komponente des Geschwindigkeitsgradienten–Tensors ∂U/∂y = S ∗ sei hierbei positiv, 

und ebenso wie alle statistischen Turbulenzgrößen räumlich konstant 

D = Diffε = 0 , und ∇ U = const . 

Für homogene Scherturbulenz lauten die modellierten Transportgleichungen der Turbulenzenergie 

(2.17) und Disspationsrate (2.18) 

 

 

∂k 

∂ε ε 

= P − ε , 

= Cε1 P − Cε2 ε mit P = cµ S 

∂t ∂t k 

2 ε , (2.21) 

deren Langzeitverhalten (Index ∞) durch den strukturellen Gleichgewichtszustands für 

die homogene Scherturbulenz charakterisiert ist 

 

Dε D(ε/k)k 

= 

= 

Dt ∞ Dt ∞ 

ε 

 

Dk D(ε/k) 

+ k 

. (2.22) 

k Dt ∞ Dt ∞ 

 

limt→∞=0 

Aus Gleichung (2.22) ergibt sich unmittelbar der Gleichgewichtswert für die spezifische 

Produktionsrate 

C5 := Cε2 − 1 

Cε1 − 1 = 

 

P 

. (2.23) 

ε ∞ 

Experimentelle Untersuchungen von Tavoularis und Corrsin (1981) spezifizieren den 

Gleichgewichtswert zu (P/ε) ∞ = 1.9, woraus man Cε1 = 1.45 schließt. 

Logarithmischer Bereich einer Wandgrenzschicht (Bestimmung von Prε) 

Die Bestimmung der turbulenten Prandtl–Zahl Prε stützt sich auf die Analyse der ingenieurwissenschaftlich 

wichtigsten Referenzströmung, dem logarithmischen Bereich einer 

ebenen, druckgradientenfreien Wandgrenzschicht. In diesem Falle lassen sich die substantiellen 

Änderungen in guter Näherung vernachlässigen und das gesamte Strömungs– 

und Turbulenzfeld kann mit der Wandschubspannung uτ parametrisiert werden (Rung 

1999). Wertet man die Modellgleichungen für k und ε unter Verwendung der experimentell 

belegten lokalen Gleichgewichtsbeziehungen (P = ε) 

|uv| = 0.3 k = u 2 τ , νt = Lt Vt = κn uτ , 

❀ P = −uiuj Sij = −uv ∂U 

∂y = u2 τ 

uτ 

κy 

= ε (2.24) 

∂ ∂ 

und den üblichen Grenzschichtabschätzungen (V


Mit Hilfe der oben gefundenen Werte für Cε1 und Cε2 und dem üblichen Wert der von– 

Kármán Konstanten κ = 0.4–0.41 ergibt sich aus der Verträglichkeitsbeziehung (2.25) 

ein Wert für die Prandtlzahl der ε–Gleichung (P rε = 1.1–1.4) . 

Eine Variation des Koeffizienten Cε1 

ist für die erfolgreiche Berechnung von Nichtgleichgewichts–Zuständen oftmals notwendig. 

Der Parameter Cε1 wird von vielen Autoren in ähnlicher Weise an den Wert des 

dimensionslosen Scherratenparameters S = (k/ε) 2SijSij gekoppelt. Abbildung 2.3 

veranschaulicht die Verläufe dreier populärer Ansätze zur Formulierung eines scherpa- 

rameterabhängigen Koeffizienten Cε1 

Shih et al.(1995a) : Cε1 = max 

 

0.43, S 

 

1 

5 + S 0.3 , 

Menter (SST k − ω, 1994) : Cε1 = 1 + 0.44 max(1, 0.3 S) , 

Yakhot et al. (RNG, 1992) : Cε1 = 1.42 − 

Chen et al. (1987) : Cε1 = 1.15 + S2 

44.4 

S (1 − 0.2283 S) 

1 + 0.015 S 3 

. (2.26) 

Die Anwendung der Cε1–Modifikationen ist mit erheblichen Konsequenzen für die Entwicklung 

der Wirbelzähigkeit verbunden. Rung (1998a) weist darauf hin, daß die aus 

dem Zweigleichungsmodell entwickelte Formulierung einer Transportgleichung für νt 

im Falle von Cε1 > 2 mit einem negativen Produktionsterm behaftet ist 

Pνt ∼ νt 

 

k 

S 

ε 

2 

ε 

 

 

ii (Cε2 − 2) + (2 − Cε1) 

P 

was rasch zum vollständigen Zusammenbruch des vorhergesagten Turbulenzfeldes führen 

kann. 

Die Realisierbarkeit des turbulenten Zeitmaßes 

ist eine weitere, vielfach berücksichtigte Zwangsbedingung. Der Quotient (k/ε) läßt 

sich als Zeitmaß Tt der energietragenden Wirbel (eddy–turn–over time) interpretieren. 

Das turbulente Zeitmaß Tt ist, in Anlehnung an die oben dargestellte Skalenanalyse, 

einer Realisierbarkeitsbeziehung unterworfen. Diese besagt, daß das turbulente Zeitmaß 

nie unterhalb des Kolmogorov–Zeitmaßes der viskosen Dissipation liegen darf. Da 

die höchste Frequenz im Energiespektrum durch die viskose Dissipation begrenzt ist, 

leuchtet die Restriktion physikalisch unmittelbar ein 

 

ε −1 

k ν 

→ Tt , mit Tt := max , α Durbin (1991) : α ≈ 6 . (2.27) 

k ε ε 

51 

,

KAPITEL 

C ε1 

2.2 

2.0 

1.8 

1.6 

1.4 

Shih et al. (1995) 

SST (Menter 1994) 

RNG (Yakhot et al. 1992) 

0 2 4 6 8 10 

S 

Abbildung 2.3: Populäre Ansätze für die Entwicklung des Koeffizienten Cε1 als Funktion 

des dimensionslosen Scherparameters S = (k/ε) 2SijSij. 

Eine einfache Dimensionanalyse der Wirbelzähigkeit 

ergibt für das k − ε Modell die Proportionalität (vgl. Glg. 2.2 und Tabelle 1.1) 

νt ∼ k · 

 

k 

ε 

k 

❀ νt = cµ 

2 

ε . 

Den dazugehörigen Proportionalitätsfaktor bestimmt man üblicherweise aus den bereits 

unter (2.24) angegebenen Zusammenhängen für den Gleichgewichtsbereich einer 

Wandgrenzschicht 

 

 

 

−1 

∂U 

 

νt = |uv| = κn uτ = cµ 

∂y 

❀ cµ = u4τ = 

k2 |uv| 

k 

2 

k 2 

ε 

, (2.28) 

= 0.09 . (2.29) 

Der Faktor cµ wird aufgrund seiner Definition üblicherweise Anisotropieparameter genannt. 

Der am häufigsten verwendete Koeffizientensatz einfacher k − ε Modelle lautet 

damit 

k − ε Modell : cµ = 0.09 , Cε1 = 1.44 , Cε2 = 1.92 , P rε = 1.3 , P rk = 1 . 

52


2.3.2 Alternative Zwei–Parameter–Formulierungen (k n − ζ Modelle) 

Prinzipiell sind sämtliche Variablenkombinationen k n und ζ, deren Darstellung der 

Wirbelzähigkeit 

die Restriktion 

ζ = c 1−a 

µ 

k 2−b ε −1 1/c = c 1−a 

µ 

νt = c a µ k b ζ c 

T 2b−1 

t 

L 2b−21/c 

1−a 

t = cµ V 1−2b 1/c t Lt 

(2.30) 

(2.31) 

erfüllt, zur Modellierung geeignet. Die Transportgleichungen der Variablen k n und ζ 

gewinnt man durch Anwendung der Kettenregel auf die oben angeführten Gleichungen 

(2.17) und (2.18) für k bzw. ε 

Dkn Dt = nk n−1 Dk 

Dt 

Dζ 

Dt = 

2 − b 

c 

, (2.32) 

 

c 1−a 

µ 

k2−b−c 

1/c 

ε 

Dk 

Dt 

− 1 

c 

 

c 1−a 

µ 

k2−b ε1+c 1/c Dε 

Dt 

. (2.33) 

Die Transformationsbeziehungen zur Formulierung der ζ–Gleichung erleichtern sich 

erheblich durch die Annahme von P rk =P rε in (2.33). Die tatsächlich verwendete 

Prandtl–Zahl wird im Anschluß an die Herleitung der Transportgleichung durch die 

Formulierung einer zu (2.25) analogen Verträglichkeitsbeziehung fixiert. 

Neben dem k − ε Modell ist vor allem das von Wilcox (1988) entwickelte k − ω Modell 

νt = k 

ω 

❀ n = b = −c = 1 und a = 0 

weit verbreitet. Die aus der Transformationsbeziehung (2.33) abgeleitete Transportgleichung 

der spezifischen Dissipationsrate ω = ε/(cµk) lautet 

 

 

Dω ω 

= (Cε1 − 1) P − cµ(Cε2 − 1) ω k + 

Dt k 

1 

 

ν + 

∂xk 

νt 

 

∂ω 

(2.34) 

P rω ∂xk 

 

2 ∂k ∂ω 

+ 

. 

ω P rω ∂xk ∂xk 

In der von Wilcox (1988) angegebenen Form wird der letzte Summand der Gleichung 

(2.34) unterdrückt. Wilcox (WC) bevorzugt die Koeffizientenkombination 

Wilcox k − ω Modell : cµ = 0.09 , Cε2 = 1.83 , Cε1 = 1.55 , P rk = P rω = 2 . 

Der Vorteil des k−ω Modells ist dessen inhärente Konsistenz zu den Gesetzmäßigkeiten 

des semi–viskosen und voll–turbulenten logarithmischen Bereichs (vgl. Anhang D oder 

53

KAPITEL 

Wilcox 1993). Daneben zeichnet sich das Modell durch die geringe Variation der o.a. 

Verträglichkeitsbeziehung in kompressiblen und inkompressiblen Wandgrenzschichten 

aus (Huang et al. 1994). Hieraus resultiert die Möglichkeit zur Handhabung beider 

Strömungszustände mit einem einheitlichen Koeffizientensatz. 

Die Vernachlässigung des letzten Summanden aus (2.34) steht in ursächlichem Zusammenhang 

zu den Vorteilen der k − ω Formulierung. Die Unterdrückung des Kreuzdiffusionsterms 

erhöht jedoch gleichzeitig die Sensitivität des Modells für die Fernfeld– 

und Zuströmrandbedingungen der Längenmaßvariablen, da sich der Kreuzdiffusionsterm 

als negativer Entrainmentbeitrag interpretieren läßt (Menter 1992; Wilcox 1993; 

Rung 1998b). Die Vorgabe der Fernfeldwerte von Lt ist keineswegs trivial. Eine geringe 

Fernfeldsensitivität ist daher erstrebenswert. In letzter Zeit sind zonal–hybride Kombinationen 

von k − ε und k − ω Modellen (Menter 1994) oder zonale Berücksichtigungen 

des Kreuzdiffusionsterms, welche die spezifischen Formulierungsvorteile kombinieren, 

in den Blickpunkt des Interesses geraten. 

Weitere Zweigleichungsmodelle sind z.B. von Rotta (1968), Speziale, Abid und Anderson 

(1992) oder Gibson, Harper und Dafa’Alla (1994) entwickelt worden. 

2.3.3 Prallstrahlproblematik (Launder–Kato Modifikation) 

Ein prinzipielles Problem konventioneller Wirbelzähigkeitsmodelle liegt in der unbefriedigenden 

Darstellung rotationsfreier Deformationzustände. Besonders kritisch wird 

das Modellverhalten wenn die Deformationsgeschwindigkeiten annähernd winkeltreu 

(scherfrei) sind: 

Sαβ = Wαβ = 0 für α = β . 

Sämtliche Staupunktströmungen, wie z.B. Prallstrahlen oder Bereiche in der Nähe des 

Staupunkts von Tragflügelprofilen, gehören zu diesem Strömungstyp. Erfahrungsgemäß 

kommt es in diesen Situationen zu einer deutlichen Überschätzung der Produktion von 

Turbulenzenergie durch übliche Wirbelzähigkeitsmodelle 

P = 0.5Pkk = −uiuk (Sik + Wik) = −uiuk Sik ∼ 2 νt S 2 kk , (2.35) 

oftmals mit weitreichenden Konsequenzen für das gesamte Strömungsfeld. Die Überschätzung 

der Produktion von Turbulenzenergie im Staupunktbereich kann, wie exemplarisch 

in Abbildung 2.4 illustriert, zur extrem unrealistischen Vorhersage der aerodynamischen 

Güte von Tragflügel- oder Schaufelprofilen führen. Die lokalen Turbulenzspitzen 

im Nasenbereich der Profile werden dabei durch Konvektion den stromabliegenden 

auftriebserzeugenden Saugbereichen zugeführt. Sie bewirken dort infolge 

der unrealistisch hohen Turbulenzintensität eine deutliche Unterschätzung der Saugspitzen, 

bei gleichzeitig überschätzten Reibungswiderständen. Die Grenzschichtprofile 

besitzen wesentlich mehr Energie, was sich vor allem bei der Berechnung ablösenaher 

Strömungszustände negativ auf die Vorhersagequalität stromab liegender Grenzschichtprofile 

auswirkt. In jüngster Zeit sind diesbezüglich eine Reihe populärer Gegenmaßnahmen 

veröffentlicht worden, z.B. von Kato und Launder (1993), Jin und Braza (1994) 

54

Stroemung um A310.HIGH-Lift,TURBO,a=20G,64m/s,kin=1m2/s2 

TURB.ENE.(%)[k] 

Turbulence Intensity from 0−5% 

Present Realizable 

Stroemung um A310.HIGH-Lift,TURBO,a=20G,64m/s,kin=1m2/s2 


TURB.ENE.(%)[k] 

Turbulence Intensity from 0−5% 

Standard Model 

Abbildung 2.4: Box from ( -0.15, Umströmung -0.22) to ( 0.20, 0.16) von Mehrelemente-Tragflügelprofilen: Box from ( -0.16, -0.22) to ( 0.21, 0.18) Vergleich der Turbu- 

lenzintensitäten im Vorflügelbereich (”Present Realizable” entspricht einem Nichtgleichgewichtsmodel, 

”Standard Model” einem Gleichgewichtsmodell). 

oder Durbin (1996), die eine Manipulation der Produktion in (2.35) vorschlagen. Diese 

Manipulationen ersetzen S2 kk in (2.35) durch −W 2 kk , bzw. −S2 kk W 2 kk , was jedoch in 

formalem Widerspruch zum Wirbelzähigkeitsansatz (2.1) steht. Ferner läßt sich zeigen, 

daß diese Manipulation mit der Annahme antimetrischer Reynolds–Spannungstensoren 

in (2.35) verknüpft ist. Hierzu stelle man sich vor, der Reynolds–Spannungstensor wäre 

antimetrisch. Das Wirbelzähigkeitsgesetz zur Modellierung antimetrischer Reynolds– 

Spannungen wäre folglich durch 

uiuk ∗ = −ukui ∗ 

❀ uiuk ∗ ∼ 2 νt Wik 

erklärt. Setzt man die zuletzt notierte Gleichung in die Beziehung (2.36) ein, dann 

ergibt sich die oben genannte, häufig verwendete Launder–Kato Modifikation 

P ∗ = −uiuk ∗ (Sik + Wik) = −uiuk ∗ Wik ∼ 2 νt W 2 kk . (2.36) 

Offenbar gelangt man zu der von vielen Autoren favorisierten wirbeltensorbasierten 

Darstellung der Produktion von Turbulenzenergie nur unter der falschen Vorraussetzung, 

daß die Reynolds–Spannungen durch einen antimetrischen Tensor repräsentiert 

werden. Wegen des positiven Einflusses auf das Ergebnis, erfreut sich die Launder–Kato 

Modifikation jedoch großer Beliebtheit. 

2.3.4 Turbulenter Wärmestrom 

Zur Berechnung des turbulenten Wärmestroms werden in der Regel isotrope Wirbeldiffusivitätsmodelle 

verwendet. Diese lassen sich unmittelbar aus dem Gradienten– 

Diffusions–Ansatz (2.16) entwickeln 

−ukT ′ = 1) CT 

 

k 

ε 

ukul 

 

∂T 

∂xl 

= 2) νt 

 

∂T 

P r ∂xk 

. (2.37) 

Der turbulenten Prandtlzahl wird zumeist der Wert P r = 0.9 zugewiesen. Die hiermit 

verbundenen Annahmen offenbaren sich durch die Rekonstruktion der Gleichung (2.37) 

55

KAPITEL 

aus der exakten Skalartransportgleichung (1.65). Für den Zustand des lokalen Gleichgewichts 

lassen sich sämtliche Transportterme in (1.65) vernachlässigen. Unterdrückt 

man ferner sämtliche Quellterme und Volumenkraftdichtebeiträge, dann ergibt sich 

uiuk 

∂T 

∂xk 

∂Ui 

= −ukT ′ 

∂xk 

+ 1 

ρ 

p∂T ′ 

∂xi 

− ν 

 

cp ∂ui 

+ 1 

P r ∂xk 

Im Falle einer nahezu isotropen Feinstruktur müssen die (viskosen) Dissipationsterme 

der zuletzt notierten Gleichung ebenfalls nicht berücksichtigt werden. Die Druck– 

Skalargradienten–Korrelation wird üblicherweise analog zur Druck–Scher–Korrelation 

modelliert (Craft und Launder 1996). Der einfachste Ansatz ist der lineare Relaxationsansatz, 

bei dem nur der langsame Anteil berücksichtigt wird 

1 

ρ 

p∂T ′ 

∂xi 

= −γ ∗ T −1 

t uiT ′ ❀ uiuk 

T ′ uk 

∂Ui 

∂xk 

∂T 

∂xk 

∂T 

∂xk 

∂Ui 

= −ukT ′ 

∂xk 

− γ ∗ 

∂T ′ 

∂xk 

. 

 

ε 

 

uiT 

k 

′ . 

Das Gradienten–Diffusions–Gesetz (2.37) ergibt sich schließlich unter der Voraussetzung 

uiuk 

1 

= γ , mit γ = 

γ∗CT − 1 . 

Die Erweiterung der Technik auf anisotrope Wirbeldiffusivitäts– oder explizite algebraische 

Modelle zur Berechnung turbulenter Wärmeströme ist möglich. Näheres hierzu 

findet man z.B. bei Shabany und Durbin (1997), Adumitroaie, Ristorcelli und Taulbee 

(1998) oder Wikström, Wallin und Johansson (2000). 

2.4 Primäre, sekundäre und tertiäre Stress–Strain Interaktion 

Die Wechselwirkungen zwischen Turbulenz und Geschwindigkeitsgradienten sind eng 

mit bekannten physikalischen Mechanismen einer turbulenten Scherströmung verknüpft. 

Diese lassen sich ihrer Bedeutung nach in primäre, sekundäre und tertiäre Erscheinungen 

gliedern und können von den verschiedenartigen Wirbelzähigkeitskonzepten 

unterschiedlich gut wiedergegeben werden. 

Primäre Strömungsmerkmale sind durch die Wechselwirkung einander zugeordneter 

Reynoldsscher Schubspannungen und Scherraten bestimmt. Sie lassen sich 

in lokal zweidimensionalen Scherströmungen 

durch isotrope Wirbelzähigkeitsansätze hinreichend 

genau beschreiben. Die zweidimensionale 

Scherströmung ist keinesfalls nur akademischer 

Natur. Vielmehr läßt sich die Mehrheit 

der in der Praxis auftretenden Strömungen 

näherungsweise dadurch beschreiben. Hierzu 

gehört die in Abbildung 2.5 durch schwar- 

Abbildung 2.5: Hauptströmungskompoze Farbwerte gekennzeichnete druckinduzierte 

nente einer abgelösten Profilumströmung 

Hinterkantenablösung über der Saugseite ei- 

56

2.4. PRIMÄRE, SEKUNDÄRE UND TERTIÄRE STRESS–STRAIN INTERAKTION 

nes Tragflügelprofils. Eine adäquate Modellierung primärer Phänomene im Rahmen isotroper 

Ansätze geschieht beispielsweise durch die besondere Berücksichtigung der Realisierbarkeit 

der modellierten Reynolds–Spannungen (Schumann 1977). Ein Bestandteil 

der Realisierbarkeitsbedingungen ist die Gewährleistung positiver Normalspannungen, 

eine Anforderung, die von dem isotropen Wirbelzähigkeitsansatz nur durch 

die umgekehrte Proportionalität des Anisotropieparameters zum Scherratenparameter 

S = Tt 

 

2 ˜ Sij ˜ Sij befriedigt werden kann (Shih, Zhu und Lumley 1993; Rung 1998b). 

u 2 α = 2 

3 k − 2 cµ kTt ˜ Sαα , ❀ lim 

S→∞ cµ ≤ 1 

1.5 S . 

Die so formulierte Wirbelzähigkeit erfüllt den in Gleichung (2.15) geforderten umgekehrt– 

proportionalen Zusammenhang von νt und Sij zumindest im integralen Mittel. Analoge 

Überlegungen, in denen der Anisotropieparameter umgekehrt proportional zur zweiten 

Invariante des Wirbeltensors ist, führen zu den sogenannten Shear–Stress–Transport 

Modellen von Menter (1993). Die Darstellbarkeit von ebenen Krümmungseffekten gelingt 

ebenfalls bereits mit linearen Stress-Strain Beziehungen (vgl. Kapitel 7.4). 

Ein illustratives Beispiel für die Schwächen einer isotropen Modellierung bei der Darstellung 

primärer Strömungsmerkmale ist die zweiachsige Scherung, die in dreidimensionalen 

Grenzschichtströmungen relevant ist. Die komplementäre Schubspannungkomponente 

vw einer 3D Grenzschicht ist in isotropen Wirbelzähigkeitsmodellen in gleicher 

Weise an die Entwicklung der Querströmungskomponente W gekoppelt wie die 

Primärschubspannung uv an die Hauptströmungsgeschwindigkeit U. Experimentelle 

Untersuchungen, z.B. Schwartz und Bradshaw (1994), zeigen dagegen oftmals eine Abweichung 

zwischen dem Schubspannungswinkel und dem Strömungsgradientenwinkel 

Exp. : γτ = γg , mit γτ = tan −1 

vw 

uv 

 

und γg = tan −1 

∂W/∂y 

∂U/∂y 

Offenkundig versagt die starre isotrope Kopplung ganz allgemein bei der Vorhersage 

von mehreren, linear unabhängigen Komponenten des Reynolds–Spannungstensors. 

Sekundäre Strömungsformen bilden sich durch Normalspannungsdifferenzen in einer 

turbulenten Scherströmung aus. Die eingangs angesprochene Normalspannungsanomalie 

wird durch die unzulängliche Modellierung der Diagonalbeiträge der Scherturbulenz 

durch isotrope Ansätze verursacht. Im Sinne einer Polynomdarstellung 

uiuj = P δij, Sij, S 2 ij, SikWkj + SjkWki, W 2 

ij, S 3 ij, ... 

(2.38) 

werden die Normalspannungen für das betrachtete Scherströmungsbeispiel nur von nullter 

Ordnung in den Geschwindigkeitsgradienten genau approximiert, wohingegen die 

Schubspannungen von erster Ordnung genau approximiert werden. Allgemein findet 

man: 

57 

 

.

KAPITEL 

Die Normalspannungen werden in schwach–gekrümmten Scherströmungen 

von den geraden Potenzen einer Polynomdarstellung beschrieben, die 

Schubspannungen hingegen von den ungeraden Potenzen. 

Eine präzisere Modellierung der Normalspannungsanisotropie verlangt folglich mindestens 

einen quadratischen Wirbelzähigkeitsansatz. Ein eindrucksvolleres Beispiel für 

die Unterschlagung signifikanter sekundärer 

Strömungsmerkmale durch isotrope Wirbelzähigkeitsmodelle 

ist die in Abbildung 2.6 

skizzierte Sekundärströmung in Gestalt von 

vier longitudinalen Eckenwirbelpaaren bei der 

U1 Durchströmung rechteckiger Rohre (Bradshaw 

1987; vgl. Kapitel 7.5). Derartige Sekundär- 

X 3 

strömungen werden durch die Normalspan- 

X 1 

X 2 

nungsdifferenzen einer ansonsten scherdominierten 

Strömung gespeist. Sie sind daher nur 

bei Berücksichtigung der quadratischen Glie- 

Abbildung 2.6: Turb. Sekundärströmung der des Wirbelzähigkeitsansätzes darstellbar. 

Tertiäre Effekte entstehen in zweiachsigen Scherströmungen durch die Interaktion 

einander nicht zugeordneter Komponenten der Reynoldschen Schubspannungen und 

des Scherraten–Tensors. Ein Beispiel hierfür ist die krümmungsinduzierte Varia- 

W(r) 

U(r) 

2R 

V, r 

U, x 

W, 

Ωx 

Abbildung 2.7: Vollentwickelte rot. Rohrströmung 

tion turbulenter Schubspannungen 

in Strömungen durch axial rotierende 

Rohre. Die in Abbildung 2.7 

skizzierte vollentwickelte Strömung 

(∂/∂z=∂/∂θ =0, V =0) wurde von 

einer Vielzahl von Autoren theoretisch, 

numerisch und experimentell 

untersucht (Kikuyama et al. 1983; Reich und Beer 1989; Imao et al. 1996; Orlandi und 

Fatica 1997; Oberlack 1999). Sie zeichnet sich durch die folgenden beiden Strömungsmerkmale 

aus, welche von linearen oder quadratischen Wirbelzähigkeitsmodellen nicht 

wiedergegeben werden können: 

• Mit steigender Drallzahl WR/UB sinkt der Betrag der Primärschubspannung uv 

und das Axialgeschwindigkeitsprofil relaminarisiert. 

• Der radiale Verlauf der Azimutalgeschwindigkeit W (r) erfährt in Folge der von 

Null verschiedenen Drall–Schubspannung vw eine parabolische Überhöhung 

W (r)/WR ≈ (r/R) 2 . 

58

2.4. PRIMÄRE, SEKUNDÄRE UND TERTIÄRE STRESS–STRAIN INTERAKTION 

Zur Illustration der Defizite linearer Wirbelzähigkeitsansätze in krümmungsbehafteten 

Strömungen wird das Beispiel eines Starrkörperwirbels diskutiert, das durch den 

z 

y 

θ 

e 

θ 

W(r) 

Abbildung 2.8: Starrkörperwirbel 

e 

r 

isotropen Wirbelzähigkeitsansatz identisch erfüllt 

wird. Die Betrachtungen basieren auf der in Abbildung 

(2.8) skizzierten Konfiguration in rotierenden 

zylindrischen Koordinaten U = W (r) e θ = 

(αr) e θ . Anhang B enthält eine Zusammenstellung 

der transformierten Bilanzgleichungen verdrallter 

Strömungen in zylindrischen Koordinaten. 

Die Kontinuitätsgleichung ist in diesem besonders 

einfachen Beispiel identisch erfüllt. Die einzig ver- 

bleibende Impulsgleichung ist die Transportgleichung der Azimutalgeschwindigkeit 

 

∂ 

νr 

∂r 

∂W 

 

− vw r − vw − ν 

∂r W 

r 

= 

 

∂ 

r 

r ∂r 

2 

 

νr ∂ 

 

W 

− vw 

∂r r 

= 0 .(2.39) 

Nach einmaliger partieller Integration von (2.39) mit W (0) = 0 findet man für den 

Starrkörperwirbel wegen Srθ = 0 verschwindende Drall–Schubspannungskomponenten 

vw = νr ∂ 

 

W 

= 2 νSrθ = 0 . (2.40) 

∂r r 

In Bezug auf die Vorhersage von krümmungsinduzierten Variationen der turbulenten 

Schubspannungen entnimmt man Gleichung (2.39), daß der isotrope Boussineq–Ansatz 

(7.20) immer mit einem Starrkörperprofil für die Umfangsgeschwindigkeit verbunden 

ist 

vwEVM = −2 νtSrθ ❀ (2.39) 

2 (νt + ν) r ∂ 

 

W 

= 0 ❀ Srθ = 0 (2.41) 

∂r r 

und folglich auch stets verschwindende Drall–Schubspannungen vorhersagt. Der tertiäre 

Effekt eines parabolisch überhöhten Azimutalgeschwindigkeitsprofils ist daher unvereinbar 

mit dem isotropen Wirbelzähigkeitskonzept. Ein in der Praxis auftretendes 

nichtlineares Azimutalgeschwindigkeitsprofil ist nur durch kubische Wirbelzähigkeitsansätze 

simulierbar. 

59

Kapitel 3 Rationale Modellierungstechniken 

Die Mehrzahl der bekannten Strategien zur Erweiterung des Gültigkeitsbereichs von 

statistischen Turbulenzmodellen basiert letztlich auf den Prinzipien der rationalen Mechanik, 

insbesondere der Darstellungs- oder Invariantentheorie (Gatski und Speziale 

1993; Lumley 1978; Spencer 1971; Zheng 1994), die im Zentrum des letzten Abschnitts 

dieses Kapitels steht. Im Unterschied zu empirisch/heuristischen Modellierungstechniken 

wird dabei eine allgemeingültige analytische Bestimmung der Modellkoeffizienten 

angestrebt. Mathematisch betrachtet sind die Koeffizienten des Turbulenzmodells dimensionslose 

Skalare und somit unabhängig (invariant) von der Wahl des Koordinatensystems. 

Es ist daher naheliegend, die Koeffizienten nicht konstant zu setzen, sondern 

als skalare Funktion aller im mathematischen Modell enthaltenen linear unabhängigen 

(irreduziblen) Invarianten der Tensorkoordinaten darzustellen. Die Invariantentheorie 

reduziert analog zur Dimensionsanalyse die Anzahl der beteiligten Parameter. Neben 

der Identifikation der im System auftretenden Einflussparameter müssen zu deren Bestimmung 

ergänzende Zwangsbedingungen, aus möglichst übergeordneten Prinzipien 

oder Axiomen, formuliert werden. Die Formulierung der Zwangsbeziehungen basiert 

typischerweise auf dem Realizability-Prinzip (Schumann 1977; Lumley 1978), der Rapid 

Distortion Theorie (RDT) (Reynolds 1987), der Renormalisierungsgruppentheorie 

(RNG) (Yakhot et al. 1992) oder der strengen darstellungstheoretischen Behandlung 

von linearisierten algebraischen Reynolds-Spannungsmodellen (Gatski und Speziale 

1993). Die Zwangsbedingungen setzen die Koeffizienten des Turbulenzmodells in 

Verhältnis zu den dimensionslosen irreduziblen Invarianten des Parameterraums. 

Der erste Abschnitt dieses Kapitels beschäftigt sich mit Invarianzeigenschaften der 

Reynolds–Spennungen und ihrer Transportgleichungen gegenüber einer Bewegung des 

Beobachtersystems. Es zeigt sich, daß die Transportgleichungen der Reynolds–Spannungen 

invariant gegenüber einer erweiterten Galileitranformation sind, weshalb die Berücksichtigung 

des Wirbeltensors im Turbulenzmodell – entgegen vieler anderslautender 

Meinungen – zulässig ist. Der zweite Abschnitt erläutert exemplarisch die Grundgedanken 

des Realisierbarkeits–Prinzips am Beispiel des isotropen Wirbelzähigkeitsmodells, 

und vermittelt einen ersten Einblick in rationale Modellierungstechniken. Im Anschluß 

daran werden die Grundlagen der Darstellungstheorie erörtert, welche im Zentrum einer 

verallgemeinerten Modellierungspraxis steht. 

3.1 Materielle Objektivität 

Die systematische Entwicklung von Turbulenzmodellen stützt sich auf einige grundlegende 

Axiome zur Gewährleistung der mathematischen und physikalischen Widerspruchsfreiheit. 

Das Axiom der materiallen Objektivität – oder auch Beobachterindifferenz 

– ist Gegenstand vieler Diskussionsbeiträge zur Konstruktion von Turbulenzmodellen, 

weswegen es hier Berücksichtigung findet. 

60

3.1. MATERIELLE OBJEKTIVITÄT 

Genügt ein Turbulenzmodell dem Prinzip der materiellen Objektivität, dann dürfen die 

Modellgleichungen nicht von der Wahl des Bezugssystems abhängen. Hierzu betrachtet 

man zwei Bezugssysteme e und ê, welche durch eine Starrkörperbewegung und eine 

Zeittransformation miteinander verbunden sind 

ê(x, ˆt) = Q(t) · e(x, t) + b(t) , ˆt = t − to , Q · Q T = δ . (3.1) 

Dabei ist Q(t) ein beliebiger, zeitabhängiger orthogonaler Tensor, der entweder eine 

Drehung (|Q(t)| = 1) oder eine Spiegelung (|Q(t)| = −1) darstellt und t0 ein konstanter 

Zeitpunkt. Die Bewegung b(t) kennzeichnet eine allgemeine zeitabhängige Translation. 

In der oben skizzierten allgemeinen Darstellung repräsentiert die Gleichung (3.1) 

eine sog. euklidische Transformation. Beschränkt man sich auf die Kombination aus 

Starrkörperrotation (Q = const.) und beschleunigungsfreier Translation (b(t) = U 0 t), 

dann spricht man von einer Galileitransformation. 

Skalare, Vektoren und Tensoren sind objektive räumliche Größen, wenn für deren Darstellung 

in den unterschiedlichen Bezugssystemen ê und e folgenden Aussagen gelten 

Skalare : ˆy = y (3.2) 

Vektoren : ˆy = Q(t) · y 

Tensoren zweiter Stufe : ˆy = Q(t) · y · Q T (t) 

Wichtige Beispiele für objektive und nichtobjektive Größen lauten: 

1) Länge: 

dx = x − x0 

❀ dˆx = Q · x + b − 

 

Q · x0 + b 

Das gerichtete Längenelement ist ein objektiver Vektor. 

2) Geschwindigkeitsvektor: 

❀ 

= Q · dx (3.3) 

U = dx 

dt 

dˆx d 

 

Û = = Q · x + b 

dˆt dˆt 

= Q · U + ˙ Q · x + ˙ b (3.4) 

61

KAPITEL 

Der Geschwindigkeitsvektor ist kein objektiver Vektor. 

3) Geschwindigkeitsgradient: 

ˆ∇ Û = ∇ Û · QT 

= Q · ∇ U · Q T + ˙ Q · Q T 

Der Geschwindigkeitsgradient ist kein objektiver Tensor. 

(3.5) 

Für den Geschwindigkeitsgradiententensor ergibt sich aus (3.5) ein interessanter Zusammenhang 

für die symmetrischen und antimetrischen Anteile des Tensors. Mit Hilfe 

von 

folgt für den symmetrischen Anteil 

ˆS = 0.5 

 

ˆ∇ Û + ( ˆ ∇ Û)T 

 

( ˆ ∇ Û)T = Q · (∇ U) T · Q T + Q · ˙ 

Q T (3.6) 

= 0.5 

= 0.5 

 

Q · ∇ U + (∇ U) T · Q T 

 

+ d 

 

dˆt 

Q · Q T 

 

 

δ 

 

 

Q · ∇ U + (∇ U) T · Q T 

 

= Q · S · Q T . (3.7) 

Die nichtobjektiven Beiträge zum Geschwindigkeitsgradiententensor lassen sich folglich 

dem antimetrischen Wirbeltensor W = 0.5 (∇ U − (∇ U) T ) zuordnen 

ˆW = ( ˆ ∇ Û) − ˆ S = 0.5 

 

Q · ∇ U − (∇ U) T · Q T 

 

+ ˙ Q · Q T . 

Die Anwendung des Objektivitätsprinzips auf die Modellgleichungen ist nur gerechtfertigt, 

sofern auch der Tensor der Reynoldsspannungen materiell objektiv ist. Die 

ensemblegemittelte Darstellung der Gleichung (3.4) lautet 

ˆ 

U = Q · U + ˙ Q · x + ˙ b = Q · U + ˙ Q · Q T · (ˆx − b) + ˙ b , (3.8) 

woraus für den Vektor der Geschwindigkeitsfluktuation Beobachterindifferenz gefolgert 

werden kann 

û = Q · u . (3.9) 

62

3.1. MATERIELLE OBJEKTIVITÄT 

Das dyadische Produkt zweier objektiver Geschwindigkeitsfluktuationsvektoren 

folgt somit dem Objektivitätszwang (3.2c). Zur Modellierung eines objektiven 

Reynolds–Spannungenstensors können nur objektive Tensoren und deren Invarianten 

verwendet werden, weswegen sich ein Zusammenhang zwischen dem 

Wirbeltensor und dem Reynolds–Spannungstensor – entgegen der üblichen Modellierungpraxis 

– verbieten würde. 

Ein anderes Bild ergibt sich aus der Analyse der Implusgleichungen für Û bzw. Û. Mit 

Hilfe der oben angeführten Transformationsbeziehungen ergibt sich 

˙Û = Q · ˙ 

U + ˙Q · U + Q ¨ T 

· Q · ˆx + Q ˙ T 

· Q · ˆx ˙ − Q ¨ T 

· Q · b − Q ˙ T 

· Q · b ˙ + ¨b = Q · ˙ 

U + ˙Q · 

= Q · ˙ U + 

Q T · Û − QT · ˙ Q · Q T · ˆx + Q T · ˙ Q · Q T · b − Q T · ˙ b 

+ ¨ Q · Q T · ˆx + ˙ Q · Q T · ˙ ˆx − ¨ Q · Q T · b − ˙ Q · Q T · ˙ b + ¨ b 

 

ˆx · ¨Q T 

· Q − Q ˙ T 

· Q · Q ˙ T 

· Q + ˙ b · 

 

+b · ˙Q T 

· Q · Q ˙ T T 

· Q − Q · Q ¨ T 

· Q 

 

 

 

˙Q T 

· Q · Q ˙ T 

· Q − Q ˙ T 

· Q 

 

+ ¨ 

b + 2 ˙ Q · Q T · Û 

= Q · ˙ U + A + 2 ˙ Q · Q T · Û (3.10) 

Der erste Term der rechten Seite von Gleichung (3.10) repräsentiert den objektiven 

Anteil. Nach dem Impulssatz (1.7) entspricht die Impulsänderung ˙ U der Summe aller 

Kräfte auf das Fluid ∇ · T total . Da das Stoffgesetz (1.32) nur auf dem symmetrischen 

Anteil des Geschwindigkeitsgradiententensors basiert, ist der Spannungstensor T total 

materiell objektiv 

Q · ˙ U = Q · 

 

∇ · T = 

total 

ˆ ∇· ˆ T . 

total 

Für die momentane und Reynolds–gemittelte Änderung des Impulses ergibt sich somit 

˙Û = ˆ ∇· ˆ T + 

total A + 2 ˙ Q · Q T · Û , 

˙ˆ 

U = ˆ ∇· ˆ T + 

total A + 2 ˙ Q · Q T · Û . 

Hieraus läßt sich für die Änderung des fluktuierenden Geschwindigkeitsvektors ein, im 

Unterschied zu Gleichung (3.9) nichtobjektiver Zusammenhang ableiten 

˙û = Q · ˙u + 2 ˙ Q · Q T · û . (3.11) 

Eine analoge Aussage findet man für die substantielle Änderung der Reynolds–Spannungen. 

In Bezug auf die Modellierung steht die Beziehung (3.11) im Widerspruch zur 

Beziehung (3.9). 

63

KAPITEL 

Für die Beantwortung der Frage, ob man zur Modellbildung auch nichtobjektive 

Größen verwenden kann ist die präzise Definition der Aufgabe des Turbulenzmodells 

von großer Relevanz. Ein Turbulenzmodell dient üblicherweise nicht 

der direkten Bestimmung von Reynolds–Spannungen, sondern der Schließung 

ihrer Transportgleichung. Die eingesetzten Modelle müssen daher lediglich die 

unter (3.11) notierte Beziehung befriedigen. 

Die Transportgleichung der Geschwindigkeitsfluktuationen ist unabhängig von der Wahl 

zweier Bezugssysteme, welche durch die folgende erweiterte Galilei–Transformation 

miteinander verbunden sind 

ê(x, ˆt) = Q · e(x, t) + b(t) . (3.12) 

Im Unterschied zur klassischen Galilei–Transformation erlaubt die erweiterte Galilei– 

Transformation (3.12) eine translatorische Beschleunigung (b(t) = U o t). Man beachte, 

daß die Darstellung des Wirbeltensors Wij für Q = const gemäß Gleichung (3.8) 

ebenfalls unabhängig gegen einen durch (3.12) beschriebenen Wechsel des Beobachtersystems 

ist und daher für die Modellbildung verwendet werden kann. 

3.2 Realisierbarkeit 

Bei der ins Auge gefassten Modellbildung handelt es sich um eine statistische Betrachtung. 

Ausgangspunkt der Vorgehensweise ist die in Kapitel 1.3.1 dargestellte Zerlegung 

der Momentanwerte ˜ φ in einen (Ensemble–)Mittelwert φ und eine entsprechende Fluktuation 

ϕ 

˜φ = φ + ϕ . 

Die Reynolds-Spannungen genügen folglich fundamentalen statistischen Zusammenhängen, 

die im Rahmen der numerischen Strömungsmechanik häufig unter dem Begriff 

Realizability– oder auch Realisierbarkeits–Prinzip zusammengefaßt werden: 

u 2 α ≥ 0 → keine negative Varianz, (3.13) 

u 2 α u 2 β − (uαuβ) 2 ≥ 0 → Ungleichung nach Schwartz. (3.14) 

Da es sich bei u 2 α um Anteile turbulenter kinetischer Energie handelt, ist die erste der 

beiden Realizability-Restriktionen auch physikalisch einsichtig: Energie ist nie negativ. 

Die Schwartzsche Ungleichung (3.14) ergibt sich mathematisch aus der Tatsache, daß 

die Reynolds-Spannungen durch einen symmetrischen, positiv semi-definiten Tensor 

64

3.2. REALISIERBARKEIT 

repräsentiert werden. Diese Aussage trifft prinzipiell auf die Korrelationsmatrix zweier 

beliebiger fluktuierender physikalischer Größen ˜ Γ und ˜ φ zu: 

⎛ 

γ 

A = ⎝ 

2 γϕ 

γϕ ϕ2 ⎞ 

⎠ . (3.15) 

Ein symmetrisch positiv semi-definiter Tensor besitzt die Eigenschaft, daß seine Determinante 

und seine (stets reelen) Eigenwerte nie negativ werden können: 

det(A) ≥ 0 ❀ γ 2 ϕ 2 − (ϕγ) 2 ≥ 0 . (3.16) 

Physikalisch läßt sich die Schwartzsche Ungleichung dadurch erklären, daß zwei unterschiedliche, 

statistisch fluktuierende Größen ϕ und γ in ihrem Verhalten vollkommen 

korreliert sind, wenn sie sich statistisch gleich verhalten. Die Entwicklung der beiden 

Größen ließe sich in diesem Falle, in dem das zweite statistische Moment der beiden 

Größen maximal wäre, beispielsweise durch dieselbe Fourierreihe darstellen, z.B. 

ϕ = ∞ 

n=0 αc cos (nπt) + αs sin (nπt) , 

γ = ζ ∞ 

n=0 αc cos (nπt) + αs sin (nπt) , 

❀ (ϕγ) 2 = (ϕϕ) (γγ) . (3.17) 

Eine allgemeinere Formulierung der Schwartzschen Ungleichung, welche die Korrelation 

zwischen einem Skalar und einem Vektor beschreibt, ergibt sich aus: 

 

ϕiϕj γ2 

− (ϕiγ) (ϕjγ) ≥ 0 . (3.18) 

Insbesondere leitet man von (3.18) exemplarisch folgende, häufig verwendete Aussagen 

ab: 

uv θ 2 − uθ vθ ≥ 0 , 

u2 θ2 − uθ 2 ≥ 0 , 

v2 u2 2 − uv ≥ 0 , 

w2 

uv − uw vw ≥ 0 . (3.19) 

Ein strengeres Realisierbarkeitskriterium fokussiert die untere Schranke der Beziehungen 

(3.13, 3.14), bei denen die Terme der linken Seiten den Nullzustand erreichen. Um 

sich von diesem Zustand in pyhysikalisch realisierbarer Weise zu erholen, muß die erste 

Zeitableitung der linken Seite verschwinden, und die erste von Null verschiedene höhere 

Zeitableitung positiv sein. 

65

KAPITEL 

Auf die Bedeutung des Realisierbarkeitsprinzips wurde zuerst von Schumann (1977) 

hingewiesen. Eine umfangreichere Einführung in die Thematik ist dem Betrag von 

Shih (Hallbäck, Henningson, Johansson und Alfredson 1996) zu entnehmen. Weitere 

Arbeiten zur Realisierbarkeit wurden unter anderem von Lumley (1978), Shih und 

Lumley (1985), Johansson und Hallbäck (1994), Speziale, Abid und Durbin (1993) und 

Pope (1993) veröffentlicht. 

3.2.1 Realisierbarkeit isotroper Wirbelzähigkeitsmodelle 

Die Gewährleistung plausibler Stress-Strain Beziehungen mit Hilfe des Wirbelzähigkeitsprinzips 

(7.20) verlangt die Konsistenz der modellierten Reynolds-Spannungen 

zum Realizability-Prinzip (3.18). Der folgende Abschnitt befaßt sich mit der Entwicklung 

einer physikalisch tragfähigeren Formulierung auf der Basis des isotropen Wirbelzähigkeitsansatzes 

(7.20). Die Ergebnisse ermöglichen eine exakte Darstellung achsensymmetrischer 

Turbulenzzustände sowie eine verbesserte Darstellung von schergetriebenen 

Strömungen, vermögen jedoch nicht sämtliche der in Kapitel 2 geschilderten 

Anomalien des isotropen EVM Konzeptes zu korrigieren. 

Der primäre Fokus dieses Abschnittes ist das Verhalten der in Anhang A skizzierten Invarianten 

des Spannungsanisotropietensors bei isotroper Wirbelzähigkeitsmodellierung 

bij = −cµ sij . 

Die von Null verschiedenen Invarianten des modellierten Anisotropietensors lauten 

IIb = −1/2 b 2 kk = −1/2 c 2 µ s 2 kk = −1/2 c 2 µ η1 , 

IIIb = 1/3 b 3 kk = −1/3 c 3 µ s 3 kk = −1/3 c 3 µ η3 . (3.20) 

Hierin repräsentieren b2 kk and b3kk die Spur der Tensoren b2ik und b3ik , z.B. b2kk = bkmbmk. 

Die Invarianten des Ansiotropietensors werden üblicherweise im Zusammenhang mit 

Lumley’s (Lumley 1978) Invariantenkarte studiert. Die Herleitung der Invarianten ist 

in Anhang A skizziert. Anhand von Abbildung 3.1 erkennt man, daß die physikalisch 

realisierbaren Invariantenzustände auf einen engen Bereich begrenzt sind. Dieses Merkmal 

ist von Bedeutung für die Konstruktion von cµ 

Asymptotisch konsistente Formulierungen müssen auch im Grenzübergang 

extrem starker Distorsion noch sinnvolle Lösungen für IIb und IIIb liefern. 

Hauptachsentransformation 

Für die Analyse der Vorhersagekraft isotroper Wirbelzähigkeitsmodelle ist eine Betrachtung 

auf der Basis der Hauptachsen von sij hilfreich. Bekanntermaßen besitzt die 

Säkulargleichung eines positiv semi-definiten Tensors 

66

1/3 

1/12 

−II b 

0.30 

0.25 

0.20 

0.15 

0.10 

0.05 

0.00 

isotropic 2−component 

turbulence 

−1/108 

1−component turbulence 

plane strain (PS) 

9II b +27III b +1=0 2−component turbulence 

axissymmetric expansion (AE) 

axissymmetric contraction (AC) 

(II b /3) 3 +(III b /2) 2 =0 

isotropic 3−component turbulence 

0.00 0.02 0.04 0.06 

III b 

2/27 


X 2 

X 1 

X 2 X 1 

X 3 

X 3 X 1 

Abbildung 3.1: Lösungspfade dreier verschiedener rotationsfreier Distorsionen bei isotroper 

Wirbelzähigkeitsmodellierung in der Invariantenkarte von Lumley (1978). 

(PS) 

(AC) 

(AE) 

det (sij − λkδij) = 0 (3.21) 

drei reelle Lösungen λk (k=1,2,3). Den drei Eigenwerten λk sind drei paarweise orthogonale 

Eigenvektoren zugeordnet. Wählt man die Eigenvektoren als Basisvektoren, so 

kann sij durch eine Hauptachsentransformation auf Diagonalgestalt gebracht werden 

ˆsij = 

⎛ 

⎝ 

λ1 0 0 

0 λ2 0 

0 0 λ3 

⎞ 

X 2 

⎠ , (3.22) 

wobei wegen der Spurfreiheit des Deviators s zusätzlich λ1 + λ2 + λ3 = 0 gilt. Sortiert 

man die Eigenwerte nach der Größe ihres Betrags, z.B. |λ1| > |λ2|; |λ3|, so ergibt sich 

unter der Voraussetzung nicht–trivialer Situationen λ1 = 0: 

λ2 + λ3 = −λ1 → λ2 = −0.5(â + 1)λ1 und 

Damit läßt sich (3.22) wie folgt notieren (ˆs11 = λ1) 

λ3 = −0.5(â − 1)λ1 , −1 ≤ â ≤ 1 . (3.23) 

67

KAPITEL 

ˆsij = 

⎛ 

⎝ 

1 0 0 

0 

0 − 1+â 

2 

0 0 − 1−â 

2 

⎞ 

⎠ ˆs11 . (3.24) 

Hierin kennzeichnet ˆs11 die dimensionslose Primärdistorsionsgeschwindigkeit im Hauptachsensystem 

und â einen Parameter zur Beschreibung der Abweichung vom zweidimensionalen 

Distorsionszustand. Die folgenden Untersuchungen konzentrieren sich auf 

die drei relevanten Grenzfälle des transformierten Scherratentensors (3.24) (vgl. Abbildung 

3.2): 

• zweidimensionale Distorsion: â 2 = 1 und ˆs11 > 0 , 

• achsensymmetrische Kontraktion: â = 0 und ˆs11 > 0 , 

• achsensymmetrische Expansion: â = 0 und ˆs11 < 0 . 

X 2 

X 1 

X 2 X 1 

Abbildung 3.2: Veranschaulichung der zweidimensionalen Distorsion (links) und achsensymmetrischen 

Kontraktion (rechts). 

Durch den linearen Zusammenhang zwischen sαβ und bαβ müssen die Eigenrichtungen 

der beiden Tensoren übereinstimmen. Die Gestalt des Spannungsanisotropietensors 

ändert sich daher beim Übergang in das Hauptachsensystem von sij in ähnlicher Weise 

wie die des dimensionslosen spurfreien Scherratentensors. Notiert man die Reynolds- 

Spannungen mit Hilfe des linearen Wirbelzähigkeitsprinzips (7.20) für das Hauptachsensystem, 

so ergeben sich lediglich für die Normalspannungskomponenten von Null 

verschiedene Werte. Hieraus folgt eine zentrale Eigenschaft linearer EVM: 

Die Schwartzsche Ungleichung (3.14) ist für lineare Wirbelzähigkeitsmodelle durch 

die Gewährleistung positiver Normalspannungsanteile (3.13) automatisch befriedigt. 

Die weitere Analyse konzentriert sich daher auf die Normalspannugsforderung (3.13). 

Für den Spannungsanisotropietensor erhält man nach Transformation in das Hauptachsensystem 

von (3.13) unmittelbar 2/3 ≥ bαα ≥ −1/3 , und daher 

1 

3 ≥ −IIb ≥ 0 bzw. 

68 

2 

27 ≥ IIIb ≥ − 1 

108 

X 3 

. (3.25)


Um auch im Grenzübergang η1 → ∞ realisierbare Invariantenwerte gewährleisten zu 

können fordert man c 2 µ ∼ η −1 

1 

cµ = 

1 

√ 

A0 + A1 η1 

mit A1(η1, η3) . (3.26) 

Der Koeffizient A0 verhindert singuläre cµ-Werte für scherfreie Turbulenz. die Zwangsbedingungen 

für A1 lassen sich aus der Untersuchung der Beziehung (3.26) für verschiedene 

rotationsfreie Distorsionszustände herleiten. 

Achsensymmetrische Turbulenz 

Ungeachtet seiner eingeschränkten praktischen Relevanz, ist der achsensymmetrische 

Turbulenzzustand aufgrund des damit verbundenen einfachen Stress–Strain Zusammenhangs 

von großem Interesse für die Modellbildung (Rotta 1972) 

bij = α (3 δi1δ1j − δij) , (3.27) 

sij = −0.5 s11 (3 δi1δ1j − δij) . (3.28) 

Der achsensymmetrische Anisotropietensor (3.27) verfügt über lediglich eine linear unabhängige 

Koordinate. Der lineare Wirbelzähigkeitsansatz ist deshalb darstellungstheoretisch 

vollständig und befriedigt wegen 

η1 = 1.5 ˜s 2 11, η3 = 0.75 ˜s 3 11 , (3.29) 

– ungeachtet der Wahl des Ansitropieparameters cµ – die den achsensymmetrischen 

Zustand kennzeichnende Identität 

2 3 IIIb IIb 

+ ≡ 0 . (3.30) 

2 3 

Eine eingehendere Diskussion der darstellungstheoretischen Aspekte erfolgt in Kapitel 

3.3. Im weiteren beschränkt man sich daher auf die Realisierbarkeit der zweiten 

Invariante IIb im Grenzübergang unendlich großer Scheraten (rapid–distortion limit) 

η1 → ∞ 

lim 

η1→∞ IIb = − 1 

2 A2 1 

. (3.31) 

Wie in Abbildung 3.1 dargestellt, besteht der primäre Unterschied zwischen den beiden 

möglichen achsenssymmetrischen Zuständen (achsensymmetrische Kontraktion (AC) 

und achsensymmetrische Expansion (AE)) im Vorzeichen der dritten Invariante IIIb 

und bzw. der analogen Scherrateninvariante η3 (vgl. Gleichung 3.20). Im Grenzübergang 

extremer Kontraktion (˜s11 > 0) strebt die Turbulenz einem Zweikomponentenzustand, 

z.B. u 2 2 = u 2 3 = k, zu. 

lim 

η1→∞ IIAC b = − 1 

12 

69 

oder (A 2 1) AC = 6 . (3.32)

KAPITEL 

Im Unterschied hierzu stellt sich bei extremer Expansion (˜s11 < 0) der Zustand der 

Einkomponententurbulenz, z.B. u 2 1 = 2k, ein 

Ebene Streckung 

lim 

η1→∞ IIAE b = − 1 

3 

oder (A 2 1) AE = 1.5 . (3.33) 

Turbulenz unter dem Einfluß rotationsfreier, ebener Streckung (PS) ist ein weiteres, 

klassisches Beispiel zur Kalibirierung von Turbulenzmodellen. Der lineare Wirbelzähigkeitsansatz 

ist in diesem Fall darstellungstheoretisch unvollständig, weswegen die modellierten 

Reynolds–Spannungen auf einer vertikalen Linie IIIb = 0 in der Invariantenkarte 

(Abbildung 3.1) verlaufen. Die modellierten Reynolds–Spannungen sollten jedoch 

niemals den physikalisch realisierbaren Schwellwert der Zweikomponenten–Turbulenz 

(2CT) überschreiten 

2CT : 9 II 2CT 

b 

+ 27 III 2CT 

b 

+ 1 = 0 , 

η3=0 

lim 

η1→∞ 

IIP S 

b 

Realisierbares isotropes Wirbelzähigkeitsmodell 

= − 1 

9 

oder (A 2 1) P S = 9 

2 . (3.34) 

Die oben diskutierten rotationsfreien Deformationszustände differieren in Bezug auf 

den Wert der Scherrateninvariante η3. Reynolds (1987) empfahl zur formalen Befriedigung 

der drei widersprüchlichen Restriktionen (3.32–3.34), den Koeffizienten A1 als 

Funktion des Quotienten η3/η1 zu parametrisieren 

A1 = Ã1 ψ mit ψ = cos 

 

1 

3 cos−1 

√ 6 η3 

η 1.5 

1 

 

, (3.35) 

woraus man vermöge ψ AC = 1 , ψ AE = 0.5 , und ψ P S = √ 3/2 schließlich eine 

realisierbare Darstellung des isotropen Wirbelzähigkeitsansatzes erhält 

Ã1 = √ 6 , 

cµ = 

1 

A0 + ( √ 6ψ) √ η1 

Modellierung rotatonsbehafteter Zustände (ebene Scherung) 

. (3.36) 

Das wesentliche Defizit der oben gemachten Ausführungen ist die Vernachlässigung 

rotatorischer Beiträge. Eine einfache Erweiterung der realisierbaren isotropen Wirbelzähigkeitsformulierung 

(3.36) für rotationsbehaftete Zustände gelingt in Bezug auf 

das zentrale Beispiel der ebenen Scherung U = U(y) e x. Der entscheidende Unterschied 

70


zwischen einer zweidimensionalen, rotationsbehafteten und einer dreidimensionalen, rotationsfreien 

Distorsion besteht im Wert der Wirbeltensorinvarianten η2 = w2 kk . Diese 

verschwindet im rotationsfreien Fall, im Fall der ebenen Scherung gilt η2 = −η1. 

Bei der Modellierung zweidimensionaler Scherströmungen ist die korrekte Darstellung 

der turbulenten Schubspannung von zentraler Bedeutung für die Simulationsgüte. Die 

Schubspannungen werden in einer ebenen Streckung, auch bei nichtlinearer Modellierung, 

einzig durch den linearen Term beschrieben, weshalb der isotrope Wirbelzähigkeitsansatz 

zur Modellierung der primären Effekte geeignet ist, sofern die Invariante η2 

bei der Formulierung des Anisotropieparameters cµ berücksichtigt wird. Die Übereinstimmung 

der Invariantenbeträge |η1| = |η2| motiviert den Ansatz 

Bradshaw–Hypothese 

cµ = 

A0 + A1 

1 

√ 

η1 − A2η2 

. (3.37) 

Abid und Speziale (1993) wiesen auf die geringe Variation von b12 mit der Scherrate 

s12 = η1/2 hin. Die Relevanz dieser Aussage wird durch den Erfolg mehrerer 

Wirbelzähigkeitsturbulenzmodelle (Menter 1994; Johnson und King 1984; Spalart und 

Allmaras 1992) bestätigt, die sich explizit auf die sogenannte Bradshawhypothese beziehen 

(Bradshaw und Ferris 1972) 

|b12| = 0.15 

 

mit b12 = −cµ η1/2 = 

1 

(2A 2 0)/η1 + 3 √ 1 + A2 

Ein konstanter Rapid–Distortion Wert für b12 führt zu der benötigten Zwangsbedingung 

für A2 

η2=−η1 

lim 

η1→∞ |b12| = 0.15 oder A2 = 

Distorsionsfreie Strömung 

1 

− 1 = 3.94 . (3.38) 

(0.15 · 3) 2 

Eine weitere Schließungsbeziehung wird zur Wahl des Koeffzienten A0 benötigt. Dieser 

wird beispielsweise so gewählt, daß beim Grenzübergang zur scherfreien Strömung 

(η1 = η2 = 0) das Ergebnis des Rottaschen Transportgleichungsmodells (Rotta 1951a) 

reproduziert werden kann 

η2→0 

lim 

η1→0 cµ = 1 

6 . . . 8 

71 

≈ 1 

A0 

. (3.39) 

.

KAPITEL 

C μ 

0.18 

0.15 

0.12 

0.09 

0.06 

0.03 

0 

invariant based model 

1 10 

η 1 =−η 2 

Abbildung 3.3: Verlauf des Anisotropieparamters cµ nach Gleichung (3.40) bei homogener 

Scherung. 

Die spezifische Wahl des Rotta Modells (vgl. Kapitel 4) ist darauf zurückzuführen, daß 

dieses Druck–Scher–Korrelationsmodell für doe o.g. Situation kalibriert wurde. Daneben 

sollte für einfache Gleichgewichtszustände (η1 = −η2 = 5.445) der traditionelle 

Wert des Ansiotropieparameters cµ = 0.09 hinreichend genau wiedergegeben werden 

(vgl. Abbildung 3.3), und damit 

bij = 

1 

A0 + ( √ 6 ψ) √ η1 − 3.94 η2 

A0 = 6.25 [1 − tanh(0.764 √ η1)] , ψ = cos 

 

1 

3 cos−1 

3.2.2 Integrale Form der Schwartzschen Ungleichung 

sij , (3.40) 

√ 6 η3 

η 1.5 

1 

Die Schwartzsche Ungleichung (3.14) ist für positive Normalspannungskomponenten im 

Rahmen isotroper Wirbelzähigkeitsmodelle identisch erfüllt. Die schwächere integrale 

Darstellung der Schwartzschen Ungleichung 

(uiuj) (uiuj) ≤ u 2 i u2 j 

= 4k2 

 

. 

(3.41) 

läßt sich jedoch zur Formulierung einer unteren Schranke für die Zeit– bzw. Längenmaßvariable 

konventioneller isotroper Wirbelzähigkeitsmodelle auf der Basis von cµ = 

cµ = 0.09 verwenden. Ersetzt man den Reynolds–Spannungstensor auf der linken Leite 

der Gleichung (3.41) durch den linearen Wirbelzähigkeitsansatz (7.20), dann ergibt sich 

c 2 µη1 ≤ 2 

3 

und daher T −1 

t 

72 

≥ 

3SijSij 

2 

cµ . (3.42)

Im einzelnen erhält man mit S ∗ = 2 SijSij 

ω ≥ 0.5 √ 3 S ∗ , bzw. ε ≥ 0.5 cµ k √ 3 S ∗ 

woraus sich ferner eine sinnvolle Limitierung des Verhältnisses P/ε ergibt 

P 

ε = cµ(Tt S ∗ ) 2 < 4 

3 cµ 

73 


, (3.43) 

≈ 15 . (3.44)

KAPITEL 

3.3 Darstellungstheorie 

Die Koeffizienten eines Turbulenzmodells sind dimensionslose Skalare und somit unabhängig 

von der Wahl des Koordinatensystems. Diese Anforderung wird nicht nur von 

Konstanten, sondern auch von allen aus den Tensorkoordinaten abgeleiteten Skalaren 

erfüllt. Die Darstellungs- oder Invariantentheorie versucht, die an der Parametrisierung 

der Koeffizienten beteiligten Skalare systematisch einzugrenzen. 

Einen ersten Eindruck von der Vielzahl möglicher Einflussparameter vermittelt der 

Versuch zur Bestimmung des Anisotropiekoeffizienten cµ. Hierzu betrachtet man die 

dimensionslose Darstellung der isotropen Wirbelzähigkeitsbeziehung (2.15) 

− cµsij = bij mit sij = Tt ˜ Sij , bzw. wij = Tt ˜ Wij = Tt(Wij − eijkΩk) , (3.45) 

in der eijk den Permutationstensor und Ωk eine evtl. Rotation des Bezugssystems gegen 

ein Inertialsystem kennzeichnet. Eine unmittelbare Bestimmung des Koeffizienten cµ 

aus der tensorwertigen Gleichung (3.45) gelingt nicht. Es lassen sich jedoch durch 

entsprechende Überschiebungen, z.B. −cµs 2 ii = bijsji (mit s 2 ij = sikskj), mögliche 

Abhängigkeiten erkennen. Da die Beziehung der isotropen Wirbelzähigkeit aus dem 

allgemeingültigeren anisotropen Wirbelzähigkeitsansatz (2.10) folgt, hängt cµ von allen 

Skalaren ab, welche sich aus den Tensoren sij, wij und bij bilden lassen. Hierzu zählen 

unter anderen 

cµ(s 2 ii, b 2 ii, w 2 ii, sijbij, s 2 ikbki, b 2 ikski, bijw 2 ji, sijw 2 ji, s 3 ii, b 3 ii, s 2 ikb 2 ki, s 2 ikw 2 ki, . . . ) . (3.46) 

Als weitere Einflussparameter kommen in voll–turbulenten Bereichen vor allem der 

Anisotropietensor der Dissipationsrate εij/ε − 2/3 δij oder ein zweites Zeitmaß in 

Betracht. Daneben treten in wandnahen low–Re Bereichen weitere skalare Parameter 

(z.B. Ret = k Tt/ν) in Erscheinung. Das Beispiel belegt die Komplexität einer allgemeingültigen 

Bestimmung von Koeffizienten als Funktion der linear unabhängigen 

Skalare. 

3.3.1 Funktions– und Integritätsbasen 

Grundsätzlich besteht anfangs das Problem der Formulierung einer Relevanzliste, in 

der man sich auf die zulässigen Einflussgrößen des physikalischen Modells verständigt, 

z.B. 

bij = bij (Aij, Bij, Cij, ai, bi, . . . ) 

 

Relevanzliste 

. (3.47) 

Die Zusammensetzung der Relevanzliste basiert auf physikalischen Überlegungen. Mit 

Hilfe der Darstellungstheorie gelingt die Formulierung von sog. Generatoren, die den 

konkreten Aufbau der Polynomglieder einer Funktionsbasis zu (3.47) beschreiben, z.B. 

74

anT 

n 

(n) 

ij 

= a1sij + a2 (sikwkj − wikskj) 

bij = bij(sij, wij) = 

 

2. Generator 

+ a4 (w 2 ij − δij(w 2 kk)/3) 

 

4. Generator 

+a3 (s 2 ij − δij(s 2 kk)/3) 

 

3. Generator 

+a5 (s 2 ikwkj − wiks 2 kj) 

 

5. Generator 

3.3. DARSTELLUNGSTHEORIE 

+ . . . (3.48) 

Im Zentrum der Formulierung von Funktionsbasen steht der Satz von Spencer (1959). 

Dieser beschreibt die Funktionsbasis F = T (1) (2) (n) 

ij , T ij , . . . T ij nach Grad und Extension. 

Hierbei bezeichnet der Grad eines Matrixpolynoms die maximal mögliche Anzahl von 

Skalarmultiplikationen zur Bildung eines Generators, und die Extension (Vielfachheit) 

die höchste Anzahl der Beteiligungen eines Elements aus der Relevanzliste an einem 

Generator: 

Jedes Matrixprodukt aus R 3×3 Matrizen (Elementen der Relevanzliste) 

kann als Matrixpolynom mit der Extension ≤ R + 1 und dem Grad ≤ G 

ausgedrückt werden. Der Grad des Polynoms wird durch den Umfang der 

Relevanzliste bestimmt. Für R = 1 gilt G = 2 und für alle R ≥ 2 findet 

man G = max(5, R + 2) . 

Ein Beweis gelingt mit Hilfe des verallgemeinerten Caley–Hamilton Theorems (Anhang 

C). Für R = 1 folgt der Satz von Spencer unmittelbar aus der ursprünglichen Form 

des Caley–Hamilton Theorems 

A 3 ij = Akk A 2 ij − 0.5(AkkAll − A 2 kk)Aij + (det[Aij]) δij . (3.49) 

Neben der Bestimmung der Generatoren stellt sich die Frage nach der Spezifikation der 

Koeffizienten a1 . . . an. Leider vermag die Darstellungstheorie ohne zusätzliche Zwangsbedingungen 

keine präzisen Angaben über die Gestalt der Koeffizienten zu machen. Die 

Koeffizienten können Funktionen aller möglichen linear unabhängigen (irreduziblen) 

skalaren Kombinationen ηi von Tensorkoordinaten der Generatoren sein. Die Menge 

der Kombinationen N = η1, η2, . . . ηk nennt man Integritätsbasis, die einzelnen Elemente 

Invarianten. 

3.3.2 Anisotrope Wirbelzähigkeitsmodelle 

Die im Rahmen der Ingenieurwissenschaften allgemeinste statistische Modellbildung 

basiert auf Transportgleichungen für Reynolds–Spannungen. Diese verknüpfen in ihrer 

einfachsten Form die Tensoren bij, sij, und wij (vgl. Kapitel 4). Für die Entwicklung 

verallgemeinerter Wirbelzähigkeitsmodelle ist bij = bij(sij, wij) folglich ein sehr wichtiges 

Beispiel. Hierfür findet man nach Spencer eine Funktionsbasis vom Grade fünf und 

75

KAPITEL 

der Vielfachheit drei, welche zunächst auf 62 zu berücksichtigende spurfreie Generatoren 

führt. Zu einer kompakteren Darstellung auf der Basis von 16 Generatoren gelangt 

man durch Reduktion der linearen Abhängigkeiten mit Hilfe des Caley–Hamilton Theorems. 

Abschließende Symmetriebedingungen schränken die Funktionsbasis formal auf 

10 Generatoren ein (Spencer 1971; Gatski und Speziale 1993; Lübcke und Rung 1999): 

T (1) 

ij = sij T (2) 

ij = sikwkj − wikskj 

T (3) 

ij = s2 ij − 1 

3 δij s 2 kk 

T (4) 

ij = w2 ij − 1 

3 δij w 2 kk 

T (5) 

ij = s2 ik wkj − wiks 2 kj T (6) 

ij = w2 ik skj + sikw 2 kj 

T (7) 

ij = w2 ik sklwlj − wiksklw 2 lj T (8) 

ij = s2 ik wklslj − sikwkls 2 lj 

T (9) 

ij = w2 ik s2 kj + s2 ik w2 kj 

− 2 

3 δij s 2 kl w2 lk 

T (10) 

ij 

− 2 

3 δij sklw 2 lk 

= w2 ik s2 kl wlj − wiks 2 kl w2 lj . 

(3.50) 

Die Integritätsbasis setzt sich in diesem Falle aus fünf irreduziblen Invarianten zusammen 

η1 = s 2 ii , η2 = w 2 ii , η3 = s 3 ii , η4 = sikw 2 ki , η5 = s 2 ikw 2 ki . (3.51) 

Aufgrund der Tatsache, daß bij als spurfreier symmetrischer Tensor nur fünf linear unabhängige 

Elemente (zwei Normalspannungs– und drei Schubspannungskomponenten) 

besitzt, gelingt eine weitere Reduktion der Funktionsbasis auf fünf Generatoren, z.B. 

die in Glg. (3.48) angegebene Form (Rivlin und Ericksen 1955; Zheng 1994; Lübcke 

und Rung 1999). Dabei ist zu beachten, daß die Zusammensetzung der minimalen 

Funktionsbasis nicht eindeutig ist und die jeweils gewählte Basis in bestimmten pathologischen 

Strömungssituationen linear abhängige Generatoren aufweisen kann (Jongen 

und Gatski 1998). Ein weiterer Nachteil der minimalen Basis ist, daß im Zuge der Reduktion 

überzähliger Generatoren eine aufwendig zu berechnende höhere irreduzible 

Invariante 

η6 = sijwjks 2 klw 2 li , mit ˜η1 = 0.5η1 , ˜η2 = 0.5η2 , ˜η3 = η3/3 und 

(η6) 2 = (˜η2) 3 [4(˜η1) 3 + (˜η3) 2 ] + 4˜η1(˜η2) 2 [˜η3η4 − 2˜η1η5] + ˜η1(η4) 2 [η5 − ˜η1˜η2] 

+5(η5) 2 ˜η1˜η2 − 3η4η5˜η2˜η3 − ˜η3(η4) 3 − (η5) 3 

(3.52) 

auftritt, die lediglich betragsmäßig durch die fünf in Gleichung (3.51) angeführten Invarianten 

substituiert werden kann (Lund und Novikov 1992). Dessen ungeachtet ist 

eine reduzierte Basis mit weniger als fünf Generatoren das adäquate Mittel ingenieurtechnischer 

Berechnungen. 

Daß es sich bei Ansätzen der Form (3.48) um anisotrope Wirbelzähigkeitsansätze handelt, 

erkennt man beispielsweise an der Identität 

bij = a1sij 

 

= 

isotroper Anteil 

 

+a2(sikwkj − wikskj) + a3(s 2 ij − δij(s 2 kk)/3) 

 

sikδjl − 1 

 

a1δikδjl + a2 (δilwkj − wikδjl) + a3 

3 δijskl 

 

anisotrope Wirbelzähigkeit 2 νijkl (kTt) − skl 

1 

76 

. (3.53)

Anwendungbereich und Gültigkeitsrestriktionen 


Bei der Anwendung und Beurteilung von Stress–Strain Beziehungen muß zwischen 

zwei grundsätzlich verschiedenen Approximationstechniken und den damit verbundenen 

Einschränkungen differenziert werden: 

• Durch die Festlegung der Relevanzliste trifft man eine einschränkende Auswahl 

der berücksichtigten physikalischen Effekte. Dies betrifft gleichermaßen die Integritäts– 

und die Funktionsbasis und daher sämtliche Koordinaten von bij. 

• Die Vernachlässigung hochgradig nichtlinearer Glieder einer Funktionsbasis beinhaltet 

zweifellos auch die Vernachlässigung physikalischer Phänomene, ist jedoch 

nicht unbedingt in der gleichen Weise restriktiv wie die Vernachlässigung bestimmter 

Einflussgrößen in der Relevanzliste. Da die Generatoren oftmals mit 

der Modellierung spezifischer Koordinaten von bij assoziiert werden können, betrifft 

die Änderung der Funktionsbasis nicht alle Koordinaten gleichermaßen. 

Der entscheidende Unterschied liegt im Umfang der berücksichtigten Integritätsbasis 

N . Häufig können einzelne physikalische Mechanismen an bestimmte Invarianten 

gekoppelt werden und erhalten damit Einzug in den Modellierungsprozess. Die wichtigsten 

Kopplungsaussagen lauten: 

– Nichtgleichgewichts–Effekte lassen sich durch das Deformationsmaß η1 = s 2 ii 

quantifizieren. 

– Abweichungen vom zweidimensionalen Deformationszustand werden durch die 

Invariante η3 = s 3 ii beschrieben. 

– Krümmungseffekte sind mit der zweiten Invarianten des Wirbeltensors 

η2 = w 2 ii verknüpft. 

– Eine zweiachsige Scherung läßt sich durch die Abweichung der Invarianten η5 vom 

zweidimensionalen Zustand η5 = 0.5η1η2 charakterisieren. 

– Zweiachsige Krümmung ist mit von Null verschiedenen Invarianten η4 verbunden. 

Die nichtlineare Stress–Strain Beziehung (3.48) läßt sich als Reihenentwicklung, deren 

Glieder mit steigender Nichtlinearität an Bedeutung verlieren, auffassen. Die Koeffizienten 

der dominanten Terme hängen jedoch in der Regel nicht ausschließlich von den 

Invariaten der schwach nichtlinearen Generatoren ab. Zur Verdeutlichung dienen die 

folgenden vier Beispiele. 

A) Zweidimensionale Betrachtung 

Beschränkt man seine Betrachtungen auf zweidimensionale Reynolds–gemittelte Geschwindigkeitsfelder, 

dann verschwinden zwei der drei Schubspannungskomponenten 

von bij, und es verbleiben lediglich drei linear unabhängige Elemente (vgl. Anhang C). 

77

KAPITEL 

Analog reduziert sich die Funktionsbasis (3.48) auf drei linear unabhängige Generatoren 

und die Integritätsbasis auf zwei irreduzible Invarianten (Gatski und Speziale 

1993) 

η3 = 0 , η4 = 0 , η6 = 0 , η5 = 0.5η1η2 , (3.54) 

 

bij = −cµ sij + β2(sikwkj − wikskj) − β3(s 2 ik − 1/3 δijs 2 kk) 

cµ, β2, β3 = f(η1, η2) . 

, (3.55) 

Eine Unterscheidung zwischen zwei– und dreidimensionalen Deformationszuständen ist 

durch die Vernachlässigung von η3 kaum mehr möglich. Die Invariante η3 kann aber 

z.B. zur Vermeidung der bekannten ’round–to–plane jet anomaly’ von Bedeutung sein. 

Eine bessere Vorhersagefähigkeit unterbestimmter Funktionsbasen ist bei formal nicht 

reduzierten Integritätsbasen zu erwarten. Dies gilt insbesondere für dreidimensionale 

Zustände (Jongen und Gatski 1998). 

B) Ein– und zweiachsige Scherung 

Für das wichtige Beispiel einer einachsigen ebenen Scherung (Couette Strömung) mit 

s12 = w12 = 0.5 S verdeutlicht die quadratische Stress–Strain Beziehung (3.56) unmittelbar 

die oben erwähnte Entkopplung von Generatoren und bij–Koordinaten 

 

 

b12 = −0.5 cµS , b11 = 0.5 cµS 2 

β2 + β3 

3 

, b22 = −0.5 cµS 2 

β2 − β3 

3 

. (3.56) 

Die Verwendung quadratischer Wirbelzähigkeitsmodelle vermag offenkundig die Anomalie 

scherverträglicher Normalspannungsisotropie zu vermeiden. Gleichzeitig wird 

deutlich, daß eine quadratische Modellierung gegenüber dem linearen Ansatz keine 

Vorteile in Bezug auf die Darstellung turbulenter Schubspannungen besitzt. Druckinduzierte 

Strömungsablösung wird daher vom linearen und quadratischen Ansatz gleichermaßen 

gut oder schlecht vorhergesagt. Die Berücksichtigung kubischer Terme wäre 

mit einer Korrektur der Schubspannungsverteilung im Falle gekrümmter zweiachsiger 

Scherströmungen verbunden, ohne nennenswerten Einfluss auf die Vorhersage der Normalspannungen 

zu nehmen (vgl. Kapitel 8.5). Die Stress–Strain Beziehung gliedert sich 

somit für Scherströmungen in einen normalspannungsbezogenen Anteil (gerade Potenzen) 

und einen schubspannungsbezogenen Anteil (ungerade Potenzen). 

C) Zweiachsige Scherung 

Zweiachsige Scherströmungen treten beispielweise in dreidimensionalen Grenzschichtströmungen 

auf. Die für diese Strömungen charakteristische Belegung der Scherraten– 

und Wirbeltensoren auf vier Nebendiagonalenelementen (mit α = β = γ) 

sij =sαβ(δiα δjβ + δiβ δjα) + sαγ(δiα δjγ + δiγ δjα) , 

wij =wαβ(δiα δjβ − δiβ δjα) + wαγ(δiα δjγ − δiγ δjα) , 

78 

(3.57)

führt unmittelbar auf 

η1 = 2 (s 2 αβ + s 2 αγ) , η2 = 2 (ω 2 αβ + ω 2 αγ) η3 = η4 = 0 , 

η5 = 0.5 η1η2 − s 2 αγw 2 αβ + w 2 αγs 2 αβ − 2sαγsαβwαγwαβ 


≥ 0.25 η1η2 . (3.58) 

Die Abweichung der Invarianten η5 vom 2D Zustand (3.54) ist ein Maß für die lokale 

Krümmung. Für krümmungsarme Zustände gilt wαγ ≈ sαγ bzw. wαβ ≈ sαβ, und man 

erhält lokal zweidimensionale Strömungen mit η5 = 0.5 η1η2. Der zweiachsige Zustand 

liesse sich in diesem Falle durch Drehung des Koordinatensystems in einen einachsigen 

Zustand überführen. 

Ein weiteres, für die Modellierung wichtiges Beispiel bezieht sich auf die eingangs 

erwähnte Durchströmung eines um die Symmetrieachse rotierenden Rohres (vergleiche 

Abbildung 2.7). Der vollentwickelte Strömungszustand ist in Bezug auf die Umfangs– 

und Axialkoordinate (θ bzw. x) symmetrisch. Die in Anhang B notierte Darstellung 

der Geschwindigkeitsgradienten–Tensoren in physikalischen < dr, r dθ, dx > Zylinderkoordinaten 

reduzieren sich in diesem Falle auf 

sij = Tt 

2 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

0 r ∂(W/r) 

∂r 

∂U 

∂r 

r ∂(W/r) 

∂r 0 0 

∂U 0 0 

∂r 

⎞ 

⎟ 

⎠ , wij = Tt 

2 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

0 − 1 ∂(rW ) 

r ∂r 

− ∂U 

∂r 

1 ∂(rW ) 

r ∂r 0 0 

∂U 

∂r 0 0 

⎞ 

⎟ 

⎠ . (3.59) 

Experimentelle Untersuchungen und direkte numerische Simulationen (Kikuyama et al. 

1983; Reich und Beer 1989; Imao et al. 1996; Orlandi und Fatica 1997) belegen einen 

quadratischen Verlauf der Umfangsgeschwindigkeit W = WR(r/R) 2 , die nach Glei- 

chung (2.39) durch 

νr ∂ 

 

 

W 

 

= 2 k brθ = 2 k aγ T 

∂r r 

γ 

(γ) 

 

rθ 

(3.60) 

bestimmt ist. Keiner der in Gleichung (3.50) angeführten quadratischen Generatoren 

T (2,3,4) 

ij leistet einen Beitrag zu brθ. Der lineare Generator kann durch die linke Seite 

absorbiert werden und vermag daher keine Starrkörperlösung zu unterdrücken 

(ν − 2a1 kTt) r ∂ 

 

10 

W 

= 2 k aγ T 

∂r r 

(γ) 

 

rθ . 

Der erste weitere Generator mit von Null verschiedener rθ–Komponente ist T (5) 

ij . Daraus 

ergibt sich z.B. eine Beziehung zur Evaluierung der gewählten Koeffizienten a1 und a5 

 

= a5 k s 2 rx(srθ − wrθ) = 0.25 a5 kT 3 

2 t 

. 

(ν − 2a1 kTt) r ∂ 

∂r 

W 

r 

γ=5 

W 

r 

+ ∂W 

∂r 

∂U 

∂r 

❀ a1 

≈ − 

a5 

3 

4 η1 . 

Eine etwas elaboriertere Strategie zur Formulierung eines kubischen Modells wird in 

Kapitel 8.5 dargestellt. 

79

KAPITEL 

D) Linearisierter Ansatz 

Für den Ansatz bij = bij(sij) liefert die Darstellungstheorie unter Verwendung der 

Kontraktionsbedingung bii = 0 unmittelbar 

 

bij = −cµ sij + β(s 2 ij − 1/3 δijs 2 kk) 

mit cµ, β = f(η1, η3) . (3.61) 

Aufgrund der mangelhaften Relevanzliste bleiben Krümmungsmechanismen, die formal 

von den Invarianten des Wirbeltensors getragen werden, hierin unberücksichtigt. 

Linearisierung 

Aus dem Blickwinkel der Darstellungstheorie sind die linearen Wirbelzähigkeitsansätze 

vierfach unterbestimmt. Sie können prinzipiell nur eine der im allgemeinen fünf Komponenten 

des Anisotropietensors zufriedenstellend modellieren. Im Zusammenhang mit 

ingenieurtechnischen Anwendungen ist die Modellierung der dominanten Reynoldsschen 

Schubspannung das primäre Ziel. Das lineare Wirbelzähigkeitsprinzip sollte hierzu 

nicht aus der Form bij(sij) entwickelt, sondern durch den führenden Term einer 

weitergehenden Modellbildung bij(sij, wij, εij, . . . ) approximiert werden. Die Qualität 

der Modellbildung läßt sich im Rahmen der o.g. Einschränkungen durch die möglichst 

umfangreiche Berücksichtigung aller Invarianten des linearen Koeffizienten gezielt verbessern. 

Ein populärer Sonderfall, welcher durch den linearen Ansatz exakt beschrieben wird, 

ist die achsensymmetrische Turbulenz. Diese ist nach dem isotropen Zustand der zweite 

strukturell einfache Grenzfall von Interesse. Die Voraussetzungen für achsensymmetrische 

Turbulenz sind weniger restriktiv als für isotrope Turbulenz. Aufgrund der 

strukturellen Übereinstimmung zwischen bij und sij wird der achsensymmetrische Turbulenzzustand 

durch das lineare Wirbelzähigkeitsgesetz exakt beschrieben. Sowohl der 

Anisotropietensor der Reynolds-Spannungen bij als auch der Scherraten–Tensor sij lassen 

sich durch denselben achsensymmetrischen Tensor zweiter Stufe beschreiben, welcher 

im Hauptachsensystem die folgende Darstellung besitzt (Rotta 1972) 

ˆsij = − (3δi1δ1j − δij) 1 

2 ˆs11 , 

ˆ bij = (3δi1δ1j − δij) A . (3.62) 

Hierin kennzeichnet ˆs11 die dimensionslose Primärdistorsionsgeschwindigkeit in Richtung 

der Symmetrieachse. Aus Gleichung (3.62) läßt sich auch ohne explizite Kenntnis 

des Hauptachsensystems eine zunächst implizite Wirbelzähigkeitsbeziehung formulieren 

η1 = sijsjk δik = 3 

2 ˆs2 11 

II ∗ b = bijbjk δik = −2IIb = 6 A 2 

80 

❀ 

❀ 

 

δi1δ1j − 1 

3 δij 

 

= − √ 6 

√ η1 

ˆsij , 

 

ˆbij = − (II ∗ b /η1) ˆsij . (3.63)


Tabelle 3.1: Evaluierung der achsensymmetrischen Modellbildung (3.64) in relevanten 

Scherströmungen: Vergleich berechneter spezifischer Produktionsraten und Schubspannungen 

mit direkten numerischen Simulationen von Kim et al. (1987) bzw. Rogers et 

al. (1986). 

DNS Glg. (3.64) 

II ∗ b P/ε −b12 cµ P/ε = cµS 2 −b12 

DNS (S=3.3) 0.303 1.00 0.143 0.130 1.41 0.215 

DNS (S=5.7) 0.351 1.85 0.158 0.087 2.83 0.248 

Der Vergleich mit herkömmlichen Wirbelzähigkeitsmodellen ergibt die u.a. Definiton 

des Anisotropieparameters 

 

II 

cµ = 

∗ b . (3.64) 

Die Besonderheiten achsensymmetrischer Turbulenz werden von der Darstellungstheorie 

korrekt wiedergegeben. Wegen wij = 0 verbleiben von den in Gleichung (3.50) 

als einziger linear unabhängiger Generator in 

angegebenen Tij wahlweise T (1) 

ij 

oder T (3) 

ij 

achsensymmetrischen Distorsionsfeldern. Die Beziehung (3.64) degeneriert in Kenntnis 

der darstellungstheoretischen Vollständigkeit eines linearen Ansatzes bij = −cµsij, zu 

einem trivialen Äquivalent der Kontraktionsbedingung b 2 kk = II∗ b . 

Im Unterschied zu herkömmlichen Vorschlägen weist die Beziehung (3.64) sowohl die 

geforderte Abhängigkeit der Wirbelzähigkeit vom Anisotropiezustand der Reynolds– 

Spannungen, als auch eine umgekehrte Proportionalität der Wirbelzähigkeit zum Distorsionsmaß 

auf (vgl. Glg. 2.15). Die Wirbelzähigkeit verschwindet im Falle isotroper 

Spannungszustände und die Normalspannungsanomalie tritt formal nicht in Erscheinung. 

Für die praktische Anwendung ist die Formulierung (3.64) aus mehreren Gründen 

unzweckmäßig: 

• Gleichung (3.64) ist implizit und daher nur wenig hilfreich. 

• Die Gültigkeit von (3.64) beschränkt sich auf achsensymmetrische Zustände. 

η1 

• Im wichtigen Fall der ebenen Scherströmungen findet man wegen cµS ≈ 0.3 eine 

etwa um den Faktor √ 2 zu hohe Wirbelzähigkeit (Tabelle 3.1). Abhilfe könnte 

eine semi-empirische Beziehung für den Transport des Anisotropieparameters II ∗ b 

schaffen, welche jedoch die Komplexität des Modells steigert. 

Kapitel 7.2 und 8.1 befassen sich eingehend mit der Vorhersage achsensymmetrischer 

Turbulenz durch explizite algebraische Spannungsmodelle. 

81

Kapitel 4 Reynolds–Spannungsmodelle 

Die vorangehenden Ausführungen belegen, daß die Darstellungtheorie ohne zusätzliche 

Informationen zu keiner expliziten Stress–Strain Beziehung führt. Die zur Schließung 

der unbekannten Koeffizienten von Gleichung (3.48) notwendigen Informationen 

können auf unterschiedlichen Wegen gewonnen werden, von denen einer die explizite 

algebraische Spannungsmodellierung nach Pope (1975) ist. 

Die Transportgleichungsmodelle der Reynolds–Spannungen, bzw. ihre algebraischen 

Derivativa (Rodi 1976) besitzen bekanntermaßen vielfältige Vorteile gegenüber herkömmlichen 

Wirbelzähigkeitsmodellen. Hierzu zählen insbesondere die exakte Darstellung der 

oftmals dominanten Produktionsterme von bij und die Fähigkeit zur Erfassung von Umverteilungsmechanismen. 

Der Nachteil der Reynolds–Spannungs–Transportgleichungsmodelle 

ist der damit verbundene hohe Rechen– und Kernspeicheraufwand und die 

notwendige umfangreiche Anpassung des Lösungsverfahrens (Obi, Perić und Scheuerer 

1991). Eine numerisch effizientere Modellierung auf der Basis nichtlinearer Erweiterungen 

des Wirbelzähigkeitsprinzips ist folglich erstrebenswert. 

4.1 Lineare Transportgleichungsmodelle 

Die Transportgleichung der Reynolds–Spannungen uiuj läßt sich unmittelbar aus 

den Navier–Stokes Gleichungen herleiten (vgl. Kapitel 1.3). Für ein inkompressibles 

Medium notiert man unter Vernachlässigung von Volumenkraftdichte–Fluktuationen 

gemäß (1.61) 

∂uiuj 

∂t + Cij + 2Ωm(emkjuiuk + emkiujuk) − Dij = Pij + φij − εij . (4.1) 

In Gleichung (4.1) kennzeichnen Cij = Uk ∂(uiuj)/∂xk die Konvektion und Pij die 

Produktion der kinematischen Reynolds–Spannungen, deren halbe Spur der Produktion 

von Turbulenzenergie entspricht (vgl. Gleichung 1.62) 

∂Uj 

Pij = −uiuk 

∂xk 

− ujuk 

∂Ui 

∂xk 

= − [uiuk (Sjk + Wjk) + ujuk (Sik + Wik)] . 

= −2k [(bikSkj + Sikbkj) − (bikWkj − Wikbkj) + ( 2 

3 Sij)] 

P = 0.5 Pkk = −2k (bklSkl + 1 

3 Skk) . (4.2) 

Der Beitrag des Permutationstensors emjk berücksichtigt die Corioliskräfte des mit 

der Winkelgeschwindigkeit Ωm stationär um das Inertialsystem rotierenden Bezugssystems. 

Diese Terme liegen, anders als die restlichen Terme, in geschlossener Form 

82

4.1. LINEARE TRANSPORTGLEICHUNGSMODELLE 

vor. Die zu modellierenden Terme umfassen neben dem Diffusionstensor Dij die Tensoren 

der Druck–Scher–Korrelation φij und der viskosen Dissipation ɛij, welche die 

Umverteilungs– und Vernichtungsmechanismen des Turbulenzfeldes beschreiben. 

4.1.1 Diffusion Dij 

Der quantitative Beitrag der Diffusion zur Transportgleichung (4.1) ist in der Regel 

von untergeordneter Bedeutung. Der Diffusionstensor Dij spielt darüber hinaus für 

die Inhalte dieser Lehrveranstaltung keine Rolle. Für seine Modellierung wird von den 

meisten Autoren die einfachste Form nach Daly und Harlow (1970) favorisiert 

D DH 

ij = ∂ 

 

 

k ukul ∂uiuj 

νδkl + Cs 

, mit Cs = 0.22 . (4.3) 

∂xk 

ε ∂xl 

Den wichtigsten Beitrag zur Diffusion Dij liefert nach Gleichung (1.62) die turbulenten 

Diffusion ∂(uiujuk)/∂xk. Im Unterschied zur Tripelkorrelation uiujuk ist das Argument 

des Gradientenoperators DDH ij in der Formulierung (4.3) nicht unabhängig von der 

Indexstellung (i, j, k). Alternative Vorschläge, wie z.B. der von Hanjalić und Launder 

(1972) veröffentlichte Ansatz 

D HL 

ij = ∂ 

 

˜Cs k 

uiul 

∂xk ε 

∂ujuk 

∂xl 

+ ujul 

∂uiuk 

∂xl 

 

 

∂uiuj ∂uiuj 

+ ukul + νδkl 

∂xl 

∂xl 

(4.4) 

( ˜ Cs = 0.11), weisen diesen formalen Nachteil nicht auf. Eine Unabhängigkeit von der 

Indexstellung führt jedoch zu wesentlich komplexeren Formulierungen. 

Im Unterschied zur Wirbelzähigkeitsmodellierung treten im Zusammenhang mit Reynoldsspannungsmodellen 

anisotrope effektive Zähigkeiten auf, deren Implementierung 

signifikante Modifikationen des numerischen Algorithmus erfordert. Für das oben notierte 

Diffusionsmodell nach Daly-Harlow findet man beispielsweise 

ν eff 

11 = ν + Cs 

k u 2 

ε 

, νeff 

22 = ν + Cs 

k v 2 

ε 

k uv 

, νeff 12 = ν + Cs 

ε 

Die i.Allg. geringe Bedeutung der turbulenten Diffusion steht im Widerspruch zur Komplexität 

ihrer numerischen Umsetzung und motiviert weitere, isotropisierende Vereinfachungen 

des Diffusionsmodells, welche bereits im Zusammenhang mit der Gradientendiffusion 

(2.16) erläutert wurden 

D iso 

ij = ∂ 

 

δkl ν + 

∂xk 

Ĉs 

 

k ukul ∂uiuj 

= 

ε ∂xl 

∂ 

 

k 

ν + cµ 

∂xk 

2 

∂uiuj 

. (4.5) 

ε ∂xk 

83 

.

KAPITEL 

Tabelle 4.1: Koeffizienten exemplarisch gewählter linearer Transportgleichungs–Reynolds– 

Spannungsmodelle 

Kurzform Typ C1 C ∗ 1 C2 C3 C4 

Launder, Reece und Rodi (1975) LR QI 1.5 — 0.80 1.75 1.31 

Taulbee (1992) TB QI 1.8 — 0.80 2.00 1.11 

Speziale, Sarkar und Gatski (1991) SSG QI 1.7 0.9 0.36 1.25 0.40 

lin. Gatski und Speziale (1993) GS QI 3.4 — 0.36 1.25 0.40 

Fu, Rung, Lübcke und Thiele (1999) FRLT QI 2.5 — 0.39 1.25 0.45 

Gibson und Launder (1978) GL IP 1.8 — 0.80 1.20 1.20 

Gibson und Younis (1986) GY IP 3.0 — 0.40 0.60 0.60 

Rotta (1951) RO IP 5.0 — 0.00 0.00 0.00 

4.1.2 Dissipation εij und Druck–Scher–Korrelation φij 

In dieser Lehrveranstaltung werden nur einfache lineare Umverteilungs– oder Druck– 

Scher– (engl. pressure–strain) Korrelationsmodelle (PS Modelle) berücksichtigt, welche 

in inkompressiblen Medien alle der unten stehenden Beziehung (4.6) genügen (Reynolds 

1987) 

φij − εijD = φijw − 2(C1 + C ∗ 1P/ε) ε bij + C2kSij 

+C3k(bikSkj + bjkSki − 2 

3 δijblkSkl) 

+C4k(bik ˜ Wjk + bjk ˜ Wik), 

εij = 2 

3 δijε + εijD . 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

(4.6) 

Hierin kennzeichnet ˜ Wij = Wij − eijkΩk den objektiven Wirbeltensor. Der Dissipationsratentensor 

wird üblicherweise in einen isotropen Beitrag 2/3 δij ε und einen deviatorischen 

Beitrag εijD zerlegt. Letzterer wird im Rahmen linearer PS Modelle in der 

Regel dem Druck–Scher–Korrelationsmodell zugeordnet. 

Die Transportgleichung der isotropen Dissipationsrate ε kann weitestgehend vom Zwei— 

Parameter–Wirbelzähigkeitsmodell (2.18) übernommen werden, z.B. im high–Re Fall 

∂ε ∂ε 

+ Uk + 

∂t ∂xk 

∂ 

 

 

k ukul ∂ε 

νδkl + Ce 

= 

∂xk 

ε ∂xl 

ε 

 

 

Cε1P + Cε2ε , 

k 

mit z.B. Ce = 0.18 , Cε1 = 1.45 , und Cε2 = 1.90 . (4.7) 

Die populärsten Varianten linearer PS Modelle gehen auf Gibson und Launder (1978) 

und Launder, Reece und Rodi (1975), bzw. die linearisierte Form des Vorschlags von 

Speziale, Sarkar und Gatski (1991) zurück. Die dazugehörigen Koeffizienten sind, ergänzt 

84

4.2. ALGEBRAISCHE SPANNUNGSMODELLE 

durch weitere im EASM Kontext gebräuchliche lineare Vorschläge, in Tabelle 4.1 zusammengefasst. 

Man beachte, daß sich der Koeffizient C1 auf den nach Rotta benannten 

langsamen Beitrag, alle übrigen Koeffizienten aber auf den schnellen Beitrag zum 

Druck–Scher–Korrelationtionsmodell beziehen. 

Der Term φijw repräsentiert den sogenannten Wandreflektionsterm. Dieser korrigiert 

die Druck–Scher getriebene Umverteilung von Normalspannungen zu Ungunsten der 

wandnormalen Komponente. Der Wandreflektionsterm wird im Rahmen der expliziten 

algebraischen Spannungsmodelle in der Regel vernachlässigt. Die Grundlagen einfacher 

linearer Druck–Scher–Korrelationsmodelle werden im fünften Kapitel erläutert. 

4.2 Algebraische Spannungsmodelle 

Die algebraischen Spannungsmodelle basieren auf linearen Transportgleichungsmodellen 

(4.1), deren Differentialoperationen unter Annahme des strukturellen Gleichgewichts 

auf die entsprechenden Terme der isotropen Turbulenzenergie k reduziert worden 

sind (Rodi 1976). Ausgehend von den impliziten Reynolds–Spannungs–Transportgleichungsmodellen 

in einem zunächst beliebigen orthonormalen Koordinatensystem ˜e i 

D ũ ũ 

Dt 

= 

 

2k D ˜ bij 

Dt 

 

+ 2 ˜bij + 1 

3 δij 

 

Dk 

Dt 

 

˜e i˜e j + ũiũj 

D (˜e i˜e j) 

findet man in Bezug auf eine kartesische Basis ei die Koordinatenbeziehung 

∂uiuj 

∂t + Cij = 

 

D bij 

2k + 2 bij + 

Dt 1 

3 δij 

 

(P − ε + D) , 

= 

 

D bij 

2k + 2 bij + 

Dt 1 

3 δij 

 

 

(P − ε) + 2D bij + 1 

3 δij 

 

, 

 

und damit 

Dt 

≈Dij 

∂uiuj 

∂t + Cij − Dij ≈ 

 

D bij 

2k + bij + 

Dt 

 

Term 1 

1 

3 δij 

 

2 (P − ε) 

 

Term 2 

, (4.8) 

. (4.9) 

Zu den algebraischen Spannungsmodellen gelangt man über eine algebraische Abschätzung 

der Differentialoperatoren (Term 1). Algebraische Spannungsmodelle, und 

damit prinzipiell auch alle (nicht)linearen Wirbelzähigkeitsmodelle, basieren fast ausnahmslos 

auf der hypothetischen Annahme des strukturellen Turbulenzgleichgewichts 

für die kartesischen Koordinaten des Anisotropietensors 

D bij 

Dt 

= ∂bij 

∂t 

∂bij 

+ Uk 

∂xk 

85 

≈ 0 . (4.10)

KAPITEL 

Wie sich in einem späteren Kapitel zeigen wird, ist die Formulierung der Aussage (4.10) 

auf der Basis des Stromlinienkoordinatensystems e (s) 

i wesentlich realistischer. Die durch 

Einsetzen von (4.9) und (4.10) in die Transportgleichung der Reynolds–Spannungen 

(4.1) gewonnenen impliziten algebraischen Spannungsmodelle (ASM) 

uiuj 

k (P − ε) + 2Ωm(emkjuiuk + emkiujuk) = Pij + φij − εij (4.11) 

lassen sich für inkompressible Medien alle in der unten angeführten Form darstellen 

 

gbij = β1sij − β2 bikw∗ kj − w∗ ikbkj 

+ β3 bikskj + sikbkj − 2 

3δijblkskl 

, 

β1 = 0.5 (C2 − 4/3) , β2 = 0.5 (C4 − 2) , β3 = 0.5 (C3 − 2) , 

w ∗ ij = Tt 

 

Wij − 4−C4 

2−C4 eijmΩm 

 

, g = [P/ε (1 + C ∗ 1) + C1 − 1] . 

⎫ 

⎪⎬ 

(4.12) 

Die hierin verwendeten Koeffizienten folgen den in Tabelle 4.2 angegebenen Werten. 

Tabelle 4.2: ASM Koeffizienten der in Tabelle 4.1 exemplarisch aufgelisteten linearen 

Transportgleichungs–Reynolds–Spannungsmodelle. 

Kurzform β1 β2 β3 (C1 − 1) C ∗ 1 

Launder, Reece und Rodi LRR -0.267 -0.345 -0.125 0.5 — 

Taulbee (Wallin et al., 2000) TB -0.267 -0.444 0.00 0.8 — 

Speziale, Sarkar und Gatski SSG -0.487 -0.80 -0.375 0.7 0.9 

lin. Gatski und Speziale GS -0.487 -0.80 -0.375 3.4 — 

Fu, Rung, Lübcke und Thiele FRLT -0.472 -0.775 -0.375 1.5 — 

Gibson und Launder GL -0.267 -0.40 -0.40 0.8 — 

Gibson und Younis GY -0.467 -0.70 -0.70 2. — 

Rotta RO -0.667 -1.00 -1.00 4. — 

Alternative Darstellung der turbulenten Diffusion 

Der klassischen Herleitung des algebraischen Spannungsmodells liegt die isotrope Zähig- 

keitsdarstellung für den Diffusionsterm D iso 

ij nach Glg. (4.5) unter der Voraussetzung 

einer homogenen Turbulenzstruktur ∂bij/∂xk = 0 zugrunde 

D ASM 

ij = ∂ 

 

k 

ν + cµ 

∂xk 

2 

∂uiuj 

≈ 

ε ∂xk 

∂ 

 

k 

ν + cµ 

∂xk 

2 

2(bij + δij/3) 

ε 

∂k 

= 

 

+ . . . 0 

∂xk 

 

2 bij + δij 

 

D = 

3 

uiuj 

D . (4.13) 

k 

86 

⎪⎭

4.2. ALGEBRAISCHE SPANNUNGSMODELLE 

Die Beziehung (4.13) verwendet zwar eine isotrope Darstellung der effektiven Zähigkeit, 

enthält neben dem isotropen Anteil jedoch auch noch einen deviatorischen Beitrag. Für 

die Formulierung expliziter algebraischer Spannungsmodelle ist die Linearität des ASM 

(4.12) wichtig. In Hinblick auf EASM sind daher prinzipiell sämtliche Erweiterungen 

der klassischen Modellbildung (4.13) denkbar, 

D ASM 

ij 

2 δij 

= 2bij(D − γ) + D 

3 

, (4.14) 

welche die Linearitätsbedingung γ = γ(bij) befriedigen. Die damit vebundene Modifikation 

des ASM beschränkt sich auf die Darstellung des Koeffizienten g 

 

g = (C1 − 1) + P 

ε (C∗ 1 + 1) + γ D 

 

= (C1 − 1) + 

ε 

P 

ε (C∗ 1 + 1 − γ) + γ 

 

Dk 

+ ε 

ε Dt 

Nähert man den letzten Summanden aus Gleichung (4.15) durch seinen Gleichgewichtswert 

für homogene Scherturbulenz (D = 0), so ergibt sich die technisch wichtige Vari- 

ante 

 

g = (C1 − 1) + P 

ε (C∗ 1 + 1) + γ 

 

P P 

− 

ε ∞ ε 

Den isotropen Spezialfall der Erweiterung (4.14) erhält man für γ = −1. 

Abschliessende Bemerkungen 

(4.15) 

Ziel der expliziten algebraischen Spannungsmodelle ist die explizite Darstellung der 

Gleichung (4.12) mit Hilfe von Projektionstechniken. Für die Entwicklung der EASM 

ist ein besonderes Merkmal der Gleichung (4.12) von Bedeutung, welches sich aus dem 

Zusammenhang zwischen der Definition des Koeffizienten g und der Beziehung (4.2) 

ergibt: 

Das algebraische Spannungsmodell ist in der Notation (4.12) schwach nichtlinear. 

Die im sechsten Kapitel geschilderte Projektion des ASM (4.12) in eine Funktionsbasis 

F verlangt konsequenterweise eine analoge Projektion der spezifischen Produktionsrate 

P/ε in diese Basis. 

87

Kapitel 5 Lineare Druck–Scher–Korrelationsmodelle 

Die Druck–Scher–Korrelationen bilden seit langem den Kernpunkt der Forschungsaktivitäten 

zur Modellierung der Transportgleichungen von Reynolds–Spannungen. Sie 

sind daher auch ein wesentlicher Bestandteil anisotoper Wirbelzähigkeitsmodelle. Die 

grundsätzliche Strategie zur Modellierung der Druck–Scher–Korrelationen geht auf 

Chou (1945) zurück, der eine Technik zur Eliminierung des fluktuierenden Druckes 

in inkompressiblen Strömungsfeldern erarbeitete. Die Vorgehehensweise fußt auf der 

Greenschen Integration der Druckpoissongleichung (1.60) 

p 

ρ 

= 

 

1 ∂ 

2 

4π 

δV 

Ûl 

 

∂ûk 

+ elmkΩm + 

∂ˆxk 

∂ˆxl 

∂2 (ûkûl) 

− 

∂ˆxk∂ˆxl 

∂2 + 

(ûkûl) 

∂ˆxk∂ˆxl 

1 

 

1 ∂ ˆp ∂ 1 

− ˆp dÔ , 

4πρ r ∂ˆn ∂ˆn r 

O(δV ) 

in der ˆx die Integrationsvariable und r = |r| = |ˆx−x| der Abstand vom Festpunkt x der 

Integration ist. Hiermit gelingt die Gliederung der Druck–Scher–Korrelation in einen 

langsamen rein turbulenten Anteil und einen schnellen Anteil zur Beschreibung der 

Interaktion zwischen den Gradienten der fluktuierenden und der mittleren Geschwindigkeit. 

Der fluktuierende Druck tritt in dieser Darstellung nur noch im Wandterm 

auf. Unter Beschränkung auf homogene höhere statistische Momente und f ′ = 0 notiert 

man 

φij = 1 

ρ p 

 

∂ui 

∂xj 

+ ∂uj 

 

∂xi 

+ 1 

4πρ 

 

O(δV ) 

− 1 

ρ 

∂ ˆ f ′ m 

∂ˆxm 

d ˆ V 

r 

= 1 

 

4π 

δV 

 

∂ui 

∂xj 

+ ∂uj 

 

 

∂2ûkûl dVˆ ∂xi ∂ˆxk∂ˆxl r 

 

(5.1) 

+ 

langsamer Anteil φij1 

1 

 

4π 

δV 

 

∂ui 

2 + 

∂xj 

∂uj 

 

∂ûk ∂ 

∂xi ∂ˆxl 

Ûl 

 

d Vˆ 

+ elmkΩm 

∂ˆxk 

r 

 

schneller Anteil φij2 

∂ui 

∂xj 

+ ∂uj 

 

1 

∂xi r 

∂ ˆp ∂ 

− ˆp 

∂ˆn ∂ˆn 

 

1 

d 

r 

Ô 

 

inhomogener Wandterm φijw 

Das folgende Kapitel erläutert die Grundlagen der linearen Druck–Scher–Korrelationsmodellierung 

zur Bestimmung der Koeffizienten C1 . . . C4 in Gleichung (4.6). Die lineare 

Druck–Scher–Korrelationsmodellierung basiert auf der Annahme einer lokal homogenen 

Turbulenz, welche das Gegenstück zur lokalen Isotropiehypothese aus Kapitel 1.4 

88 

.

darstellt. Die Modellierung der Druck–Scher–Korrelationsterme geht im wesentlichen 

auf Rotta (1951a) zurück. Die traditionelle Vorgehensweise unterscheidet auch in Bezug 

auf die Modellierung der in Gleichung (5.1) angegebenen Druck–Scher–Korrelation 

ebenfalls zwischen langsamen φij1 und schnellen Anteilen φij2 

φij − εijD = φijw + φij1 

 

langsam 

+ φij2 

 

schnell 

5.0. 

(5.2) 

Daneben treten im Zusammenhang mit Wandturbulenz Korrekturen der langsamen 

und schnellen Anteile auf, welche i.Allg. als Wandreflektionsterme φijw bezeichnet werden. 

Die Modellierung der Druck–Scher–Korrelationen geschieht traditionell für φij1 

und φij2 separat und folgt üblicherweise dem Ansatz 

Modell 

=⇒ φijw + φij1(bij, k, Tt) + Mijkl(bij, k, Tt) ∂Uk 

∂xl 

. (5.3) 

Die bekanntesten Druck–Scher–Korrelationmodelle sind die (quasi-)linearen Modelle 

von Gibson und Launder (1978), Launder et al. (1975) und Speziale et al. (1991). Daneben 

existieren eine Reihe von nichtlinearen Vorschläge für φij2, die z.B. von Shih 

und Lumley (1985), Fu et al. (1987), Johansson und Hallbäck (1994), Pfuderer et al. 

(1997) und Batten et al. (1999) entwickelt wurden. Die nichtlineare Modellierung von 

φij2 ist in Hinblick auf die Darstellung bestimmter Extremsituationen, z.B. die in Anhang 

A erläuterte Zwei–Komponenten–Turbulenz, von Vorteil. Nichtlineare Ansätze 

sind oftmals instabil, numerisch aufwendig und versagen bei der Berechnung einfacherer 

Strömungstypen. Ein allgemeiner Schwachpunkt der nichtlinearen Φij2 Modellierung 

ist die von Speziale (1995) bemängelte Inkonsistenz zwischen nichtlinearem strömungsphysikalischen 

Modell und linearem Ausgangsterm (zweite Zeile der Gleichung 5.1). Alternativ 

hierzu sind invariantenbasierte, nichtkonstante Koeffizienten denkbar (Jakirlić 

1997, vgl. Kapitel 9.1). 

Illuistratives Beispiel 

Die große Bedeutung der Druck–Scher–Korrelationsmodellierung beruht auf der besonderen 

Relevanz der Druck–Scher–Korrelationen für den Energiehaushalt. Dies sei 

anhand des folgenden, auf Rotta (1972) zurückgehenden Beispiels der homogenen 

Scherturbulenz (U = U(y) e x) illustriert. Hierfür lassen sich, wie bereits mehrfach 

erwähnt, konvektive und diffusive Beiträge in guter Näherung vernachlässigen und 

man findet das in Abbildung (5.1) dargestellte Gleichgewicht zwischen Produktion, 

Dissipation und Umverteilung (Druck–Scher–Korrelation). Hiernach wir die Turbulenzenergie 

über die u 2 –Bilanz eingespeist (−uv U,y). Die produzierte Energie entspricht 

etwa der Disspationsrate ε, welche zu gleichen Teilen über jede der drei Normalspannungskomponenten 

in Form von Wärme abgeführt wird. Da die v 2 – und w 2 – 

Bilanzen über keine eigenen Produktionsterme verfügen findet man aus Kontiniutätsgründen 

−p(u,x ) = p(v,y ) + p(w,z ) und p(v,y ) = p(w,z ) = ε/3. Die Schwankungen 

89

KAPITEL 

Produktion 

Umverteilung 

isotrope 

Dissipation 

ww Bilanz/2 

=P 

ε/3 ε/3 

( p w, z) 

ρ ( p u, ) ρ 

p v, x+u, 

x 

( p v, y ) ρ 

( y) 

ε/3 

Grundstroemung 

ε/3 

P 

uu Bilanz/2 

P= uv U, y 

ε 

Waerme 

vv Bilanz/2 

ε/3 

uv Bilanz 

Abbildung 5.1: Schematische Darstellung des Energieflusses in einer lokalisotropen homogenen 

Scherturbulenz nach Rotta (1972). 

in y– oder z–Richtung verdanken ihre Existenz somit einzig der Existenz der Druck– 

Scher–Korrelationen. Die w 2 –Komponente bleibt weitestgehend passiv und dissipiert 

die durch die Druck–Scher–Korrelation transferierte Energie. Die v 2 –Komponente trägt 

zur Produktion der Schubspannung uv bei (−v 2 U,y), welche ihrerseits den Energieeintrag 

aus der Grundströmung ermöglicht (−uv U,y). 

Das Beispiel ist für die Modellbildung in technischen Strömungen von großer Relevanz. 

Man erkennt, daß die Druck–Scher–Korrelationen bei isotroper Dissipation die 

einzige Senke der Schubspannungsbilanzen repräsentieren. Ferner findet man P12 ∼ 

v 2 S12 ∼ γkS12. Eine Modellierung der für die Berechnung der Grundströmung sehr 

wichtigen turbulenten Schubspannung mit Hilfe der skalaren Parameter k und Tt, auf 

der Grundlage der unter 1.5.1 skizzierten WET–Hypothese, erscheint für dieses Beispiel 

gerechtfertigt. 

5.1 Modellbildung des langsamen Anteils Φij1 

Die Modellbildung des langsamen Anteils φij1 basiert auf Rotta (1951a) (1951b) und 

bezieht sich explizit auf das return–to–isotropy Konzept, das durch die Relaxation 

anisotroper Turbulenz getragen wird. Rotta (1972) weist darauf hin, daß ... 

in jedem sich selbst überlassenen Turbulenzfeld die isotrope Verteilung der 

Geschwindigkeitsschwankungen die wahrscheinlichste ist. Anisotropie der 

Turbulenz kann nur durch äußere Einflüsse erzeugt bzw. aufrechterhalten 

werden, z.B. durch eine inhomogene Grundströmung”. 

90 

vv 

U, 

y 

ρ

5.2. MODELLBILDUNG DES SCHNELLEN ANTEILS ΦIJ2 

Die Formulierung einer zum Grad der Anisotropie proportionalen Senke, welche auch 

bei homogener Grundströmung wirkt, ist daher ein naheliegender linearer Ansatz (??) 

zur Modellierung des langsamen Anteils Φij1 

φij1 = −2 C1 T −1 

t k bij = −2 C1ε bij . 

Typische Werte des Koeffiziente C1, welche durch Messungen von Uberoi (1956) bestätigt 

werden, kann man Tabelle 4.1 entnehmen. Weitere Hinweise zur Modellierung ergeben 

sich aus den unter 5.3.3 gemachten Bemerkungen, sowie der in Kapitel 8 erörterten 

Analyse des Druck–Scher–Korrelationsmodells. 

5.2 Modellbildung des schnellen Anteils Φij2 

Ausgangspunkt für die Modellierung des schnellen PS Modells Φij2 ist der Tensor der 

Zweipunkt–Korrelation Rij = ui(xk) uj(ˆxm) = ui ûj. Mit Hilfe der in Anhang G skizzierten 

Rechenregel (F.4) findet man 

∂ 

∂rl 

∂Rij 

∂xk 

− ∂Rij 

∂rk 

 

= ∂ 

 

∂ui 

ûj = 

∂rl ∂xk 

∂ui 

∂xk 

Die Modellbildung setzt, wie bereits erwähnt, geringe Abweichungen vom Zustand der 

lokal homogenen Turbulenz voraus, für den sich die zuletzt notierte Gleichung stark 

vereinfacht 

− ∂2 Rij 

∂rk∂rl 

= ∂ui 

∂xk 

∂ûj 

∂ˆxl 

∂ûj 

∂ˆxl 

. 

. (5.4) 

Die Beziehung (5.4) dient der Modellierung des schnellen Druck–Scher–Korrelationsanteils 

aus Gleichung (5.1) 

 

1 

2π 

δV 

∂ui 

∂xj 

+ ∂uj 

 

∂ûl 

∂xi ∂ˆxk 

∂ Ûk 

∂ˆxl 

d ˆ V 

r 

≈ − 1 

2π 

= Mijlk 

∂Uk 

∂xl 

∂Uk 

∂xl 

 

δV 

∂ 2 Ril 

∂rj∂rk 

+ ∂2 

Rjl dVˆ ∂ri∂rk r 

= (aijkl + ajikl) ∂Uk 

∂xl 

(5.5) 

Der zu modellierende Tensor aijkl genügt aufgrund der Symmetrie der Reynolds– 

Spannungen und der Kommutativität der partiellen Ableitung einer Reihe von Symmetriebedingungen 

aijkl = aljki = alkji = aikjl . (5.6) 

Mit Hilfe des in Anhang F erläuterten Greenschen Satzes (E.4) läßt sich ferner zeigen, 

daß 

aijjl = 2 Ril ≈ 2 uiul . (5.7) 

91

KAPITEL 

Daneben ist bei der Modellierung von aijlk noch der inkompressible Kontinuitätszwang 

(S ′ ii = 0) zu beachten 

aiilk = 0 . (5.8) 

Die allgemeinste Form einer in den Reynoldsspannungen linearen Modellbildung lautet 

aijkl ∼ P 1 

ijkl , mit Rij = uiuj und 

P 1 

ijkl = k (A1δikδjl + A2δijδlk + A3δilδjk) 

+ A4Rikδjl + A5Rijδlk + A6Rilδjk 

+ A7Rjkδil + A8Rjlδik + A9Rklδij . (5.9) 

In Bezug auf die oben genannten Symmetriebedingungen empfiehlt sich ein Ansatz, 

welcher die Restriktionen (5.6) identisch befriedigt, beispielsweise 

aijkl = P 1 

ijkl + P 1 

ljki + P 1 

ikjl + P 1 

lkji 

= a1δjkRil 

+ a2 (δlkRij + δljRik + δikRjl + δijRlk) 

+ a3δilRkj + k [a4δliδkj + a5 (δlkδij + δljδik)] . (5.10) 

Die Anwendung der Kontinuitätsbeziehung (5.8) auf den Ansatz (5.10) ergibt 

0 = Rkl (a1 + 5a2 + a3) + k δkl (4 a5 + a4 + 2 a2) . (5.11) 

Die Kontraktionsbedingung (5.7) liefert zusätzlich 

0 = Ril (3 a1 + 4a2 − 2) + k δil (2 a5 + 3 a4 + 2 a3) . (5.12) 

I : a1 + 5 a2 + a3 = 0 , II : a4 + 2 a2 + 4 a5 = 0 , 

III : 3 a1 + 4 a2 − 2 = 0 , IV : 3 a4 + 2 a3 + 2 a5 = 0 . (5.13) 

Sämtliche Koeffizienten des linearen Modells lassen sich somit als Funktion eines einzigen 

Parameters, z.B. a3, darstellen 

 

10 + 4 a3 

aijkl = 

11 

 

3 a3 + 2 

− 

11 

 

50a3 + 4 

− k 

55 

δjkRil + a3δilRkj 

δlkRij + δljRik + δikRjl + δijRlk 

δliδkj − 

92 

 

20a3 + 6 

55 

 

(δlkδij + δljδik) 

 

. (5.14)

5.2.1 Quasi–Isotropization Modelle 

5.2. MODELLBILDUNG DES SCHNELLEN ANTEILS ΦIJ2 

Das aus rein kinematischen Überlegungen abgeleitete Modell (5.14) wurde von Launder, 

Reece und Rodi (1975) veröffentlicht. Um zu der unter (4.6) angegebenen Notation zu 

gelangen, muss (5.14) nochmals umgeformt werden 

φij2 = (aijkl + ajikl) (Skl + Wkl) , (5.15) 

mit (aijkl + ajikl) Wkl = 

= 

2(a1 − a3) k (bikWjk + bjkWik) 

 

20 − 14a3 

k (bikWjk + bjkWik) , 

11 

und (aijkl + ajikl) Skl = 

 

2(a4 + a5) + 4 

3 (a1 

+ 

 

+ 2a2 + a3) k Sij 

 

[2(a1 + 2a2 + a3)] bikSkj + bjkSki − 2 

3 δij 

+ 

 

bkmSkm 

 

4 

3 (5a2 

= 

 

+ a1 + a3) k bklSkl δij 

4 

5 k Sij + 18a3 

 

+ 12 

k bikSkj + bjkSki − 

11 

2 

3 δij 

 

bkmSkm 

Für die Koeffizienten der Notation (4.6) ergibt sich damit 

C2 = 4 

5 , C3 = 18a3 + 12 

11 

, C4 = 

20 − 14a3 

11 

Launder, Reece und Rodi (1975) stimmten ihr Modell auf die von Champagne, Harris 

und Corrsin (1970) durchgeführten experimentellen Untersuchungen einer quasi– 

homogenen Scherturbulenz ab, und wählten a3 = 0.4. Neuere Arbeiten, z.B. Taulbee 

(1992), gehen von leicht höheren Werten a3 ≈ 0.55 − 0.6 aus. Die in Kapitel 8.4 betrachtete 

rotierende homogene Scherung verlangt C4 = 0, bzw. a3 = 20/14. Dieser Wert 

erfüllt zwar die Konsistenz zur sog. Rapid–Distortion–Theorie (aijkl + ajikl)Wkl = 0, 

liefert jedoch in konventionellen Strömungen weniger gute Ergebnisse. Eine genauere 

Analyse der Koeffizienten des linearen Druck-Scher–Korrelationsmodells erfolgt in den 

Kapiteln 5.3 und 8. 

5.2.2 Isotropization–of–Production Modelle 

Bei der linearen Modellierung von φij2 wird im Allgemeinen zwischen zwei prinzipiell 

verschiedenen Ansätzen unterschieden. Neben den Quasi–Isotropen (QI) Modellen, 

beispielsweise dem unter 4.2.2 skizzierten Modell von Launder, Reece und Rodi (1975), 

existiert eine weitere populäre Klasse von Modellen, die sogennanten Isotropization– 

of–Production (IP) Modelle. 

93 

. 

.

KAPITEL 

Mit Hilfe algebraischer Umformungen erhält man den zur Beziehung (4.6) äquivalenten 

Ausdruck (5.16) 

φij − εijD = −2C1εbij + C2 − 2 

3C4 

kSij + φijw 

⎫ 

⎪⎬ 

, 

⎪⎭ 

(5.16) 

indem 

−0.25 (C3 + C4) (Pij − 2 

3 δijP ) 

−0.25 (C3 − C4) (Gij − 2 

3 δijP ) 

 

Pij = −2 k bik + 1 

3 δik 

 

∂Uj 

+ bjk + 

∂xk 

1 

3 δjk 

 

∂Ui 

, 

∂xk 

 

Gij = −2 k bik + 1 

3 δik 

 

∂Uk 

+ bjk + 

∂xj 

1 

3 δjk 

 

∂Uk 

, 

∂xi 

kennzeichnen. Die Koeffizienten des Isotropization–of–Production Ansatzes genügen 

der Restriktion 

C3 = C4 = 1.5 C2 , (5.17) 

weswegen sich die Formulierung des PS Modells im Unterschied zu den Quasi–Isotropization 

Ansätzen vereinfacht 

(φij − εijD )(IP ) = φijw − 2(C1 + C ∗ 1P/ε) ɛbij − 

 

C3 + C4 

Pij − 

4 

2 

 

P δij 

3 

. (5.18) 

Anhand von Tabelle 4.1 erkennt man, daß sich die Vorschläge von Gibson und Launder 

(1978), Gibson und Younis (1986) oder Rotta (1951a) in der IP–Form darstellen lassen. 

5.3 Kalibrierung linearer Druck–Scher–Korrelationsmodelle 

Die wichtigsten Validierungs– und Kalibirierungsbeispiele für Turbulenzmodelle sind 

die isotrope Turbulenz (bij = 0), die Scherturbulenz im lokalen Gleichgewicht (P = ε) 

bei eingefrorener Turbulenzstruktur und die homogene Scherturbulenz im strukturellen 

Gleichgewicht (Dε/Dt = ε/kDk/Dt). Die ersten beiden Strömungssituationen werden 

in diesem Kapitel diskutiert, die homogene Scherturbulenz wird im Rahmen von Kapitel 

8 näher betrachtet. 

5.3.1 Isotrope Turbulenz in inhomog. Grundströmung (Crow–Constraint) 

Ein weitverbreitentes Kriterium zur Bestimmung der Koeffizienten des schnellen PS– 

Modells bezieht sich auf das von Crow (1968) experimentell untersuchte Verhalten einer 

ursprünglich isotropen Turbulenz in einer inhomogenen Grundströmung. Aufgrund der 

Isotropie des Turbulenzfeldes (bij = 0), läßt sich daraus eine Zwangsbeziehung für den 

94

5.3. KALIBRIERUNG LINEARER DRUCK–SCHER–KORRELATIONSMODELLE 

Koeffizienten C2 angeben, welche in der englischsprachigen Literatur auch als Crow– 

Constraint bekannt ist 

Crow (1968) : φij2 = 0.8 k Sij , ❀ C2 = 0.8 . (5.19) 

Da sich die Crow–Restriktion explizit auf den Zustand der isotropen Turbulenz bezieht, 

sollte sie im Zusammenhang mit der Modellierung technischer Strömungen nicht 

überbewertet werden. Im Falle des IP–Modells sind durch die Crow–Restriktion (5.19) 

auch die beiden anderen Koeffizienten von φij2 festgelegt 

IP − Modell : C2 = 0.8 ❀ C3 = C4 = 1.2 . (5.20) 

Die letzten beiden Gleichungen liegen offenkundig dem Modell von Gibson und Launder 

(1978) zugrunde. 

5.3.2 Scherturbulenz im lokalen Gleichgewicht 

Eine weitere Kalibrierungsmöglichkeit ergibt sich aus der Betrachtung einer einachsigen 

Scherung U = Ux(y) im lokalen Turbulenzgleichgewicht bei eingefrorener Turbulenz- 

struktur (4.9) 

P = ε , 

D uiuj 

Dt − Dij = 

 

uiuj Dk 

− D 

k Dt 

. (5.21) 

Die o.a. Strömungssituation dient der näherungsweisen Analyse des logarithmischen 

Gleichgewichtsbereich einer einfachen turbulenten Wandgrenzschicht und ist daher besonders 

relevant. Die Vorraussetzungen (5.21) liefern die Gleichgewichtsbeziehung 

0 = Pij + φij − εij . (5.22) 

IP–Modelle 

Für Druck–Scher–Korrelationsmodelle vom IP–Typ (5.18) ergibt sich eine Verknüpfung 

zwischen den Koeffizienten ddes PS–Modells 

 

C3+C4 1 − 4 

bij = 

2 (C1 + C∗ Pij 2 

− 

1) ε 3 δij 

 

= γφ 

Pij 

2 P 

1 

− 

3 δij 

 

. (5.23) 

Mit Hilfe von experimentellen Untersuchungen findet man γφ ≈ 0.225 , und daher 

QI−Modell : C1 + C ∗ 1 ≈ 4 − (C3 + C4) 

0.9 

IP−Modell : C1 + C ∗ 1 ≈ 

4 − 2 C4 

0.9 

. (5.24) 

Abbildung 5.2 gibt Aufschluß über die Konsistenz der Koeffizienten verschiedener PS– 

Modelle zu Gleichung (5.24). Die beiden freien Koeffizienten der betrachteten IP– 

Modelle, C1 und C4(= C3 = 1.5C2), folgen offenkundig alle der Zwangsbeziehung 

(5.24), deren Verlauf in der Grafik durch eine Orientierungsgerade wiedergeben ist. 

Es fällt auf, daß drei populäre QI–Varianten (LRR, TB, GS) offenkundig der IP– 

Gesetzmäßigkeit in (5.24) genügen. 

95

KAPITEL 

* 

C1 +C1 5.0 

4.0 

3.0 

2.0 

1.0 

0.0 

0.0 0.8 1.6 

C3 + C4 2.4 3.2 

Abbildung 5.2: Koeffizienten verschiedener Reynolds–Spannungsmodelle nach (5.24). 

QI–Modelle 

Die Eigenschaften der betrachteten Strömung gleichen dem logarithmischen Bereich 

einer einfachen, druckgradientenfreien, inkompressiblen Grenzschicht. Mit Hilfe von 

P/ε = −4 b12 s12 = 1 und g = C1 + C ∗ 1 läßt sich die ASM–Beziehung (4.12) explizit 

auflösen 

Rotta 

GY 

GL 

FRLT 

SSG 

GS 

TB 

LRR 

GS IP 

TB IP 

LRR IP 

b11 = − β2 + β3/3 

2(C1 + C ∗ 1) , b22 = β2 − β3/3 

2(C1 + C ∗ 1) , b33 = −(b11 + b22) , 

b 2 12 = 

1 

4(C1 + C∗ 

β 

1) 

2 3 

3(C1 + C∗ 1) − 

β2 2 

C1 + C ∗ 1 

− β1 

 

. (5.25) 

Für gegebene Koordinatenwerte des Anisotropietensors lassen sich aus den unter (5.25) 

angegebenen Beziehungen drei linear unabhängige Gleichungen zur Bestimmung der 

vier bzw. fünf unbekannten Koeffzienten des Druck–Scher–Korrelationsmodells ableiten. 

Zusammenfassung 

Tabelle 5.1 vergleicht die Ergebnisse der Gleichung (5.25) mit den Daten der direkten 

numerischen Simulation einer Kanalströmung von Kim, Moin und Moser (1987). Für 

die FRLT und SSG QI–Modelle wurden offenkundig die Daten der Kanalströmung zur 

Bestimmung der Koeffizienten berücksichtigt. 

Aufgrund der in (5.17) vorab getroffenen Koeffizientenreduktion vermögen IP–Modelle 

bereits einfache Strömungssituationen nicht mehr präzise darzustellen. Unter Couette– 

Strömungsbedingungen (unidirektionale Scherung) sind IP–Modelle a priori mit achsensymetrischen 

Normalspannungszuständen (b22 = b33) verbunden. Abhilfe verschafft 

nur das in Kapitel 5.4 beschriebene Wandreflektionsmodell. 

96

5.3. KALIBRIERUNG LINEARER DRUCK–SCHER–KORRELATIONSMODELLE 

Tabelle 5.1: Turbulenstruktur im Gleichgewichtsbereich einer zweidimensionalen 

turbulenten Scherströmung nach Gleichung (5.25). 

Typ γφ -b12 b11 b22 b33 

GL IP 0.222 0.17 0.15 -0.07 -0.07 

GY IP 0.233 0.17 0.16 0.08 -0.08 

RO IP 0.200 0.16 0.13 -0.07 -0.07 

LRR QI 0.157 0.18 0.13 -0.10 -0.03 

TB QI 0.123 0.15 0.12 -0.12 0.0 

GS QI 0.173 0.15 0.14 -0.10 -0.04 

SSG QI 0.226 0.16 0.17 -0.13 -0.05 

FRLT QI 0.230 0.16 0.18 -0.13 -0.05 

Kanal DNS (Kim et al. 1987) 0.15 0.18 -0.13 -0.05 

5.3.3 Realisierbarkeitsbedingung des Rotta–Koeffizienten 

Die oben betrachtete Scherung eignet sich ebenfalls zur Evaluierung einer physikalisch 

plausiblen Schranke für den Rotta–Koeffizienten des langsamem Druck–Scher– 

Korrelationsmodells φij1. Eine strenge Analyse der physikalisch realisierbaren Koeffizientenwerte 

von C1 wurde von Sarkar und Speziale (1990) veröffentlicht. An dieser Stelle 

soll lediglich die analoge Aussage am Beispiel der b11–Koordinate einer einachsigen 

Scherung entwickelt werden. Im Unterschied zu den oben angestellten Überlegungen 

sei die Turbulenzenergieproduktion jedoch wesentlich geringer als die Dissipationsrate 

1 >> P 

> 0 . 

ε 

Die Erfahrung lehrt, daß homogene Scherturbulenz mit anisotropen Normalspannungen, 

inbesondere b11 > 0 vebunden ist (vgl. Tabelle 5.1). Anhand der Bestimmungsgleichung 

der b11–Koordinate 

b11 = − 

β2 β3 + 2 6 

(5.26) 

C1−1 

P/ε + C∗ 1 + 1 

erkennt man zunächst, daß der Zähler der rechten Seite aufgrund von βi < 0 stets 

positiv ist. Für endlich große C ∗ 1 > 0 wird das Vorzeichen der Koordinatenwerte b11 

im Grenzfall lim P/ε → 0 vom Vorzeichen der Differenz C1 − 1 diktiert. Physikalisch 

plausible, positive Koordinatenwerte lassen sich unabhängig von P/ε folglich nur 

vermöge 

C1 ≥ 1 (5.27) 

realisieren. Ferner zeigt sich, daß im Falle von C1 = 1 der Wert von b11 unabhängig 

vom Wert der spezifischen Produktionsrate ist. Analoge Aussagen lassen sich für alle 

anderen Koordinaten des Anisotropietensors bij formulieren (vgl. Kapitel 8.1). 

97

KAPITEL 

5.4 Wandreflektionsmodelle 

Zur Erfassung der richtungsabhängigen Wanddämpfungsmechanismen dient bei einigen 

linearen Druck–Scher–Korrelationsmodellen eine Korrektur der durch das PS–Modell 

induzierten Isotropie durch den Wandreflektionsterm. Die Formulierung des Wandreflektionsterms 

basiert ebenfalls auf der Zerlegung in einen schnellen und einen langsamen 

Anteil. Im Zusammenhang mit der IP–Modellierung sind die Wandreflektionsterme 

– wie in Kapitel 5.3 diskutiert – besonders wichtig, da ansonsten fundamentale 

Scherströmungszustände nicht hinreichend genau abgebildet werden können (vgl. auch 

Kapitel 7.5). Die gängigen Wandreflektionsterme der IP–Modelle lauten 

φijw = φijw1 + φijw2 

φijw1 = 2C1wε 

φijw2 = C ∗ 2w 

 

 

bklnknlδij − 1.5bkinknj − 1.5bkjnkni 

φkl2nknlδij − 1.5φki2nknj − 1.5φkj2nkni 

fn = k3/2 

κc −3/4 

µ 

n ε 

 

 

fn 

fn 

mit κc −3/4 

µ ≈ 2.5 . (5.28) 

In (5.28) symbolisieren ni den Wandstellungsvektor und n den skalaren Wandnormalenabstand. 

Die Bestimmung des Wandnormalenabstandes ist weder eindeutig noch trivial, 

die Berechnung von Wandstellungsvektoren noch komplexer. Mit dem Wandreflektionsmodell 

sind somit weitreichende algorithmische Probleme vebunden. In kommerziellen 

Strömungssimulationsverfahren wird deshalb auf deren Implementierung verzichtet 

wird. 

Man beachte, daß die Entwicklung des Wandreflektionsterms eng an die Betrachtung einer 

einfachen zweidimensionalen Wandgrenzschicht im lokalen Gleichgewicht geknüpft 

ist. Insbesondere findet man für den wandnahen logarithmischen Bereich unter Verwendung 

von (5.22) die folgenden Zusammenhänge zwischen den Koeffizienten des IP 

Druck–Scher–Korrelationsmodells (mit C ∗ 2 = 0.5C3 = 0.5C4) und den sich ausbilden- 

den Reynoldsspannungen 

b11 = 1 

 

(2γφ + a) + 

3 

b (1 − γφ 

 

− 2a) 

1 + 2b 

b22 = − 1 

 

γφ + 2a + 2b 

3 1 + 2b 

b12 = 

 

2γφ + 3a (1 − γφ − 2a) 

− 

2 + 3b 3(2 + 4b) 

98

5.5. ELLIPTIC RELAXATION VERFAHREN VON DURBIN 

Tabelle 5.2: Koeffizienten häufig verwendeter IP Druck–Scher–Korrelationsmodelle. 

C1 C ∗ 2 = 0.5 C3 γφ C1w C2w 

Gibson und Launder (GL, 1978) 1.8 0.60 0.22 0.5 0.3 

Gibson und Younis (GY, 1986) 3.0 0.30 0.23 0.75 0.5 

mit : γφ = 1 − C∗ 2 

C1 

, a = C∗ 2C2W 

C1 

, b = C1W 

C1 

. (5.29) 

Tabelle 5.2 fasst die beiden populärsten Vorschläge zur Wahl der Koeffizienten des IP– 

Modells zusammen, Tabelle 5.3 dokumentiert die positiven Auswirkungen des Wandreflektionsmodelles 

am Beispiel zweier IP–Modelle. Eine alternative Formulierung für 

Tabelle 5.3: Turbulenstruktur im Gleichgewichtsbereich einer zweidimensionalen Scherung 

nach Gleichung (5.25). 

-b12 b11 b22 b33 

GL 0.17 0.15 -0.07 -0.07 

GL + φijw 0.13 0.22 -0.21 -0.01 

GY 0.17 0.16 0.08 -0.08 

GY + φijw 0.13 0.21 -0.18 -0.03 

Kanal DNS (Kim et al. 1987) 0.15 0.18 -0.13 -0.05 

φijw, welche eine verbesserte Vorhersage von Prallstrahleffekten ermöglichen, ist im 

Zusammenhang mit IP–Modellen von Craft und Launder (1992) publiziert worden. Im 

Falle des LRR Modells lautet der Wandreflektionsterm 

 

 

φijw = 0.625 ε bij fn + 0.0375 (Pij − Gij) 

(5.30) 

5.5 Elliptic Relaxation Verfahren von Durbin 

Durbin (1991) versucht die Druck–Scher–Korrelationterme des IP–Transportgleichungs– 

Reynolds–Spannungsmodells zur Bestimmung von geometrieunabhängigen low–Re Formulierungen 

für Zweiparametermodelle zu nutzen. Ausgangspunkt des von Durbin 

(1995) veröffentlichten Viergleichungs– k − ε − v 2 − f–Modells ist die Analyse der 

in Kapitel 2.1 skizzierten WET–Hypothese (2.3) für das Beispiel der Schubspannung 

in einer einachsigen Scherung 

uv ∼ Puv × k 

ε 

k ∂U k 

= −v2 × 

ε ∂y ε , 

 

k ∂U 

v2 ε ∂y 

uv = −c ′ µ 

99 

fn 

. (5.31)

KAPITEL 

Der wandinduzierte anisotrope Beitrag wird üblicherweise mit Hilfe einer i.Allg. geometrieabhängigen 

Wanddämpfungsfunktion fµ(n) modelliert 

c ′ k 

µ v2 ε = fµ 

k 

cµ 

2 

ε . 

Im Unterschied hierzu vesucht Durbin das Wirbelzähigkeitsprinzip in Anlehnung an 

= 2.45) 

die anisotrope Formulierung (k/v 2 = κ c −0.75 

µ 

νt = c ′ ν v 2 Tt mit c ′ ν = 0.22 (5.32) 

um eine Gleichung für die subdominate Normalspannungskomponente senkrecht zur 

Wand zu erweitern 

D k 

Dt 

D ε 

Dt 

D v 2 

Dt 

= 

 

∂ 

P − ε + (ν + νt) 

∂xk 

∂k 

= 

 

, 

∂xk 

P ε 

Cε1 − Cε2 + 

Tt Tt 

∂ 

ν + 

∂xk 

νt 

 

∂ε 

, 

1.3 ∂xk 

 

= 

v2 ∂ 

k f − ε + 

k ∂xk 

(ν + νt) ∂v2 

 

∂xk 

. (5.33) 

Die Definition des turbulenten Zeitmaßes folgt der bereits unter (2.27) skizzierten Realisierbarkeitsbedingung. 

Die Koeffizienten der Transportgleichungen für k und ε entsprechen 

den üblichen Werten 

 

Cε1 = 1.44 1. + 0.045 k/v2 

 

k ν 

, Cε2 = 1.9 , Tt = max , 6 

ε ε 

 

. (5.34) 

Der zur Wand ansteigende Wert des Koeffizienten Cε1 dient der Vermeidung der im 

Anhang D skizzierten Singularität. Der Koeffizienten Cε1 bestätigt im Gleichgewichtsbereich 

k/v 2 = 2.45 den von Wilcox im Zusammenhang mit dem k − ω Modell angegebenen 

Wert Cε1 = 1.55. Zur Schliessung der drei Modellgleichungen (5.33) benötigt 

man eine Vorschrift zur Berechnung des nichtlokalen Parameters f, der den Einfluss 

von Produktions– und Umverteilungsmechanismen wiedergibt. 

Die Idee zur Formulierung einer Berechnungsvorschrift für f fußt auf der Gleichgewichtsaussage 

(5.22). In Bezug auf die Wandnormalenkoordinate b22 findet man im 

100

Rahmen von IP–Modellen (5.18) 

P22 + φ22 − ε22 = −2 ε C1 b22 + 2 C∗ 2 

3 

= −2 ε C1 b22 + 2 C∗ 2 

3 

5.5. ELLIPTIC RELAXATION VERFAHREN VON DURBIN 

2 

P − 

3 ε 

 

P + 2 ε b22 − v2 

 

2k 

= −2 ε b22 (C1 − 1) + 2 C∗ 2 v2 

P − ε 

3 k 

 

∗ 2 C2 P b22 

≈ k − 2 (C1 − 1) −ε 

3 k Tt 

 

:=f 

v2 

k 

= k f − ε v2 

k 

Anstelle der ursprünglichen RSTM–Transportgleichung für die Koordinate v 2 

(5.35) 

Dv 2 

Dt = P22 + φ22 − ε22 + D22 

kann somit näherungsweise die unter 5.33 zuletzt angegebene Beziehung numerisch 

gelöst werden. Die Koeffizienten des von Durbin verwendeten Umverteilungsmodells 

lauten 

C1 = 1.4 , C ∗ 2 = 0.45 , ❀ γφ = 0.393 . (5.36) 

Man beachte, daß die Koeffizienten C1 und C ∗ 2 einfacher als in einem PS–Modell zu kalibrieren 

sind, da sie lediglich der genauen Vorhersage der wandnormalen Diagonalkomponente 

des Reynolds–Spannungstensors dienen. Insbesondere sollten die Koeffizienten 

den Gleichgewichtswert von v 2 auch ohne Wandreflektionsterme korrekt wiedergeben. 

Vermöge der in Gleichung (7.51) notierten Gleichgewichtsbeziehungen erkennt man, 

daß die o.g. Koeffizienten mit 

b22 = −γφ/3 = −0.131 

verbunden sind, was sehr gut mit dem in Tabelle 5.3 angegebenen Wert der DNS von 

Kim, Moin und Moser (1987) übereinstimmt. Um zu einer praxistauglichen Beziehung 

für beliebige Koordinaten zu gelangen, in der v 2 ≡ u 2 n, wird die Umverteilungsfunktion 

f über eine räumliche Relaxationbeziehung (Yukawagleichung) 

L 2 

∗ 2 C2 P b22 

t ∆(f) = f − − 2 (C1 − 1) , (5.37) 

3 k 

mit 

berechnet. 

Lt = 0.25 max 

 

k 3/2 

ε 

101 

Tt 

 

3 1/4 

ν 

, 85 

ε 

(5.38)

Kapitel 6 Projektionstechniken 

Die minimale Funktionsbasis des Ansatzes bij = bij(sij, w ∗ ij) basiert, wie bereits in Kapitel 

3 erwähnt, in dreidimensionalen Strömungen auf mindestens fünf linear unabhängigen 

Generatoren, im Falle zweidimensionaler Reynolds–gemittelter Strömungszustände 

genügen drei Generatoren. Der folgende Abschnitt befaßt sich in Anlehnung an Jongen 

und Gatski (1998) mit der Projektion des algebraischen Spannungsmodells (4.12) in 

eine beliebig gewählte Funktionsbasis. 

6.1 Illustratives Beispiel 

Ausgangspunkt für die Darstellung des Prinzips von Projektionstechniken sei die zunächst 

nicht näher spezifizierte unterbestimmte Zwei–Generator–Funktionsbasis 

bij = A T (1) 

ij 

+ B T (2) 

ij . (6.1) 

Das gewählte Beispiel soll belegen, daß bei der Projektion des ASM (4.12) in einfache, 

unterbestimmte Basen F die dazugehörige Integritätsbasis N nicht in gleicher 

Weise reduziert wird. Häufig treten darin sogar fast alle irreduziblen Invarianten einer 

vollständigen Funktionsbasis auf, was die oben gemachten Aussagen zum Qualitätsverlust 

im Zusammenhang mit stark vereinfachten Integritätsbasen unterstreicht. 

Da A und B Skalare sind, müssen die Generatoren sämtliche strukturellen Eigenschaften 

des Anisotropietensors der Reynolds–Spannungen wiedergeben: 

Alle Generatoren T (n) 

ij 

müssen spurfrei und symmetrisch sein. 

Man überzeugt sich leicht, daß die in (3.50) notierten Generatoren diese Restriktion 

befriedigen. Setzt man den Zwei–Generator–Ansatz (6.1) in die ASM–Beziehung (4.12) 

ein, dann ergibt sich die sogenannte Projektionsgleichung 

 

g A T (1) 

 

(2) 

ij + B T ij = β1sij − 

 

β2 A 

 

+ B 

+ β3 

 

T (1) 

ik w∗ kj − w ∗ ikT (1) 

kj 

 

T (2) 

ik w∗ kj − w ∗ ikT (2) 

 

kj 

 

A T (1) 

ik skj + sikT (1) 

 

kj + B T (2) 

ik skj + sikT (2) 

 

kj 

− 2 

3 β3 

 

δij A T (1) 

mkskm + B T (2) 

mkskm 

. (6.2) 

Die Schließungsbeziehungen für die unbekannten Koeffizienten A und B gewinnt man 

durch Skalarmultiplikation der Projektionsgleichung (6.2) mit den verwendeten Generatoren 

 

I : g A T (1) 

ij 

 

II : g A T (1) 

ij 

 

(2) 

+ B T ij T (1) 

(1) 

jp = β1sijT jp − β2 [. . . ] T (1) 

jp + β3 [. . . ] T (1) 

jp 

+ B T (2) 

ij 

 

T (2) 

(2) 

jp = β1sijT jp − β2 [. . . ] T (2) 

jp + β3 [. . . ] T (2) 

jp 

102 

− . . . , 

− . . . , (6.3)

6.1. ILLUSTRATIVES BEISPIEL 

und anschliessender Kontraktion der freien Indizes (i = p). Beachtet man weiterhin, daß 

die Spur zyklisch vertauschbar ist (AijBjkCki = BijCjkAki = CijAjkBki) und darüber 

hinaus die Symmetrie– bzw. Antimetriezusammenhänge 

sijT (1) (2) 

jk T ki 

(2) (1) 

= sijT 

jk T 

ki , w ∗ ijT (1) 

jk 

T (2) 

ki = −w∗ ijT (2) (1) 

jk T ki , (6.4) 

dann ergeben sich im gewählten Beispiel die folgenden Schließungsbeziehungen zur 

Bestimmung der skalaren Unbekannten A und B 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

 

 

β1 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

gT (1) 

ij 

gT (2) 

ij 

sijT (1) 

ji 

sijT (2) 

ji 

T (1) 

ji 

⎞ 

⎟ 

⎠ = (6.5) 

− 2β3sijT (1) 

jk 

T (1) 

ji + 2β2w ∗ ij 

(1) 

T ki 

(2) (1) 

T jk T ki 

 

gT (1) 

ij 

− 2β3sijT (2) 

jk 

(2) 

T ji + 2β2w∗ ij 

 

(1) 

T ki 

(1) (2) 

T jk T ki 

gT (2) 

ij 

T (2) 

ji 

− 2β3sijT (1) 

jk 

− 2β3sijT (2) 

jk 

 

(2) 

T ki 

(2) 

T ki 

⎞ ⎛ ⎞ 

A 

⎟ 

⎠ ⎝ ⎠ . 

B 

Die oben skizzierte Vorgehensweise läßt sich für Funktionsbasen mit beliebig vielen 

zusätzlichen Generatoren in derselben Weise durchführen. Die in (6.5) auftretenden 

Spuren von Skalarprodukten lassen sich für auf s und w ∗ basierende Relevanzlisten mit 

Hilfe des im Anhang C notierten generalisierten Caley–Hamilton Theorems auf die in 

(3.51) notierten irreduziblen Invarianten zurückführen. 

Projektion in die lineare Basis 

Für das einfachste Beispiel eines linearen Wirbelzähigkeitsmodells mit T (1) 

ij = sij und 

T (2) 

ij = 0 wird das Gleichungssystem (6.5) singulär. Betrachtet man jedoch nur die erste 

Zeile, dann ergibt sich unmittelbar 

A = −cµ = 

β1 

g − 2β3 (η3/η1) 

, (6.6) 

Die explizite Abhängigkeit vom Deformationsmaß (η1) verbirgt sich im Koeffizienten g. 

Dieser ist nach (4.2) und (4.12) seinerseits eine Funktion der spezifischen Produktion 

 

 

 

 

P/ε = −2 

❀ g = C1 − 1 − 2 

. (6.7) 

bijsij + 1 

3 skk 

bijsij + 1 

3 skk 

Die Lösung der Projektionsgleichung ist aufgrund der schwachen Nichtlinearität 

des ASM nicht implizit, bzw. im Falle einer vorab getroffenen Approximation von 

g nicht selbstkonsistent. 

Eine grobe Verletzung der Selbstkonsistenz ist entgegen vieler anders argumentierender 

Veröffentlichungen, z.B. ?), mit fundamentalen Defiziten für die Güte eines EASM 

verbunden. Die Thematik wird im anschließenden Kapitel sechs genauer erörtert. 

103

KAPITEL 

Projektion in eine quadratische Zwei–Generator–Basis 

Für das Beispiel der exemplarisch gewählten quadratischen Funktionsbasis 

 

F = 

T (1) 

ij 

 

(2) 

, T ij = sij, (sikw ∗ kj − w ∗ ikskj) 

(6.8) 

vereinfachen sich die in Gleichung (6.5) auftretenden Spuren für inkompressible Strömungen 

durch Anwendung des in Anhang C skizzierten Caley–Hamilton Theorems. Hiermit 

erhält man schließlich anstelle von (6.5) 

β1 

 

η1 [gη1 − 2β3η3] [2β2 (3η5 − 0.5η1η2)] 

= 

0 [2β2 (0.5η1η2 − 3η5)] [g (η1η2 − 6η5) + β3 (η2η3 + η1η4)] 

Gleichung (6.9) läßt sich mit Hilfe der Cramerschen Regel direkt auflösen 

A = 

B = 

 

A 

B 

η1β1[g(η1η2 − 6η5) + β3(η2η3 + η1η4)] 

[β3(η2η3 + η1η4) + g(η1η2 − 6η5)][gη1 − 2β3η3] + 4β2 , 

2[3η5 − 0.5η1η2] 2 

η1β1β2(6η5 − η1η2) 

[β3(η2η3 + η1η4) + g(η1η2 − 6η5)][gη1 − 2β3η3] + 4β 2 2[3η5 − 0.5η1η2] 2 

. (6.9) 

.(6.10) 

Man erkennt deutlich, daß im Zusammenhang mit der Projektion des ASM in eine 

einfache quadratische Basis mit Ausnahme von η6 bereits alle irreduziblen Invarianten 

auftreten. 

Vereinfacht man die Beziehung (6.10) für zweidimensionale und achsensymmetrische 

Scherströmungen, dann ergibt sich mit Hilfe der näherungsweise gültigen Beziehungen 

− η1 = η2 , η5 = 0.5 η1η2 , η3 = −1.5 S33 η1 , η4 = −0.5 S33 η2 , 

die Lösung 

Aachs = −cµ = 

 

g − 2 β3 

β1 

 

η3 

η1 

 

− 2 β2 2 η2 

g−β3 2 η 3 

3 η 1 

−β2 

, Bachs = Aachs ⎣ 

g − β3 

Im Falle zweidimensionaler mittlerer Strömungszustände folgt aus (3.54) 

A2D = 

β1 

g − 2β 2 2 η2/g , B2D = 

104 

β1β2 

−2g 2 + 4β 2 2η2 

= A2D 

⎡ 

 

−β2 

g 

2 η3 

3 η1 

 

⎤ 

⎦ (6.11) . 

. (6.12)

6.2 Gatski & Speziale Modell 

6.2. GATSKI & SPEZIALE MODELL 

Das von Gatski und Speziale (1993) vorgestellte Modell basiert auf der dreidimensionalen 

Generalisierung eines in zweidimensionalen, inkompressiblen Strömungszuständen 

exakten quadratischen Ansatzes 

bij = A T (1) 

ij 

+ B T (2) 

ij 

+ C T (3) 

ij , mit 

T (1) 

ij = sij , T (2) 

ij = sikw ∗ kj − w ∗ ikskj , T (3) 

ij = s2 ij − 1 

3 δij s 2 kk . (6.13) 

Die zusätzlichen Spuren der um die entsprechenden T (3) 

ij –Anteile erweiterten Gleichung 

(6.5) lassen sich wiederum mit Hilfe des Caley–Hamilton Theorems vereinfachen. Unter 

Verwendung der in Anhang C notierten algebraischen Umformungen ergibt sich die zu 

(6.5) analoge symbolische Beziehung 

β1 

⎛ 

⎝ 

in der die Systemmatrix M durch 

⎛ 

⎝ 

η1 

0 

η3 

⎞ 

⎛ 

⎠ = M · ⎝ 

A 

B 

C 

⎞ 

⎠ , (6.14) 

 

[gη1 − 2β3η3] [2β2 (3η5 − 0.5η1η2)] 

gη3 − 1 

3β3η 2 

1 

[−2β2 (3η5 − 0.5η1η2)] [g (η1η2 − 6η5) + β3 (η2η3 + η1η4)] [−β2 (η1η4 

+ η2η3)] 

gη3 − 1 

3β3η 2 

g 

1 

[β2 (η1η4 + η2η3)] 

6η2 1 − 1 

3β3η1η3 

definiert ist. Gleichung (6.14) läßt sich wieder mit Hilfe der Cramerschen Regel auflösen 

A = (β1η1) M22M33 + M 2 32 

− (β1η3) (M12M32 − M13M22) det M −1 

⎞ 

⎠ 

(6.15) 

, (6.16) 

B = [ (β1η1) (M12M33 − M32M13) + (β1η3) (M11M32 − M13M12)] det M −1 , 

C = −(β1η1) (M12M32 + M22M13) + (β1η3) M11M22 + M 2 −1 12 det M . 

Im Falle einer lokal zweidimensionalen Reynolds–gemittelten Strömung findet man die 

entsprechend vereinfachte Beziehung (6.14) 

β1 

⎛ 

⎝ 

η1 

0 

0 

⎞ 

⎛ 

gη1 2β2η1η2 − 1 

3 β3η 2 1 

⎠ = ⎝ −2β2η1η2 −2gη1η2 

0 

0 

− 1 

3 β3η 2 1 

g 

6 η2 1 

⎞ ⎛ 

⎠ ⎝ 

A 

B 

C 

⎞ 

⎠ , (6.17) 

deren Lösung die bereits von Gatski und Speziale (1993) angegebenen Koeffizienten 

des Drei–Generator–Ansatzes FGS liefert 

105

KAPITEL 

bij = 

A = −cµ = 

β1 

g − 2β2 2 

g η2 − 2β2 3 

3g η1 

β1 

g − 2β2 2 

g η2 − 2β2 3 

3g η1 

 

sij − β2 

g 

, B = A 

 

−β2 

g 

, C = A 

 

2β3 

g 

 

sikw ∗ kj − w ∗ 

2β3 

ikskj + s 

g 

2 ij − 1 

3 δij s 2 

kk 

. (6.18) 

Ein wichtiger Unterschied zwischen dem oben skizzierten Lösungsweg auf der Basis 

von Projektionstechniken und der von Gatski und Speziale (GS) praktizierten Vorgehensweise 

ist der Lösungsaufwand. Die GS–Strategie basiert auf der zweidimensionalen 

Vereinfachung der exakten Lösung für einen Ansatz auf der Basis von zehn Generatoren. 

Die Herleitung der 10 × 10 Systemmatrix für diesen Ansatz ist äußerst aufwendig 

und verlangt profunde Kenntnisse in Tensoralgebra (Details findet man z.B. bei Lübcke 

und Rung 1999). Die Invertierung des algebraischen 10×10 Gleichungssystems ist ohne 

die Verwendung entsprechender Hilfsmittel, wie z.B. Mathematica (?) nicht mehr zu 

bewältigen. Demgegenüber ist der oben skizzierte Lösungsweg vergleichsweise einfach, 

da er das ASM direkt in die gewählte Basis projeziert. Es sei jedoch bemerkt, daß 

die Auswahl der Generatoren von FGS auf dem Resultat algebraischer Manipulationen 

einer vollständigen Basis mit Hilfe des 2D Caley–Hamilton Theorems basiert (vgl. 

Anhang C). 

Ein weiterer Unterschied ist die Tatsache, daß die Lösung (6.16) auf der Basis der 

vollständigen Integritätsbasis N eine bessere Näherung für dreidimensionale Zustände 

ist, als die ursprüngliche GS–Formulierung (6.18), bzw. eine gute Ausgangsbasis zur 

kompakten Erweiterung in Hinblick auf 3D Strömungszustände repräsentiert. 

6.3 Erweiterungen klassischer EASM 

Bei Betrachtung der ASM–Beziehung (4.12) erkennt man unmittelbar eine Möglichkeit 

zur Erweiterung klassischer, expliziter algebraischer Spannungsmodelle durch die Projektionstechnik. 

Diese läßt sich in analoger Weise auf die um einen beliebigen Tensor 

Tij erweiterte ASM–Beziehung anwenden 

 

gbij = Tij + β1sij − β2 bikw ∗ kj − w ∗ 

ikbkj + β3 

 

bikskj + sikbkj − 2 

3 δijblkskl 

 

(6.19) 

. (6.20) 

Der zusätliche Term Tij muß, wie alle anderen Tensoren der Beziehung (6.20), spurfrei 

und symmetrisch sein. Zur Gewährleistung eines linearen Gleichungssystems sollte Tij 

ferner unabhängig von bij sein. 

106

6.3. ERWEITERUNGEN KLASSISCHER EASM 

Im Rahmen der klassischen Darstellungstheorie müssten sämtliche T (1) 

ij . . . T (n) 

ij 

in die 

Relevanzliste aufgenommen werden. Nach dem Satz von Spencer (vgl. Kapitel 3.1) 

wäre dies mit zusätzlichen Generatoren in der Funktionsbasis verbunden, was den Rechenaufwand 

stark vergrößern würde. Im Sinne einer effizienten Näherung sind auch 

unveränderte Funktionsbasen denkbar, wodurch sich lediglich der Lösungsvektor des 

Gleichungssystems zur Bestimmung der EASM–Koeffizienten ändern würde, z.B. an- 

stelle von (6.14) 

β1 

⎛ 

⎝ 

η1 

0 

η3 

⎞ 

⎠ + 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

T (1) 

ij 

T (1) 

ij 

T (1) 

ij 

T (1) 

ji 

T (2) 

ji 

T (3) 

ji 

⎞ 

⎛ 

⎟ ⎜ 

⎠ + . . . + ⎝ 

T (n) 

ij 

T (n) 

ij 

T (n) 

ij 

⎞ 

(1) ⎛ 

T ji 

(2) ⎟ 

T ji ⎠ = M · ⎝ 

(3) 

T 

Denkbare Anknüpfungspunkte einer Erweiterung klassischer EASM wären 

• Die Einarbeitung von Wandreflektionstermen 

Tij = φijw 

2 ε . 

ji 

A 

B 

C 

⎞ 

⎠ . (6.21) 

• Die Berücksichtigung anisotroper Dissipationsratentensoren, wie z.B. von Jakirlić 

(1997), ?), ?) oder ?) vorgeschlagen 

Tij = 2 

3 δij − εij 

ε . 

Die Mehrzahl statistischer Turbulenzmodelle geht von der Gültigkeit der Kolmogorov–Hypothese 

(Rotta 1972) aus, welche die lokale Isotropie kleinskaliger Bewegungen 

bei hinreichend großen Reynoldszahlen annimmt. ?) konnten anhand 

der exakten Transportgleichung für εij in homogener, inkompressibler Turbulenz 

nachweisen, daß die isotrope Darstellung des Dissipationsratentensors nur im trivialen 

Fall verschwindender Deformationsgeschwindigkeiten korrekt ist. 

• Daneben ist auch die Einarbeitung von Transporttermen oder nichtlinearen Druck– 

Scher–Korrelationsmodellen denkbar, sofern man diese im iterativen Sinne von 

den aktuellen bij Werten entkoppelt. Im Falle expliziter numerischer Verfahren 

ist dies möglicherweise mit Zeitschrittrestriktionen verbunden. 

Tij = γ1 b 2 ij + γ2 b 3 ij + . . . oder Tij = −Tt 

107 

Dbij 

Dt 

.

Kapitel 7 Wandrandbedingung 

?? 

Der Entwurfsprozeß strömungstechnisch hochbelasteter Bauteile, wie z.B. Diffusoren, 

Hochauftriebssysteme oder aber Schaufelprofile, stellt besonders hohe Anforderungen 

an die Genauigkeit des verwendeten Turbulenzmodells. Wandturbulenzmechanismen 

(low-Reynolds number Mechanismen) sind für die Berechung kritischer Strömungszustände 

häufig von zentraler Bedeutung. Turbulenzfelder erfahren im wandnahen Bereich 

starke, dämpfende Einflüsse von anisotropem Charakter, folglich sind die Randbedingungen 

der Modellgleichungen nahe fester Berandungen für die Güte des Modells 

wesentlich. 

Bei der Simulation turbulenter Strömungen unter Verwendung eines statistischen Turbulenzmodells, 

treten im Wandbereich sehr steile Gradienten auf. Mit den normalerweise 

eingesetzten, von zweiter Ordnung genauen, Simulationsverfahren können diese 

nur durch ein sehr feines Rechengitter numerisch aufgelöst werden. Der damit 

verbundene Rechenaufwand kann durch den Einsatz spezieller lokaler Ansatzfunktionen 

in der wandbenachbarten Schicht des Rechengitters vermieden werden. Üblicherweise 

basieren die Randbedingungen in industriellen Simulationsverfahren daher auf 

der sogenannten high-Reynolds number (high-Re) Hypothese. Diese ermöglicht eine 

Überbrückung der wandnahen, schwach-turbulenten (semi-viskosen) Strömungsbereiche 

durch die vollständige Parametrisierung aller Strömungsgrößen mit der Wandschubspannung. 

Die parametrischen Beziehungen zwischen einzelnen Strömungsgrößen und 

der Wandschubspannung werden vielfach auch als Wandfunktionen bezeichnet. Wandfunktionen 

sind zwar effizient, ihre extrem hypothetischen Grundlagen verlieren jedoch 

mit zunehmender Abweichung des Turbulenzenergiehaushalts vom lokalen Gleichgewichtszustand 

an Gültigkeit. Aussagen über strömungsmechanische und thermische 

Belastungen sind daher –vor allem im Hinblick auf deren kritische Grenzen– nur unter 

starken Einschränkungen zulässig. Low-Reynolds number (low-Re) Randbedingungen 

ermöglichen demgegenüber die Fortsetzung der numerischen Integration durch die 

semi-viskosen Grenzschichtbereiche bis zur Wand. Sie erfordern aufgrund der starken 

Variation der Turbulenzgrößen im wandnahen Bereich eine extreme Verdichtung des 

Rechengitters und versagen bei unzureichender Auflösung der semi-viskosen Bereiche. 

In zweidimensionalen Konfigurationen führt dies typischerweise zu 35 % höheren Knotenpunktanzahlen. 

Beide o.a. Randbedingungstechniken sind nicht universell einsetzbar, weil sie bestimmte 

Strömungsverhältnisse in den wandnahen Gitterschichten voraussetzen. Insbesondere 

müssen zur Gittergenerierung Kenntnisse über die Ausmaße der sich ausbildenden 

semi-viskosen Strömungsbereiche zur Verfügung stehen, worin der entscheidende Nachteil 

beider Methoden besteht. Die Ausdehnung der Wandturbulenz hängt nicht nur von 

dem zu simulierenden Strömungsfeld ab, sondern variiert erfahrungsgemäß auch stark 

entlang von Körperkonturen. Nahezu diskontinuierliche Variationen können z.B. durch 

Stoß/Grenzschicht Wechselwirkungen auftreten. Eine lokale Verletzung des Gültigkeitsbereichs 

der verwendeten Randbedingung kann mit erheblichen globalen Nachteilen 

108

7.1. GRUNDLAGEN 

für die Stabilität und Qualität der Simulation verbunden sein. Ferner ist mit starken 

Einschränkungen bei der Verwendung von Mehrgittertechniken, deren Gitter teilweise 

stark unterschiedliche Auflösungsvermögen besitzen, zu rechnen. Eine Adaption des 

Rechengitters an das Turbulenzfeld ist zwar oftmals hilfreich aber nicht heilsbringend. 

Das Kapitel befaßt sich mit der Herleitung und Implementierung konventioneller highund 

low-Re Randbedingungen am Beispiel eines Finite-Volumen Verfahrens mit zellzentrierter 

Variablenspeicherung. Die Dokumentation stützt sich primär auf ausgewählte 

Ein- und Zweiparametermodelle (Spalart–Allmaras, k−ɛ, k−ω), die Randbedingungen 

für einzelne Reynoldspannungskomponenten werden hieraus mit Hilfe einer Spannungstransformation 

abgeleitet. 

7.1 Grundlagen 

Bei einem Finite-Volumen Verfahren mit zellzentrierter Variablenanordnung existieren 

prinzipiell zwei verschiedene Möglichkeiten Wandrandbedingungen vorzugeben (Abbildung 

7.1): 

Typ A: Integration der Randkontrollvolumina 

Dem Finite-Volumen Verfahren müssen, wie in Abbildung (7.1 links) skizziert, 

zur Bestimmung der konvektiven und diffusiven Flüße an den Rändern sowohl 

die Variablenwerte (Konvektion), als auch deren Ableitungen (Diffusion) 

bekannt gemacht werden: 

Dirichlet − Rrandbedingung : Φ = ϕ auf Γ1 , 

Neumann − Randbedingung : ∇ Φ = ∇ ϕ auf Γ2 . (7.1) 

Verfahren von höherer als zweiter Genauigkeitsordnung benötigen darüberhinaus 

weitere Informationen, z.B. höhere Randableitungen aus schiefsymmetrischen 

Differenzenformeln. 

Typ B: Vorgabe der Werte in den Randkontrollvolumina 

Hierbei werden nicht die Randwerte, sondern die Werte in den randbenachbarten 

Gitterzellen fixiert. Die Integration der Randkontrollvolumen ist überflüssig. 

Man benötigt keine Flüsse in Rändern und daher auch keine Variablenwerte 

oder Gradienten in B. Die numerische Integration muß hierzu manipuliert 

werden. Derartige Randbedingungen basieren häufig auf den Grenzwerten 

asymptotischer Entwicklungen. 

Die Herleitung konventioneller highund low-Re Randbedingungen für die Impuls-, 

Druck- und Turbulenzgleichungen stützt sich auf das Beispiel einer einfachen, zweidimensionalen 

(2D) turbulenten Scherströmung 

109

KAPITEL 

Typ A: Integration des KV um P 

P 

B 

Fluss 

Typ B: Fixierung in P 

Abbildung 7.1: Prinzipielle Randbedingungstypen entlang fester Wände. 

U = U(y) e x oder U = U(η) e ξ . (7.2) 

Diese, stark idealisierte Strömungsform, findet man beispielsweise in 2D Wandgrenzschichten 

ohne Druckgradienten und ebenen, vollentwickelten Kanalströmungen. In Abwesenheit 

größerer äußerer Kräfte, z.B. starken Druckgradienten, stellen sich in Hauptströmungsrichtung 

quasi-ähnliche Profile ein, weswegen sich die Zahl der unabhängigen 

Veränderlichen auf Eins reduziert (Schlichting 1982). Die Strömungsform ist durch ein 

besonders einfaches Turbulenzfeld gekennzeichnet, in dem sich über weite Bereiche 

näherungsweise ein bestimmter Gleichgewichtszustand einstellt. Hierbei neutralisieren 

sich die beiden dominanten Terme des Turbulenzenergiehaushalts, Produktion P und 

Dissipation ε, lokal (vgl. Abbildung 7.3). Die Strömungsform ist, zumindest in Bezug 

auf den Wandbereich, weniger realitätsfern ist als dies zunächst erscheint. Die Attraktivität 

dieses Beispiels für die Formulierung turbulenter Randbedingungen beruht auf 

der damit verbundenen minimalen Variablenanzahl. 

Üblicherweise formuliert man die Randbedingung für die Impulsbilanzen in Form der 

Wandhaftbedingung. An ruhenden Wänden verschwinden bei statistischer Betrachtung 

der Feldgrößen nicht nur die mittleren Geschwindigkeiten Ui, sondern auch deren 

Schwankungskomponenten ui. Parallel zu den Schwankungskomponenten reduziert sich 

im wandnächsten Bereich der Einfluß der Reynolds-Spannungen uiuj auf die Impulsgleichungen 

und es verbleiben nur noch die viskosen Spannungen. Mit zunehmendem 

Abstand von der Wand wachsen die turbulenten Austauschmechanismen und übersteigen 

in ihrer Wirkung rasch die molekularen Effekte, ehe sie im Bereich der gleichförmigen 

Kernströmung wieder in den Hintergrund treten. 

Betrachtet man anhand von Abbildung (7.2) das mittlere Geschwindigkeitsprofil einer 

inkompressiblen, vollentwickelten Kanalströmung in einfach–logarithmischer Auftragung, 

dann erkennt man die klassische Aufteilung des Geschwindigkeitsprofils in eine 

viskose Unterschicht, einen Übergangsbereich, einen vollturbulenten logarithmischen 

Bereich und einen Nachlaufbereich. Die in der Grafik verwendeten dimensionslosen 

110 

P

U + 

20.0 

15.0 

10.0 

5.0 

0.0 

U + =Y + 

U + =[(ln Y + )/0.41] + 5.2 

DNS (Kim et. al) 

semi−viskoser Bereich 

viskose Unterschicht 

logarithmischer 

Bereich 

Uebergangsbereich 

0 1 10 100 1000 

Y + 

7.1. GRUNDLAGEN 

Nachlauf− 

bereich 

Abbildung 7.2: Mittleres Geschwindigkeitsprofil aus direkter numerischer Simulation (Kim 

et al. 1987) einer turbulenten Kanalströmung (Reτ =395). 

Größen folgen der üblichen Definition von charakteristischen Wandvariablen 

U + = U 

Uτ 

Y + = 

y Uτ 

ν 

mit Uτ = τw/ρ , (7.3) 

in der Uτ die Wandschubspannungsgeschwindigkeit kennzeichnet. Daneben werden im 

Verlauf der Diskussion folgende, dimensionslose Terme der statistischen Turbulenzmodellierung 

verwendet 

uiuj + = uiuj 

U 2 τ 

k + = uiui 

2 U 2 τ 

ε + = 

ε ν 

U 4 τ 

P + = −uv 

+ 

+ ∂U 

. (7.4) 

∂Y + 

Hierin repräsentieren k = uiui/2 die Turbulenzenergie, P und ε deren Produktionsbzw. 

Dissipationsrate und uiuj die Komponenten des Reynoldsspannungstensors (Launder 

und Spalding 1972). Prinzipiell sind alle turbulenten Kanalströmungen mit Ausnahme 

des Übergangs zwischen logarithmischem und Nachlaufbereich gleich aufgebaut. 

Der Nachlaufbereich, der sich mit steigender Reynoldszahl zu höheren Y + verschiebt, 

kennnzeichnet den Übergang in die Kernströmung. Hier spielen Turbulenzeinfüsse nur 

noch eine untergeordnete Rolle, weswegen der Bereich für die Formulierung turbulenter 

Wandrandbedingungen bedeutungslos ist. Der Nachlaufbereich wird vielfach auch 

Aussenbereich genannt, alle darunter liegenden Schichten bilden den Innenbereich. Im 

weiteren Verlauf der Diskussion wird vielfach auf das Kanalströmungsbeispiel zurückgegriffen. 

Die Definition der dabei verwendeten Reynoldszahlen lautet 

Reτ = UτH 

2ν 

Reδ = UδH 

2ν 

mit H = Kanalhöhe und Uδ = U(H/2) . 

111

KAPITEL 

k + 

, u 2+ , v 2+ , w 2+ , 10|uv| + , 5 P/ε 

10.0 

8.0 

6.0 

4.0 

2.0 

0.0 

1 10 100 

Y + 

DNS k + 

DNS u 2+ 

DNS v 2+ 

DNS w 2+ 

DNS 10 |uv| + 

DNS 5 P/ε 

Abbildung 7.3: Normierte Reynoldsspannungen aus direkter numerischer Simulation (Kim 

et al. 1987) einer turbulenten Kanalströmung (Reτ =395). 

Für die Formulierung von high-Re Wandrandbedingungen ist der weite logarithmische 

Bereich wesentlich. Die high-Re Hypothese basiert auf einer universellen Parametrisierung 

des gesamten wandnahen Strömungsfelds mit der Wandschubspannungsgeschwindigkeit 

Uτ. Diese Wandfunktionen sind in guter Näherung für den logarithmischen 

Bereich (12 ≤ Y + ≤ 300) einer gleichgewichtsnahen, turbulenten Wandgenzschicht 

gültig. Der low-Re Bereich (Y ≤ 12) wird bei der Verwendung von Wandfunktionen 

nicht durch die Simulation abgedeckt sondern parametrisch geschlossen. 

Er ist für die Formulierung der Randbedingungen belanglos, da der Simulation vollturbulente 

Randbedingungen aufgeprägt werden. Die high-Re Hypothese gilt unter 

keinen Umständen in wandnahen, semi-viskosen Zonen, weswegen das verwendete Rechengitter 

diesen Bereich nicht erfassen sollte. Idealerweise übersteigt die wandnormale 

Ausdehnung der Randgitterzelle die Dicke der viskosen Unterschicht um ein Vielfaches. 

Umgekehrt verhält es sich mit low-Re Randbedingungen, deren Anwendung die 

die rechnerische Auflösung des semi-viskosen Bereichs vorschreibt. Die meisten numerischen 

Verfahren sind in den räumlichen Koordinaten von zweiter Ordnung genau. 

Eine adäquate Auflösung der im low-Re Bereich stark variierenden Profile (vgl. Abbildungen 

7.2 und 7.3) durch die numerische Simulation verlangt daher eine extrem hohe 

Konzentration von Knotenpunkten. Der semi-viskosen Strömungsbereich sollte mit ca. 

5–10 Rechenknoten in Wandnormalenrichtung aufgelöst werden, und die wandnächsten 

Punkte in einem bestimmtem Abstand (Y + ≈ 1) zur Wand liegen. Für Reynoldszahlen 

im Bereich von 10 5 ≤ ReL ≤ 10 8 liegt dieser typischerweise bei 10 −1 − 10 1 L/ReL. 

Durch die low-Re Erweiterungen versteifen sich die Differentialgleichungen des Turbulenzmodells 

oftmals erheblich. 

In Bezug auf das Rechengitter besitzen beide Techniken analoge Nachteile. Die Gewähr- 

112

7.2. LOKAL-ORTHOGONALE KOORDINATEN 

leistung eines bestimmten Mindestabstands ist jedoch offenkundig leichter als die gleichmäßige 

Anreicherung von Punkten entlang fester Berandungen, weswegen die high-Re 

Randbedingung aus Sicht der Gittergenerierung weniger anspruchsvoll ist. 

Besonderes Augenmerk wird im weiteren Verlauf dieses Beitrags der Entwicklung einer 

einheitlichen Struktur für high-Re und low-Re Formulierungen gewidmet. Bei einem 

Wechsel der Randbedingungstechnik muß dadurch lediglich der spezifische Randwert, 

nicht aber der Typ der Randbedingung (z.B. Dirichlet), modifiziert werden. Diese Eigenschaft 

ist eine notwendige strukturelle Voraussetzung für die Entwicklung einer universellen, 

hybriden Randbedingung. Im nächsten Abschnitt werden hierfür die Grundlagen 

der schnittlastenbezogenen Randbedingungen im lokal-orthogonalen Wandkoordinatensystem 

erarbeitet. 

7.2 Lokal-orthogonale Koordinaten 

Bei einer Bilanzierung der Transportgleichungen in allgemein krummlinigen Koordinaten 

basiert die Formulierung der Wandrandbedingung geeigneterweise auf einem 

lokal-orthogonalen < t, n > Basissystem. 

Die kinematischen Beziehungen 

U 

vereinfachen sich wesentlich in diesem 

Koordinatensystem, in dem t durch 

n 

den Vektor der resultierenden Wandtangentialgeschwindigkeit 

U t = U − 

(n · U) n definiert ist, und n den 

Stellungsvektor des Wandelements re- 

Ut 

präsentiert (Abbildung 7.4). An der 

Wand verschwindet aufgrund der Haftbedingung 

der konvektive Fluß, und 

die Geschwindigkeit nimmt den Wert 

Abbildung 7.4: Lokal-orthogonale Zerlegung der der Wandgeschwindigkeit an. Darüber 

Geschwindigkeit 

hinaus verbleibt im < t, n > System, 

bei Vernachlässigung von Krümmungseffekten, auch oberhalb der Wand nur eine 

Tangentialgeschwindigkeitskomponente. Für schwach gekrümmte Strömungssituationen 

erhält man im Wandkoordinatensystem daher näherungsweise das oben skizzierte 

1D Szenario mit der resultierenden Tangentialgeschwindigkeitskomponente als Funktion 

des Wandnormalenabstands. 

Besonders einfach wird die Zerlegung für zweidimensionale oder umfangssymmetrische 

(verdrallte) Strömungsprobleme, welche im Folgenden näher betrachtet werden sollen. 

113

KAPITEL 

Die resultierende Tangentialkomponente 

der Geschwindigkeit läßt sich in diesem 

Fall, wie in Abbildung (7.5) veranschaulicht, 

nochmals in eine Azimutalkompnente 

(W ) und eine planare Komponente 

(Us) zerlegen. Details des zweidimensionalen 

Wandkoordinatensystems sind, 

auf der Grundlage einer zellzentrierten 

Variablenanordnung, in Abbildung (7.6) 

skizziert. Die kartesische Darstellung der 

Basisvektoren zweidimensionaler Konfigurationen 

lautet 

γ 

U 

Us 

n 

W 

δϕ =1 

Abbildung 7.5: Zweidimensionale Zerlegung 

n := (−β, α, 0) , t := cos γ t p + sin γ e z , t p := (α, β, 0) (7.5) 

mit α = ∆x 

∆s 

∆y 

, β = 

∆s , Us = αU + βV , γ = tan −1 

 

ζW 

Die in Gleichung (7.5) verwendeten Längen und Flächenelemente ergeben sich aus 

∆x = (x v B − x c B) · e x , ∆y = (x v B − x c B) · e y , 

∆s = ∆x 2 + ∆y 2 , ∆A = 2R ζ ∆s . (7.6) 

Hierin repräsentieren Us und W die Planar- bzw. Azimutalkomponenten der Geschwindigkeit, 

R den Radius und ζ einen Parameter zur Kennzeichung achsensymetrischer 

(ζ = 1) Zustände. Die oberen Indizes v und c dienen als Zeiger zur Kennzeichung von 

Ecken bzw. Zentren der Kontrollräume des Rechengitters. Die Formulierung der im 

Wandpunkt B, bzw. der dazugehörigen Wandfläche ∆A, wirkenden Randbedingungen 

benötigt teilweise die Funktionswerte im Durchstoßpunkt P ′ des Lotes von xc B auf den 

Vektor (xc P − xcN ), und den dazugehörige Abstand ∆n des Durchstoßpunktes von der 

Wand (vgl. Abbildung 7.6) 

Φ(P ′ 

r · tp 

) = Φ(N)ψ + Φ(P ) (1 − ψ) mit ψ = , (7.7) 

s · tp ∆n = n · (x c P − x c B) − Ψ [n · (x c P − x c N)] . (7.8) 

Daneben werden im weiteren Verlauf Transformationsbeziehungen für die Koordinaten 

von Vektoren und Tensoren benötigt 

˜Φi = (˜e i · e k) Φk bzw. ˜ Φij = (˜e i · e k) (˜e j · e m) Φkm . (7.9) 

114 

R 

Us 

 

.

n tp 

Δ y 

Δ x 

Δs 

Y 

X 

7.2. LOKAL-ORTHOGONALE KOORDINATEN 

N 

ΔV 

P’ 

¡ ¢¡¢ 

Δn ¢¡¢ ¡ 

P 

B 

ΔA=2R 

Δ s 

Abbildung 7.6: Lokal-orthogonales Wandkoordinatensystem in 2D Konfigurationen (zellzentrierte 

Variablenspeicherung). 

Beschränkt man sich auf zweidimensionale Probleme, so empfiehlt sich zur besseren 

Unterscheidung ebener und verdrallter Strömungen das < t, n > System durch ein 

< t p, n, e z > Dreibein zu ersetzen. Im einzelnen ergeben sich dadurch von (7.9) folgende 

Transformationsbeziehungen 

Vektorkomponenten Φn = αΦy − βΦx , Φs = αΦx + βΦy , 

Φy = αΦn + βΦs , Φx = αΦs − βΦn . (7.10) 

Tensorkomponenten Φss = α 2 Φxx + β 2 Φyy + αβ(Φxy + Φyx) , 

Φsn = α 2 Φxy − β 2 Φyx + αβ(Φyy − Φxx) , 

Φsz = αΦxz + βΦyz , 

Φns = α 2 Φyx − β 2 Φxy + αβ(Φyy − Φxx) , 

Φnn = α 2 Φyy + β 2 Φxx − αβ(Φyx + Φxy) , 

Φnz = αΦyz − βΦxz , 

Φzs = αΦzx + βΦzy , 

Φzn = αΦzy − βΦzx , 

Φxx = α 2 Φss + β 2 Φnn − αβ(Φsn + Φns) , 

Φxy = α 2 Φsn − β 2 Φns + αβ(Φss − Φnn) , 

Φxz = αΦsz − βΦnz , 

115 

s 

r 

Y 

X

KAPITEL 

Φyx = α 2 Φns − β 2 Φsn + αβ(Φss − Φnn) , 

Φyy = α 2 Φnn + β 2 Φss + αβ(Φns + Φsn) , 

Φyz = αΦnz + βΦsz , 

Φzx = αΦzs − βΦzn , 

Φzy = αΦzn + βΦzs . (7.11) 

7.3 Schnittlastbezogene Impuls- und Druckrandbedingungen 

Schneidet man das System entlang der Wand frei, dann erhält man die Wandrandbedingungen 

der Impulsgleichungen in Gestalt der freigelegten Schnittlasten. Die Schnittlasten 

wirken, wie in Abbildung (7.7a) dargestellt, in Form von Schub- (τ w) und Druckkräften 

(σ w), und entsprechen im wesentlichen dem diffusiven Impulsstrom in Normalenrichtung 

a) 

σw 

 

B 

∆V 

P’ 

 

D(ρU) 

dV = fdV + dA · 

Dt ∆V 

∆A 

τ − p δ 

 

Us 

τw 

U 

U 

ξ =klein 

V 

Un 

b) 

Diffusion 

φ =klein 

U 

. (7.12) 

n 

Ut τ w 

Abbildung 7.7: Bestimmung der Impulsrandbedingung aus Schnittlasten und Veranschaulichung 

der Voraussetzung von schwacher Krümmung. 

Die Berechnung der Schnittlasten setzt, in Anlehnung an das eingangs betrachtete 

Kanalströmungsbeispiel, in der Regel vernachlässigbare Längs- und Querkrümmungseffekte 

voraus (Grenzschichttheorie erster Ordnung (Schlichting 1982)). Längskrümmung 

–oder ebene Stromlinienkrümmung– tritt prinzipiell immer in Verbindung mit stark anwachsenden 

Relativgeschwindigkeitsbeträgen normal zur Wand auf. Diese können beispielsweise 

durch signifikante Drucknormalgradienten nicht hydrostatischen Ursprungs 

oder extrem schlecht aufgelöste Konturkrümmungen induziert werden (Abbildung 7.7a). 

Darüber hinaus seien (dreidimensionale) Querkrümmungseffekte, die eine Abweichung 

116

7.3. SCHNITTLASTBEZOGENE IMPULS- UND DRUCKRANDBEDINGUNGEN 

des Wandschubspannungswinkels von der Projektion der resultierenden Tangentialgeschwindigkeit 

oberhalb der Wand beschreiben, von untergeordneter Bedeutung (Abbildung 

7.7b). Letzteres ist bei hinreichend feiner Auflösung des Wandbereichs durch low- 

Re Randbedingungen akzeptabel, im Rahmen der Parametrisierung des semi-viskosen 

Bereichs durch die Wandfunktionen des high-Re Ansatzes sind Zweifel berechtigt. 

Kinematische Zwänge 

In Kombination mit der Haftbedingung erlauben die oben angeführten Voraussetzungen 

die Formulierung von Zwangsbedingungen für die Relativgeschwindigkeiten im 

wandorthogonalen System. 

Wandhaftung U (R) 

(B) = 0 , 

❀ U (R) (R) (R) (R) 

s(B) = U n(B) = W (B) = ρ U (B) · dA = 0 . (7.13) 

Krümmungsfreiheit t · ∇ U (B) = 0 n · ∇ U (B) · n = 0 , 

❀ 

∂Un(B) 

∂n 

= ∂Us(B) 

∂t 

= ∂Un(B) 

∂t 

= ∂W(B) 

∂t 

= 0 . (7.14) 

Man beachte, daß die Stellung der lokal-orthogonalen Basis zwar veränderlich ist, die 

Änderungen im Rahmen der Voraussetzungen aber als lokal klein angesehen werden. 

Die in Gleichung (7.13) auftretenden Relativgeschwindigkeiten sind durch 

U (R) 

(B) = U (B) − U wand(B) 

(7.15) 

definiert. Das durch (7.13) und (7.14) beschriebene Geschwindigkeitsfeld entspricht 

dem der ebenen Couette-Strömung. 

7.3.1 Druck- und Druckkorrekturgleichung 

Die Druckrandbedingung gehört dem eingangs erwähnten Randbedingungstyp A an. 

Durch die Vorgabe von Dirichlet-Randbedingungen für die Geschwindigkeiten in Gleichung 

(7.13) ist der Druck in inkompressiblen Strömungen nicht mehr frei wählbar. An 

der Wand werden daher i.Allg. Neumann-Randbedingungen für die Verträglichkeitsbeziehung 

zur Bestimmung des Drucks vereinbart. Der Beitrag der Wandfläche zur 

Druckkorrekturbilanz des Knotens P lautet beispielsweise 

U (B) = U wand ❀ ∆A (ρ U ′ 

∆A 

)(B) = − ρ ∇p ′ 

 

= 0 . (7.16) 

Die Voraussetzung vernachlässigbarer Krümmungseffekte verlangt in aerodynamischen 

Strömungen aus Konsistenzgründen ebenfalls Neumann-Randbedingungen für den Druck 

117 

Ap 

(B)

KAPITEL 

bzw. dessen Korrektur 

n · ∇p ′ 

(BP ) 

= ∂p′ 

(BP ) 

∂n 

n · ∇p (BP ) = ∂p (BP ) 

∂n 

= 0 , (7.17) 

= 0 . (7.18) 

Alternativ zu Gleichung (7.18) wird für die Berechnung des Wanddrucks vielfach 

n · ∇p (BP ) = ∂p (BP ) 

∂n = const → p(B) 

 

= p − ∂p 

 

∂n (P ) 

= (p − n · ∇p) (P ) (7.19) 

angenommen. Die Aussage (7.19) ist vor allem in Hinblick auf hydrodynamische Probleme, 

in denen zusätzlich zu dynamischen auch statische Druckvariationen auftreten, 

von Vorteil. Hierdurch ist die Mindestanforderung zur Simulierung hydrodynamischer 

Probleme, die Konsistenz zum ruhenden System 

f = ∇p = const. , 

gewährleistet. Für aerodynamische Probleme ist diese Vorgehensweise ebenfalls vertretbar, 

da nennenswerte wandnormale Druckgradienten erst bei drastischer Stromlinienkrümmung 

in Erscheinung treten. Der tatsächlich im Programm implementierte Druck 

hängt häufig von der Wahl des Turbulenzmodells ab, worauf im nächsten Abschnitt 

kurz eingegangen wird. 

Wirbelzähigkeitsmodellierung 

Der überwiegende Teil der numerischen Verfahren verwendet zur Turbulenzmodellierung 

das Wirbelzähigkeitsprinzip (Boussinesq 1877) 

ρuiuj = 2 

3 δijρk 

 

− 2µt Sij − 1 

3 Skkδij 

 

µt := Wirbelzähigkeit = ρcµkTt 

Tt = z.B. k 

ε 

oder 

1 

cµω , 

(7.20) 

dessen isotroper Anteil innerhalb der Impulsbilanz üblicherweise in einen effektiven 

Durckterm absorbiert wird 

mit p EVM 

eff 

D(ρU) 

Dt 

= −∇pEVM 

eff 

+ ∇ · 

 

τ + τ 

t 

+ f (7.21) 

= p + 2 

3 (ρk + µt ∇ · U) , τ t = µt (∇ U + U ∇) . 

118

7.3. SCHNITTLASTBEZOGENE IMPULS- UND DRUCKRANDBEDINGUNGEN 

Die Divergenz des Geschwindigkeitsfelds ist, wie die Dichtevariation, im wandnächsten 

Grenzschichtbereich auch bei kompressiblen Strömungen in guter Näherung vernachläßigbar 

(im Fall adiabater Wände sogar Null). Die Randbedingung für die den effektiven 

Druck bestimmende Gleichung sollte aber in Abstimmung mit dem wandnahen 

Verhalten der Turbulenzenergie k formuliert werden. Bei low-Re Randbedingungen ist 

∂k/∂n = 0, in Einklang mit Gleichung (7.18), eine asymptotisch korrekte Annahme. 

Dies wird durch die Ergebnisse der in Abbildung (7.8) dargestellten direkten numerischen 

Simulation einer turbulenten Kanalströmung (Kim et al. 1987) bestätigt. Die 

Gültigkeit der Annahme wird häufig auch bei der Überbrückung des semi-viskosen Bereichs 

mit Wandfunktionen unterstellt, da die dadurch unterdrückte Diffusion von k 

im logarithmischen Bereich vergleichsweise klein ist. 

Die Variation des turbulenten Anteils von peff ist darüber hinaus meist wesentlich 

kleiner als die des statischen Drucks. Der turbulente Beitrag bereitet folglich keine 

Probleme in Bezug auf die Bestimmung des Wanddrucks nach Gleichung (7.19) 

∂p EVM 

eff(BP ) 

∂n 

= const . (7.22) 

Er kann jedoch möglicherweise Konvergenzprobleme erzeugen, vor allem wenn unplausible 

Werte auftreten. Abbildung (7.8) verdeutlicht, daß die Verhältnisse im Übergangsbereich 

(5 < Y + < 12) deutlich schwieriger werden, was die Zweckmäßigkeit von highoder 

low-Re Randbedingungen untermauert. 

2.00 

1.00 

0.00 

−1.00 

1 10 100 

Y + 

Dissipation/ε 

Produktion/ε 

Diffusion/ε 

(P+ε+D k )/ε 

Re t /200 

Abbildung 7.8: direkte numerische Simulation einer turbulenten Kanalströmung (Kim et 

al. 1987, Reτ = 395). Zerlegung der Turbulenzenergiebilanz in normierte Einzelterme. 

Reynoldspannungsmodellierung 

Im Zusammenhang mit Reynoldsspannungs–Turbulenzmodellen ermöglicht das apparent-pressure/viscosity 

Prinzip (Obi, Perić und Scheuerer 1991) eine zur Wirbelzähigkeitsmodellierung 

analoge Formulierung der Randbedingungen. Im Unterschied zum 

119

KAPITEL 

Wirbelzähigkeitsmodell setzt sich der effektive Druck hier aus statischem Druck und 

vollständigem Normalspannungsanteil zusammen 

p RSTM 

eff = p + ρ unun . (7.23) 

In Anlehnung an die vorstehenden Ausführungen haben sich Neumann–Randbedingungen 

für die Verträglichkeitsbeziehung des Drucks (7.17, 7.18) in inkompressiblen Strömun- 

gen bewährt. Die Berechnung des Wanddrucks erfolgt analog zu Gleichung (7.19) 

p RSTM 

 

eff(B) = p RSTM 

 

eff 

. (7.24) 

− ∂pRSTM eff 

∂n 

Letzteres begründet sich darauf, daß die Normalspannungskomponente unun in viskosen 

Bereichen von vierter Ordnung klein ist und in high-Re Zonen durch die Spannungstransformation 

an die Turbulenzenergie gekoppelt ist. 

7.3.2 Impulsgleichungen 

Die kartesischen Komponenten der Schnittkräfte müssen bei streng konservativer Formulierung 

der Impulsgleichungen als äussere Lasten bilanziert werden. Die in den Randflächen 

wirkenden Schub- und Druckkräfte lauten (vgl. Abbildung 7.7) 

σw = peff(B) ∆A n τ w = −π · n ∆A = − 

πsn tp + πnn n + ζ πzn ez ∆A .(7.25) 

Eine erste Abschätzung der Komponenten des Wandschubspannungstensors π folgt, 

auch im Falle der Reynoldsspannungsmodellierung, aus der formalen Anwendung der 

Wirbelzähigkeitshypothese 

(P ) 

π = µw (∇ U + U ∇) (B) . (7.26) 

Für undurchlässige, unbewegte Wände ergibt sich wegen der Zwangsbeziehungen (7.14) 

im wandorthogonalen System 

 

 

∂Us 

∂W 

πsn = µw 

, πnn = 0 , πzn = µw 

. (7.27) 

∂n (B) 

∂n (B) 

Die kartesischen Schnittlastbeiträge (σw + τ w) · ei erhält man aus (7.10), woraus sich 

die folgenden Quellterme der Impulsgleichungen ergeben 

U(P) : −∆A V(P) : −∆A 

 

α πsn + β peff(B) , 

 

β πsn − α peff(B) , 

W(P) : −∆A [ζ πzn] . (7.28) 

Die Geschwindigkeiten folgen damit ebenfalls dem Randbedingungstyp A. Die konkrete 

Berechnung der Schubkraftbeiträge zu (7.28) orientiert sich am Typ der zu Grunde 

liegenden Wandrandbedingung. 

120

7.4 High-Re Randbedingungen 

7.4. HIGH-RE RANDBEDINGUNGEN 

Die high-Re Hypothese strebt, wie bereits erwähnt, eine Parametrisierung des Strömungsfeldes 

mit der Wandschubspannungsgeschwindigkeit an. Hierzu werden zunächst 

die Randbedingungen der Geschwindigkeit und daran anschließend die Randbedingungen 

verschiedener Turbulenzmodelle skizziert. 


Im Anschluß an die Zwangsbedingungen (7.13, 7.14) ist lediglich der wandnahe Verlauf 

der Tangentialgeschwindigkeiten unbekannt. Dieser wird im Rahmen der high-Re 

Hypothese mit Hilfe von Wandfunktionen geschlossen. Die Wandfunktionen werden 

zumeist als universell angesehen, d.h. Krümmungseffekte werden nicht berücksichtigt. 

Sie können bei Bedarf nachträglich z.B. nach Van den Berg (1975) eingebracht werden, 

einen ausführlichen Vergleich unterschiedlicher Vorschläge für dreidimensionale Wandfunktionen 

führen Ölcmen und Simpson (1992) durch. Die vorausgesetzte Krümmungsfreiheit 

(→ Couette-Strömung) mündet letztlich in der Forderung nach Konstanz der 

effektiven Schubspannung zwischen B und P ′ 

τw = τlam + τturb = const. für n < ∆n . 

Die Gültigkeit der Wandfunktionen erstreckt sich erfahrungsgemäß jedoch weit über 

den Gültigkeitsbereich konstanter Schubspannungen hinaus. Galbraith, Sjolander und 

Head (1977) weisen auf die Tauglichkeit von Wandfunktionen in Situationen, in denen 

sich die effektive Schubspannung und die Wandschubspannung um einen Faktor vier 

unterscheiden, hin. Der allgemein dreidimensionale Fall folgt üblicherweise der zunächst 

beschriebenen Vorgehensweise für die planare Strömung. In Bezug auf die Behandlung 

verdrallter Strömungen wird daran anschließend eine von Kind, Yowakim und Sjolander 

(1989) vorgeschlagene Wandfunktion skizziert. 

Planare Strömung 

Die resultierende (relative) planare Wandtangentialgeschwindigkeit U (R) 

s 

nimmt im 

Rahmen der high-Re Hypothese einen logarithmischen Verlauf in Wandnormalenrichtung 

an, den man als Wandfunktion der Geschwindgkeit bezeichnet 

∂U (R) 

s 

∂n 

folgt U (R) 

s 

= Uτ 

κn 

= Uτ 

κ 

mit Y + = Uτ Y 

n , 

loge Y + + κB = Uτ 

κ 

loge(E Y + ) , 

κ = 0.41 , B = 5.2 , E = e κB . (7.29) 

Die Implementierung der Wandrandbedingung für die Geschwindigkeiten bedarf nach 

Gleichung (7.28) der Bestimmung einer effektiven planaren Schubspannungskompo- 

121

KAPITEL 

nente πsn. Dies geschieht üblicherweise mit Hilfe der planaren Wandschubspannungsgeschwindigkeit 

Uτ 

πsn = ρU 2 τ = Uτ 

 

κ ρ U (R) 

s 

log e (E Y + ) 

 

(P ′ ) 

πsn = τw := |τ w| . (7.30) 

Die verbleibende Abhängigkeit von Uτ mit Hilfe der Parametrisierung des Turbulenzfelds 

aufgelöst. 

Die angenommene Konstanz der effektiven Schubspannungen zwischen turbulentem 

und semi-viskosem Bereich liefert für das ins Auge gefasste Strömungsbeispiel unmittelbar 

− (ρ unus)(P ′ ) = τw = ρ(P ′ )U 2 τ ❀ Uτ 2 = τw/ρ = |usun|(P ′ ) . (7.31) 

Der Wertebereich der Reynolds’schen Schubspannung unterliegt keiner einfachen Restriktion. 

Er ist i.Allg. proportional zur Distorsionsgeschwindigkeitskomponente Ssn 

(7.20) und kann dadurch im Bereich von Strömungsablösung, nach entsprechendem 

Nulldurchgang, sogar das Vorzeichen wechseln. Für die Modellbildung ist eine stets 

positive Größe aus dem Variablensatz von Vorteil. In einem zweiten Schritt wird hierzu 

ein Zusammenhang zwischen der Turbulenzenergie und der Reynolds’schen Schubspannung 

postuliert 

k(P ′ ) = |uv|(P ′ ) 

√ 

cµ 

❀ Uτ = c 0.25 

µ 

 

k(P ′ ) . (7.32) 

Die Proportionalitätskonstante cµ wird im Zusammenhang mit Wibelzähigkeitsmodellen 

üblicherweise als das Quadrat des Anisotropiefaktors angesehen 

c EVM 

µ 

= 0.09 ≈ (u1u2) 2 + (u2u3) 2 + (u1u3) 2 

k 2 . (7.33) 

Die Annahme, es handele sich bei dieser Relation um eine universelle Konstante, ist 

zweifelsfrei falsch (Rung 1998b), für die Formulierung von high-Re Randbedingungen 

aber zweckmäßig. Der Vergleich mit Abbildung (7.3) empfielt zur Gewährleistung einer 

ausreichenden Gültigkeit den wandnächsten Knoten im Bereich von Y + ≈ 60 zu wählen 

πsn = 

c 0.25 

µ 

κ √ k ρ U (R) 

s 

log e (E Y + ) 

 

(P ′ ) 

mit U (R) 

s(P ′ ) ≈ Us(P ′ ) − Us(B) . (7.34) 

Aufgeteilt nach expliziten und impliziten Beiträgen ergeben sich die kartesischen Last- 

122

terme aus (7.10, 7.28, 7.34) für das Randkontrollvolumen zu 

U(P) : − 

⎡ √ 

0.25 κ c 

∆A ⎣α 

µ k ρ 

loge(E Y + 

) 

V(P) : − ∆A 

mit θHR = 

(P ′ ) 

− ∆A α 2 θHR (1 − ψ) U(P ) 

 

implizit 

Us(P ′ ) − Us(B) 

 

+ ∆A α θHR βV(B) − βV(P ′ 

) + αU(B) − αψU(N) 

 

explizit 

− ∆A β peff(B) , 

 

explizit 

⎡ √ 

0.25 ρ κ c 

⎣β 

µ k 

loge(E Y + 

) 

(P ′ ) 

− ∆A β 2 θHR (1 − ψ) V(P ) 

 

implizit 

Us(P ′ ) − Us(B) 

 

+ ∆A β θHR αU(B) − αU(P ′ 

) + βV(B) − βψV(N) 

 

explizit 

+ ∆A α peff(B) , 

 

explizit 

√ 

0.25 κ cµ k ρ 

loge(E Y + 

) 

(P ′ ) 

Y + 

(P ′ ) = 


∆n c 0.25 

µ 

⎤ 

 

+ β peff(B) ⎦ = 

⎤ 

 

− α peff(B) ⎦ = 

µ 

√ 

k ρ 

c EVM 

µ = 0.09 , κ = 0.41 , E = 8.432 . (7.35) 

Verdrallte Strömung 

Im Zusammenhang mit verdrallten Strömungen schlagen Kind et al. (1989) vor, die 

Wandfunktionen nach planarem und azimutalem Anteil zu unterscheiden. Mit Hilfe 

der Definition individueller Wandschubspannungsgeschwindigkeiten 

U ∗ τ 

Y + 

U 

= U 2 τ 

Qτ , W ∗ τ = W 2 τ 

Qτ 

= U ∗ τ 

κn 

, Y + 

W = W ∗ τ 

κn , 

mit Uτ = πsn/ρ , Wτ = πzn/ρ , 

, 

(P ′ ) 

Qτ = τw/ρ , τw = π 2 sn + π 2 zn , (7.36) 

123 

,

KAPITEL 

lassen sich wiederum logarithmische Wandfunktionen für die beiden Tangentialgeschwindigkeiten 

definieren 

n ∂ 

 

∂n 

∂U (R) 

s 

∂n 

 

W (R) 

s 

n 

= U ∗ τ 

κn 

= W ∗ τ 

κn 

, ❀ U (R) 

s 

, ❀ W (R) 

s 

= U ∗ τ 

κ 

= Ψw W ∗ τ 

κ 

loge(E Y + 

U ) , 

loge(E Y + 

W /Ψw) .(7.37) 

Zur Gewährleistung des logarithmischen Wandgesetzes (7.37) für die Azimutalkomponente 

wird die Funktion Ψw wie folgt erklärt (Abbildung 7.9) 

Aussenwand : Ψwa = 1 + n/rw Innenwand : Ψwi = 1 − n/rw . (7.38) 

Hieraus ergibt sich analog zu (7.30) unmittelbar die Definition der Wandschubspannungskomponenten 

πsn = (ρκQτ) 

∂U (R) 

s 

∂n 

∗2 

= ρUτ , πzn = (ρκQτ) n ∂ 

 

W 

∂n 

(R) 

 

s 

= ρW 

n 

∗2 

τ . (7.39) 

Die Umsetzung der Randbedingungen geschieht analog zu den vorstehend diskutierten 

planaren Anwendungen. Wegen (7.37) erhält man von (7.39, 7.34) 

πsn = ρQτ 

πzn = ρQτ 

2 Uτ 

Qτ 

2 Wτ 

Qτ 

κ U (R) 

s 

+ = 

loge E Y U 

Ψw log e 

κ W (R) 

s 

 

ΨwE Y + = 

W 

Uτ 

Qτ 

√ 

2 0.25 

(R) 

κ cµ k ρ U s 

+ 

loge E Y U 

Wτ 

Qτ 

2 κ c 0.25 

µ 

Ψw log e 

(P ′ ) 

√ (R) 

k ρ W s 

 

ΨwE Y + 

 

 

W 

, 

(P ′ ) 

. 

(7.40) 

Setzt man die zuletzt notierten Beziehungen in die Gleichungen (7.28) ein, dann notieren 

sich die Impulsrandbedingungen analog zu (7.35). 

Innenwand 

r 

n 

n 

r 

Aussenwand 

Abbildung 7.9: Illustration von Aussen- und Innenwand . 

124

7.4.2 Parameter der Wirbelzähigkeitsmodelle 


Turbulenzenergie k 

Die Randbedingungen für die Turbulenzenergie entsprechen dem Randbedingungstyp 

A, d.h. die wandnächsten Werte folgen aus der Integration der Transportgleichung. 

Im Unterschied zu den Impuls und Druckbilanzen werden im wandnächsten Bereich 

zusätzlich die Quellterme manipuliert. 

Bei der Formulierung der Druckrandbedingungen in Abschnitt 2.2.1 wurde bereits von 

der Neumann-Randbedingung für die Turbulenzenergiegleichung Gebrauch gemacht 

 

∂k 

= 0 und k(B) = k(P ) . (7.41) 

∂n 

(BP ′ ) 

Die Turbulenzenergie war darüber hinaus in Gleichung (7.32) an die Wandschubspannungsgeschwindigkeit 

gekoppelt worden. Diese Beziehung wird im Rahmen der Transportgleichung 

für k nur mittelbar, zur Manipulation der Produktion und Dissipationsterme, 

verwendet. Die Güte beider Annahmen läßt sich mit Hilfe der Abbildungen (7.3) 

und (7.8) beurteilen. 

Für die zur Formulierung der Randbedingung betrachtete Couette-Strömung lautet die 

Definition der Turbulenzenergieproduktion 

P = − (utun) ∂Ut 

∂n 

❀ (ρ P )(P ) = τw 

= τw 

ρ 

Qτ 

κn , 

√ 

0.25 k cµ κ∆n 

(P ) 

, (7.42) 

wobei τw aus (7.31) bzw. (7.36) folgt. Ergänzend zur Neumann-Randbedingung (7.41) 

und der Manipulation des Produktionsterms (7.42) wird in der wandnächsten Gitterzelle 

der Vernichtungsterm (zumeist ε oder ω) in der unten dargestellten Weise fixiert. 

Dissipationsrate ε 

Die Randbedingungen für die Dissipationsrate entspricht dem Randbedingungstyp B, 

d.h. die wandnächsten Werte sind durch physikalische Zwänge festgelegt. 

Das logarithmische Wandgesetzes basiert auf der Hypothese des lokalen Gleichgewichts 

von Produktion und Dissipation in der wandnächsten Gitterzelle (vgl. Abbildung 7.8). 

Die Anwendung der Couette-Strömungsbedingung (7.14) und (7.41) auf die Transportgleichung 

der Turbulenzenergie bestätigt die Gleichgewichtshypothese 

0 = P − ε 

unmittelbar, da sämtliche Transportterme verschwinden. Die Konsistenz zu den Modellgleichungen 

ist natürlich kein Beweis für die Existenz des lokalen Gleichgewichts, 

aber notwendige Voraussetzung für die Tauglichkeit der Randbedingung. 

125

KAPITEL 

Ersetzt man in (7.42) den Betrag der Wandschubspannung τw durch die Beziehungen 

(7.32) bzw. (7.36), dann ergibt sich eine Dirichlet-Randbedingung für den wandnächsten 

Feldknoten 

τw = ρQ 2 τ = ρ √ cµk ❀ ε(P ) (= P(P )) = 

 

0.75 cµ k3/2 

κ∆n 

(P ) 

. (7.43) 

In Zusammenhang mit (7.43) ist der Wandwert von ε für das Ergebnis der Simulation 

ohne Bedeutung, was explizt sichergestellt werden muß. Aus kosmentischen Gründen 

ergänzt man in der Regel 

ε(B) = ε(P ) . (7.44) 

Setzt man die wandnahen Werte der Dissipationsrate (7.43) und Turbulenzenergie 

(7.32) in die Definition der Wirbelzähigkeit (7.20) des k − ɛ Modells ein, so findet 

sich 

 

ρ cµ k 

µw = µt = 

2 

= κ∆n ρ Qτ . (7.45) 

ε 

Letzteres ist ein Indiz für die Zerlegbarkeit der turbulenten Zähigkeit in ein charakteristisches 

Längenmaß Lt und ein charakteristisches Geschwindigkeitsmaß Vt im Rahmen 

des logarithmischen Wandgesetzes 

(P ) 

µt = ρ Lt Vt = ρ κn Qτ , mit Lt = κn und Vt = Qτ . (7.46) 

Spezifische Dissipationsrate ω nach Wilcox 

Der Transfer zwischen der Dissipationsrate ε und der spezifischen Dissipatonsrate ω 

nach Wilcox (1988) resultiert aus den unterschiedlichen Definitionen der turbulenten 

Zähigkeit für das k − ε bzw. das k − ω Modell 

µt = ρ k 

ω = ρ cµ k2 ε 

 

ε 

❀ ω(P ) = 

cµ k 

 

(P ) 

1/2 k 

= 

κ ∆n 

c 0.25 

µ 

(P ) 

. (7.47) 

Da sich die Beziehung (7.47) wiederum auf den wandnächsten Punkt bezieht, ist auch 

der Wandwert von ω ohne Bedeutung und darf im Lösungsalgorithmus keine Berücksichtigung 

finden. Der Vollständigkeit halber ergänzt man analog zu (7.44) 

ω(B) = ω(P ) . (7.48) 

Die Randbedingungen für die spezifische Dissipationsrate entspricht dem Randbedingungstyp 

B. 

126

Spalart-Allmaras Modell 


Das Turbulenzmodell von Spalart und Allmaras (1992) ist im Ursprung ein low-Re 

Modell. Auf seine Erweiterung für high-Re Bereiche wird erst im Abschnitt ???????? 

eingegangen. 

7.4.3 Reynoldspannungen 

Die wandnahen Werte der Reynoldsspannungen lassen sich im Wandkoordinatensystem 

nach Lien und Leschziner (1994) aus einer für 2D Couetteströmungen bzw. Gleichgewichtsgrenzschichten 

vereinfachten Form der Transportgleichungen des Reynoldspannungsmodells, 

in denen Transportterme vernachlässigbar sind, ableiten 

Pij + Φij − 2 

3 ε δij = 0 

∂Uj 

mit ε = P , P = 0.5Pkk , Pij = uiuk 

∂xk 

∂Ui 

+ ujuk 

∂xk 

. (7.49) 

Φij bezeichnet den Tensor der Druck-Scherkorrelationen, welcher die Umverteilung von 

Turbulenzenergie zwischen einzelnen Spannungsanteilen beschreibt. Für lineare Druck- 

Scherkorrelationsmodelle Φij läßt sich die Gleichung (7.49), beginnend mit unun, für 

sämtliche Reynoldspannungskomponenten des wandorthogonalen Systems sukzessive 

lösen. Für das Beispiel des IP-Modells von Gibson und Launder (1978) 

Φij = Φ 1 ij + Φ 2 ij + Φ 1W 

ij + Φ 2W 

ij 

Φ 1 

uiuj 

ij = −C1ε 

k 

Φ 2 ij = −C2 

 

2 

− 

3 δij 

 

Pij − 2 

 

P δij 

3 

Φ 1W ε 

ij = C1W 

k (ukumnknmδij − 1.5(uiumnjnm + ukujnkni)) fwall 

Φ 2W 22 

ij = C2W Φkmnknmδij − 1.5(Φ 22 

imnjnm + Φ 22 

kjnkni) fwall 

mit : C1 = 1.8 , C2 = 0.6 , C1W = 0.5 , C2W = 0.3 (7.50) 

127

KAPITEL 

ergibt sich, unter Verwendung der kinematischen Vereinfachungen (7.14) und fwall ≈ 1, 

eine Randbedingung vom Typ B 

unun 

k 

 

(P ) 

 

usus 

k (P ) 

 

uzuz 

k (P ) 

 

|usun| 

k 

(P ) 

mit : φ = 

= 2 

3 

 

1 − φ − 2a 

1 + 2b 

= 2 

 

(1 + 2φ + a) + 

3 

= 2 

 

(1 − φ + a) + 

3 

= − 

 

C1 

2φ + 3a 

2 + 3b 

 

b (1 − φ − 2a) 

1 + 2b 

 

b (1 − φ − 2a) 

1 + 2b 

 

2 (1 − φ − 2a) 

3(1 + 2b) 

1 − C2 

, a = C2C2W 

, b = C1W 

. (7.51) 

Die oben entwickelte Randbedingung (7.51) für die Komponenten des Reynoldspannungstensors 

birgt naturgemäß sämtliche Vor- und Nachteile des zu Grunde liegenden 

Druck-Scherkorrelationsmodells in sich. Ein oft zitierter Kritikpunkt ist die symmetrische 

Wandlung wandnormaler Energiebeiträge unun in Tangentialanteile uzuz und 

usus. Dies steht im Widerspruch zu experimentellen Befunden, welche eine bevorzugte 

Speisung der Hauptströmungskomponente usus wiedergeben. Von den in (7.51) auftretenden 

freien Parametern ist i.Allg. nur der Parameter φ ≈ 0.23 bei linearen Modellen 

näherungsweise konstant. Die unten notierten Zahlenwerte werden trotzdem auch im 

Zusammenhang mit komplexeren Druck-Scherkorrelationsmodellen, z.B. Speziale, Sarkar 

und Gatski (1991) oder Fu, Launder und Tselepidakis (1987), verwendet 

unun 

k 

 

(P ) 

 

uzuz 

k (P ) 

= 0.25 

= 0.65 

C1 

 

usus 

= 1.10 

k (P ) 

 

|usun| 

k 

(P ) 

C1 

= 0.256 , (7.52) 

im Falle von Konvergenzproblemen empfiehlt sich eine Konsistenzprüfung. Das Vorzeichen 

der Schubspannungskomponente usun richtet sich, in Anlehnung an das Wirbelzähigkeitsprinzip 

(7.20), nach dem Vorzeichen des Tangentialgeschwindigkeitsgradienten 

usun · ∂Us 

∂n = usun · Us(P ) − Us(B) 

∆n 

128 

≤ 0 (7.53)

7.5. LOW-RE RANDBEDINGUNGEN 

Auffällig ist der im Vergleich zum EVM (7.32) und (7.33) niedrigere Anisotropieparameter 

c RSTM 

µ = (0.256) 2 = 0.0655 . (7.54) 

Dieser offenbart deutlich die Kalibirierung der RSTM für freie Scherschichten (z.B. 

ebene Freistrahlen), in denen man typischerweise 25-30% niedrigere Werte des Anisotropieparameters 

findet. Vielfach werden bei der Verwendung des Reynoldspannungsmodells 

daher auch die oben auftretenden Potenzen von cµ entsprechend (7.54) angepaßt. 

Die kartesischen Komponenten des Reynoldsspannungtensors erhält man nach 

Transformation mittels (7.11). 

U + 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

10 0 

Re δ =48460 

10 1 

10 2 

Y + 

SSG−RSTM 

GL −RSTM 

FLT−RSTM 

10 3 

k + 

5 

4 

3 

2 

1 

k−ε Modell 

k−ω Modell 

0 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

Y/δ 

uv + 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

DNS Kim et. al (Re δ =7700) 

0.0 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

Abbildung 7.10: Simulation einer voll-entwickelten turbulenten Kanalströmung mit high- 

Re Randbedingungen. Vergleich zwischen unterschiedlichen Wirbelzähigkeits- (k − ε, k − ω) 

und Reynolds-Spannungsmodellen (GL: Gibson und Launder (1978), SSG: Speziale et al. 

(1991), FLT: Fu et al. (1987)). 

7.5 Low-Re Randbedingungen 

Die Definition des low-Re Bereichs schwacher Turbulenzintensität wird häufig an einen 

Schwellwert für die Turbulenz-Reynoldszahl Ret gekoppelt (vgl. Abbildung 7.8) 

Ret := k2 

 

= 

ν ε 

k 

 

= 

cµ ν ω 

k+2 

≤ 100 . (7.55) 

ε + 

Low-Re Techniken erlauben die Vorgabe von ’natürlichen’, viskosen Randbedingungen 

für die Transportgleichungen. Die Formulierung natürlicher Randbedingungen ist vielfach 

einfacher als die Formulierung von wandfunktionsgestützten Randbedingungen. 

Aus strukturellen Gründen empfiehlt sich jedoch die oben entwickelte Formulierungstechnik 

prinzipiell beizubehalten und lediglich spezifische Werte zu modifizieren. Die 

Aussagen beschränken sich im Folgenden auf inkompressible, ebene oder allgemein 

dreidimensionale Konfigurationen. Analoge Beziehungen ergeben sich für verdrallte 

Strömungsfälle. 

129 

Y/δ

KAPITEL 


Die mittlere Tangentialgeschwindigkeit verläuft in der viskosen Unterschicht linear zum 

Wandabstand 

U + s = Y + 

❀ Us = U 2 τ n 

. (7.56) 

ν 

Der einzige Unterschied zur wandfunktionsbasierten Formulierung der Randbedingungen 

liegt in der Berechnung der Wandschubspannung. Diese ergibt sich im low-Re Fall 

aus dem Newton’schen Schubspannungsansatz 

πsn = τw := |τ w| = ρU 2 τ = µ ∂Us 

∂n = µ Us(P ′ ) − Us(B) 

. 

∆n 

(7.57) 

Die kartesischen Lasten für die Randkontrollvolumina erhält man durch Kombination 

von (7.10, 7.28, 7.57). Aufgeteilt nach expliziten und impliziten Beiträgen notiert man, 

analog zur Gleichung (7.35) 

U(P) : − 

 

∆A α µ 

Us(P 

∆n 

′ 

) − Us(B) + β peff(B) = 

V(P) : − ∆A 

mit θLR = µ 

∆n 

− ∆A α 2 θLR (1 − ψ) U(P ) 

 

implizit 

 

+ ∆A α θLR βV(B) − βV(P ′ 

) + αU(B) − αψU(N) 

 

explizit 

− ∆A β peff(B) , 

 

explizit 

 

β µ 

Us(P 

∆n 

′ 

) − Us(B) − α peff(B) 

− ∆A β 2 θLR (1 − ψ) V(P ) 

 

implizit 

 

+ ∆A β θLR αU(B) − αU(P ′ 

) + βV(B) − βψV(N) 

 

explizit 

+ ∆A α peff(B) , 

 

explizit 

Y + 

(P ′ ) = 

∆n c 0.25 

µ 

µ 

√ 

k ρ 

(P ′ ) 

= 

≤ 5 , 

c EVM 

µ = 0.09 , κ = 0.41 , E = 8.432 . (7.58) 

130

7.5.2 Parameter der Wirbelzähigkeitsmodelle 


Für low-Re Formulierungen spielt das asymptotische Verhalten der Turbulenzvariablen 

für n → 0 eine entscheidende Rolle. Den low-Re Randbedingungen der Turbulenzvariablen 

wird daher eine kurze Erläuterung ihres asymptotischen Verhaltens vorangestellt. 

Asymptotisches wandnahes Verhalten 

Aus der Wandhaftbedingung (7.13) und (7.14) schließt man für die Schwankungsgeschwindigkeiten 

einer im Mittel zweidimensionalen Grundströmung 

 

∂us 

= 

∂t 

∂uz 

 

 

= 0 , (7.59) 

∂z 

n=0 

und weiter aus der Kontinuitätsbeziehung für inkompressible Medien 

∇ · u = 0 ❀ 

 

∂un 

 

∂n 

= 0 . (7.60) 

Die Entwicklung der wandnahen Fluktuationen in Potenzen des Wandabstands lautet 

somit 

n=0 

n=0 

us = a1n + a2n 2 + a3n 3 + ... 

un = b2n 2 + b3n 3 + ... 

uz = c1n + c2n 2 + c3n 3 + ... , (7.61) 

weswegen sich die Reynoldsspannungen wie folgt darstellen lassen 

u 2 s = a 2 1n 2 + 2a1a2n 3 + (a 2 2 + 2a1a2)n 4 + ... 

u 2 n = b 2 2n 4 + ... 

u 2 z = c 2 1n 2 + 2c1c2n 3 + (c 2 2 + 2c1c2)n 4 + ... 

−usun = a1b2n 3 + (a2b2 + a1b3)n 4 + ... . (7.62) 

Für die Turbulenzenergie egibt sich in wandnähe ein quadratischer Anstieg 

k = 1 

2 (a2 1 + c 2 1)n 2 + 1 

2 (a1a2 + c1c2)n 3 + ... . (7.63) 

Die Koeffizienten der führenden Reihenglieder lassen sich z.B. durch Vergleich mit 

den bereits mehrfach zitierten Daten der direkten numerischen Simulation einer vollentwickelten 

Kanalströmung (Kim et al. 1987) ermitteln (Abbildung 7.11). Die auf 

diesem Wege gewonnenen Koeffizienten sind in Tabelle 7.1 zusammengetragen. Man 

beachte, daß sich die Summe der führenden Normalspannungskoeffizienten in sehr guter 

Übereinstimmung mit dem führenden Koeffizient der Turbulenzenergie befindet, 

der Vergleich zwischen a 2 1 b 2 2 und dem führenden Schubspannungskoeffizienten a1b2 

demgegenüber deutliche Inkonsistenzen aufweist. 

131

KAPITEL 

Tabelle 7.1: Koeffizienten der asymptotischen Entwicklung (7.62) durch 

Auswertung der DNS Ergebnisse für die Kanalströmung nach Abbildung 

(7.11). 

a 2 1 b 2 2 c 2 1 a1b2 0.5(a 2 1 + c 2 1) 

1.5 · 10 −1 9.5 · 10 −5 4.9 · 10 −2 9.0 · 10 −4 1.0 · 10 −1 

ε + 

10 2 |uv| + 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

ε + =0.199 

|uv| + 

=9*10 −4 

Y +3 

Y + 

10 0 

10 0 

k + 

u 2+ 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

k + =0.1 Y +2 

u 2+ 

=0.15 Y +2 

Y + 

10 0 

10 0 

w 2+ 

10 3 v 2+ 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

w 2+ =0.049 Y +2 

v 2+ 

=9.5*10 −5 

Y +4 

Abbildung 7.11: Asymptotisches Verhalten normierter statistischer Turbulenzvariablen 

aus direkter numerischer Simulation (Kim et al. 1987) einer turbulenten Kanalströmung 

(Reτ =395). 

Zwei der drei Hauptdiagonalenelemente des Dissipationstensors εij besitzen einen endlichen 

Wandwert, wohingegen die Nebendiagonalenelemente einen in n linearen Wert 

besitzen (vgl. Abbildung 7.11) 

 

∂ui ∂uj 

εij := = 2ν 

∂xk ∂xk 

❀ εss = 2ν a 2 1 , εnn = 0 , εzz = 2ν c 2 1 , aber z.B. εsn = 4ν a1b2n . 

Y + 

10 0 

10 0 

(7.64) 

Abbildung (7.11) verdeutlicht, daß eine Abschätzung der Turbulenzterme durch die 

führenden Glieder der Reihenentwicklung im Bereich von Y + ≤ 2 − 3 zulässig ist. 

132


k − ε Modell 

Die einfachste Randbedingung für die Turbulenzenergiegleichung ist sicherlich die Dirichlet-Bedingung 

k(B) = 0 , (7.65) 

die unmittelbar aus der Wandhaftbedingung folgt. Zur Gewährleistung der strukturellen 

Konsistenz von high-Re und low-Re Randbedingungen wird die asymptotisch 

richtige Neumann-Beziehung (7.41) empfohlen 

 

∂k 

= 0 , (7.66) 

∂n 

(BP ′ ) 

die formal k(B) = k(P ) impliziert. Der Unterschied zwischen (7.65) und (7.66) beschränkt 

sich mangels konvektiver Wandflüsse auf die Berücksichtigung der molekularen 

Diffusion. Der Wandwert k(B) ist daher in Verbindung mit (7.66) ohne Bedeutung 

und kann zu Null gesetzt werden. Die Variante (7.66) besitzt, wie Abbildung (7.12) 

zeigt, aufgrund ihrer höheren Toleranz für unzureichend aufgelöste low-Re Bereiche 

Vorteile gegenüber der Dirichlet-Randbedingung (7.65). 

U + 

20.0 

10.0 

0.0 

k−ω Dirichlet−Randbedingung 

k−ω Neumann−Randbedingung 

k−ε Dirichlet−Randbedingung 

k−ε Neumann−Randbedingung 

Re δ =177750 

Re τ = 6400 

0 1 10 100 1000 

Y + 

Abbildung 7.12: Einfluß der Wandrandbedingung für die Turbulenzenergie auf die 

mittleren Geschwindigkeitsprofile einer vollentwickelten Kanalströmung bei unzureichender 

Auflösung des low-Re Bereichs. 

Für die isotrope Dissipationsrate ε ergibt sich aus der asymptotischen Entwicklung 

(7.64) ein von Null verschiedener Wandwert 

εw = 1 

2 (εss 

 

∂ 

+ εnn + εzz)w = 2ν 

√ 2 2 

kw ∂ kw 

= ν 

∂n 

∂n2 

. (7.67) 

133

KAPITEL 

Anstelle der Beziehung (7.67) wird zumeist die asymptotisch korrekte Randbedingung 

für den ersten Feldpunkt der Dissipationsrate favorisiert 

 

ε(P ) = 2ν k 

∆n2 

. (7.68) 

Gleichung (7.68) vermeidet numerisch ungünstige Gradientenoperationen, und ist gegenüber 

alternativen Vorschlägen in (7.67) wegen der strukturellen Analogie zur high- 

Re Randbedingung (7.43) von Vorteil. Der Wandwert der Dissipationsrate ist für die 

numerische Integration bedeutungslos (was zu gewährleisten ist!), und kann in Einklang 

mit der asymptotischen Entwicklung dem benachbarten Feldwert gleichgesetzt 

werden. 

In Anlehnung an die unter 2.3.2 gemachten Bemerkungen soll auch für das k − ε Modell 

die Konsistenz der Modellgleichungen zu den Randbedingungen überprüft werden. 

Mit Hilfe der asymptotischen Entwicklung (7.62) sowie der Geschwindigkeitsbeziehung 

(7.56) lassen sich die einzelnen Terme in dem betrachteten Couette-Strömungsbeispiel 

nach ihrer Größenordnung in der viskosen Unterschicht abschätzen 

D k 

Dt 

= P − ε − Diffk 

mit 

(P ) 

D k 

Dt 

= 0 . (7.69) 

Die Beiträge der Turbulenzenergieproduktion P = usun ∂Us/∂n sind nach (7.62) von 

dritter Ordnung, diejenigen aus turbulenter Diffusion Diffk = (cµ k 2 /ε ∂k/∂n),n von 

vierter Ordnung klein. Im allgemeinen geht man daher vom Gleichgewicht zwischen 

molekular-diffusiven und dissipativen Termen der Turbulenzenenergiegleichung aus 

0 = ν ∂2k − ε . (7.70) 

∂n2 Dies steht in Einklang mit den oben genannten Randbedingungen und wird auch durch 

die in Abbildung (7.8) gezeigten Resultate belegt. 

Eine Abschätzung einzelner Terme der Basisgleichung der Dissipationsrate verdeutlicht 

die Problematik von einfachen k − ε Formulierungen im low-Re Bereich 

D ε 

Dt = 0 = Pε − Dissε + Diffε , 

Pε ∼ ε 

k P ∼ n , Dissε ∼ ε2 

k ∼ n−2 , Diffε ≈ 0 . (7.71) 

Gleichung (7.71) läßt sich ohne low-Re Modifikation nicht lösen. Um das Gleichgewicht 

wieder herzustellen wird im semi-viskosen Bereich entweder ein zusätzlicher 

Produktions- bzw. Quellterm (z.B. Lien und Leschziner (1993)), oder aber eine Reduktion 

des Vernichtungsterms (ε → ε − εw) durch entsprechende low-Re Funktionen 

eingebracht (z.B. Jones und Launder (1972), Chien (1982), Jakirlić (1997)). 

134

U + 

k + 

25.0 

20.0 

15.0 

10.0 

5.0 

0.0 

5.0 

4.0 

3.0 

2.0 

1.0 

0.0 

10 0 

10 0 

DNS Kim et al. (1987) 

LEA k−ε 

LL k−ε 

10 1 

10 1 

numerical mesh 

Re δ =7700 

Re τ =395 

Y + 

10 2 

10 2 

|uv| + 

ε + 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

0.20 

0.15 

0.10 

0.05 

0.00 

10 0 

10 0 


Abbildung 7.13: Simulation einer voll-entwickelten turbulenten Kanalströmung: Ergebnisse 

zweier linearer k − ε Modelle bei Verwendung der oben skizzierten low-Re Randbedingung 

(LL k − ε: Lien et al. 1993, LEA k − ε: siehe Anhang Glg. ??). 

k − ω Modell 

Die low-Re Randbedingung der Turbulenzenergiegleichung orientiert sich an den Gesetzmäßigkeiten 

des k − ε Modells. Dabei wird aus Konsistenzgründen und wegen der 

höheren Gittertoleranz wiederum eine Neumann-Randbedingung (7.66) bevorzugt. Der 

Wandwert der spezifischen Dissipationsrate 

ω = ε 

cµk 

wird aufgrund der Reziprozität zur Turbulenzenergie definitionsgemäß singulär. Eine 

Randbedingung für den ersten Feldpunkt ergibt sich aus der Analyse der Transportgleichungen 

des k − ω Modells in der viskosen Unterschicht. Ausgangspunkt der Überlegungen 

ist wiederum das für kleine Turbulenz-Reynoldszahlen gültige Gleichgewicht 

zwischen molekularer Diffusion und Dissipation 

0 = −β ∗ ωk + ∂ 

 

ν 

∂n 

∂k 

 

, β 

∂n 

∗ = cµ = 0.09 , (7.72) 

0 = −βω 2 + ∂ 

 

ν 

∂n 

∂ω 

 

∂n 

Hierfür lassen sich mit Hilfe der Ansatzfunktionen 

, β = 3 

40 

10 1 

10 1 

Y + 

10 2 

10 2 

. (7.73) 

ω = ζn p , k = ζ ∗ n q , (7.74) 

135

KAPITEL 

geschlossene analytische Lösungen angeben 

(7.72) : ζ = 6ν 

β 

(7.73) : 

und p = −2 ❀ ω(P ) = 6ν(P ) 

, (7.75) 

β ∆n2 β 

β∗ (q2 

− q) = 6 ❀ q = 0.5 1 + 1 + 24 β∗ 

 

β 

≈ 3.23 .(7.76) 

Die Beziehung (7.75) dient als Randbedingung für die spezifische Dissipationsrate im 

wandnächsten Feldpunkt P . Der Wandwert ist ohne Bedeutung und kann nach seiner 

Entkopplung vom Gleichungssystem dem benachbarten Feldwert gleichgesetz werden. 

Alternativ hierzu schlägt Menter (1994) vor, den Wandwert im Gleichungssystem zu 

belassen, und diesen (anstelle des Feldwertes) auf den zehnfachen Wert (7.75) zu setzten. 

Wilcox (1988) gibt darüberhinaus eine Möglichkeit zur Behandlung rauher Oberflächen 

an. Für mäßige Oberflächenrauhigkeiten (kleine Rauhigkeitshöhen ∆r) läßt sich (7.75) 

wir folgt modifizieren 

ω(P ) = 6ν 

⎛ 

min ⎝1, 

βn2 2500 β 

6 

⎞ 

2 

˜∆r 

⎠ , mit ∆r 

˜ = min 

n 

 

∆r, 25ν 

 

Uτ 

. (7.77) 

Die Beziehung (7.77) verlangt die Kenntnis der Wandschubspannungsgeschwindigkeit, 

deren Berechnung entsprechende Anforderungen an das Auflösungsvermögen stellen. 

Gleichung (7.76) deutet auf ein asymptotisches Fehlverhalten der Turbulenzenergiegleichung 

mit abnehmendem Wandabstand hin (q = −2). Das Problem läßt sich, wie 

Abbildung (7.14) verdeutlicht, durch eine low-Re Modifikation des Verhältnisses β ∗ /β 

bereinigen (z.B. Wilcox (1994) oder Peng, Davidson und Holmberg (1997) ) 

β 

lim 

Ret→0 

∗ 

β 

= 1 

3 

❀ β ∗ LR → 1 

40 

= 5 

18 βHR . (7.78) 

Spalart-Allmaras Modell 

Für die turbulente Zähigkeit findet man aus (7.62) und (7.56) einen in wandnähe 

kubischen Werteabfall 

νt = |usun| 

−1 ∂Us 

∼ n 

∂n 

3 

❀ νt(B) = ∂ν t(BP ) 

∂n 

= 0 , (7.79) 

deswegen ist sowohl die Dirichlet- als auch Nullgradientenbedingung asymptotisch korrekt. 

Die Herleitung der Transportgleichung nach Spalart und Allmaras (1992) für 

136

U + 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

10 0 

standard Wilcox (1988) 

Re τ =395 

Re δ =7700 

10 1 

Y + 

10 2 

k + 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

10 0 

modified Wilcox (1994) 

10 1 

Y + 

10 2 


uv + 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

10 0 

DNS Kim et. al (1987) 

10 1 

Y + 

Abbildung 7.14: Simulation einer voll-entwickelten turbulenten Kanalströmung: Vergleich 

zwischen modifiziertem (Wilcox, 1994) und herkömmlichen k − ω (Wilcox, 1988) Modell. 

die turbulente Zähigkeit ˜νt lehnt sich eng an die Transportgleichungen des k − ε Modells 

an (Rung 1998a), und zeigt ein ähnliches Verhalten in Bezug auf die unzureichende 

numerische Auflösung semi-viskoser Bereiche. Die Verwendung einer Neumann- 

Randbedingungen erscheint daher geeigneter. 

7.5.3 Reynoldspannungen 

Die Formulierung der low-Re Wandrandbedingung einzelner Reynoldsspannungskomponenten 

erfolgt analog zum high-Re Fall (7.51). Die im wandnächsten Rechenknoten 

eingesetzten Werte gewinnt man aus der asymtotischen Entwicklung (7.62) 

 

 

 

u 2 s 

k 

u 2 n 

 

k 

 

u 2 z 

k 

|usun| 

k 

 

 

(P ) 

(P ) 

(P ) 

(P ) 

= 

= 

= 

= 2 a1b2 

2 a 2 1 

a 2 1 + c 2 1 

2 b 2 2 

a 2 1 + c 2 1 

2 c 2 1 

a 2 1 + c 2 1 

a 2 1 + c 2 1 

+ ... ≈ 1.5 

n 2 + ... ≈ 0 

+ ... ≈ 0.5 

10 2 

n + ... ≈ 0 (7.80) 

Einen ausführlichen Vergleich verschiedener low-Re RSTM, inklusiver einer weiterführenden 

Diskussion ihrer Randbedingungen und etwaiger Modifikationen der Dissipationsratengleichung, 

findet man bei Jakirlić (1997). Abbildung (7.15) und (7.16) geben 

einen Überblick über die Leistungsfähigkeit einiger Reynoldsspannungs-Transportgleichungsmodelle 

in Bezug auf Wandturbulenz. Dabei handelt es sich um den Vergleich 

zwischen drei nicht wandmodifizierten Modellen (GL: Gibson und Launder (1978); SSG 

137

KAPITEL 

U + 

|uv| + 

30.0 

20.0 

10.0 

0.0 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

10 0 

10 0 

FLT−RSTM 

HJ −RSTM 

mod. SSG 

10 1 

10 1 

Y + 

10 2 

10 2 

k + 

u 2+ 

6.0 

5.0 

4.0 

3.0 

2.0 

1.0 

0.0 

8.0 

6.0 

4.0 

2.0 

0.0 

10 0 

10 0 

DNS (Kim, 1987) 

10 1 

10 1 

Y + 

10 2 

10 2 

ε + 

v 2+ 

0.2 

0.1 

0.0 

1.5 

1.0 

0.5 

0.0 

10 0 

10 1 

10 2 

GL −RSTM 

SSG−RSTM 

1 10 100 

Y + 

Abbildung 7.15: Simulation einer voll-entwickelten turbulenten Kanalströmung bei Reτ = 

395: Ergebnisse der verschiedener low-Re Reynoldsspannungsmodelle. 

Speziale et al. (1991); FLT: Fu et al. (1987)) und zwei Modellen mit Wandmodifikation 

(HJ: Jakirlić (1997); modifiziertes SSG Modell). Man beachte, daß die meisten Druck- 

Scherkorrelationmodelle ohne explizite Wandmodifikation des Rotta-Terms Φ 1 ij die an 

der Wand vorherrschende Zwei-Komponenten-Turbulenz nicht wiedergeben. Deutlich 

erkennt man, daß die starke Spannungsanisotropie im low-Re und Übergangsbereich 

nur mit Hilfe einer besonderen Modifikation des Rotta-Terms, die letztlich die Gestalt 

einer bereichsweise anisotropen Behandlung der Dissipation annimmt, rechnerisch 

nachvollzogen werden kann (HJ-Modell & mod. SSG). Die Modelle ohne Wandmodifikation 

wurden in Kombination mit dem Wilcox (1988) k − ω Modell gelöst, was 

zumindest eine korrekte Vorhersage der turbulenten Schubspannungen gewährleistet. 

7.6 Universelle high-Re Randbedingung 

Grotjans und Menter (1998) schlagen vor, anstelle der konventionellen high-Re Randbedingung 

eine Randbedingung zu eingefrorenen Werten Y + zu verwenden. Hintergrund 

dieser Bemühungen ist die Stabilisierung von Mehrgitter-Beschleunigungstechniken in 

industriellen Anwendungen. Große Variationen von Y + können die Effizienz des Mehrgitterzyklus 

drastisch herabsetzen, vor allem wenn der Gültigkeitsbereich der high-Re 

Hypothese dabei verletzt wird. Die Autoren schlagen vor, den Rand der numerischen 

Integration strömungsmechanisch nicht durch die Wand zu definieren, sondern durch 

138

U + 

|uv| + 

30.0 

20.0 

10.0 

0.0 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

10 0 

10 0 

10 1 

10 1 

HJ −RSTM 

mod. SSG 

10 2 

10 2 

Y + 

10 3 

10 3 

k + 

u 2+ 

6.0 

5.0 

4.0 

3.0 

2.0 

1.0 

0.0 

8.0 

6.0 

4.0 

2.0 

0.0 

10 0 

10 0 

10 1 

10 1 

10 2 

10 2 

Y + 

7.6. UNIVERSELLE HIGH-RE RANDBEDINGUNG 

10 3 

10 3 

ε + 

v 2+ 

0.2 

0.1 

0.0 

2.0 

1.5 

1.0 

0.5 

0.0 

10 0 

10 0 

Re τ =2200 

10 1 

10 1 

10 2 

GL −RSTM 

SSG−RSTM 

10 2 

Y + 

Abbildung 7.16: Simulation einer voll-entwickelten turbulenten Kanalströmung bei Reτ = 

2200: Ergebnisse der verschiedener low-Re Reynoldsspannungsmodelle (offene Kreise entsprechen 

skalierten DNS-Daten (Reτ = 395) und dienen nur zur Orientierung). 

den Rand des semi-viskosen Bereichs. Bei der Umsetzung wird davon Ausgegangen, daß 

das der Rand des, i.Allg. extrem dünnen semi-viskosen Bereichs, in guter Näherung der 

Körperkontur folgt. 

7.6.1 Zweiparameter-Turbulenzmodelle 

Anstelle der Fixierung des Wandknotens, wird im Folgenden eine dementsprechende 

Korrektur der high-Re Randbedingung dargestellt. Die Implementierung einer universell 

einsetzbaren high-Re Randbedingung verlangt im wesentlichen zwei Änderungen 

• Modifikation des dimensionslosen Wandabstands Y + aus (7.35) 

ˆY + 

(P ′ √ 

0.25 ∆n cµ k ρ 

) = 11.6 + 

µ 

. (7.81) 

• konsistente Korrektur des dimensionsbehafteten Wandabstands ∆n 

∆ˆn = 

c 0.25 

µ 

µ 

√ 

k ρ 

139 

(P ′ ) 

10 3 

10 3 

ˆY + 

(P ′ ) . (7.82)

KAPITEL 

Zusätzlich ist die wandtangentiale Relativgeschwindigkeit U (R) 

s(B) durch 

U (R) Uτ 

s(B) = 

κ log + 

e EY 

festgelegt, was jedoch nur kosmetische Auswirkungen hat. 

(7.83) 

Eine etwas andere Variante ergibt sich aus der unten stehenden Modifikation des dimensionslosen 

Wandabstands 

˜Y + 

(P ′ ⎡ 

√ ⎤ 

0.25 ∆n c 

) = max ⎣ µ k ρ 

, 11.6⎦ 

. (7.84) 

µ 

Aus Konsistenzgründen bedarf es wiederum einer Korrektur des dimensionsbehafteten 

Wandnormalenabstands ∆n 

∆ñ = 

c 0.25 

µ 

µ 

√ 

k ρ 

(P ′ ) 

˜Y + 

(P ′ ) , (7.85) 

auf eine Korrektur des Wandgeschwindigkeitswerts kann verzichtet werden. Alle weiteren 

Randbedingungen entsprechen denen der konventionellen high-Re Randbedingung. 

Die hiermit erzielten Ergebnisse für eine voll-entwickelte turbulente Kanalströmung 

sind in Abbildung (7.17) für unterschiedliche Turbulenzmodelle dargestellt. 

U + 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

10 0 

Re δ =12000 

10 1 

10 2 

Y + 

SSG−RSTM 

GL −RSTM 

FLT−RSTM 

10 3 

k + 

5 

4 

3 

2 

1 

k−ε Modell 

k−ω Modell 

0 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

Y/δ 

uv + 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

DNS Kim et. al (Re δ =7700) 

0.0 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

Abbildung 7.17: Simulation einer voll-entwickelten turbulenten Kanalströmung: Ergebnisse 

der universellen high-Re Randbedingung (Grotjans et al., 1998) auf einem low-Re Gitter (vgl. 

z.B. Abbildung 7.14) in Kombination mit unterschiedlichen Turbulenzmodellen. 

7.6.2 Spalart-Allmaras Modell 

Die Anwendung der unversellen high-Re Technik auf Einparametermodelle setzt deren 

Lokalität voraus; die Formulierung des Basismodells sollte den Wandnormalenabstand 

folglich nicht explizit verwenden. Das Eingleichungsmodell von Spalart-Allmaras 

(1992) verletzt diese Voraussetzung, da es den Wandnormalenabstand n nicht nur 

140 

Y/δ

7.6. UNIVERSELLE HIGH-RE RANDBEDINGUNG 

zur Bestimmung der low-Re Dämpfungsfunktionen, sondern auch zur Berechnung des 

Produktions- und Vernichtungsterms benutzt 

Prod˜νt = Cb1 ˜νt 

 

2WijWij 

˜νt 

+ fν2 

κn 

Diss˜νt = Cw1 fw(n) 

2 ˜νt 

n 

.(7.86) 

Die universelle high-Re Technik kann zwar formal, durch Kombination der oben beschriebenen 

Y + und ∆n Modifikationen zur Bestimmung der Impulsrandbedingungen 

zusammen mit der Dirichlet-Randbedingungen für die Transportvariable ˜νt 

 

˜νt = ν κ (P ) ˆ Y + 

 

(7.87) 

verwendet werden, bei starkem Unterschreiten des tatsächliche Y + Wertes durch ˆ Y + 

versagt diese Modellbildung jedoch (vgl. Abbildung 7.18) wegen der zunehmenden Inkonsistenz 

zwischen der Feldfunktion des Wandnormalenabstands und den korrigierten 

Werten ˆ ∆n. Die in (7.81) und (7.84) auftretenden Werte der Turbulenzenergie lassen 

sich konsistent zur im SA Modell verankerten Hypothese vom lokalen Gleichgewicht 

durch 

abschätzen. 

U + 

20.0 

10.0 

0.0 

k(P ) = 

 

2SijSij 

c EVM 

µ 

Hybrid Adaptiv Approach 

Universal High−Re Approach 

Re τ =760, Re δ =16075 

Y + 

P =5 

(P ) 

νt 

 

(P ) 

0 1 10 100 1000 

Y + 

(7.88) 

Abbildung 7.18: approximierte mittlere Geschwindigkeitsprofile: Vergleich zwischen universeller 

und hybrider Technik im Zusammenhang mit dem Eingleichungsmodell von Spalart 

et al. (1992). 

141

Kapitel 8 Eingleichungsmodelle 

Die Simulation industrieller Strömungsprobleme basiert aus Effizienz- und Stabilitätsgründen 

zumeist auf linearen niederparametrigen Wirbelzähigkeits–Turbulenzmodellen 

(EVM). Hierzu zählen beispielsweise das algebraische Baldwin–Lomax Modell (1978), 

das Spalart–Allmaras (1992) Einparametermodell und das k–ε Zweiparametermodell 

(Jones und Launder 1972). Für den Einsatz in extrem kostenintensiven Simulationsaufgaben, 

beispielsweise der Untersuchung instationärer Strömungsphänomene an hochbelasteten 

dreidimensionalen Konfigurationen, besteht gegenwärtig ein Trend zur Verwendung 

von Einparametermodellen. Ungeachtet ihrer simplen Formulierung und der 

numerischen Vorteile ist die Einparametermodellierung mit Defiziten in Bezug auf die 

physikalisch korrekte Darstellung von Nichtgleichgewichtszuständen behaftet. Die Formulierung 

von Eingleichungsmodellen basiert in der Regel auf der hypothetischen Annahme 

des lokalen Gleichgewichtszustands zwischen Produktion(P ) und Dissipation(ε) 

von Turbulenzenergie(k): 

P ≡ ε . 

Dabei handelt es sich nicht um eine partiell in den Modellierungsprozess eingebrachte 

Annahme zur Vereinfachung einzelner Terme, sondern vielmehr um einen inhärenten 

Bestandteil der Modellierungspraxis. Die Güte der numerischen Simulation auf der 

Basis von Eingleichungsmodellen ist folglich in besonderer Weise von der Gültigkeit 

dieser Voraussetzung abhängig. Exemplarisch für diesen Sachverhalt soll im Folgenden 

das Eingleichungsmodell von Spalart und Allmaras (1992) analysiert werden. Durch 

Herleitung des Modells aus hierarchisch übergordneten Zweiparametermodellen wird 

zunächst die besondere Problematik der Parameterreduktion in Hinblick auf die Erweiterung 

des Gültigkeitsbereichs mit rationalen Techniken herausgearbeitet. 

8.1 Spalart–Allmaras Modell 

Ausgangspunkt der vorliegenden Untersuchungen ist das Eingleichungsmodell von Spalart 

und Allmaras (1992). Die wesentlichen Bestandteile des Spalart–Allmaras (SA) 

Modells sind zum einen eine modifizierte Variante des Wirbelzähigkeitsprinzips für 

inkompressible Medien (Boussinesq 1877): 

uiuj = −νt Sij , 

νt = fν1 ˜νt , (8.1) 

sowie zum anderen eine semi-empirische Transportgleichung zur Bestimmung der Wirbelzähigkeit 

˜νt: 

D˜νt 

Dt 

 

∂ 

− ν + 

∂xk 

νt 

 

∂˜νt 

= P˜νt + 

P r˜νt ∂xk 

Produktion 

∂˜νt ∂˜νt Cb2 

∂xk ∂xk P r˜νt 

 

nicht konserv. Diffusion 

142 

− fw 

Cb1 

˜ν 2 t 

κ2 1 + Cb2 

+ 

P r˜νt l2 n 

Vernichtung 

.(8.2)

KAPITEL 

Die Darstellung des Produktionsterms in (8.2) ist im Verlauf der weiteren Diskussion 

von Bedeutung. Die Originalformulierung des Terms lautet: 

P˜νt = Cb1˜νt ˜ 

S mit S ˜ = 2WijWij + ˜ f2Ψ , Ψ = ˜νt 

κ2 l2 . (8.3) 

n 

Die in den Beziehungen (8.1)–(8.3) verwendeten Dämpfungsfunktionen ergeben sich 

aus: 

fν1 = 

(ν + t ) 3 

C 3 ν1 + (ν + t ) 3 , fν2 = 1 − 

ν + t = ˜νt 

ν , g = r 5 

1 + Cw2 r − 1 

ν + t 

1 + fν1ν + t 

6 1 + Cw3 , fw = g 

g6 + C6 1/6 w3 

r = Ψ 

˜S 

. (8.4) 

In den Gleichungen (8.2)–(8.4) kennzeichnet κ die von-Kármán-Konstante, ln den 

Wandnormalenabstand und Sij bzw. Wij den symmetrischen und antimetrischen Anteil 

des Geschwindigkeitsgradiententensors: 

∂Ui 

∂xj 

= Sij + Wij , Sij = 1 

2 

∂Ui 

∂xj 

+ ∂Uj 

 

∂xi 

Die von Spalart & Allmaras verwendeten Koeffizienten lauten: 

Cb1 = 0.1355, Cb2 = 0.622, Cν1 = 7.1, 

, Wij = 1 

 

∂Ui 

− 

2 ∂xj 

∂Uj 

 

∂xi 

, 

. (8.5) 

Cw2 = 0.3, Cw3 = 2, κ = 0.41, P r˜νt = 2 

. (8.6) 

3 

Das Spalart–Allmaras Modell weist drei formale Besonderheiten auf: 

(a) Im Rahmen der verwendeten Konstitutivgleichung (8.1) entspricht die Turbulenzenergie 

nicht der Summe der Normalspannungen. Vielmehr liefert die Kontraktion 

von (8.1) im inkompressiblen Fall Null, bzw. im kompressiblen Fall (−νt∇ · U). 

(b) Die Definition von ˜ S läßt im wandnahen Bereich negative Produktionsterme zu, 

was im Rahmen von Wirbelzähigkeitsmodellen zumindest unüblich ist und destabilisierend 

auf das numerische Verfahren wirkt. 

(c) Ferner steht die Proportionalität des Produktionsterms zur zweiten Invarianten 

des Wirbeltensors im Widerspruch zum Boussinesq-Ansatz bzw. zum Drehimpulserhaltungssatz 

auf der Ebene des Zweiparametermodells (Rung 1998b). Diese 

Vorgehensweise wurde in jüngster Zeit von vielen Autoren zur verbesserten 

Modellierung von Prallstralleffekten im Rahmen der Zweiparametermodellierung 

eingeführt (Kato und Launder 1993; Jin und Braza 1994), da die klassische, scherbezogene 

Formulierung vielfach mit einer Überschätzung der Produktionsterme 

in rotationsarmen Zonen verbunden ist. 

143

KAPITEL 

8.1.1 Edwards Modifikation 

Edwards (1996) modifizierte das Spalart–Allmaras Modell in Hinblick auf eine Stabilisierung 

des Verhaltens im semi–viskosen Bereich (SAE Modell). Kernpunkt der 

Edwardsmodifikationen ist eine veränderte Dämpfungsfunktion zur Definition einer ef- 

fektiven Scherrate 

˜S = S ∗ 

 

1 

ν + 

+ fν1 . (8.7) 

t 

Die Beziehung (8.7) gewährleistet, im Unterschied zur Originalformulierung, einen positiven 

Produktionsterm. Darüber hinaus greift Edwards das o.a. Merkmal (c) auf und 

verwendet die übliche Norm des divergenzfreien Distorsionsgeschwindigkeitentensors 

˜Sij zur Definition der Produktionsterme 

S ∗ 

= 2 ˜ Sij ˜ Sij , mit Sij 

˜ = Sij − 1 

3 δijSkk . (8.8) 

Abschließend erfolgt noch eine Modifikation des Arguments des Dämpfungsparameters 

g im Rahmen der Edwardsmodifikationen 

g = r 

5 Ψ 

1 + Cw2 r − 1 r = 1.313 tanh . (8.9) 

˜S 

Das SAE Modell zeichnet sich vor allem durch seine höhere numerische Stabilität aus. 

Die Qualität der Ergebnisse entspricht in der Regel derjenigen des Originalmodells. 

Das SAE Modell bildet daher die zweite Grundlage der vorliegenden Arbeit. 

8.2 Parameterreduktion 

Die Tubulenzmodellierung auf der Basis von Eingleichungsmodellen läßt sich sowohl 

auf empirischem als auch auf rationalem Wege beschreiten. Letzteres beinhaltet die systematische 

Reduktion eines hierarchisch übergeordneten Zweiparametermodells um 

einen Modellparameter. Zur Verdeutlichung dieser Methode konzentrieren sich die 

Ausführungen des folgenden Abschnitts auf die Herleitung des Produktionsterms des 

Spalart–Allmaras Modells aus einem Zweiparametermodell. Analoge Betrachtungen 

können für sämtliche anderen Bestandteile der Formulierung gemacht werden. Die Analyse 

des Produktionsterms ist jedoch besonders dienlich für die Erweiterung des Modells 

auf Nichtgleichgewichtszustände. 

Im Unterschied zu Baldwin und Barth (1991) haben Spalart und Allmaras die rationale 

Vorgehensweise bewußt nicht mit letzter Konsequenz verfolgt. Tatsächlich ist eine 

strenge Herleitung der Transportgleichung der Wirbelzähigkeit aus einem Zweiparametermodell 

nur für die differentiationsfreien Terme empfehlenswert. Der folgende Abschnitt 

zeigt, daß sich sämtliche Produktions- und Vernichtungsbeiträge des Zweigleichungsmodells 

im Rahmen der Parameterreduktion zu einem einzigen Term verjüngen 

lassen. Die Reduktion der scheinbar weniger bedeutenden Diffusionsterme des Zweigleichungsmodells 

führt auf ergänzende Diffusions- und Vernichtungsterme im Einparameterkontext. 

144

8.2.1 Transportgleichung der Wirbelzähigkeit 

KAPITEL 

Ausgangspunkt der Untersuchungen ist die Entwicklung einer Transportgleichung für 

νt aus der Definition der Wirbelzähigkeit für ein beliebiges Zweiparametermodell, hier 

exemplarisch das k-ε Modell (Jones und Launder 1972): 

 

νt := cµ 

k 2 

ε 

❀ 

D νt 

Dt = 

D 

cµk 2 

Dt 

ε 

. (8.10) 

Mit Hilfe der Kettenregel ergibt sich ein Zusammenhang zwischen der gesuchten Transportgleichung 

für νt und den Transportgleichungen des zu Grunde liegenden Zweipa- 

rametermodells: 

D νt 

Dt 

= cµ 

2k 

ε 

D k 

Dt − 

k 

ε 

 

2 

D ε 

. (8.11) 

Dt 

8.2.1.1 Produktionsterm (Bradshaw–Hypothese) 

Im weiteren Verlauf wird zunächst der Produktionsterm der Transportgleichung für νt 

analysiert. Dieser setzt sich aus der Summe der Produktions- und Vernichtungstermen 

des Hintergrundmodells zusammen: 

(8.11) ❀ Pνt = cµ 

2k 

ε 

 

(P − ε) − 

2 k 

(Cε1P − Cε2ε) 

ε 

 

ε 

 

k 

 

. (8.12) 

Im Rahmen des Eingleichungsmodells ist νt die einzige abhängige Veränderliche. Zur 

Schließung der Transportgleichung für νt, hier insbesondere der in (8.12) skizzierten 

Produktionsanteile, müssen die ursprünglichen Veränderlichen k und ε auf die neue 

Veränderliche νt abgebildet werden. Dies geschieht in zwei Schritten. Im ersten Schritt 

wird die Dissipationrate ε unter Verwendung der Definition der isotropen Wirbelzähigkeit 

als Funktion der Turbulenzenergie und der Wirbelzähigkeit dargestellt: 

k 

ε = cµ 

2 

. (8.13) 

νt 

Hieraus ergibt sich ein neues Zweiparametermodell auf der Basis der abhängigen Veränderlichen 

k und νt. Der Produktionsterm der νt Gleichung lautet darin: 

 

2 νt k 

Pνt = cµ 

P − cµ 

2 

νt 

k 

− Cε1P − Cε2cµ 

2 

. (8.14) 

k cµ 

νt 

Daran anschließend wird die zweite abhängige Veränderliche k auf die Wirbelzähigkeit 

νt abgebildet. Dies geschieht in Anlehnung an die Strömungsverhältnisse im logarithmischen 

Bereich einer zweidimensionalen Grenzschichtströmung, der sogennanten 

Bradshaw–Hypothese (Bradshaw und Ferris 1972): 

145 

k cµ 

νt

KAPITEL 

2D Log-Law: k = |u′ v ′ | 

√ cµ 

❀ k = 

= νt 

 

 

 

dU 

√cµ dy 

νtS ∗ 

√ cµ 

νt 

= √cµ S ∗ 

mit S ∗ = 2SijSij , 

und ε = νtS ∗2 . (8.15) 

Setzt man die in (8.15) vereinbarte Parameterreduktion in die Beziehung (8.14) ein, so 

ergibt sich für die Produktion von νt = ˜νt: 

P˜νt = √ cµ (˜νtS ∗ ) [(2 − Cε1) − (2 − Cε2)] 

= √ cµ (˜νtS ∗ ) [Cε2 − Cε1] . (8.16) 

Mit Hilfe des Koeffizientensatzes Cε2 = 1.90, Cε1 = 1.45 und cµ = 0.09 verifiziert man 

die von Spalart und Allmaras (1992) angegebene Formulierung des Produktionsterms 

in Gestalt von: 

P˜νt = 0.135 (˜νtS ∗ ) . (8.17) 

Die Diffusions- und Vernichtungsterme der Transportgleichung für ˜νt lassen sich in 

analoger Weise nachrechnen. 

Auswirkungen der Bradshaw–Hypothese 

Die oben skizzierte Parameterreduktion mit Hilfe der Bradshaw–Hypothese ist mit 

einer strukturellen Veränderung des Produktionsterms verbunden. Üblicherweise führt 

die Herleitung von Transportgleichungen für skalare Turbulenzvariablen (k, ε, ω, etc.) 

im Zweiparameterkontext auf Produktionsterme der Form 

PΦ = ΦS ∗ (αΦS) mit S = TtS ∗ = k 

ε S∗ , 

z.B. αk = 0.09 , αε = 0.13 , αω = 0.05 . (8.18) 

Dies gilt ursprünglich auch für den Produktionsterm (8.12) einer νt–Transportgleichung, 

für den man 

Pνt = 

k 

cµ 

ε P 

 

ε 

P Cε2 

 

− Cε1 + 2 1 − ε 

 

P 

mit P = νtS ∗2 , 

= νtS ∗ 

ε 

S cµ 

P Cε2 

 

− Cε1 + 2 1 − ε 

 

P 

z.B. ε = P , 

= νtS ∗ 

αν t 

(0.0405 S) (8.19) 

146

KAPITEL 

findet. Orientiert man sich bei der Eliminierung des dimensionslosen Scherparameters 

S an einer turbulenten Wandgrenzschicht im lokalen Gleichgewichtszustand (S = 3.3), 

dann ergibt sich wieder die von Spalart und Allmaras angegebene Formulierung. Die 

im SA Modell verwendete Substitution Scµ = 0.3 hat turbulenzdämpfende Eigenschaften, 

da der übliche Anstieg der Produktion parallel zum dimensionslosen Scherratenparameter 

unterbunden wird. Die Strategie ist vorteilhaft für die Berechnung 

strömungsmechanisch hochbelasteter Bauteile, deren Vorhersage oftmals unter einer 

Überschätzung der Turbulenzintensität leidet. Bereits einfachste Invariantentheorien, 

z.B. Rung (1998b), belegen einen reziproken Zusammenhang zwischen cµ und S, weswegen 

die Substitution prinzipiell korrekt ist. 

Die Bradshaw–Hypothese wurde bereits von Johnson und King (1984) zur Entwicklung 

eines Halbgleichungsmodells erfolgreich eingesetzt, und gewinnt neuerdings auch im 

Zusammenhang mit Zweiparametermodellen an Bedeutung. Beispielsweise erhält man 

von 

 

|uv| 

νt = min 

= (8.15) cµ 

, cµ 

S∗ k2 

k 

= cµ 

ε 

2 

k2 ε min 

 

1 

√cµ , 1 

S 

ε min 

= k2 

 

|uv| 

, 1 

cµ k S 

ε min 

 

0.3 

S 

, 

 

, 0.09 

 

c ∗ µ 

, (8.20) 

die populäre Shear–Stress–Transport (SST) Modifikation von Menter (1994). Bemerkenswerterweise 

beinhaltet die SST–Modifikation, analog zu der in (8.19) skizzierten 

Vorgehensweise, eine Linearisierung der Turbulenzenergieproduktion 

Pk = P = kS ∗ (c ∗ µS) → 0.3 kS ∗ . 

❀ P 

ε 

= 0.3 S (8.21) 

Die Bradshaw–Hypothese ermöglicht vor allem die verbesserte Vorhersage von druckinduzierter 

Strömungsablösung, welche für die industrielle Aerodynamik von maßgeblicher 

Bedeutung ist. Die Einarbeitung der Bradshaw–Hypothese in die Modellbildung 

erklärt den Erfolg der Einparametermodelle bei der Berechnung von Strömungen unter 

dem Einfluß positiver Druckgradienten. Die positive, schubspannungslimitierende Eigenschaft 

kann man exemplarisch daran erkennen, daß das Spalart–Allmaras Modell, 

im Unterschied zu konventionellen Zweiparametermodellen, die integrale Schwartzsche 

Ungleichung 

(3.41) erfüllt. 

ui 2 uj 2 ≥ (uiuj)(uiuj) ❀ 

147 

4 

3 ≥ 

νtS ∗ 

k 

2 

(8.22)

KAPITEL 

8.2.1.2 Diffusions- und Vernichtungsterme 

Die Anwendung der Reduktionsvorschriften (8.11) und (8.15) auf die Diffusionterme 

des k − ε Modells liefert nach kurzer Zwischenrechnung das Ergebnis 

cµ 

 

2 k 

ε Diffk − 

2 k 

Diffε 

ε 

 

= 

 

2P rε − P rk ∂ 

 

νt 

 

∂νt 

 

P rk P rε ∂xk ∂xk 

 

P rε − P 

 

rk νt 

+ 6 

P rk P rε S∗ ∗ ∂S ∂νt 

∂xk ∂xk 

2 P rε − P rk νt +2 

P rk P rε S∗ 2 ∗ ∂ S 

∂x2 k 

− 2 

 

νt 

P rε S∗ 2 ∂S ∗ ∂S 

∂xk 

∗ 

. (8.23) 

∂xk 

Wertet man die Gleichung (8.23) für lokales turbulentes Gleichgewicht aus, 

S ∗ = uτ 

κln 

❀ 

νt = uτκln ❀ 

∂S ∗ 

∂xk 

∂νt 

∂xk 

= − 1 

ln 

S ∗ , 

∂ 2 S ∗ 

∂x 2 k 

= 2 

l2 S 

n 

∗ , 

= νt 

, (8.24) 

ln 

so ergibt sich: 

 

cµ 2 k 

ε Diffk 

 

2 

k 

2P rε − P rk 

− Diffε = 

: 

ε 

P rkP rε 

∂ 

 

∂νt 

νt 

∂xk ∂xk 

 

− 

 

konservative Diffusion 

2 

2 νt 

, 

P rk ln 

 

Vernichtung 

P r˜νt = P rε P rk 

2P rε − P rk 

= 0.81 . (8.25) 

Wie der Vergleich der einzelnen Terme zeigt, weicht das Ergebnis der Reduktion von der 

Transportgleichung (8.2) ab. Im Unterschied zur Beziehung (8.25) verwenden Spalart 

und Allmaras eine nicht-konservative Darstellung der Diffusion von ˜νt 

Diff ˜νt = 1 

P r˜νt 

∂ 

∂xk 

 

νt 

 

 

∂˜νt ∂˜νt ∂˜νt 

+ Cb2 . (8.26) 

∂xk ∂xk ∂xk 

Die nicht-konservative Darstellung hat, bei geeigneter Wahl der Koeffizienten, eine Reihe 

numerischer Vorteile, beispielsweise die Unempfindlichkeit gegen Freistromwerte von 

˜νt (Spalart und Allmaras 1992). Dies erkennt man deutlich anhand der Grenzschicht- 

formulierung der Transportgleichung für ˜νt 

U ∂˜νt 

∂x + 

 

V − Cb2 

P r˜νt 

∂˜νt 

∂y 

∂˜νt 

∂y = Cb1˜νt ˜ S + ∂ 

∂y 

 

ν + νt 

P r˜νt 

 

∂˜νt 

∂y 

˜ν 

− fwCw 

2 t 

. (8.27) 

y2 Der zusätzliche Diffusionsterm läßt sich für Cb2 > 0 als negativer Entrainmentbeitrag 

interpretieren, der eine Kontamination des Grenzschichtrandes durch möglicherweise 

148

KAPITEL 

falsch vorgegebenen Freistromwerte verhindern soll. Die Autoren favorisieren daher eine 

Stärkung der Diffusionsbeiträge vermöge: 

P r˜νt = 2/3 (→ P rε = 2) , Cb2 = 0.622 . (8.28) 

Die Koeffizienten können im Anschluß daran natürlich nicht mehr durch die Parameterreduktion 

(8.25) aufeinander abgestimmt werden. Für gegebene Koeffizienten (8.28) 

des Diffusionsmodells orientiert sich die Bestimmung eines verträglichen Koeffizienten 

für den Vernichtungsterms in (8.2) wiederum an dem durch (8.24) beschriebenen 

lokalen Gleichgewichtszustand: 

D˜νt 

Dt 

= 0 

(8.24) ❀ Cb1 ˜ S˜νt + ∂ 

∂xk 

νt 

P r˜νt 

 

∂˜νt 

∂xk 

+ ∂˜νt ∂˜νt 

∂xk ∂xk 

Cb2 

P r˜νt 

− β ˜ν2 t 

l 2 n 

= 0 (8.29) . 

Hiervon gewinnt man zur Schließung des Koeffizienten β die Verträglichkeitsbedingung: 

 

Cb1 

❀ β = 

κ2 

1 + Cb2 

+ . 

P r˜νt 

(8.30) 

Die Reduktion des Entrainments hat Konsequenzen für den Verlauf der Strömungsprofile 

am Aussenrand der Scherschicht. Der randnahe Anstieg der Strömungsprofile für 

die mittlere Geschwindigkeit und Wirbelzähigkeit lautet (Cazalbou et al. 1994) 

U ∼ (Yδ − Y ) 1.43 , ˜νt = νt ∼ (Yδ − Y ) . (8.31) 

Diese können vom SA Modell nur partiell wiedergegeben werden. Eine Ähnlichkeitstransformation 

des parabolisierten Differentialgleichungssystems zur Beschreibung von 

Scherströmungen (Rung 1998b) liefert für den Aussenrand der Scherschicht bei SA Modellierung 

˜νt ∼ (Yδ − Y ) , U ∼ (Yδ − Y ) a−1 

149 

mit a − 1 = 

1 + Cb2 

P r˜νt 

≈ 2.43 . (8.32)

Kapitel 9 Schließung der Produktionsrate 

Die im vorangehenden Abschnitt skizzierten Projektionen des ASM in eine quadratische 

Funktionsbasis F sind aufgrund der Abhängigkeit der EASM–Koeffizienten (A, B, C) 

von P/ε zunächst implizit. Ein explizites algebraisches Spannungsmodell ergibt sich 

nach Schließung der spezifischen Produktionsrate in g, die im Folgenden als (P/ε)g 

bezeichnet wird. Hierzu sind in der Literatur verschiedene Techniken unterschiedlichen 

Ursprungs bekannt. 

Die selbstkonsistente Formulierung basiert auf der Projektion der spezifischen Produktionsrate 

P/ε = −2(bklskl + smm/3) in die gewählte Funktionsbasis. Diese Technik 

führt auf hochgradig nichtlineare Bestimmungsgleichungen für (P/ε)g und verlangt eine 

physikalisch sinnvolle Selektion der mathematisch mehrdeutigen Lösung. Daneben 

ist die quasi–selbstkonsistente Projektion in eine niederwertigere Funktionsbasis, die 

gleichgewichtsorientierte Fixierung von (P/ε)g, oder auch eine iterative Vorgehensweise 

denkbar. Ausschlaggebend für die Bewertung der verschiedenen Vorschläge ist das 

asymptotisch korrekte Verhalten des Modells für große Deformationsgeschwindigkeiten, 

bzw. eventuelle Singularitäten des Anisotropiekoeffizienten. 

Die unten skizzierten Überlegungen beziehen sich auf die von Gatski und Speziale 

(1993) vorgeschlagene inkompressible, zweidimensionale Repräsentation (6.19) der 

Drei–Generator–Basis (6.13). Es sei darauf hingewiesen, daß eine Singularität des Anisotropiekoeffizienten 

cµ mit dem Verschwinden der Koeffizientendeterminante von M 

verbunden ist. 

9.1 Iterative Technik 

Taulbee (1992) schlug vor, die in (4.12) auftretende Abhängigkeit des Koeffizienten g 

von der spezifischen Produktionsrate nicht aufzulösen, sondern das ASM im Rahmen 

eines iterativen Ansatzes durch das Ergebnis der letzten Iteration, bzw. des zurückliegenden 

Zeitschritts zu linearisieren 

 

P 

= −2 bijsij ❀ g = C1 − 1 − 2(C 

ε 

∗ 1 + 1) bijsij . 

g 

Diese Vorgehensweise wird, neben einer Reihe anderer Autoren, vor allem von ?) aufgrund 

der unten beschriebenen Mehrdeutigkeit der selbstkonsistenten Lösung kritisiert. 

Im Zentrum der Diskussion steht die Frage, ob die physikalisch unsinnigen Lösungsanteile 

der (kubischen) Bestimmungsgleichung für P/ε im Rahmen der iterativen Technik 

ausgeschlossen werden können, oder ob singuläre Anisotropiekoeffizienten auftreten 

können 

cµ = 

1 − 2 

3 η1 

β3 

g 

−β1/g 

2 

− 2η2 

2 β2 

g 

> 0 . (9.1) 

Im Folgenden wird versucht, die Wahrscheinlichkeit eventueller Singularitäten eines 

iterativen Ansatzes zu evaluieren. Die Analyse bezieht sich auf die Vorhersage von 

150

9.1. ITERATIVE TECHNIK 

high–Re Bereichen mit vernachlässigbaren Diffusionsprozessen auf der Grundlage einer 

k − ε Formulierung (2.17) bzw. (2.18) 

Dk 

Dt 

= P − ε , und 

Dε 

Dt = (P Cε1 − εCε2) ε 

k . 

Die Transportgleichung des turbulenten Zeitmaßes Tt lautet damit 

D(k/ε) 

Dt 

= DTt 

Dt 

= P 

ε (1 − Cε1) − (1 − Cεε2) . 

Beschränkt man die Betrachtungen auf lokal zweidimensionale, inkompressible Strömungen 

mit P/ε = 2cµη1, dann ergibt sich mit ˜ C1 = (Cε1 − 1) und ˜ C2 = (Cε2 − 1) 

DTt 

Dt = −2cµη1 ˜ C1 + ˜ C2 

= 

= 

2 (β1/g) ˜ S2 2 

kkTt ˜ C1 

1 − 2 

3 ˜ S2 2 2 β3 

kkTt − 2 g 

˜ W 2 2 

kkTt ˜C2 − T 2 

 

˜S t 

2 

kk 2 ˜ 

−β1 

C1 + g 

˜ C2 2 

3 

 

1 − ˜S 2 2 2 β3 

kk + 2 3 g 

˜ W 2 kk 

2 + 

β2 

g 

˜ C2 

 

2 

β3 + 2 g 

˜ W 2 kk 

 

2 

β2 T g 

2 

t 

 

2 

β2 ˜C2 

g 

In Lagrangescher Betrachtungsweise besitzt die Gleichung (9.3) die Struktur 

∂Tt 

∂t = ˜ C2 − B∗ T 2 

t 

1 − A∗ T 2 

t 

(9.2) 

mit B ∗ = ˜ C2A ∗ − 2 ˜ β1 

C1 

g ˜ S 2 kk . (9.3) 

Von besonderem Interesse ist der Nenner (1 − A ∗ T 2 

t ), der dem Nenner des Anisotropieparameters 

cµ entspricht. Im Weiteren wird versucht, einen Nachweis dafür zu 

erbringen, daß eine Nullstelle des Nenners sehr unwahrscheinlich ist. Hierzu werden, für 

anfänglich vorausgesetzte g > 0, mehrere Fallunterscheidungen von B ∗ durchgeführt. 

A) negative Parameterwerte B ∗ 

Im Falle B ∗ ≤ 0 folgt, für von Null verschiedene Initiallösungen von g, wegen ˜ C1, ˜ C2 > 0 

und β1 < 0 (vgl. Tabelle 4.2) 

˜C2A ∗ ≤ 2 ˜ β1 

C1 

g ˜ S 2 kk ❀ A ∗ ≤ 0 und 1 − A∗T 2 

t > 0 . (9.4) 

B) positive Parameterwerte B ∗ 

Setzt man voraus, daß das turbulente Zeitmaß Tt eine kontinuierliche Funktion ist, 

dann läßt sich (9.3) wie folgt integrieren 

 

˜C2 + 

 

 

√ B∗Tt ˜C2 − √ B∗ 

 

 

 

Tt = eγ 

, mit γ = t − A∗ 

B∗ Tt 

 

2 ˜C2B 

+ Const. 

∗ 

1 − A∗ 

B∗ ˜ . (9.5) 

C2 

151

KAPITEL 

Der Exponent γ ist wegen A ∗ /B ∗ − 1 = 2 ˜ C1β1S 2 kk /( ˜ C2B ∗ g) < 0 zumindest für hinreichend 

große Zeiten t positiv. Zur Auflösung der Beträge unterscheidet man zwei 

Fälle 

B1) √ 

C2 

˜ − Tt B∗ > 0 

 

√ 

 

√ 

˜C2 + Tt B∗ γ 

= e ( ˜C2 − Tt B∗ ) 

❀ Tt = 

 

˜C2 

B ∗ 

e γ − 1 

e γ + 1 

. (9.6) 

Im Fall B1) beobachtet man somit stetig steigende Werte des turbulenten Zeitmaßes 

Tt, welche im Grenzübergang gegen folgendes Maximum streben 

∂Tt 

> 0 und lim 

∂t t→∞ Tt 

 

˜C2 

= . (9.7) 

B∗ Mit Hilfe von (9.3) folgt schließlich 

∂Tt 

∂t = ˜ C2 − B∗ T 2 

t 

1 − A∗ T 2 

t 

= positive Größe 

1 − A ∗ T 2 

t 

> 0 ❀ 1 − A ∗ T 2 

t > 0 . (9.8) 

B2) √ 

C2 

˜ − Tt B∗ < 0 

Analog erhält man für √ 

C2 

˜ − Tt B∗ < 0 die Lösung 

 

Tt = 

˜C2 

B∗ eγ + 1 

eγ , 

− 1 

(9.9) 

und beobachtet stetig fallende Werte des turbulenten Zeitmaßes Tt. Diese streben 

im Grenzübergang gegen das unten angeführte Minimum 

∂Tt 

< 0 und lim 

∂t t→∞ Tt 

 

˜C2 

= . (9.10) 

B∗ Mit Hilfe von (9.3) folgt wiederum 

∂Tt 

∂t = ˜ C2 − B∗ T 2 

t 

1 − A∗ T 2 

t 

= negative Größe 

1 − A ∗ T 2 

t 

< 0 ❀ 1 − A ∗ T 2 

t > 0 . (9.11) 

Die Möglichkeit, negative Werte des Anisotropiekoeffizenten zu erhalten, wird daher 

vom Autor der vorliegenden Arbeit als äußerst gering angesehen. Es sei daran erinnert, 

daß die oben gemachten Aussagen aus den Annahmen einer lokal zweidimensionalen 

Reynolds–gemittelten Strömung mit vernachlässigbarer Diffusion und korrekter Initialösung 

für hinreichend große Beobachtungszeiten abgeleitet wurden, und ein allgemeingültigerer 

Beweis leider nicht gelingt. 

152

9.2 Regularisierte Technik 

9.2. REGULARISIERTE TECHNIK 

Gatski und Speziale (1993) schlagen in der ursprünglichen Variante ihres EASM eine 

Fixierung des Wertes der spezifischen Produktionsrate (P/ε) g vor. Der dabei festgelegte 

Wert lehnt sich an das strukturelle Gleichgewicht an (vgl. Kapitel 7.1) 

 

P P 

= = const = 

ε g ε equil. 

 

1 − Cε2 

≈ 2 , (9.12) 

1 − Cε1 

welches der Herleitung des ASM zu Grunde liegt. Diese Vorgehensweise ist mit erheblichen 

Nachteilen verbunden und wurde von den Autoren in späteren Arbeiten mehrfach 

korrigiert (?; ?). Tabelle 9.1 vergleicht die daraus resultierenden Werte des Gleichgewichtsparameters 

g für unterschiedliche RSTM. 

Die Problematik konstanter (P/ε)g Werte läßt sich unmittelbar aus der Betrachtung 

des Anisotropiekoeffizienten für (P/ε)g ≈ 2 erkennen 

 

1 − Cε2 

g = 

(C 

1 − Cε1 

∗ 1 + 1) + (C1 − 1) ❀ ĉµ = 

1 − 2 

3 η1 

β3 

g 

−β1/g 

2 

− 2η2 

2 . (9.13) 

β2 

g 

Deutlich erkennt man, daß im Falle einer rotationsfreien Distorsion (η2 = 0) mit steigendem 

η1 eine Singularität von cµ droht. Hiervon ausgenommen ist das von Taulbee 

vorgeschlagene modifizerte LRR–Modell – welches auch von Wallin und Johansson 

(2000) propagiert wird –, für das wegen β3 ≡ 0 keine Singularität auftreten kann. 

Mit dem Nulldurchgang des Nenners von (9.13) ist ein im RANS–Kontext physikalisch 

unsinniger Wert des isotropen Wirbelzähigkeitsanteils verbunden. Offenkundig strebt 

das EASM in diesem Falle rasch gegen asymptotisch falsche Werte. Gatski und Speziale 

(1993) schlugen daher eine Regularisierung des Anisotropieparameters (bzw. des 

Koeffizienten A) auf der Grundlage einer Padé–Approximation erster Ordnung vor 

2 β3 

η1 ≈ 

g 

2 β3 

η1 g 

 

β3 

g 

2 

η1 + 1 

❀ ˜cµ = 

1 + 1 

3 η1 

 

2 

β3 

−β1 

η1 + 1 

g 

g 

2 β3 − 2 

g 

2 β3 

η1 + 1 

g 

 

η2 

. 

2 

β2 

g 

(9.14) 

Tabelle 9.1: Werte des fixierten Gleichgewichtsparameters g für verschiedene lineare 

Transportgleichungs–Reynolds–Spannungsmodelle. 

LLR TB SSG/GS FRLT GL GY RO 

g 2.5 2.8 4.3 3.5 2.8 3.9 6.0 

(β3/g) 2 

2.5 10 −3 0.0 7.6 10 −3 11.4 10 −3 20.4 10 −3 32.2 10 −3 27.8 10 −3 

153

KAPITEL 

Die Güte der Padé–Aproximation ist an die Gültigkeit von 

2 β3 

η1 ≤ 10 

g 

−1 

❀ 2η1 = S 2 ≤ 2 · 10 −1 

 

g 

β3 

2 

≈ 10 1 

(9.15) 

gebunden. Das GS–EASM entspricht somit für nichtgleichgewichtige Zustände nicht 

mehr der ursprünglichen Formulierung. Angesichts der Tatsache, daß eine Singularität 

der Ausgangsgleichung (9.13) erst bei η1 = 1.5 (β3/g) 2 auftritt, weicht die Padé– 

Aproximation unnötigerweise bereits für völlig unkritische Distorsionzustände von der 

Ausgangsformulierung ab. Unglücklicherweise hängt die Güte der Padé–Approximation 

von der Wahl der Koeffizienten C1, C ∗ 1 und C3 ab. Die Werte des hierfür relevanten 

Parameters (β3/g) 2 sind in der zweiten Zeile von Tabelle 9.1 angeführt. Mit steigendem 

(β3/g) 2 sinkt die Güte der Approximation. Die Auswirkungen der Padé– 

Approximation hängen, wie im Kapitel 7.1 demonstriert, zudem stark vom gewählten 

Rotta–Koeffizienten ab. 

Einfache, gleichgewichtsnahe Zustände können bereits mit herkömmlichen Zwei–Parameter–Modellen 

recht gut vorhergesagt werden. Die Motivation zur Entwicklung einer 

höherwertigen Modellierung ist eng mit dem Bestreben verbunden, Nichtgleichgewichtssituationen 

besser darstellen zu können. Die aus der Regularisierung resultierenden 

erheblichen Genauigkeitsverluste bei der Vorhersage von Nichtgleichgewichtszuständen 

sind von einer Reihe von Autoren (z.B. Rumsey et al. 1999) festgestellt 

worden. Vor diesem Hintergrund sollte die vorgeschlagene Regularisierung mit großer 

Skepsis betrachtet werden. Ferner drohen bei der Behandlung stark nichtgleichgewichtiger 

Strömungen negative Normalspannungskomponenten, welche in Einzelfällen (?) 

zu einer Verfahrensdivergenz führen können. 

Der Anisotropieparameter sollte mit steigenden η1 sinken. Ein kontrollierter Abfall von 

cµ zu endlich kleinen positiven Grenzwerten kann nach Gleichung (9.1) jedoch nur für 

g ∼ √ η1 ❀ cµ ∼ η −1/2 

1 

(9.16) 

realisiert werden. Die Beziehung (9.16) gewährleistet zudem die Konsistenz zur RDT 

und zum Realizability–Prinzip (siehe Kapitel 7). Demgegenüber besitzen sowohl die 

auf der Basis einer einfachen Padé–Approximation (9.14) regularisierte Variante, als 

auch die nicht regularisierte Variante des Anisotropieparameters ein falsches, teilweise 

sogar uneinheitliches, asymptotisches Verhalten 

ĉµ(η1 = 0) ∼ η −1 

2 , ˜cµ(η2 = 0) ∼ η 0 1 bzw. ˜cµ(η1 ≈ −η2) ∼ η −1 

1 . (9.17) 

Verbesserte, asymptotisch korrekte Regularisierungsvorschläge, auf die hier nicht näher 

eingegangen werden soll, findet man beispielsweise bei ?) oder ?). Eine Regularisierung 

erscheint im Vergleich zu den unten skizzierten selbstkonsistenten bzw. quasi– 

selbstkonsistenten Techniken nicht ratsam. 

154

9.3 Selbstkonsistente Technik 

9.3. SELBSTKONSISTENTE TECHNIK 

Die selbstkonsistente Formulierung erhält man durch die Projektion der exakten Produktionsbeziehung 

(4.2) in die gewählte Funktionsbasis. Beschränkt man sich dabei 

der Einfachheit halber erneut auf inkompressible Strömungen, dann ergibt sich 

P 

ε 

 

g 

= 

P 

ε 

 

= −2bijsij = −2A T (1) 

ij sij − 2B T (2) 

ij sij − 2C T (3) 

ij sij . . . , (9.18) 

ohne daß Ad–hoc–Annahmen für die spezifische Produktionsrate gemacht werden müssen. 

Projektion in die lineare Basis 

Im Falle eines linearen Ansatzes (6.6) enthält die selbstkonsistente Bestimmungsgleichung 

der spezifischen Produktionsrate 

 

P 

−2β1η1 

= 

ε C1 − 1 + P/ε − 2β3 (η3/η1) 

g 

formal zwei Lösungen, von denen hier nur die positive Wurzel sinnvoll ist 

 

P 

ε g 

= − 1 

2 

 

C1 − 1 − β3 

η3 

η1 

 

+ 

 

1 

4 

 

C1 − 1 − β3 

2 η3 

η1 

− 2β1η1 

0.5 

. (9.19) 

Der Ansatz (9.19) ist wegen g ∼ √ η1 mit einem asymptotisch korrekten Verhalten des 

Anisotropieparameters verbunden. Die Güte des o.a. Lösung prüft man geeigneterweise 

am Beispiel konventioneller, zweidimensionaler, homogener Scherströmungen, deren 

Richtwerte in Tabelle 9.2 zusammengefasst sind. Ein Vergleich mit Tabelle 4.2 ergibt, 

daß keines der aufgelisteten RSTM im Zusammenhang mit (9.19) befriedigende Lösungen 

erzielt. Die Gründe hierfür liegen in der unterbestimmten Funktionsbasis, weswegen 

eine Manipulation der Koeffizienten (z.B. C1=3.0 und C2=0.8) angebracht ist. Darüber 

hinaus fehlt der linearen Projektion die Sensitivität für Krümmungsmechanismen, da 

die Invarianten des Wirbeltensors nicht in Erscheinung treten. 

Tabelle 9.2: Richtwerte der spezifischen 

Produktionsrate in einer ebenen (homogenen) 

Scherung. 

S η1 η2 η3 P/ε 

6.0 18 -18 0 ≈ 2 

3.3 5.445 -5.445 0 ≈ 1 

155

KAPITEL 

Projektion in die zweidimensionale Basis 

Aus dem Aufbau der Systemmatrixen (6.15) und (6.17) bzw. ihrer Determinanten 

erkennt man, daß höherwertige nichtlineare Funktionsbasen auch mit komplexeren, 

hochgradig nichtlinearen Polynomen zur Bestimmung selbstkonsistenter g–Werte verbunden 

sind. Für eine Funktionsbasis N–ten Grades ergibt sich ein Polynom (N+1)– 

ten Grades zur Bestimmung von g. Die Selektionsproblematik der zumeist mehrdeutigen 

Lösung motiviert eine Beschränkung der Betrachtungen auf zweidimensionale 

Reynolds–gemittelte Strömungszustände, bei denen zur Bestimmung von (P/ε) ein 

kubisches Polynom gelöst wird. Die unten skizzierte Vorgehensweise wurde zuerst von 

?) bzw. Wallin und Johansson (2000) vorgeschlagen. 

Für die quadratische Drei–Generator–Funktionsbasis (6.13) ergibt sich in lokal zweidimensionalen 

Zuständen die unten stehende kubische Gleichung 

(C ∗ 

P 

1 + 1) = (C 

ε 

∗ 1 + 1) P 

ε = −2(C∗ 1 + 1)A η1 = g − (C1 − 1) , (9.20) 

❀ g − (C1 − 1) 

 

g 3 − K1g 2 − 

 

η1 

K1 

g 

= 

−2 η1 β ∗ 1g 

g 2 − 2 

3 η1β3 2 − 2η2β2 2 

mit β ∗ 1 = β1(C ∗ 1 + 1) , 

 

2 

3 β3 2 − 2β ∗ 

1 + 2η2β2 2 

 

2 

g + K1 

3 η1β3 2 + 2η2β2 2 

 

= 0 . 

Mit Hilfe der Substitution G = g − K1/3 ergibt sich eine einfachere Beziehung, in der 

der quadratische Term nicht mehr auftritt 

G 3 + p G + q = 0 , 

mit p = − 1 

Mit P1 = − q 

2 

⎧ 

1 

⎨ 

g = 

⎩ 1 

q = 

3 

K1 

3 

K 2 1 + 2β3 2 − 6β ∗ 1 

 

4β 2 2η2 − 2 

 

η1 + 6β 2 

2η2 , 

2 

K1 

+ 

3 

2β ∗ 1 + 4 2 

β3 

3 

 

η1 

 

. (9.21) 

Die Wurzeln der Beziehung (9.21) werden durch die Cardanische Lösungsformel (?) 

beschrieben. 

 

q 

2 

p 

3 und P2 = + folgt (9.22) 

2 3 

3K1 + 3 P1 + √ P2 + sign(P1 − √ P2) 3 | P1 − √ P2 | wenn P2 > 0 

3K1 + 2 6 P 2 

1 

1 − P2 cos 3 cos−1 

 

P1 

wenn P2 < 0 

√ P 2 1 −P2 

Die Lösung für P2 < 0 setzt sich eigentlich aus drei reellen Wurzeln zusammen, von 

denen eine keine stetige Fortsetzung für P2 > 0 besitzt und eine weitere durch die Koeffizienten 

des Druck–Scher–Korrelationsmodells entfällt. Im Falle einer Modifikation der 

156

c μ 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

9.3. SELBSTKONSISTENTE TECHNIK 

SSG 

LRR 

RO 

FRLT 

GY 

GL 

TB 

FRLT (quasi) 

0.1 1.0 10.0 

S=Ω 

Abbildung 9.1: Verhalten des Anisotropieparameters für geringe Deformationsgeschwindigkeiten 

bei selbstkonsistenter Technik ( FRLT(quasi) quasi-selbstkonsistente Lösung nach 

(9.24)). 

Funktions– bzw. Integritätsbasis in (9.20) sollte die vollständige Lösung (?; Lübcke und 

Rung 1999) konsultiert werden. Man erkennt leicht, daß mit g ∼ 6√ P2 asymptotisch korrekte 

Eigenschaften verbunden sind. Lübcke und Rung (1999) zeigen, daß im Rahmen 

der selbstkonsistenten Technik keine negativen Anisotropiewerte auftreten können. Der 

Nachteil der so ermittelten Beziehung für (P/ε)g ist ihre Komplexität und die mangelnde 

Sensitivität gegenüber 3D Strömungszuständen durch die Reduktion von N , hier 

insbesondere das Fehlen von η3. Ein weiteres Problem der selbstkonsistenten Technik 

ist der Wert des Anisotropiekoeffizienten cµ im Grenzübergang P/ε → 0 (vgl. Abbildung 

9.1 und Tabelle 9.3). Das selbstkonsistente EASM neigt in deformationsfreien 

Zonen teilweise zu sehr hohen Werten des Anisotropieparameters, was zu Problemen bei 

der Darstellung der Grenzbereiche zwischen turbulentem und nichtturbulentem Fluid 

führt. Leider sind keine strengen mathematisch/physikalischen Zwangsbedingungen zur 

Formulierung dieses Grenzwertes bekannt. Die empfohlenen Erfahrungswerte liegen im 

Bereich von 0.1–0.2, wobei der Grenzwert des Rotta–Modells (RO) aufgrund des exklusiven 

Bezugs der Modellbildung auf langsame Umverteilungsprozesse am plausibelsten 

erscheint. 

Tabelle 9.3: Grenzwerte des Anisotropieparameters cµ für P/ε → 0 im Rahmen der selbstkonsistenten 

Technik. 

LRR TB SSG GS FRLT GL GY RO 

limP/ε→0 cµ = −β1/(C1 − 1) 0.53 0.33 0.70 0.143 0.31 0.33 0.23 0.167 

157

KAPITEL 

12 

8 

4 

Ω 

present Ω present Ω 2D−analytical Ω 2D−analytical 

approximation approximation of g evolution of g of gevolution 

of g 

12 

2 4 6 28 4 6 8 

g 

8 

4 

10 

12 

g 

S 

10 

2 4 6 8 10 

4 8 124 

8 12 4 8 124 

8 12 

g 

12 

S 

12 

g 

S 

2 4 6 8 10 

Abbildung 9.2: Verlauf des Gleichgewichtsparameters g; links: Approximation mit Hilfe 

der quasi–selbstkonsistenten 2D Formulierung (9.24); rechts: Verlauf der selbstkonsistenten 

2D Lösung nach (9.22). 

9.4 Quasi–Selbstkonsistente Technik 

Die oben skizzierte selbstkonsistente Technik ist trotz ihrer Beschränkung auf einfache, 

zweidimensionale Strömungszustände mit relativ komplexen Lösungen verbunden. 

Dies motiviert die Bestimmung der spezifischen Produktionsrate (P/ε)g durch einen 

weniger aufwendigen linearen Ansatz. Ein solches Vorgehen entspricht im Grunde der 

Projektion der spezifischen Produktionsrate in eine reduzierte, niederwertigere Funktionsbasis. 

Neben der oben skizzierten Lösung (9.19) ist die Berechnung von (P/ε)g 

durch folgenden etablierten Alternativansatz (?; Rung 1998b) denkbar 

mit c ∗ µ = 

A0 + A1 

 

P 

= 2 c 

ε g 

∗ µη1 , (9.23) 

 

1 

η3 

√ und A1 = A1 

A2η1 − A3η2 

(η1) 1.5 

 

. 

Man beachte, daß die Formulierung (9.23) über den Schiefen–Parameter A1 dreidimensionale 

Einflüsse zu berücksichtigen vermag, worauf in Kapitel 8.1 näher eingegangen 

wird. Die Approximation der spezifischen Produktionsrate führt zu asymptotisch korrekten 

Eigenschaften gemäß (9.16) und berücksichtigt darüber hinaus Krümmungseffekte. 

Quasi–selbstkonsistente 2D Formulierung 

Der Ansatz (9.23) eignet sich in vielerlei Hinsicht zur Vereinfachung der selbstkonsistenten 

Technik. Neben der partiellen Linearisierung einer hochgradig nichtlinearen, 

158 

12 

S

9.4. QUASI–SELBSTKONSISTENTE TECHNIK 

3D Formulierung läßt er sich zur Entwicklung einer simplen quasi–selbstkonsistenten 

Formulierung nutzen, deren Entwicklung im Weiteren erläutert werden soll. 

 

2η1 

˜g = fC1 C1 − 1 + √ , mit A1(2D) = 1.83 . (9.24) 

4. + A1 0.4η1 − 1.6η2 

FRLT 

Die hier vorgeschlagene Formulierung (9.24) ist auf die Koeffizienten des FRLT–Modells 

(vgl. Tabelle 4.2) abgestimmt. Abbildung 9.2 veranschaulicht den Verlauf des quasi– 

selbstkonsistenten Gleichgewichtsparameters in der S − Ω Ebene (mit S = √ 2η1 und 

Ω = √ −2η2) für zweidimensionale Strömungszustände. Bei der Wahl der freien Parameter 

von (9.23) wurden die unten angeführten Restriktionen beachtet. 

I Beschränkung von cµ im Grenzübergang η1 = η2 → 0 

Wallin und Johansson (2000) bzw. Taulbee (1992) berichten über Probleme der selbstkonsistenten 

Formulierung in deformationsfreien Strömungsgebieten. Das selbstkonsistente 

EASM neigt in deformationsfreien Zonen zu sehr hohen Werten des Anisotropieparameters 

(vgl. Tabelle 9.3), was Schwierigkeiten bei der Modellierung des 

Übergangs zwischen turbulenter Grenzschicht und schwach turbulenter Kernströmung 

bereitet. Viele Autoren modifizierten daher die Prandtlzahlen des Zwei–Parameter– 

Hintergrundmodells. Um eine Trennung zwischen Hintergrundmodell und Stress–Strain 

Beziehung zu erhalten, wird in dieser Arbeit eine empirische Funktion fC1 eingeführt, 

die den Wert des Parameters g in deformationsfreien Bereichen stützt 

fC1 = 1 + 0.95 

 

1−tanh 

 

2 

S 

2.15 

❀ lim 

η1=η2→0 cµ = 0.161 . (9.25) 

Die Wirkungsweise der Funktion fC1 geht deutlich aus Abbildung 9.2 hervor. Mit abnehmenden 

Scherraten S tritt eine verstärkte Abweichung der quasi–selbskonsistenten 

Formulierung von der selbstkonsistenten Lösung auf. Für das Beispiel einer ebenen 

Scherströmung schmiegt sich die hier vorgeschlagene Lösung im Grenzübergang zu 

kleinen Deformationsgeschwindigkeiten an die Lösung des Rotta–Modells an, welches 

allein die langsamen Umverteilungsbeiträge berücksichtigt (Abbildung 9.1). 

II Konsistenz zum SSG Druck–Scher–Korrelationsmodell 

Das SSG Druck–Scher–Korrelationsmodell von Speziale et al. (1991) besitzt in vollturbulenten 

Bereichen (fC1 = 1) neben dem klassischen linearen Rotta–Beitrag zum 

Gleichgewichtsparameter g einen weiteren Anteil, der von P/ε abhängt 

 

P 

gSSG := 0.7 + 1.9 

ε 

 

P 

❀ 

ε 

g 

g 

= ˜g , (9.26) 

1.05 η1 

= 0.421 + 

4. + 1.83 √ . (9.27) 

0.4η1 − 1.6η2 

159

KAPITEL 

Von der Güte der Approximation (9.24) überzeugt man sich beispielsweise anhand der 

in Tabelle 10.2 wiedergegebenen Ergebnisse für homogene Scherturbulenz. 

III Konsistenz zur Schwartzschen Ungleichung 

Die Schwartzsche Ungleichung für zwei verschiedene Geschwindigkeitsfluktuationen 

(uαuβ) 2 ≤ u 2 α u 2 β 

, (9.28) 

ist ein Bestandteil des in Kapitel 7.3 ausführlicher behandelten Realizability–Prinzips. 

Die Herleitung einer integralen Form der Schwartzschen Ungleichung basiert auf der 

doppelten Überschiebung des Reynolds–Spannungstensors mit sich selbst 

uiuj uiuj ≤ u 2 i u2 j = (2k)2 . (9.29) 

Gleichung 

√ 

(9.29) dient im Rahmen dieser Arbeit zur Bestimmung der Kombination 

A2 in (9.23). 

A1 

Mit Hilfe des quadratischen Drei–Generator–Ansatzes FGS und der zweidimensionalen 

Koeffizienten (6.18) ergibt sich von (9.29) 

c 2 µ 

 

❀ c 2 µ 

T (1) (1) 

ij T ji + 

 

η1 + 

2 β2 

˜g 

−2 β2 

˜g 

T (2) (2) 

ij T ji + 4 

(1) (2) 

T ij T ji 

+ 4β3 

˜g 

2 β3 

˜g 

(1) (3) 

T ij T ji 

T (3) (3) 

ij T ji 

− 4β2β3 

˜g 

(2) 

T 2 ij 

 

(3) 

T 

ji 

≤ 2 

3 , 

2 2 β2 

β3 1 

(η1η2 − 6η5) + 4 

˜g 

˜g 6 η2 1 + 4 β3 

˜g η3 

 

≤ 2 

3 

. (9.30) 

Unterwirft man die hierin auftretenden Invarianten den bereits mehrfach zitierten 2D 

Restriktionen (3.54), dann ergibt sich 

⎡ 

⎣ 

β1/˜g 

1 − 2 β2 2 

˜g 2 η2 − 2 β 

3 

2 3 

˜g 2 η1 

⎤ 

⎦ 

2 

η1 

 

1 − 2 β2 2 

˜g 2 η2 + 2 

3 

β2 

3 

η1 ≤ 

˜g 2 2 

3 

. (9.31) 

Von besonderem Interesse ist das Verhalten des Parameters ˜g für große Werte der 

Wirbel– und Scherraten–Invarianten η1 bzw. η2, bei denen eine Verletzung der Ungleichung 

(9.31) zu befürchten ist. Eine Beschränkung der linken Seite kann in diesem Falle 

nur für 

˜g 2 ∼ α1 η1 − α2η2 

160 

(9.32)


gewährleistet werden, was vom gewählten Ansatz (9.23) befriedigt wird. Die restriktivste 

Situation tritt in Verbindung mit lim η1 → ∞ und η2 → 0 auf 

 

1 

 

α1 

β1 

β 

3 

2 3 

α1 

1 − 2 

2 

1 + 2 

3 

β 2 3 

α1 

 

α1 + 2 

= β2 1 3β2 3 

 

α1 − 2 

3β2 2 3 

α 2 1 + 3 

2 β2 1α1 + 2 

3 β2 

2 

3 

3 β2 3 − 3 

2 β2 

1 − 2 

für die man folgende Einschränkung der Parameterwerte α1 findet 

2 

3 β2 3 + 3 

4 β2 1 − γ > α1 

 

2 

mit γ = 

oder 

3 β2 3 + 3 

4 β2 2 1 

2 

3 β2 3 + 3 

+ 2 

3 β2 3 

Im Falle des hier propagierten FRLT–Modells ergibt sich 

 

≤ 2 

3 , 

4 β2 1 + γ < α1 

 

3 

2 β2 1 − 2 

3 β2 

3 . 

≥ 0 , (9.33) 

(9.34) 

α1 > 0.5613 bzw. α1 < −0.0401 , (9.35) 

wobei generell nur positive Werte sinnvoll sind. Der Vergleich mit (9.24) zeigt, daß der 

implementierte Wert für α1 ungefähr dem Grenzwert der Schwartzschen Ungleichung 

entspricht 

α1 = A1(2D) 

√ 

A2 

= 0.5787 > 0.5613 . 

2 

Für die ebene Scherturbulenz mit η1 = −η2 erkennt man sofort, daß die Schwartzsche 

Ungleichung immer erfüllt ist, weswegen diesbezüglich für cµ die Konsistenz zur 

Bradshaw–Hypothese im Grenzübergang lim η1 → ∞ verlangt wird. 

Die Gewährleistung positiver Anisotropieparameter ist mit der Forderung nach einem 

positiven Nenner verbunden 

−β1/˜g 

1 − 2 β2 2 

˜g 2 η2 − 2 β 

3 

2 3 

˜g 2 η1 

> 0 ❀ β 2 3 < 1.5 α1 . (9.36) 

Man erkennt deutlich, daß die Konsistenz zur Schwartzschen Ungleichung für das FRLT 

Modell auch positive Anisotropieparameter gewährleistet. 

IV Asymptotische Konsistenz zur Bradshaw–Hypothese in ebenen Scherströmungen 

Betrachtet man im Weiteren den wichtigen Fall einer ebenen Scherung, dann ergibt 

der Ansatz (9.23) für große Werte des Scherparameters S 

η1 = −η2 = 0.5S 2 

❀ lim ˜g 

S→∞ 2 

= 

161 

A1 

2 2 

2 S 

√ . (9.37) 

A2 + A3 2

KAPITEL 

Setzt man hier die plausible Nebenbedingung 

ein, dann ergibt sich für den Anisotropiekoeffizienten 

cµ = 

−β1/˜g 

1 + 0.5 2β2 2 − 2 

3β2 

2 

3 A1 A2 + A3 = 2 (9.38) 

= 

−β1A1 

S 1 + 0.5 2β2 2 − 2 

3β2 . (9.39) 

2 

3 A1 Fordert man weiterhin für große Scherparameterwerte die Konsistenz zur sogenannten 

Bradshaw-Hypothese (Bradshaw und Ferris 1972), bzw. der daraus folgenden Linearisierung 

der Produktion P von Turbulenzenergie (Rung 1998a) 

P 

ε = cµS 2 = 0.3 S ❀ cµ = 0.3/S , (9.40) 

dann ergibt sich aus den Gleichungen (9.39) und (9.40) eine quadratische Beziehung 

zur Bestimmung von A1 

 

0.5 2β 2 2 − 2 

 

A 

3 

2 1 + 3.3β1A1 + 1 = 0 . (9.41) 

Für das FRLT–Modell gewinnt man aus einer der beiden Wurzeln von (9.41) unmittelbar 

den Wert des Koeffizienten A1(2D) 

A1(2D) = 1.82 . 

Nachdem man zunächst den Koeffizienten A1(2D) mit Hilfe von (9.41) bestimmt, erfolgt 

die Berechnung von A2 und A3 durch (9.34) bzw. (9.38). Die Verträglichkeit zum 

SSG–Modell bzw. zu den in Tabelle 9.2 notierten Richtwerten bestimmt die abschließende 

Wahl von A0. Zur Überprüfung der Koeffizienten wird das EASM im nächsten 

Kapitel neben der eingehenden Analyse fundamentaler Strömungszustände auch einer 

Realisierbarkeits–Untersuchung unterzogen. 

Quasi–selbstkonsistente 3D Formulierung 

Eine weitere Möglichkeit zum Einsatz einer Näherung ˜g findet sich bei der 3D Erweiterung 

der selbstkonsistenten Formulierung von (P/ε)g. Durch den partiellen Einsatz 

von ˜g läßt sich der kubische Grad der Bestimmungsgleichung für g auch bei hochgradig 

nichtlinearen Modellen erhalten. 

Erweitert man z.B. den quadratischen GS–Ansatz durch eine ergänzende Gruppe T λ 

ij 

(vgl. Kapitel 8.5) 

⎛ 

bij = 

⎝ 

 

β1 

g − 2β2 2 

g η2 − 2β2 3 

3g η1 

sij − β2 

g 

⎞ 

⎠ 

sikw ∗ kj − w ∗ ikskj 

+ 2β3 

g 

 

s 2 ij − 1 

3 δij s 2 

kk 

162 

+ bλ(ηi, βi) 

g2 T (λ) 

 

ij 

,


dann läßt sich der kubische Grad des Polynoms durch die Linearisierung 

erhalten: 

 

P 

= 

ε g 

P 

ε = ˜g3D − (C1 − 1) 

 

und damit 

˜g 3 3D − K1˜g 2 3D − 

 

η1 

+ K1 

2 

2 

K1 

3 β3 2 − 2β ∗ 1 

bλ(ηi, βi) 

g 2 

→ bλ(ηi, βi) 

g˜g 

= −2A (C ∗ 

η3 bλ/˜g 

1 + 1) η1 + 2β3 + 

g g 

 

+ 2η2β2 2 

 

˜g3D 

3 η1β3 2 + 2η2β2 2 + 4 β∗ 1β3 

K1 

η3 + 2 β∗ 1bλ/˜g 

K1 

 

T (λ) 

ij sij 

 

T (λ) 

ij sij 

= 0 . (9.42) 

Die Lösung von (9.42) gelingt wiederum mit Hilfe der Cardanischen Lösungsformel. Im 

Unterschied zu (9.22) kann P1 prinzipiell auch negative Werte annehmen, weswegen 

man eine dritte reelle Wurzel findet 

˜g3D = 

⎧ 

1 

3 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

K1 + 3 P1 + √ P2 + sign(P1 − √ P2) 3 | P1 − √ P2 | wenn P2 > 0 

1 

3K1 + 2 6 P 2 

1 

1 − P2 cos 3 cos−1 

 

P1 √ wenn P2 < 0 und P1 > 0 

P 2 

1 −P2 

1 

3K1 + 2 6 P 2 

1 

1 − P2 cos 3 cos−1 

 

P1 + 2π 

 

wenn P2 < 0 und P1 < 0 

3 

163 

√ P 2 1 −P2 

, 

(9.43)

Kapitel 10 Analyse 

Dieses Kapitel befaßt sich mit der formalen Untersuchung des quadratischen Drei– 

Generator–Ansatzes (6.13) von Gatski und Speziale. Das Hauptaugenmerk der Untersuchungen 

gilt der Leistungsfähigkeit unterschiedlicher Techniken zur Darstellung von 

(P/ε)g, insbesondere der hier entwickelten quasi–selbstkonsistenten (QS) Approximation, 

in fundamentalen inkompressiblen Strömungszuständen. Einen weiteren Schwerpunkt 

des Kapitels bildet die Validierung der Koeffizienten des vorgeschlagenen FRLT– 

EASM in Konkurrenz zu herkömmlichen (linearen) Druck–Scher–Korrelationsmodellen. 

Die Untersuchungen widmen sich zunächst der Vorhersage von elementaren homogenen 

Turbulenzfeldern bei moderater und starker Distorsion. Anhand des illustrativen 

Beispiels der achsensymmetrischen Distorsion wird die dem EASM zugrunde liegende 

Funktionsbasis kritisch beleuchtet. Daran anschliessend wird die Realisierbarkeit der 

Modellbildung für fundamentale Strömungszustände demonstriert. Abschließend werden 

die Koeffizienten des Druck–Scher–Korrelationsmodells in Hinblick auf die Darstellbarkeit 

von Stromlinienkrümmung und sekundären Strömungsmerkmalen analysiert. 

10.1 Homogene Scherturbulenz 

Die Analyse der berechneten Gleichgewichtswerte des Reynolds–Spannungstensors für 

homogene Scherturbulenz zählt zu den wichtigsten Eckpfeilern einer Beurteilung von 

Turbulenzmodellen. Die einzige von Null verschiedene Komponente des Geschwindigkeitsgradienten–Tensors 

∂U/∂y = S ∗ sei hierbei positiv, und ebenso wie alle statistischen 

Turbulenzgrößen räumlich konstant. 

Gleichgewichtszustand 

Für homogene Scherturbulenz lauten die modellierten Transportgleichungen der Turbulenzenergie 

(2.17) und Disspationsrate (2.18) 

∂k 

∂t 

= P − ε , 

∂ε 

∂t 

= ε 

k 

 

 

Cε1 P − Cε2 ε 

mit P = cµ S 2 ε , (10.1) 

deren Langzeitverhalten (Index ∞) durch folgende Gleichgewichtsbeziehung charakterisiert 

ist 

 

∂ε 

= 

∂t ∞ 

ε 

 

∂k 

. (10.2) 

k ∂t ∞ 

Aus Gleichung (10.2) ergibt sich unmittelbar der bereits in Kapitel 6.2 verwendete 

Gleichgewichtswert für die spezifische Produktionsrate 

 

P 

= 

ε ∞ 

Cε2 − 1 

Cε1 − 1 := C5 , (10.3) 

164

10.1. HOMOGENE SCHERTURBULENZ 

Tabelle 10.1: Berechnete Gleichgewichtswerte des Scherparameters für die ebene homogene 

Scherung (k − ε Modell). Vergleich der Ergebnisse mit quasi-selbstkonsistenter Approximation 

von ˜g nach (9.24) mit der regularisierten Technik cµ(g) nach (9.13) bzw. (9.14) und der 

selbstkonsistenten Technik (SK) nach Gleichung (9.22). Die Ergebnisse des linearen Standardmodells 

nach Jones et al. (1972) sind durch den Terminus lin. gekennzeichnet. 

k − ε LRR TB GS FRLT GL GY RO lin. Exp. 

cε1 1.44 1.44 1.44 1.44 1.44 1.40 1.44 1.44 

cε2 1.90 1.90 1.83 1.83 1.92 1.80 1.92 1.92 

C5 2.05 2.05 1.89 1.89 2.09 2.00 2.09 2.09 

S∞(˜g) 5.51 6.93 5.98 6.01 5.75 5.12 5.39 4.82 6.08 

S∞(g) (Reg. nach (9.14)) 5.45 6.84 6.02 6.36 5.79 5.36 5.62 — — 

S∞(g) (SK nach (9.22)) 5.45 6.84 5.99 6.25 5.65 5.13 5.39 — — 

und damit von (10.1) ein exponentielles Wachstum für die Turbulenzenergie 

 

τ 

k∞(τ) = k0 exp 

S 

 

Cε2 − Cε1 

, 

Cε1 − 1 

mit τ = t S ∗ = t 

2 η1 . (10.4) 

Experimentelle Untersuchungen von Tavoularis und Corrsin (1981) ordnen dem Gleich- 

= 6.08 zu, direkte nume- 

gewichtszustand einen Scheratenparameterwert S∞ = √ 2η1∞ 

rische Simulationen von ?) ermitteln demgegenüber leicht geringere Werte (S∞ = 5.7). 

Die von den unterschiedlichen EASM berechneten Gleichgewichtswerte S∞ sind in Tabelle 

10.1 zusammengefasst. Da sich alle Techniken zur Darstellung von (P/ε)g auf 

den Gleichgewichtszustand beziehen, variieren die Ergebnisse einzelner Druck–Scher– 

Korrelationsmodelle diesbezüglich nur geringfügig. Die größten Abweichungen treten 

im Zusammenhang mit den GY–, RO– und FRLT–EASM auf. Dabei ist zu berücksichtigen, 

daß sich die Wahl des Rotta–Koeffizienten des FRLT–Modells nach Geichung 

(9.27) eng an die Darstellung von (P/ε)g anlehnt. Auffällig ist die mit fallendem β3 einsetzende 

Abweichung zwischen selbstkonsistentem und regularisiertem Ergebnis, welche 

durch den bereits in Gleichung (9.14) erörterten Einfluß des Koeffizienten β3 auf die 

Güte der Padé–Approximation erklärt werden kann. 

Anisotropietensor der Reynolds–Spannungen im Gleichgewichtszustand 

Tabelle 10.2 vergleicht die von verschiedenen EASM berechneten Reynolds–Spannungen 

mit Experimenten und direkten numerischen Simulationen für drei verschiedene Scherraten. 

Die beiden höheren Scherraten beziehen sich auf die ebene homogene Scherung, 

der niedrigere Wert S = 3.3 entspricht dem logarithmischen Bereich einer Kanalströmung. 

Hierbei ist zu beachten, daß bei einer Kanalströmung genau genommen 

natürlich keine homogene Scherung vorliegt, ein Vergleich aber durchaus zweckmäßig 

ist. Da es sich bei den betrachteten Beispielen um Gleichgewichtszustände handelt, in 

denen Transportterme von untergeordnetem Einfluß sind, dürften sich die Ergebnisse 

165 

Tt

KAPITEL 

der Transportgleichungsmodelle kaum von den hier gezeigten EASM–Ergebnissen unterscheiden. 

Die berechneten Werte basieren auf der quasi–selbstkonsistenten Bestimmung 

des Gleichgewichtsparameters ˜g nach Gleichung (9.24). Zur Verdeutlichung der 

Bedeutung einer selbstkonsistenten bzw. quasi–selbstkonsistenten Vorgehensweise sind 

die Ergebnisse des regularisierten GS–Modells im Zusammenhang mit dem konstanten 

Gleichgewichtswert g nach Gleichung (9.13) unter der Kurzform GSreg ergänzend 

aufgeführt. 

Abid und Speziale (1993) weisen darauf hin, daß sowohl für die Kanalströmung als 

auch für die homogene Scherströmung ähnliche Anisotropiewerte berechnet werden 

sollten. Diese Aussage läßt sich durch den Vergleich der DNS einer Kanalströmung 

(Kim et al., 1987) mit den Messungen von Laufer (1951) nicht bestätigt. Trotzdem 

ist ein solches Vorhersageverhalten positiv zu bewerten. Dies gilt insbesondere für die 

elementar wichtige Schubspannungskomponente b12. 

Der Vergleich der GSreg– und SSG–Variante in Tabelle 10.2 deutet an, daß nahezu konstante 

Schubspannungskomponenten mit einem regularisierten EASM nicht zu verwirklichen 

sind. Eine Erklärung hierzu ergibt sich aus der Analyse des Rotta–Koeffizienten 

C1. Die Unabhängigkeit der Schubspannungskomponente von der Scherrate ist nur bei 

hinreichend kleinen Rotta–Koeffizienten zu gewährleisten, was z.B. deutlich aus der 

vergleichenden Betrachtung der GL– und GY–Ergebnisse hervorgeht. Je geringer der 

im Modell verankerte Rotta–Koeffizient ist, desto einflußreicher ist der Unterschied zwischen 

variablem oder konstantem (P/ε)g auf den Gleichgewichtskoeffizienten g. Eine 

gleichmäßig gute Vorhersage der homogenen Scherturbulenz und der Kanalturbulenz 

ist daher mit regularisierten Modellen nicht möglich. 

Der Einfluß des Rotta–Koeffizienten C1 auf den Grad der Anisotropie einer homogenen 

Scherströmung ist verblüffend. Mit Hilfe des EASM läßt leicht sich leicht zeigen, 

daß die Koordinaten des Anisotropietensors für eine Scherströmung (η1 = 2(s12) 2 ) im 

Falle von C1 = 1 zu Konstanten degenerieren 

 

η1 

b11 = −cµ β2 + 

g 

β3 

 

3 

 

η1 

, b22 = cµ β2 − 

g 

β3 

 

3 

, |b12| = cµ 

η1 

2 

. (10.5) 

Die exakte Gleichung (9.20) zur Bestimmung des Gleichgewichtsparameters g lautet in 

Scherströmungen 

g = (C ∗ 1 + 1) P 

ε = 2 (C∗ 1 + 1) cµη1 = 

❀ g = √ 2 β3 η1 2 

g + 2η1 

g 

3 − β2 2 − β ∗ 1 

−2β ∗ 1η1 

 

 

:=γ 

166 

 

β 2 2 − β2 3 

3 

. 

,


Setzt man dieses Ergebnis in die Definition des Anisotropieparameters cµ ein 

cµ = 

√ η1 

−β1 

 

γ + 2 

 

β γ 

2 2 − β2 , 

3 

3 

dann ergeben sich gemäß (10.5) unmittelbar von der Scherrate unabhängige bij-Werte. 

Aus der nachfolgenden kurzen Beurteilung unterschiedlicher Vorgehensweisen zur Modellierung 

der Druck–Scher–Korrelationen ergeben sich weitere konzeptionelle Defizite. 

IP–Modelle 

Sämtliche IP–Modelle offenbaren Schwierigkeiten bei der Berechnung der scheinbar 

einfachen homogenen Scherturbulenz. Die Schubspannungskomponente wird von allen 

Formulierungen deutlich überschätzt, die Spannungsanisotropie jedoch unterschätzt, 

woraus sich ein struktureller Widerspruch ableiten läßt. Insbesondere die fehlerhafte 

Berechnung von b12 ist zu bemängeln. Wegen C3 = C4 = 1.5 C2 sind IP–Modelle in 

ebenen Scherströmungen unweigerlich mit der Anomalie b22 = b33 verbunden. Daraus 

resultieren signifikante Defizite bei der Vorhersage von Wandturbulenz oder turbulenten 

Sekundärströmungen in scherdominierten Strömungszuständen (vgl. Kapitel 7.5). Die 

im IP–Modell verankerte Kopplung zwischen den Koeffizienten des schnellen Druck– 

Scher–Korrelationsmodells erscheint daher fragwürdig. Das GL–Modell ist den GY– 

und RO–Vorschlägen in ebenen Scherströmungen tendenziell überlegen. 

QI–Modelle 

Das LRR–Modell führt aufgrund der mangelhaften Abstimmung der Koeffizienten zu 

ähnlich unbefriedigenden Ergebnissen wie die IP–Modelle. Die Schubspannungskomponente 

wird deutlich überschätzt, was für die Berechnung von Scherströmungen fatale 

Auswirkungen haben kann. Die Normalspannungsanisotropie wird weit unterschätzt. 

Die von Taulbee vorgeschlagene Modifikation des LRR–Modells, die auch von Wallin 

und Johansson (2000) zur Formulierung eines EASM benutzt wird, erweist sich der 

ursprünglichen LRR–Formulierung in Bezug auf die Schubspannung überlegen. Die 

Normalspannungen werden demgegenüber noch schlechter als vom LRR–Modell vorhergesagt. 

Das TB–Modell unterscheidet sich für ebene Scherströmungen daher faktisch 

nicht von guten linearen Wirbelzähigkeitsmodellen. Die Wahl von C3 = 2 führt darüber 

hinaus in diesen Strömungen unsinnigerweise immmer auf b33 = 0, weswegen sich der 

physikalisch wichtige Umverteilungsmechanismus auf zwei Komponenten beschränkt. 

Die Vernachlässigung der dritten Komponente ist von Nachteil für die Darstellung von 

Anisotropiezuständen, beispielsweise in Zusammenhang mit der Integration des wandnahen 

low–Re Bereichs. 

Die FRLT– und SSG–Varianten sind für alle drei Scherraten mit bemerkenwert guten 

Resultaten verbunden. Die gute Übereinstimmung der Vorhersagen dieser beiden 

Modelle belegt die Qualität der quasi–selbstkonsistenten FRLT–Modellbildung. 

167

KAPITEL 

Tabelle 10.2: Berechnete Werte des Anisotropietensors für die ebene homogene Scherung. 

Aufgelistete P/ε = −2b12S. Mit Ausnahme von GSreg wurden alle Ergebnisse mit der quasiselbstkonsistenten 

Approximation des Gleichgewichtsparameters g nach (9.24) berechnet. 

k − ε S b11 b22 b12 P/ε cµ 

Launder, Reece und Rodi (LRR) 6.08 0.148 -0.116 -0.185 2.001 0.061 

5.7 0.149 -0.117 -0.186 1.886 0.065 

3.3 0.149 -0.117 -0.186 1.227 0.112 

Taulbee (TB) 6.08 0.123 -0.123 -0.147 1.788 0.049 

5.7 0.122 -0.122 -0.147 1.676 0.052 

3.3 0.112 -0.112 -0.145 0.957 0.088 

Speziale, Sarkar und Gatski (SSG) 6.08 0.217 -0.159 -0.156 1.897 0.052 

5.7 0.214 -0.155 -0.157 1.790 0.055 

3.3 0.179 -0.131 -0.158 1.043 0.096 

lin. reg. Gatski und Speziale (GSreg) 6.08 0.205 -0.149 -0.157 1.909 0.052 

5.7 0.193 -0.141 -0.157 1.790 0.055 

3.3 0.099 -0.072 -0.138 0.911 0.084 

Fu, Rung, Lübcke und Thiele (FRLT) 6.08 0.218 -0.157 -0.157 1.909 0.052 

5.7 0.215 -0.155 -0.157 1.790 0.055 

3.3 0.180 -0.130 -0.158 1.043 0.096 

Gibson und Launder (GL) 6.08 0.182 -0.091 -0.182 2.213 0.060 

5.7 0.181 -0.090 -0.182 2.075 0.064 

3.3 0.163 -0.081 -0.175 1.155 0.106 

Gibson und Younis (GY) 6.08 0.253 -0.126 -0.198 2.408 0.065 

5.7 0.247 -0.123 -0.197 2.246 0.069 

3.3 0.179 -0.089 -0.181 1.195 0.110 

Rotta (RO) 6.08 0.248 -0.124 -0.197 2.396 0.065 

5.7 0.238 -0.119 -0.196 2.234 0.069 

3.3 0.143 -0.072 -0.168 1.109 0.102 

lineares Standardmodell 6.08 0.0 0.0 -0.273 3.320 0.09 

(cµ =const) 5.7 0.0 0.0 -0.257 2.930 0.09 

3.3 0.0 0.0 -0.149 0.983 0.09 

Exp. Tavoularis und Corrsin (1981) 6.08 0.210 -0.151 -0.155 1.88 0.051 

DNS Rogers et al.(1986) 5.7 0.215 -0.153 -0.158 1.85 0.055 

Kanal DNS Kim et al. (1987) 3.3 0.179 -0.127 -0.143 0.996 0.087 

Kanal Exp. Laufer (1951) 3.1 0.220 -0.150 -0.160 0.992 0.103 

168


Instationäres Verhalten bei langsamer und schneller Variation der Scherrate 

Im Folgenden werden eine gleichgewichtsnahe und eine stark nichtgleichgewichtige homogene 

Scherung verglichen, welche sich durch die zeitliche Änderung der dimensionslosen 

Scherrate S = S ∗ k/ε unterscheiden (Abbildung 10.1). Aufgrund der geringfügigen 

Abweichung der Anfangsbedingung S0 vom Gleichgewichtszustand S∞ ist die gleichgewichtsnahe 

Scherung mit einer langsamen Änderung der Scherrate verbunden. Die 

Realisierung der nichtgleichgewichtigen Strömung geschieht durch entsprechend große 

Abweichungen der Anfangsbedingung vom Gleichgewichtszustand. 

S 

100 

10 

1 

0 

S * 

k 0 /ε 0 =2.36 (approximate equilibrium) 

S * k 0 /ε 0 =50. (non−equilibrium) 

t 

Abbildung 10.1: Zeitliche Entwicklung des Scherratenparameters S in einer homogenen 

Scherung bei zwei verschiedenen Anfangsbedingungen (S ∗ k0/ε0 = 2.36 bzw. S ∗ k0/ε0 = 50). 

Gleichgewichtsnaher Fall (schwache Distorsion) 

Abbildung 10.2 zeigt die zeitliche Entwicklung der Reynolds–Spannungen in einer homogenen 

Scherung zur Anfangsbedingung S0 = 2.36. Der Vergleich der Resultate unterschiedlicher 

EASM–Varianten mit der von ?) publizierten direkten numerischen Simulation 

untermauert die oben gezogenen Schlußfolgerungen. Keines der in Abbildung 

10.2 (unten) zusammengefassten IP–Modelle vermag zwischen den beiden sekundären 

Normalspannungskomponenten zu differenzieren. Das FRLT–Modell (Abbildung 10.2 

oben) besitzt trotz der eher moderaten Scherung deutliche Vorteile gegenüber den anderen 

Varianten bei der Vorhersage dieser Strömung. 

Auffällig sind die signifikanten Abweichungen aller EASM–Ergebnisse im frühen transienten 

Bereich (St ≤ 5). Diese resultieren aus der Vernachlässigung der substantiellen 

Änderung des Anisotropietensors im Rahmen des hypothetisch angenommenen strukturellen 

Gleichgewichts (Gleichung 4.10). Aufgrund der nicht verschwindenden Anfangsscherrate 

startet die RANS im Unterschied zur DNS aus anisotropen Zuständen. Sie 

durchläuft nur eine kurze transiente Phase, in der sich der Scherratenparameter S dem 

Gleichgewichtswert S∞ nähert, der Grad der Spannungsanisotropie folgt unmittelbar 

aus den aktuellen Parameterwerten von S. Untersuchungen zum transienten Verhalten 

sind demnach allenfalls für isotrope Turbulenzgrößen sinnvoll. Mit zunehmender Be- 

169

KAPITEL 

deutung der substantiellen Änderung des Anisotropietensors kommt es darüber hinaus 

zu Fehlern bei der Berechnung der Produktionsterme, worunter auch die Vorhersage 

isotroper Größen leidet. Dies betrifft weniger die Simulation von Scherturbulenz als die 

weiter unten diskutierte Vorhersage der rotationsfreien Distorsion, da die Normalspannungsanisotropie 

dort über entsprechende Gradienten die Entwicklung der spezifischen 

Produktionsrate (P/ε ∼ bijsij) nachhaltig beeinflußt. 

Ein praxisbezogenes Beispiel für die Bedeutung der Transportterme ist die Berechnung 

konfluenter Scherschichten, die beispielsweise im Zusammenhang mit der Simulation 

aerodynamischer Hochauftriebskonfigurationen (?) relevant sind. Hierbei kommt es in 

Ermangelung von Transporttermen zu deutlichen Qualitätseinbußen. ?) schlagen zur 

Berücksichtigung der lokalen Änderung das in Kapitel 8.1 skizzierte Relaxationsmodel 

vor, dessen Gültigkeitsbereich auf krümmungsarme, quasi–isotrope Zustände bechränkt 

ist. Alternativ hierzu können die vollständigen Transportterme (vgl. Kapitel 

5.3) berücksichtigt werden, wovon in dieser Arbeit jedoch kein Gebrauch gemacht wird. 

Nichtgleichgewichtsfall (starke Distorsion) 

Die Simulation einer stark nichtgleichgewichtigen homogenen Scherung ist aufgrund 

der hohen Anfangsscherrate S0 = 50 von Interesse. Das Beispiel eignet sich primär 

zur Evaluierung der im Rahmen von Kapitel 6 angestellten Überlegungen zum sog. 

Rapid–Distortion–Limit (lim η1 → ∞) des Anisotropieparameters cµ und ermöglicht eine 

Überprüfung der quasi–selbstkonsistenten Approximation von (P/ε)g. Inkonsistenzen 

eines Turbulenzmodells im Rapid–Distortion–Limit sind häufig mit fehlerhaften 

Simulationsergebnissen in Nichtgleichgewichtsströmungen verknüpft und sollten daher 

vermieden werden. Da eine transiente Analyse allenfalls für die isotropen Turbulenzgrößen 

sinnvoll ist, beschränken sich die gezeigten Resultate an dieser Stelle auf die 

zeitliche Entwicklung der Turbulenzenergie. 

Abbildung 10.3 vergleicht die diesbezüglich vorhergesagten Werte mit den Ergebnissen 

der Rapid–Distortion–Theorie (RDT), welche der Arbeit von ?) entnommen wurden. 

Verglichen mit der zuvor untersuchten gleichgewichtsnahen Anwendung verschlechtert 

sich die Qualität der Ergebnisse deutlich unter dem Einfluß der phasenweise extrem 

hohen Scherrate. Das regularisierte Modell unterschätzt das Wachstum der Turbulenzenergie 

aufgrund des bereits in Gleichung (9.17) konstatierten niedrigen asymptotischen 

Grenzwertes des Anisotropieparameters. Das herkömmliche k − ε Modell überschätzt 

demgegenüber das Wachstum der Turbulenzenergie entsprechend der Überproportionalität 

des asymptotischen Grenzwertes. Im Gegensatz zur regularisierten Formulierung, 

bzw. dem linearen k − ε Modell, sind mit den asymptotisch korrekten (quasi–) selbstkonsistenten 

Modellen deutliche Verbesserungen zu erzielen. 

Die Ursache für die verminderte Simulationsgüte bei hohen Scherraten liegt partiell in 

der isotropen, gleichgewichtsorientierten Modellbildung des Dissipationsraten–Tensors. 

Für den isotropen Anteil des Spannungstensors k/k0 verbessern sich die Ergebnisse 

170

R ij /2k 

R ij /2k 

R ij /2k 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 

Initially isotropic turbulence 

subjected to homogeneous shear 

S * 

k0 /ε0 =2.36 

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 

St 



S * 

k0 /ε0 =2.36 

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 

St 



S * 

k0 /ε0 =2.36 

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 

St 


R 11 /2k 

R 22 /2k 

R 33 /2k 

R 12 /2k 

GS 

TB 

LRR 

R 12 /2k 

R 11 /2k 

R 22 /2k 

R 33 /2k 

GL 

GY 

RO 

R 12 /2k 

R 11 /2k 

R 22 /2k 

R 33 /2k 

Abbildung 10.2: Zeitliche Entwicklung der Reynolds–Spannungen in einer ebenen, homogenen 

Scherung (Anfangsbedingung S ∗ k0/ε0 = 2.36); Vergleich der quasi–selbstkonsistenten 

EASM–Ergebnisse mit der direkten numerischen Simulation von Rogers et al. (1986). 

171

KAPITEL 

k/k 0 

20.0 

15.0 

10.0 

5.0 

homogeneous shear flow in 

the rapid distortion limit 

S * 

k0 /ε0 =50. 

0.0 

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 

St 

FRLT 

FRLT + RNG ε 

reg. GS 

k−ε 

self−consist. GS 

self−consist. SSG 

RDT 

Abbildung 10.3: Zeitliche Entwicklung der Turbulenzenergie bei einer ebenen homogenen 

Scherung im Rapid–Distortion–Limit (Anfangsbedingung S ∗ k0/ε0 = 50); Vergleich unterschiedlicher 

EASM–Ergebnisse mit der Rapid–Distortion–Theorie (Rogers et al. 1991). 

trotz isotroper Modellbildung bereits deutlich bei der Verwendung einer nichtgleichgewichtsbasierten 

Formulierung der Dissipationsratengleichung. Abbildung 10.3 belegt 

dies anhand des Resultats einer modifizierten Dissipationsratengleichung (FRLT + 

RNG ε) 

Cε1 = 1.44 − 

S(1 − S/S∞) 

1 + 0.015 · S 3 , mit S∞ nach Tabelle 10.1 , 

welche von Yakhot et al. (1992) entwickelt wurde und auf die Renormalisierungsgruppen– 

(RNG) Theorie zurück geht (?). Analoge Verbesserungen können von ähnlich konstruierten 

Cε1 erwartet werden. 

Die hiermit erzielbaren quantitativen Verbesserungen für die Turbulenzenergieentwicklung 

in einer homogenen, stark gescherten Turbulenz mögen derartige Ansätze legitimieren. 

Eine detaillierten Betrachtung der Resultate offenbart jedoch, daß Modifikationen 

aus dem Bereich isotroper Wirbelzähigkeitsmodelle das eigentliche Defizit 

teilweise maskieren, und der anisotropen Modellbildung nur in Strömungen, die 

von primären Strömungsmerkmalen dominiert werden, dienlich sind. Im Zuge stark 

erhöhter Scherraten kommt es zu einer deutlichen Umorientierung der Turbulenzstruktur 

zur Einkomponenten–Turbulenz, welche vom vorliegenden EASM ungeachtet der 

spezifischen Cε1–Formulierung nicht nachvollzogen werden kann. Die fehlerhafte Vorhersage 

der Turbulenzstruktur spielt mangels entsprechender Geschwindigkeitsgradienten 

für die Entwicklung der Turbulenzenergie in diesem Beispiel jedoch keine Rolle. 

Allgemeingültigere Verbesserungen sind nur von anisotropen Dissipationsraten (?; ?) 

oder aber direkten Korrekturen der Koeffizienten (vgl. Kapitel 8.1) zu erwarten. 

172

10.2. HOMOGENE TURBULENZ IN ROTATIONSFREIER DISTORSION 

10.2 Homogene Turbulenz in rotationsfreier Distorsion 

Der folgende Abschnitt analysiert die Vorhersagekraft unterschiedlicher EASM–Varianten 

für verschiedene homogene rotationsfreie (wij ≡ 0) Scherratenfelder. Hierbei wird 

wiederum von räumlich konstanten Geschwindigkeitsgradienten und homogenen Turbulenzfeldern 

ausgegangen. Für die Analyse ist eine Betrachtung auf der Basis der 

Hauptachsen von sij hilfreich. Bekanntermaßen besitzt die Säkulargleichung eines positiv 

semi-definiten Tensors 

det (sij − λkδij) = 0 (10.6) 

drei reelle Lösungen λk (k=1,2,3). Den drei Eigenwerten λk sind drei paarweise orthogonale 

Eigenvektoren zugeordnet. Wählt man die Eigenvektoren als Basisvektoren, so 

kann sij durch eine Hauptachsentransformation auf Diagonalgestalt gebracht werden 

ˆsij = 

⎛ 

⎝ 

λ1 0 0 

0 λ2 0 

0 0 λ3 

⎞ 

⎠ , (10.7) 

wobei wegen der Spurfreiheit des Deviators s zusätzlich λ1 + λ2 + λ3 = 0 gilt. Sortiert 

man die Eigenwerte nach der Größe ihres Betrags, z.B. |λ1| > |λ2|; |λ3|, so ergibt sich 

unter der Voraussetzung nicht–trivialer Situationen λ1 = 0: 

λ2 + λ3 = −λ1 → λ2 = −0.5(â + 1)λ1 und 

Damit läßt sich (10.7) wie folgt notieren (ˆs11 = λ1) 

ˆsij = 

⎛ 

⎝ 

λ3 = −0.5(â − 1)λ1 , −1 ≤ â ≤ 1 . (10.8) 

1 0 0 

0 

0 − 1+â 

2 

0 0 − 1−â 

2 

⎞ 

⎠ ˆs11 . (10.9) 

Hierin kennzeichnet ˆs11 die dimensionslose Primärdistorsionsgeschwindigkeit im Hauptachsensystem 

und â einen Parameter zur Beschreibung der Abweichung vom zweidimensionalen 

Distorsionszustand. Die folgenden Untersuchungen konzentrieren sich auf 

die drei relevanten Grenzfälle des transformierten Scherratentensors (10.9) (vgl. Abbildung 

10.4): 

• zweidimensionale Distorsion: â 2 = 1 und ˆs11 > 0 , 

• achsensymmetrische Kontraktion: â = 0 und ˆs11 > 0 , 

• achsensymmetrische Expansion: â = 0 und ˆs11 < 0 . 

173

KAPITEL 

Die achsensymmetrische Distorsion ist, wie bereits in Kapitel 3.2 diskutiert, mit achsensymmetrischer 

Turbulenz verbunden. Durch den exakten linearen Stress–Strain– 

Zusammenhang (3.63) ist die Evaluierung der hier untersuchten, formal aufwendigeren 

nichtlinearen expliziten Modellbildung von Interesse. Man beachte, daß die über den 

quadratischen Ansatz FGS hinausgehenden Generatoren T (4−10) 

ij wegen wij ≡ 0 verschwinden, 

und die Analyse sich somit ohne Einschränkung auf Allgemeingültigkeit 

auf FGS beschränkt. 

X 2 

X 1 

X 2 X 1 

Abbildung 10.4: Veranschaulichung der zweidimensionalen Distorsion (links) und achsensymmetrischen 

Kontraktion (rechts). 

Formale Betrachtung der achsensymmetrische Distorsion 

Die Betrachtung der rotationsfreien, achsensymmetrischen Distorsion liefert Einblicke 

in eventuell vorhandene konzeptionelle Defizite der Funktionsbasis (3.48) eines expliziten 

algebraischen Spannungsmodells 

bij = 

k 

X 3 

akT (k) 

ij , (10.10) 

ohne die Projektion in ein ASM durchführen zu müssen. Die darstellungstheoretische 

Tauglichkeit der gewählten Funktionsbasis ist an die lineare Unabhängigkeit ihrer Generatoren 

T (k) 

ij gebunden. Diese läßt sich, unabhängig von der ins Auge gefaßten Projektion, 

mit Hilfe einer doppelten Überschiebung verifizieren 

 

bijT (p) 

ji 

 

= ak 

 

T (k) 

 

(p) 

T 

 

ij ji 

 

Gram−Matrix Gkp 

. (10.11) 

Eine Invertierung des Gleichungssystems (10.11) gelingt nur für reguläre Gram–Matrizen. 

Linear abhängige Generatoren erzwingen demgegenüber einen Rangabfall der Gram– 

Matrix, der mit entsprechend vielen Nullstellen der Gram–Determinate einhergeht. 

Dreidimensionale Integritätsbasis 

Für das Beispiel des quadratischen Drei–Generator–Ansatzes FGS (6.13) lautet die 

174

Gram–Matrix und deren Determinante 

⎛ 

⎞ 

Gkp = 

⎜ 

⎝ 

η1 0 η3 

0 (η1η2 − 6η5) 0 

η3 0 η 2 1/6 


⎟ 

⎠ , det[Gkp] = 

Im Falle der achsensymmetrischen Kontraktion findet man 

T (1) 

ij = sij = 

⎛ 

⎝ 

1 0 0 

0 −1/2 0 

0 0 −1/2 

⎞ 

⎠ ˆs11 , T (2) 

ij 

1 

(η1η2 − 6η5)( η3 1 

6 − η2 3) 

(3) 

≡ 0 , T ij = 

 

1 

2 ˆs11 

 

. (10.12) 

und für die Invarianten η2 = η4 = η5 = 0 , η1 = 1.5 ˆs 2 11 , η3 = 0.75 ˆs 3 11 . Hieraus ergibt 

sich eine doppelte Nullstelle der Gram–Determinate, weswegen das Gleichungssystem 

auch in der unten dargestellten vereinfachten Form stets singulär wird 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

a1 

a2 

a3 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

η 2 1 

η 3 1 −6η2 3 

0 

6 η3 

6η 2 3 −η3 1 

0 

1 

η1η2−6η5 

0 

6 η3 

6η 2 3 −η3 1 

0 

6η1 

η 3 1 −6η2 3 

⎞ 

⎛ 

⎟ 

⎠ · 

⎜ 

⎝ 

bijsij 

0 

(0.5ˆs11) bijsij 

Die Übertragung dieser Aussage auf die EASM überprüft man wegen T (2) 

ij 

⎞ 

sij , 

⎟ 

⎠ . (10.13) 

≡ 0 ge- 

eigneterweise anhand der Beziehung (6.5). Dabei begünstigt die spezielle Struktur der 

rechten Seite (bijT (1) 

ij , bijT (3) 

ij ) die Berechnung der EASM Koeffizienten, weil sich in diesem 

Falle auch die zweite Nullstelle der Determinante von M im Zuge der Invertierung 

kürzen läßt. Hiervon kann i.Allg. (Tij = 0) jedoch nicht ausgegangen werden. 

Zweidimensionale Integritätsbasis 

Die Problematik der Funktionsbasis FGS erkennt man deutlich aus der Untersuchung 

der zunächst regulären Gestalt von (10.13), welche man nach Vereinfachung der Integritätsbasis 

für zweidimensionale Zustände gemäß (3.54) erhält 

a1 = bijsij 

η1 

a2 = 0 , a3 = 6 

und damit von (10.10) : bij = 

η 2 1 

bijT (3) 

ij 

 

2 

η1 

= 3 ˆs11 

η1 

bkmskm 

 

a1 , (10.14) 

sij . (10.15) 

Die implizite Beziehung (10.15) birgt einen deutlichen Widerspruch (P/ε = 2P/ε) in 

sich, deren Ursachen in der Verwendung linear abhängiger Generatoren liegt. Das Gleichungssystem 

(10.13) entkoppelt in diesem Falle zu zwei Gleichungen bij = a1sij und 

175

KAPITEL 

1/3 

1/12 

−II b 

0.30 

0.25 

0.20 

0.15 

0.10 

0.05 

0.00 

Achsensymmetrische Turbulenz (S=0...100) 

1−Komponenten−Turbulenz 

Isotrope 2−Komponenten− 

Turbulenz 

−1/108 

regularisierte Trajektorie 

qs−FRLT Trajektorie 

Kontraktion 

Expansion 

Isotrope 3−Komponenten−Turbulenz (S=0) 

0.00 0.02 0.04 0.06 

III b 

Abbildung 10.5: Achsensymmetrische Turbulenz (S = 0 bis 100); Vergleich der Invariantenpfade 

für die quasi–selbstkonsistente und die regularisierte EASM–Technik (FRLT–Modell). 

bij = a3T (3) 

ij . Jede dieser Gleichungen erfüllt die Fundamentalgleichung achsensymmetrischer 

Turbulenz (3.63), eine Überlagerung beider Anteile ist nicht zulässig und führt 

zum Widerspruch. 

Explizites algebraisches Spannungsmodell 

Die im EASM verankerten Koeffizienten (A, B, C) sind, im Gegensatz zu den Koeffizienten 

(a1, a2, a3), keine Funktion des Spannungsanisotropietensors. Die oben angestellten 

Überlegungen lassen sich folglich nur bedingt auf die EASM übertragen. Gegenüber 

einer mehrgliedrigen impliziten Formulierung besitzt die explizite Formulierung des 

EASM den entscheidenden Vorteil der Konsistenz zur Fundamentalbeziehung (3.63) 

achsensymmetrischer Turbulenz 

 

bij = A + C ˆs11 

 

2 

 

−c µ(eff) 

sij ❀ II∗ b 

η1 

= 

2/27 

 

A + C ˆs11 

2 = c 

2 

2 µ(eff) , (10.16) 

weswegen die achsensymmetrische Turbulenz prinzipiell durch ein EASM darstellbar 

ist. Im Zusammenhang mit einer selbstkonsistenten (3D) Darstellung von P/ε für diese 

Funktionsbasis sind jedoch Zweifel angebracht. Einschränkend muß bemerkt werden, 

176


daß sich bei steigender Distorsion in Zusammenhang mit der quasi–selbstkonsistenten 

Technik eine frühzeitige Stagnation der Invarianten einstellt. 

Abbildung 10.5 verdeutlicht, daß das QS–FRLT–Modell in der vorliegenden Form zwar 

die korrekten Lösungspfade 

IIb = −0.75 ˜s 2 11 c 2 µ(eff) , IIIb = 0.25 ˜s 3 11 c 3 µ(eff) 

❀ 

2 IIIb 

+ 

2 

3 IIb 

≡ 0 . (10.17) 

3 

beschreibt (vgl. Anhang A), ein großer Teil der physikalisch möglichen Zustände aber 

außerhalb des Arbeitsbereichs liegt. Kapitel 8.1 befaßt sich im Rahmen einer Koeffizientenoptimierung 

mit der Eliminierung dieses Defizites. Ferner entnimmt man der Grafik, 

daß die regularisierte Technik für große η1 zu nicht realisierbaren Lösungen führt, deren 

Trajektorien über die Eckpunkte des grauunterlegten Dreiecks hinauslaufen. 

Simulation schwacher rotationsfreier Distorsionen 

Der in den Abbildungen 10.6–10.8 illustrierte quantitative Vergleich stellt den Ergebnissen 

unterschiedlicher EASM die von ?) durchgeführten direkten numerischen Simulationen 

der oben diskutierten drei charakteristischen rotationsfreien Distorsionen 

gegenüber. Die direkten numerischen Simulationen wurden dabei erneut aus dem isotropen 

Turbulenzzustand gestartet. 

Abbildungen 10.6 und 10.7 geben Aufschluß über die Simulationgüte verschiedener 

selbstkonsistenter EASM bei schwacher achsensymmetrischer Kontraktion (S0 = 0.56) 

bzw. Expansion (S0 = 0.41). Durch die schwache Ausgangsbelastung weicht die anfängliche 

Turbulenzstruktur der RANS nur geringfügig vom isotropen Zustand ab. Obwohl 

sich die Ausgangsbelastungen der untersuchten Fälle nur wenig unterscheiden, erkennt 

man bereits eine Verschlechterung der vorhergesagten Turbulenzenergie für die höhere 

Belastung (achsensymmetrische Expansion). Insgesamt sind die Ergebnisse auf der 

Basis der FRLT und GS Koeffizienten den anderen Alternativen leicht überlegen. Die 

überraschend gute Vorhersage des RO–Modells ist auf die geringe Intensität der Distorsion 

zurückzuführen. Analoge Aussagen ergeben sich aus der Betrachtung der in 

Abbildung 10.8 gezeigten Ergebnisse für die ebene Streckung (S0 = 0.50). Man be- 

achte, daß die Wahl von C3 = 2 (TB–Modell) a priori mit der Neutralisierung des 

verbunden ist, welcher im Falle der ebenen Streckung einen von zwei 

linear unabhängigen Generatoren des Problems repräsentiert. 

Generators T (3) 

ij 

177

KAPITEL 

b ij 

b ij 

b ij 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 


subjected to axisymmetric contraction 

S * 

k 0 /ε 0 =0.56 

1.0 2.0 

e 

3.0 4.0 5.0 

(St) 

−0.4 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 



S * 

k0 /ε0 =0.56 

1.0 2.0 

e 

3.0 4.0 5.0 

(St) 

−0.4 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 



S * 

k0 /ε0 =0.56 

1.0 2.0 

e 

3.0 4.0 5.0 

(St) 

−0.4 

Computed k/k 0 

Computed b 11 

Computed b 22 =b 33 

DNS k/k 0 

DNS b 11 

DNS b 22 =b 33 

GS 

TB 

LRR 

DNS k/k 0 

DNS b 11 

DNS b 22 =b 33 

GL 

GY 

RO 

DNS k/k 0 

DNS b 11 

DNS b 22 =b 33 

Abbildung 10.6: Achsensymmetrische Kontraktion (Anfangsbedingung S ∗ k0/ε0 = 0.56); 

Vergleich der vom quasi–selbstkonsistenten FRLT–EASM (oben) und den QI–EASM (mitte) 

bzw. IP–EASM (unten) vorhergesagten Ergbnisse mit der direkten numerischen Simulation 

von Lee et al. (1985). 

178

ij 

b ij 

b ij 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 



subjected to axisymmetric expansion 

S * 

k0 /ε0 =0.41 

1.0 2.0 

e 

3.0 4.0 5.0 

(St) 

−0.4 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 



S * 

k0 /ε0 =0.41 

1.0 2.0 

e 

3.0 4.0 5.0 

(St) 

−0.4 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 



S * 

k0 /ε0 =0.41 

1.0 2.0 

e 

3.0 4.0 5.0 

(St) 

−0.4 

Computed k/k 0 

Computed b 11 

Computed b 22 =b 33 

DNS k/k 0 

DNS b 11 

DNS b 22 =b 33 

GS 

TB 

LRR 

DNS k/k 0 

DNS b 11 

DNS b 22 =b 33 

GL 

GY 

RO 

DNS k/k 0 

DNS b 11 

DNS b 22 =b 33 

Abbildung 10.7: Achsensymmetrische Expansion (Anfangsbedingung S ∗ k0/ε0 = 0.41); 

Vergleich der vom quasi–selbstkonsistenten FRLT–EASM (oben) und den QI–EASM (mitte) 

bzw. IP–EASM (unten) vorhergesagten Ergbnisse mit der direkten numerischen Simulation 

von Lee et al. (1985). 

179

KAPITEL 

b ij 

b ij 

b ij 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 


subjected to plane strain 

S * 

k0 /ε0 =0.50 

1.0 2.0 

e 

3.0 4.0 5.0 

(St) 

−0.4 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 

1.0 2.0 

e 

3.0 4.0 5.0 

(St) 

−0.4 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 



S * k 0 /ε 0 =0.50 



S * k 0 /ε 0 =0.50 

1.0 2.0 

e 

3.0 4.0 5.0 

(St) 

−0.4 

Computed FRLT 

DNS k/k 0 

DNS b 11 

DNS b 22 

DNS b 33 

Abbildung 10.8: Ebene Streckung (Anfangsbedingung S ∗ k0/ε0 = 0.50); Vergleich der vom 

quasi–selbstkonsistenten FRLT–EASM (oben) und den QI–EASM (mitte) bzw. IP–EASM 

(unten) vorhergesagten Ergbnisse mit der direkten numerischen Simulation von Lee et al. 

(1985). 

180 

GS 

TB 

LRR 

k/k 0 

b 11 

b 22 

b 33 

GL 

GY 

RO 

k/k 0 

b 11 

b 22 

b 33

10.3 Realisierbarkeit 


Die Reynolds–Spannungen entsprechen den zweiten statistischen Momenten von Geschwindigkeitsfluktuationen 

und genügen daher fundamentalen statistischen Zusammenhängen. 

Diese werden im Rahmen der numerischen Strömungsmechanik häufig 

unter dem Begriff Realisierbarkeit oder dem englischen Terminus Realizability–Prinzip 

zusammengefaßt (Schumann 1977; Lumley 1978). Neben der bereits in Kapitel 6.4 

skizzierten Schwartzschen Ungleichung zählt insbesondere die Gewährleistung positiver 

Varianzen zu den Inhalten des Realizability–Prinzips 

u 2 α ≥ 0 → keine negative Varianz, (10.18) 

u 2 α u 2 β − (uαuβ) 2 ≥ 0 → Ungleichung nach Schwartz. (10.19) 

Da es sich bei den Varianzen um Anteile kinetischer Turbulenzenergie handelt, ist 

die Realizability-Restriktion (10.18) auch physikalisch einsichtig: Energie ist nie negativ. 

Die Schwartzsche Ungleichung ergibt sich aus der Tatsache, daß die Reynolds- 

Spannungen durch einen symmetrischen, positiv semi-definiten Tensor repräsentiert 

werden bzw. Korrelationskoeffizienten größer Eins unzulässig sind. Eine strengere Form 

der Realisierbarkeit befaßt sich mit dem Verhalten der Reynolds–Spannungen bei Erreichen 

der Minima von (10.18) und (10.19). Das absolute Minimum ist in diesem Falle 

das einzige physikalisch realisierbare Szenario, weswegen die erste zeitliche Ableitung 

der beiden linken Seiten verschwinden, und die erste von Null verschiedene Zeitableitung 

positiv sein muß. 

X 2 

X 2 

(a) 

X 1 

X 1 

X 2 

X 2 

Ω3 

X 1 

X 2 X 1 

(b) (c) 

Abbildung 10.9: Illustration der Anwendungsbeispiele der Realisierbarkeitsuntersuchung; 

(a) ebene Scherströmung, (b) rotierende bzw. gekrümmte Scherströmung, (c) rotationsfreie 

Distorsion (Beschleunigung). 

Für die im Folgenden durchgeführte Realizability–Untersuchung spielt die strenge Form 

der Realisierbarkeit keine Rolle. Da die Gewährleistung der Schwartzschen Ungleichung 

bereits in Kapitel 6.4 ausführlich erörtert wurde, beschränken sich die anschließenden 

Untersuchungen auf die Normalspannungs–Realizability u 2 α ≥ 0. 

181 

X 1 

X 2 

X 1 

X 3

KAPITEL 

Häufig bezieht man sich bei der Realizability–Untersuchung auf ein ausgezeichnetes Koordinatensystem, 

um darin eine allgemeingültige Aussage zu entwickeln. Ein Beispiel 

hierfür ist die von Rung (1998a) durchgeführte Untersuchung linearer Wirbelzähigkeitsbeziehungen 

auf der Basis der Hauptachsen des Scherraten–Tensors, die auch in 

zahlreichen Arbeiten von Shih verwendet wurden (Shih et al. 1993; ?; ?). Vor dem Hintergrund 

einer beliebig komplexen Funktionsbasis wird die Definition eines ausgezeichneten 

Koordinatensystems zusehends schwieriger. Deswegen soll hier, in Anlehnung an 

die von ?) skizzierte Vorgehensweise, nur die Realisierbarkeit der in Abbildung 10.9 

skizzierten Strömungszustände exemplarisch behandelt werden. Bei den betrachteten 

Strömungen handelt es sich um Grundbausteine der klassischen Modellbildung, deren 

Realisierbarkeit zu den Mindestanforderung an die Turbulenzmodellierung gehören 

sollte. Die untersuchten Strömungen behandeln zweidimensionale und achsensymmetrische 

Probleme, weshalb sich die Analyse auf den quadratischen Drei–Generator–Ansatz 

(6.13) mit den in (6.18) notierten Koeffizienten stützt. ?) zeigten, daß die regularisierte 

Technik unweigerlich mit einer Verletzung des Realizability–Prinzips einhergeht, 

weshalb hier vorwiegend die quasi–selbstkonsistente Technik untersucht wird. Um den 

Einfluß einer höherwertigen (P/ε)g Approximation zu unterstreichen, werden die Ergebnisse 

der regularisierten und selbstkonsistenten Technik der Vollständigkeit halber 

hinzugefügt. 

Realisierbarkeit ebener Scherströmungen 

Die ebene, wandgebundene oder freie Scherschicht nach Abbildung 10.9(a) gehört sicherlich 

zu den wichtigsten Strömungsbeispielen. Anhand von Abbildung 2.1 erkennt 

man, daß der überwiegende Teil der Turbulenzenergie einer Grenzschicht U1(x2) in der 

Hauptströmungskomponente u 2 1 zu finden ist, wohingegen der am meisten gedämpfte 

Energieanteil aus kinematischen Gründen die wandnormale Komponente u 2 2 ist. Das 

Realizability–Prinzip verlangt, daß keine Komponente der Normalspannungen negativ 

werden darf. Mit Hilfe von (2.5), (6.13) und (6.18) findet man für die kritische 

Normalspannung u 2 2 und die Querströmungskomponente u 2 3 in dieser Strömung 

u2 2 = 2 

3 k − 2 cµ 

 

k − β2 

˜g η1 + β3 

3˜g η1 

 

, bzw. u2 3 = 2 

3 k − 2 cµ 

 

k − β3 

3˜g η1 

 

(10.20) 

und damit 

❀ lim 

η1→∞ 

lim 

η1→∞ 

 

u 2 2 

 

2k 

 

u 2 3 

2k 

= 1 

3 + 

= 1 

3 + 

182 

cµ η1 

˜g 

 

 

cµ η1 2β3 

˜g 3 

β2 − β3 

3 

 

≥ 0 , (10.21) 

≥ 0 .


Tabelle 10.3: Grenzwerte der Normalspannungskomponenten in ebenen Scherströmungen 

bei hohen Scherraten; alle Ergebnisse basieren, mit Ausnahme von 

LRRreg, auf der Basis der quasi–selbstkonsistenten Technik (9.24). 

limη1→∞ 

 

u2 1 

2k 

shear 

u2 2 

2k 

shear 

LLR 

0.459 

0.235 

TB 

0.453 

0.214 

GS 

0.585 

0.150 

FRLT 

0.583 

0.153 

GL 

0.510 

0.245 

GY 

0.682 

0.159 

RO 

0.794 

0.103 

LRRreg. 

0.766 

-0.006 

0.306 0.333 0.265 0.264 0.245 0.159 0.103 0.240 

u 2 3 

2k 

shear 

Durch die Abschätzung 

lim 

η1→∞ 

 

cµ η1 

= 

˜g 

−β1 

2 

(1.83) 2 

+ 2 β2 2 − β2 

3 

3 

ergeben sich die in Tabelle 10.3 notierten Grenzwerte der Normalspannungs–Komponenten 

in Abhängigkeit vom zugrunde liegenden Druck–Scher–Korrelationsmodell. Abbildung 

10.10 veranschaulicht den monotonen Abfall der kritischen Normalspannungskomponente 

u 2 2/(2k) mit η1 für die Mehrzahl der quasi–selbstkonsistenten EASM Varianten. 

Der in Abbildung 10.11 unten deutlich sichtbare Nulldurchgang der kritischen 

Normalspannung des regularisierten LRR–EASM verdeutlicht die Problematik einer 

niederwertigen Approximation von (P/ε)g. Eine Verletzung des Realizability–Prinzips 

tritt jedoch nur in Zusammenhang mit dem regularisierten LRR–Modell auf. Auffällig 

2 u2 /2k 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

quasi self−consistent model 

1 10 100 1000 

η 1 

GS 

RO 

GY 

GL 

FRLT 

TB 

LRR 

Abbildung 10.10: Entwicklung der dimensionslosen Normalspannung u2 2 /(2k) bei ebener 

Scherung und quasi–selbstkonsistenter Technik. 

ist ferner die bereits in Kapitel 7.1 angesprochene schwache Normalspannungsanisotropie 

der TB und LRR Varianten, sowie die mangelhafte Unterscheidung von Quer– und Nor- 

183

KAPITEL 

malkomponenten durch IP–Modellen. Daneben stellt man fest, daß die Normalspannung 

bei quasi–selbstkonsistenter Modellbildung vorzeitig stagniert, wohingegen die 

Resultate der selbstkonsistenten Modellierung über einen weiteren Invariantenbereich 

variieren. 

2 u /2k 2 

2 u2 /2k 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

−0.1 

self−consistent model 

1 10 100 1000 

η 1 

regularized model 

1 10 100 1000 

η 1 

GS 

RO 

GY 

GL 

FRLT 

TB 

LRR 

GS 

RO 

GY 

GL 

FRLT 

TB 

LRR 

Abbildung 10.11: Entwicklung der dimensionslosen Normalspannung u2 2 /(2k) bei ebener 

Scherung; Resultate der selbstkonsistenten Technik (oben) bzw. regularisierten Technik (unten). 

Realisierbarkeit gekrümmter und rotierender Scherströmungen 

Die zweidimensional gekrümmte oder rotierende Scherströmung nach Abbildung 10.9(b) 

ist das nächste Anwendungsbeispiel der Realisierbarkeitsuntersuchung. Da es sich hierbei 

um Krümmungseffekte innerhalb der Hauptströmungsebene handelt, folgt die Belegung 

der Scherraten– und Wirbeltensoren dem in (2.5) notierten Beispiel der ebenen 

Scherströmung. Im Unterschied zur krümmungsfreien Situation lautet die Definition 

der von Null verschiedenen Komponenten einer gekrümmten Scherströmung 

S12 = 1 

2 

∂U1 

∂x2 

− U1 

x2 

 

und 

184 

˜ W12 = 1 

2 

∂U1 

∂x2 

+ U1 

x2 

 

, (10.22)

2 

u2 /2k 

0.40 

0.30 

0.20 

0.10 

quasi self−consistent FRLT−EASM 

η 1 

attenuation of the 

wall−normal component 

due to curved shear 

1 10 100 1000 

−η 2 /η 1 


Abbildung 10.12: Abhängigkeit der kritischen Normalspannungsverläufe u2 2 /(2k) von der 

Scherrate in gekrümmten Scherströmungen (quasi–selbstkonsistentes FRLT–EASM). 

bzw. im Falle der rotierenden Scherströmung (vgl. Kapitel 7.4) 

S12 = 1 

2 

∂U1 

∂x2 

und 

˜ W12 = 1 

2 

∂U1 4 − C4 

− 

∂x2 2 − C4 

Ω3 . (10.23) 

Im Rahmen der Realizability–Untersuchung ist die Stabilisierung der Strömung von 

besonderem Interesse. Aus diesem Grunde konzentrieren sich die Ausführungen auf 

die am stärksten gedämpfte Normalspannungskomponente u 2 2 entlang der konvexen 

Berandung einer gekrümmten Scherschicht, bzw. der Saugseite einer rotierenden Ka- 

nalströmung 

u2 2 = 2 

 

η1 

k + 2 k cµ β2γ − 

3 ˜g 

β3 

 

3 

, mit γ = w∗ 12 

s12 

. (10.24) 

Da alle Koeffizienten βi negativ sind, und der Term (cµη1/˜g) den oben angestellten 

Überlegungen folgend stets positiv ist, sind negative Werte der kritischen Normalspannung 

nur für positive γ zu erwarten. Abbildung 10.12 skizziert die Kurvenschar der 

kritischen Normalspannung (10.24) am Beispiel des quasi–selbstkonsistenten FRLT– 

Modells, analoge Verläufe erhält man für die anderen quasi–selbstkonsistenten EASM– 

Varianten. Die Grafik belegt, daß die niedrigsten Werte von u 2 2/(2k) für hohe Invariantenwerte 

η1 zu erwarten sind. Untersucht man die Beziehung (10.24) für den Grenzwert 

lim η1 → ∞, dann ergibt sich aus 

lim ˜g = 

η1→∞ 

√ η1 

1.83 0.1 + 0.4γ 2 

die Zwangsbedingung 

γ 2 

− 1.5 β1 

 

β1β3 

γ + 

β2 2 β2 − 

2 

β2 3 

3 β2 2 

 

η1 

bzw. lim 

η1→∞ ˜g 2 

 

= (1.83) 2 0.1 + 0.4γ 2 

+ 1 

2 β 2 2 

2 ˜g 

≥ 0 . (10.25) 

Schätzt man hierin den Term (˜g 2 /η1) im Sinne der Ungleichung durch den kleinsten 

185 

η1

KAPITEL 

2 u2 /2k 

u 2 2 /2k 

2 u2 /2k 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

−0.1 

−0.2 


1 10 100 1000 

−η 2 /η 1 


1 10 100 1000 

−η 2 /η 1 


1 10 100 1000 

−η 2 /η 1 

GS 

RO 

GY 

GL 

FRLT 

TB 

LRR 

GS 

RO 

GY 

GL 

FRLT 

TB 

LRR 

GS 

RO 

GY 

GL 

FRLT 

TB 

LRR 

Abbildung 10.13: Verhalten der kritischen Normalspannung u2 2 /(2k) in gekrümmten Scherströmungen 

im Grenzübergang lim η1 → ∞; oben: quasi-selbstkonsistente Technik, mitte: 

selbstkonsistente Technik, unten: regularisierte Technik. 

186


möglichen Wert (0.1 · 1.83 2 ) ab, so finden sich mit Ausnahme des RO–Variante keine 

reellen Nullstellen zur Beziehung (10.25), weswegen auch keine negativen Normalspannungen 

auftreten können. Abbildung 10.13 (oben) bestätigt dies anhand der grafischen 

Verläufe der kritischen Normalspannung als Funktion von −η2/η1. Die selbstkonsistente 

Technik besitzt für das RO–EASM ein Minimum im Bereich verschwindender u 2 2, 

die regularisierte Technik verletzt das Realizability–Prinzip für die GS–, FRLT– und 

LRR– Varianten (Abbildung 10.13 unten). 

Tabelle 10.4: Grenzwerte der Normalspannungskomponenten in 2D und achsensymmetrischen 

(AK) rotationsfreien Beschleunigungen bei hoher Primärdistorsion; 

alle Ergebnisse basieren, mit Ausnahme von LRRreg, auf der quasi– 

selbstkonsistenten Technik (9.24). 

limη1→∞ 

 

u2 1 

2k 

2D 

u2 2 

2k 

2D 

LLR 

0.228 

0.447 

TB 

0.224 

0.443 

GS 

0.149 

0.560 

FRLT 

0.154 

0.553 

GL 

0.233 

0.459 

GY 

0.160 

0.589 

RO 

0.078 

0.780 

LRRreg. 

∞/2 

∞/2 

0.325 0.333 0.291 0.293 0.308 0.251 0.142 −∞ 

 

u2 3 

2k 

 

u2 1 

2k 

 

u2 2 

2k 

 

 

2D 

AK 

AK 

0.214 0.208 0.138 0.144 0.228 0.168 0.120 ∞ 

0.393 0.396 0.431 0.429 0.386 0.416 0.440 −∞/2 

Realisierbarkeit rotationsfreier Beschleunigungen 

Starke Strömungsbeschleunigung stabilisiert die Strömung und schwächt das Turbulenzfeld. 

Betrachtet man das durch (10.9) definierte rotationsfreie Distorsionsfeld, dann 

ergeben sich für positiv angenommene Primärdistorsionen unmittelbar die beiden in 

Abbildung 10.9(c) skizzierten Beschleunigungsgrenzfälle 

ebene (2D) Streckung : s22 = −s11 , (10.26) 

achsensymmetrische Kontraktion : s22 = s33 = −0.5s11 . 

Die durch die Beschleunigung der Strömung am stärksten gedämpfte Normalspannungskomponente 

u 2 1 weist in Richtung der Primärdistorsion, die am stärksten angefachte 

Komponente in x2–Richtung. Mit Hilfe von η1 = 2 s 2 11 und η2 = 0 gelangt man 

für den Fall der ebenen Streckung 

187

KAPITEL 

u 2 1 

2k 

u 2 2 

2k 

 

1 √ 1 

= − cµ η1 √2 + 

3 

 

1 √ −1 

= − cµ η1 √2 + 

3 

√ η1β3 

3˜g 

√ η1β3 

bzw. mit η1 = 1.5 s 2 11 für den Fall der achsensymmetrischen Kontraktion 

2 

u1 /2k 

2 

u1 /2k 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 

−0.4 

0.4 

0.2 

0.0 

−0.2 

−0.4 

u 2 1 

2k 

u 2 2 

2k 

3˜g 

 

, (10.27) 

√ 

1 √ 2 

= − cµ η1 √3 + 

3 2√ 

η1β3 

, (10.28) 

3˜g 

 

1 √ −1 

= − cµ η1 √6 − 

3 


plane acceleration 

√ η1β3 

3˜g 

1 10 100 1000 

η 1 


axissymmetric contraction 

1 10 100 1000 

η 1 

 

 

. 

, 

GS 

RO 

GY 

GL 

FRLT 

TB 

LRR 

Abbildung 10.14: Verlauf der dimensionslosen Normalspannung u2 1 /(2k) bei rotationsfreier 

Distorsion; oben: ebene Streckung, unten: achsensymmetrische Kontraktion (regularisierte 

Technik). 

188

Hieraus ergeben sich vermöge 

lim 

η1→∞ (cµ 

√ 

η1) = 

−β1 

2 

1.83 √ 0.4 − 1.83 √ 0.4 β 3 

2 3 

, bzw. lim 

η1→∞ 

√ η1 


˜g 

 

= 1.83 √ 0.4 

2 

die in Tabelle 10.4 notierten Grenzwerte für starke Strömungsbeschleunigung. Abbildung 

10.14 belegt, daß die regularisierte Technik die Realisierbarkeitsbedingung im Zusammenhang 

mit allen EASM–Varianten verletzt. Anhand von Abbildung 10.14 und 

2 

u1 /2k 

2 

u1 /2k 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 



1 10 100 1000 

η 1 



1 10 100 1000 

η 1 

GS 

RO 

GY 

GL 

FRLT 

TB 

LRR 


Distorsion; oben: ebene Streckung, unten: achsensymmetrische Kontraktion (quasi– 

selbstkonsistente Technik). 

der in Tabelle 10.4 exemplarisch angeführten Werte des regularisierten LRR–EASM 

erkennt man ferner, daß die Regularisierung für das ebene Problem irrtümlicherweise 

einer nicht vorhandenen Symmetrie zustrebt, und die u 2 1/(2k) Komponente für hohe 

Scherraten nicht die kleinste Normalspannung ist. Die Grenzwerte lim η1 → ∞ 

kennzeichnen nicht immer das absolute Minimum von u 2 1/(2k). Im Zusammanhang 

mit der quasi–selbstkonsistenten Technik ergibt sich das absolute Minimum für die 

ebene Streckung aus den Nullstellen des unten notierten nichtlinearen Polynoms (mit 

189

KAPITEL 

γ = 0.25 · 1.83 · √ 0.4) 

 

0 = 1 + γ 2β3 

 

3 

 

η1 

8 + √ 2γ √ − 

η1 

4β2 √ 

3 

η1 

4 + γ √2 

3 

√ 

η1 

+ √2 + 2β3 

√ 

η1 

4 + γ √2 

3 

 

4β2 √ 

3 

η1 

γ + 

3 4 √ 2 + γ √ 

γ 

η1 

√ η1 

4 √ 2 + γ √ 

− 2 . 

η1 

Anstelle einer analytischen Lösung werden hier nur die grafischen Ergebnisse in den 

Abbildungen 10.14–10.16 aufgetragen. In Übereinstimmung mit ?) verdeutlichen die 

Darstellungen, daß die rotationsfreie Beschleunigung die restriktivste der hier untersuchten 

Anwendungen kennzeichnet. Sowohl die regularisierte als auch die selbstkon- 

2 

u1 /2k 

2 

u1 /2k 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

−0.1 

−0.2 

−0.3 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

−0.1 

−0.2 

−0.3 



1 10 100 1000 

η 1 



1 10 100 1000 

η 1 

GS 

RO 

GY 

GL 

FRLT 

TB 

LRR 


Distorsion; oben: ebene Streckung, unten: achsensymmetrische Kontraktion (selbstkonsistente 

Technik). 

sistente Technik (Abbildung 10.16) sind über weite Bereiche mit physikalisch nicht 

realisierbaren Lösungen verbunden. Die Verletzung des Realizability-Prinzips kann – 

in Abhängigkeit von der gewählten EASM–Variante – bereits bei moderaten Distorsionszuständen 

(η1 ≈ 12) auftreten. Man beachte, daß lineare RSTM die Realisierbarkeitsbedingungen 

ebenfalls verletzen. 

190

10.4 Rotierende homogene Scherströmung 

10.4. ROTIERENDE HOMOGENE SCHERSTRÖMUNG 

Die Schwächen einfacherer Turbulenzmodelle offenbaren sich bereits bei kleineren Abweichungen 

vom ebenen Strömungszustand. Der Einfluß von Krümmungsmechanismen 

auf das Turbulenzfeld geht am deutlichsten aus der Analyse der Produktions– 

und Konvektionsterme der Reynolds–Spannungen im Stromlinienkoordinatensystem 

hervor. Anhang A gibt einen Überblick über die krümmungsinduzierten Veränderungen 

einzelner Beiträge der Transportgleichungen am Beispiel des in Abbildung 10.17 

illustrierten Starrkörperwirbels. Hierzu zählen, neben der Manipulation der Produktionsterme, 

die mit zunehmender Krümmung verstärkt auftretenden Coriolisbeschleunigungen 

aus der Rotation der Basisvektoren des Stromlinienkoordinatensystems (vgl. 

Kapitel 8.6). Diese sind ihrem Charakter nach deviatorisch und dienen ausschließlich 

der Spannungsumverteilung. Da sie keinen Beitrag zum Transport isotroper Größen 

leisten, ist ihre Behandlung im Rahmen expliziter algebraischer Spannungsmodelle auf 

der Basis von (4.10) schwierig. 

Zur Validierung des Turbulenzmodells in Bezug auf die Vorhersage von Krümmungseffekten 

bedient man sich deswegen der in Abbildung 10.17 dargestellten Analogie zwischen 

Starrkörperwirbeln und rotierenden homogenen Scherströmungen. Die Transformation 

des Starrkörperwirbels in ein rotierendes Koordinatensystem ermöglicht die gezielte 

Analyse des Druck–Scher–Korrelationsmodells in krümmungsbehafteten Strömungen. 

Die Coriolisterme werden durch die mathematisch exakten Transformationsbeziehungen 

zwischen dem konventionellen und dem effektiven Wirbel–Tensor in (4.12) 

wiedergegeben. Man beachte, daß der effektive Wirbeltensor 

W ∗ 4 − C4 

ij = Wij − eijk Ωk ❀ wij → w 

2 − C4 

∗ ij = Tt W ∗ 

ij . (10.29) 

nicht mehr objektiv ist (vgl. Kapitel 8.6). Der folgende Abschnitt befaßt sich mit dem 

Verhalten der EASM bei der Simulation einer stationär rotierenden homogenen Scherströmung. 

Die Untersuchungen konzentrieren sich auf die Verträglichkeit der unterschiedlichen 

Druck–Scher–Korrelationsmodelle zu den Ergebnissen der Stabilitätanalyse 

dieser Strömung. 

y 

S*=0 

x 

z 

y 

ω 3 

S*=dU/dy 

Abbildung 10.17: Starrkörperwirbel (links) und rotierende homogene Scherströmung 

(rechts). 

191 

x

KAPITEL 

Stabilitätsuntersuchung 

Der Gleichgewichtszustand einer homogenen Scherströmung ist nach Gleichung (10.4) 

durch das exponentielle Anwachsen der Turbulenzenergie k∞ gekennzeichnet 

∂k∞ 

∂τ = 

 

Cε2 − Cε1 

Cε1 − 1 

S −1 

 

∞ 

k , mit τ = t S ∗ = t 

Tt 

2 η1 . 

Die einzige Möglichkeit, die Strömungssituation zu stabilisieren, ist mit den Nullstellen 

des inversen Scherratenparameters S −1 

∞ = (S ∗ k/ε) −1 

∞ verbunden. Eine Stabilisierung 

gelingt offenkundig nur im trivialen Fall der verschwindenden Scherrate bzw. Turbulenzenergie. 

Betrachtet man die Strömung nicht im Inertialsystem, sondern in einem 

mit Ω3 stationär rotierenden Bezugssystem, dann läßt sich aus der Untersuchung der 

Nullstellen von S −1 

∞ ein Verzweigungsproblem ableiten. Ausgangspunkt der Analyse ist 

die Definition der spezifischen Produktionsrate nach Gleichung (10.3) 

 

P 

lim = 

τ→∞ ε ∞ 

Cε2 − 1 

Cε1 − 1 := C5 , mit 

P 

ε 

= −uv S∗ 

ε = cµ S 2 . (10.30) 

Mit Hilfe der in Gleichung (10.23) notierten Belegung der Wirbel– und Scherratentensoren 

ergibt sich 

η1 = 0.5S 2 

 

4 − C4 2Ω3 

, η2 = −η1 1 − 

2 − C4 S∗ 

 

:=γ 

cµ = 

−β1/g 

1 + S2 (β2/g) 2 (1 − γ) 2 − 1/3 (β3/g) 

2 , (10.31) 

und damit von (10.30) für den reziproken Gleichgewichtswert des Scherratenparameters 

S −1 

∞ 

= 

−C5 β1 

g 

−0.5 2 β2 1 − C5 

{1 − γ} 

−g β1 

2 − 1 

3 

2 

, 

β2 3 

β2 0.5 2 

. (10.32) 

Der erste Faktor von (10.32) ist stets positiv und kommt für eine Stabilisierung nicht in 

Frage. Der zweite Faktor besitzt jedoch zwei reelle Nullstellen, die bei Durchlaufen der 

in Tabelle 10.5 angegebenen charakteristischen Rotationsraten (Ω3/S ∗ )1,2 auftreten. 

Zwischen diesen beiden Rotationsraten ist S −1 

∞ > 0, und die Turbulenz wird angefacht. 

Außerhalb des durch die Nullstellen festgelegten Intervalls 

192


Tabelle 10.5: Charakteristische Rotationsraten der Stabilitätsanalyse rotierender homogener 

Scherschichten aus Gleichung (10.33) bzw. (10.34). 

charakteristische LRR TB GS FRLT GL GY RO lineare 

Rotationsraten Theorie 

(Ω3/S ∗ ) 1 -0.09 -0.06 -0.08 -0.05 -0.09 -0.10 -0.13 ≈ 0.00 

(Ω3/S ∗ ) 2 0.34 0.36 0.52 0.49 0.37 0.51 0.63 ≈ 0.50 

(Ω3/S ∗ ) max 0.13 0.15 0.22 0.22 0.14 0.21 0.25 ≈ 0.25 

(Ω3/S ∗ )1,2 = 0.5 

 

Ω3 

S∗ 

< 

1 

 

Ω3 

S∗ 

< 

 

C4 − 2 

C4 − 4 

⎡ 

⎣1 + 

1 

− 

3 

 

Ω3 

S∗ 

2 

2 β3 

β2 

, mit 

− 

g β1 

β2 2 C5 

0.5 ⎤ 

⎦ (10.33) 

stabilisiert der Einfluß der Systemrotation die Strömung. Die charakteristischen Rotationsraten 

sind die Verzweigungspunkte des in Abbildung 10.18 dargestellten Bifurkationsdiagramms. 

Die stärkste Anfachungsrate innerhalb der Ellipse ist an die dritte 

charakteristische Rotationsrate (Ω3/S ∗ )max der Tabelle 10.5 geknüpft. Diese bestimmt 

sich aus 

∂(S −1 

∞ ) 

∂(Ω3/S ∗ ) = 0 ❀ (Ω3/S ∗ )max = 0.5 C4 − 2 

C4 − 4 

. (10.34) 

Die Ergebnisse der linearen Stabilitätstheorie und der Rapid–Distortion–Theorie (?; 

Reynolds 1987) sagen eine maximale Anfachungsrate für die charakteristische Rotationsrate 

(Ω3/S ∗ )max = 0.25 voraus, was nach Gleichung (10.34) mit C4 = 0 verknüpft 

ist. Das Modell wäre in diesem Falle mit einer Richardsonzahlähnlichkeit verbunden. 

Die Richardsonzahl ist durch 

Ri = 2Ω3 

S ∗ 

 

1 − 2Ω3 

S∗ 

(10.35) 

definiert und dient zur Beschreibung von Rotationseinflüssen. Bei einer Richardsonzahlähnlichkeit 

vermag das Modell gemäß (10.35) nicht mehr zwischen den beiden Zuständen 

(Ω3/S ∗ ) = 0 und (Ω3/S ∗ ) = 0.5 zu unterscheiden. Dies steht im Widerspruch 

zu den Ergebnissen der Grobstruktursimulationen von ?), und theoretischen Untersuchungen 

von Speziale und Mac Giolla Mhuiris (1989a,b), welche für (Ω3/S ∗ ) = 0.5 

193

KAPITEL 

deutlich stabilere Strömungsverhältnisse als für (Ω3/S ∗ ) = 0 prognostizieren. Im Allgemeinen 

wird der Koeffizient C4 daher so gewählt, daß sich eine leichte Verlagerung 

der maximalen Anfachung zu kleineren Werten ergibt 

(Ω3/S ∗ )max ≈ 0.21 ❀ C4 ≈ 0.5 . (10.36) 

Die lineare Stabilitätsanalyse (?; Speziale 1995) bestätigt instabile Strömungsverhältnisse 

im Bereich positiver Richardsonzahlen. Erfahrungsgemäß erweitert sich der instabile 

Bereich im Rahmen einer nichtlinearen Betrachtung. 

(ε/kS*) oo 

0.3 

0.2 

0.1 

0.0 

Unrealizable Regime 

−0.1 

−0.1 0.0 0.1 0.2 

Ω3 /S* 

0.3 0.4 0.5 

FRLT 

SSG 

GL 

LRR 

GY 

TB 

RO 

Abbildung 10.18: Bifurkationsdiagramm der rotierenden homogenen Scherströmung nach 

Gleichung (10.32). 

Anhand der in Tabelle 10.5 verzeichneten Ergebnisse der GL, TB und LRR Druck– 

Scher–Korrelationsmodelle erkennt man deutlich die Nachteile einer exzessiven Abweichung 

von der Richardsonzahlähnlichkeit. Infolge zu großer Koeffizientenwerte C4 

sagen diese drei Modelle eine verfrüht einsetzende Restabilisierung der Strömung voraus. 

Daraus resultieren unbefriedigende Simulationsergebnisse bei der Berechnung von 

drallbehafteten Strömungen, die unter dem exklusiven Einfluß der Wirbelstärke stehen 

(weak swirl). Das Rotta–Modell überschätzt demgegenüber den instabilen Bereich, 

die GY–, FRLT– und GS–Modelle stimmen wiederum gut mit den Ergebnissen der 

linearen Stabilitätstheorie überein. 

Simulationsergebnisse 

Die Resultate der Stabilitätsuntersuchung erlauben die Interpretation der Simulationsergebnisse 

für eine rotierende homogene Scherströmung. Abbildung 10.19 zeigt die 

194

k/k 0 

k/k 0 

4.0 

2.0 

0.0 

0 2 4 6 8 10 

4.0 

2.0 

0.0 

(a) 

(c) 

FRLT 

GS 

GL 

RO 

0 2 4 6 8 10 

S* t 


4.0 

2.0 

0.0 

0 2 4 6 8 10 

4.0 

2.0 

0.0 

(b) 

(d) 

LRR 

GY 

TB 

LES 

0 2 4 6 8 10 

S* t 

Abbildung 10.19: Berechnete zeitliche Entwicklung der normierten Turbulenzenergie in 

einer rotierenden homogenen Scherung; Vergleich der EASM–Resultate mit Ergebnissen der 

Grobstruktursimulation (LES) von Bardina et al. (1983) zur Anfangsbedingung ε0/(S ∗ k0) = 

0.296 für vier verschiedene Rotationsraten: (a) Ω3/S ∗ = −0.5; (b) Ω3/S ∗ = 0.; (c) Ω3/S ∗ = 

0.25; (d) Ω3/S ∗ = 0.5. 

Entwicklung der Turbulenzenergie im Vergleich zu der von ?) durchgeführten Grobstruktursimulation 

für vier verschiedene Rotationsraten Ω3/S ∗ = −0.5, 0., 0.25, 0.5. 

Die zeitliche Integration der Transportgleichungen (10.1) wurde ausgehend von der 

Anfangsbedingung ε0/(S ∗ k0) = 0.296 mit Hilfe eines Runge–Kutta Verfahrens durchgeführt. 

Die FRLT–, GS– und GY–Modelle sind den anderen EASM Varianten deutlich überlegen. 

Mit Ausnahme des Anfangsstadiums führen diese drei Formulierungen zu befriedigenden 

Simulationsergebnissen. Die defizitäre Wiedergabe der frühen transienten Phase 

lässt sich auf die fehlerhafte Annahme des strukturellen Gleichgewichts in instationären 

Strömungen zurückführen (vgl. Kapitel 7.1 und 8.1). In Anlehnung an die Ergebnisse 

der Stabilitätsuntersuchung zeigen die GL–, TB– und LRR– Varianten bereits bei 

Ω3/S ∗ = 0.25 (Abbildung 10.19c) Restabilisierungstendenzen. Für die im Rahmen der 

Grobstruktursimulation und der linearen Stabilitätstheorie schwach instabilen Rotationsrate 

Ω3/S ∗ = 0.5 hat sich die Strömung im Zusammenhang mit den GL–, TB– 

und LRR–EASM bereits erkennbar stabilisiert (Abbildung 10.19d). Das Rotta–Modell 

(RO) sagt demgegenüber ein deutlich verzögertes Einsetzen der Strömungsstabilisierung 

voraus. 

195

KAPITEL 

Ein weiteres populäres Validierungsbeispiel für die Vorhersage der krümmungsinduzierten 

Variation von Schubspannungen ist die von ?) vermessene Durchströmung eines in 

der Haupströmungsebene rotierenden Kanals. Abbildung 10.20 zeigt die berechneten 

Geschwindigkeitsprofile der zweidimensionalen, voll–entwickelten Strömung für eine 

Reynoldzahl von Re = UBH/ν = 11500 und eine Rosbyzahl von Ro = Ω3H/UB = 

0.21. Die in der Abbildung gezeigten Ergebnisse bestätigen erneut die Resultate der 

Stabilitätsuntersuchung. Auffällig sind die X verbleibenden Diskrepanzen zwischen den 

2 

Y 

Messwerten und den Simulationen auf der Druckseite (Y/H < 0.3), welche nur durch 

Y 

wesentlich geringere C4 korrigiert werden können (ohne Abbildung). 

X 

X 

U/U 0 

1.0 

0.8 

0.6 

LRR 

RO 

FRLT 

standard k−ε 

Measurements 

Re=11 500, Ro=0.21 

(Johnston et al., 1972) 

0.4 

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 

Y/H 

Y 

(a) 

X 

Y 

Ω3 

X 

Y X 

(b) (c) 

Abbildung 10.20: Voll–entwickelte rotierende Kanalströmung (Re=11 500, Ro=0.21, Johnston 

et al. 1972); Vergleich der berechneten Geschwindigkeitsprofile in Hauptströmungsrichtung 

für unterschiedliche quasi–selbstkonsistente EASM. 

Anmerkungen zum IP–Modell 

Die Untersuchungen rechtfertigen die von Gibson und Younis (1986) heuristisch entwickelte 

Modifikation des klassischen IP–Models (GL) für schwach verdrallte Strömungen. 

Jüngere Arbeiten, z.B. ?), favorisieren die sog. Isotropization–of–Production–and– 

Convection (IPC) Variante des GL–Modells. Hierin werden die konvektiven Terme 

in das schnelle Druck–Scher–Korrelationsmodell integriert. Die Motivation der IPC 

Formulierung ist die Verschmelzung der Konvektions– und Produktionsterme in stark 

gekrümmten Strömungen (vgl. Anhang B). ?) zeigt den engen mathematischen Zusammenhang 

zwischen den IPC–, RO– und GY–Modellen. 

In Bezug auf die korrekte Darstellung verdrallter Strömungen sei hier erwähnt, daß die 

klassische Unterscheidung zwischen starkem und schwachem Drall der Beurteilung von 

IP–Modellen nicht förderlich ist. Schwacher Drall ist, im Unterschied zu starkem Drall, 

üblicherweise nicht mit Rezirkulation aufgrund von vortex–breakdown verbunden. Typische, 

schwach verdrallte Strömungen stehen daher unter dem exklusiven Einfluß von 

196 

X 1 

X 3

10.5. TURBULENTE SEKUNDÄRSTRÖMUNG 

Wirbelstärke, welche in erster Linie mit dem Koeffizienten C4 zusammenwirkt. Mit 

dem Auftreten von Strömungsrezirkulation treten signifikante Scherraten auf, die modellseitig 

mit den Koeffizienten C2 und C3 interagieren. Im Zusammenhang mit der IP– 

Modellierung ist eine unabhängige Wahl beider Koeffizienten nicht möglich. Kalibriert 

man das schnelle Druck–Scher–Korrelationsmodell – wie beim GY–Modell geschehen 

– für den Einfluß der Rotation, dann treten Defizite bei der Wiedergabe komplexer 

scherdominierter Phänomene auf. Umgekehrt verhält es sich bei dem klassischen IP 

Model von Gibson und Launder (1978). 

10.5 Turbulente Sekundärströmung 

Die Simulation turbulenter Strömungen unter dem Einfluß von sekundären Strömungsmerkmalen 

ist, wie bereits in Kapitel 2.2 erläutert, mit linearen Wirbelzähigkeitsmodellen 

nicht realisierbar. Der folgende 

Abschnitt befaßt sich mit dem Einfluß 

der Koeffizienten des Reynolds– 

Spannungsmodells bei der Berechnung 

einer vollentwickelten turbulenten Strö- 

U1 mung durch ein gerades Rohr mit rechteckigem 

Querschnitt. Hierbei bildet sich 

X 3 

die in Abbildung 10.21 skizzierte Sekundärströmung 

in Gestalt von vier 

Paaren longitudinaler Eckenwirbel aus. 

X 1 

X 2 

Diese werden primär durch die Normalspannungsdifferenzen 

(u 

Abbildung 10.21: Turbulente Sekundärströmung. 

2 2 − u2 3) in der 

Querschnittsebene gespeist. Die in der 

Abbildung veranschaulichte turbulente 

Sekundärströmung oder Prandtlsche Sekundärströmung zweiter Art (Bradshaw 1987; 

?) wird durch die Transportgleichung der Wirbelstärkekomponente Ω1 beschrieben 

DΩ1 

Dt 

2 ∂U1 ∂ 

= Ωj − 

∂xj 

 

u2u3 + ∂2 

 

u 

∂x3∂x2 

2 2 − u2 

3 + ν∆ 2 Ω1 . (10.37) 

∂x 2 2 

− ∂2 

∂x 2 3 

Der erste Term der rechten Seite von Gleichung (10.37) beschreibt den reibungsfreien 

Wirbelstreckungsmechanismus, der zweite und dritte Term kennzeichnen die turbulente 

Erzeugung mittlerer Longitudinalwirbelstärke, und der letzte Term repräsentiert deren 

viskose Vernichtung. Mit Ausnahme des zweiten und dritten Terms können alle Summanden 

der rechten Seite im betrachteten Beispiel näherungsweise vernachlässigt werden. 

Die durch die Anisotropie der Normalspannungen getriebene Wirbelstärke kann 

von linearen Wirbelzähigkeitsmodellen nicht erfaßt werden, da diese der Scherturbulenz 

a priori isotrope Normalspannungen zuordnen (vgl. Kapitel 2). 

Die präzise Vorhersage des mit dem dritten Term verbundenen physikalischen Mechanismus 

ist nicht nur von akademischer Bedeutung. Die laterale Ausbreitungsrate 

eines dreidimensionalen Wandstrahls wird beispielsweise wesentlich von diesem Term 

197

KAPITEL 

kontrolliert (?). Die Untersuchung ist damit beispielsweise von erheblicher technischer 

Bedeutung für die Auslegung der Belüftungsaggregate von Kraftfahrzeugscheiben mit 

numerischen Verfahren. 

Analyse der vollentwickelten Rohrströmung 

Die turbulente Sekundärströmung krümmungsarmer, rechteckiger Rohre besitzt ihren 

Ursprung im Bereich der Ecken. Der Geschwindigkeitsgradienten–Tensor wird in diesem 

Falle von zwei Komponenten dominiert 

∂U1 

∂x2 

= A und 

∂U1 

∂x3 

= B , mit S ∗ = √ A 2 + B 2 . 

Die darauf aufbauende Vereinfachung beider Gradiententensoren ist besonders nützlich 

für die Untersuchung der primären Mechanismen dieser Strömung 

Sij = 1 

⎛ 

⎝ 

2 

0 A B 

A 0 0 

B 0 0 

⎞ 

⎠ und Wij = 1 

2 

⎛ 

⎝ 

0 A B 

−A 0 0 

−B 0 0 

⎞ 

⎠ . (10.38) 

Aus dem Aufbau der Wirbel– und Scherraten–Tensoren nach Gleichung (10.38) erkennt 

man, daß die Strömung nur moderate dreidimensionale Effekte besitzt; beide 

Tensoren sind im betrachteten Beispiel nur vom Rang zwei. Eine zweidimensionale 

Darstellung beider Gradiententensoren erhält man beispielsweise nach Transformation 

in ein Hauptachsensystem der Scherraten, z.B. 

ˆSkl = Sij (e i · q k ) (e j · q l ) , ˆ Wkl = Wij (e i · q k ) (e j · q l ) , mit (10.39) 

q 1 = (0, 1, −A/B) , q 2 = (S ∗ /A, 1, B/A) , q 3 = (S ∗ /A, −1, −B/A) . 

Die Untersuchung kann sich, in Anlehnung an die in Anhang C gemachten Bemerkungen, 

daher auf die im R 2 verbleibende quadratische Drei–Generator–Basis (6.13) 

stützen. Alle nichtlinearen Generatoren und Invarianten höheren Grades lassen sich 

im R 2 durch Kombinationen linearer und quadratischer Terme abbilden, weswegen 

die unten angegebenen Schlußfolgerungen auf beliebige NLEVM übertragbar sind. Da 

die Transportterme in einer vollentwickelten Strömung nur eine untergeordnete Rolle 

spielen, sollten die Resultate dieser Untersuchung auch für RSTM gelten. 

Die turbulente Sekundärströmung ist im Zusammenhang mit expliziten algebraischen 

Spannungsmodellen mit der Interaktion zwischen Sekundärgeschwindigkeiten und Primärgeschwindigkeitsgradienten 

verknüpft. Dies erkennt man unmittelbar anhand der 

198


Impulsgleichung der sekundären Geschwindigkeitskomponente U2 

∂U2 ∂U2 

U2 + U3 = − 

∂x2 ∂x3 

∂ 

 

P 2 

Tt 

+ k + 2νtβ3 

∂x2 ρ 3 

g S2 

kk + 2 ∂ 

 

νtS22 + 2 

∂x2 

∂ 

 

νtS23 

∂x3 

+ ∂ 

 

Tt 

4νt 

∂x2 g (β3S2kS2k 

 

− β2S2kWk2) 

+ ∂ 

 

Tt 

2νt 

∂x3 g {2β3S2kS3k 

 

− β2(S2kWk3 + S3kWk2)} . (10.40) 

Die erste Zeile der Gleichung (10.40) enthält im Unterschied zu den beiden folgenden 

Zeilen keine der beiden primären Geschwindigkeitsgradienten. Für die korrekte Darstellung 

von Sekundärströmungen mit statistischen Turbulenzmodellen sind die letzten 

beiden Zeilen der Gleichung (10.40) von besonderer Bedeutung. Vernachlässigt man 

hierin die von höherer Ordnung kleinen Terme, dann ergibt sich 

 

∂ νtTt 

. . . 

∂x2 g (β3 

 

2 

∂U1 

− β2) + 

∂x2 

∂ 

 

νtTt 

∂x3 g (β3 − β2) ∂U1 

 

∂U1 

. (10.41) 

∂x2 ∂x3 

a) Isotropization-of-Production 

b) Speziale, Sarkar and Gatski 

Abbildung 10.22: Vergleich der turbulenten Sekundärströmung im Querschnitt eines rechteckigen 

Rohres (Re = 4200); links: IP–EASM von Gibson und Launder (1978); rechts: SSG– 

EASM von Speziale et al. (1991) (die Darstellung des IP–Modells basiert auf zehnfach vergrößerten 

Vektoren). 

Der Vergleich von Gleichung (10.41) und Abbildung 10.22 offenbart die Relevanz der in 

Tabelle 10.6 angegebenen Koeffizientendifferenz (β3 − β2) für die Intensität und Orientierung 

(Drehsinn) der Sekundärströmung. Die Koeffizientendifferenz veschwindet bei 

allen IP–Modellen aufgrund der gleichgewichtigen Berücksichtigung von Scherraten– 

und Wirbelbeiträgen im Druck–Scher–Korrelationsmodell (4.6). IP–Modelle sind daher 

ohne zusätzliche (nicht–lokale) Wandreflektionsterme nicht in der Lage, die turbulente 

Sekundärströmung zu erfassen. Die in Abbildung (10.22) gezeigten SSG–Resultate 

199

KAPITEL 

Tabelle 10.6: Wert der zur Vorhersage turbulenter Sekundärströmungen 

relevanten Koeffizientendifferenz für verschiedene 

(lineare) Druck–Scher–Korrelationsmodelle. 

LLR TB GS/SSG FRLT GL GY RO 

β3 − β2 0.22 0.444 0.425 0.4 0 0 0 

belegen, daß eine positive Koeffizientendifferenz ein korrektes Vorzeichen der Longitudinalwirbelstärke 

gewährleistet, so daß den Ecken Fluid über die Diagonale zugeführt 

wird. Hieraus schließt man für Scherströmungen 

β3 < β2 oder C3 > C4 . (10.42) 

Abbildung (10.23) gibt einen Überblick über die mit FRLT–Modellen unterschiedli- 

2X 2 /D 

2X 2 /D 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

0.0 Exp. 0.5 Cheesewright 1.0 0.0 et 0.5al. 1990 1.0 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

linear k−ε Re=4200 

Exp. Cheesewright et al. 1990 

2X 3 /D=.1 

2X 3 /D=.16 

−0.01 0.00 0.01 

2X 3 /D=.3 

2X 3 /D=.3 

−0.01 0.00 0.01 

2X 3 /D=.5 

0.0 0.5 1.0 

U 1 /U b 

2X 3 /D=.5 

−0.01 0.00 0.01 

U 3 /U b 

quadratic k−ε Re=4200 

cubic k−ε 

2X 3 /D=.7 

0.0 0.5 1.0 

2X 3 /D=.7 

−0.01 0.00 0.01 

2X 3 /D=1.0 

0.0 0.5 1.0 1.5 

2X 3 /D=.8 

−0.01 0.00 0.01 

Abbildung 10.23: Vollentwickelte Durchströmung eines rechteckigen Rohres (Re = 

4200) bei linearer quadratischer und kubischer Modellierung (FRLT–EASM); oben: 

Primärströmungsprofile; unten: Sekundärströmungsprofile. 

chen Grades erzielbare Vorhersagequalität im Vergleich zu den von ?) durchgeführten 

200


experimentellen Untersuchungen bei Re = 4200. Die in Abbildung (10.23) aufgetragenen 

Sekundärströmungsprofile entlang mehrerer Schnitte x3 = const. empfehlen, die 

Koeffizientendifferenz im Bereich von 

β3 − β2 ≈ 0.4 , bzw. C3 − C4 ≈ 0.8 . 

zu wählen. Die Ergebnisse des TB– und SSG–Modells unterscheiden sich wegen der 

prinzipiell ähnlichen Werte der Koeffizientendifferenz hiervon nur geringfügig. Deutlich 

erkennt man, daß sich im Zusammenhang mit einer linearen Modellierung keine Sekundärströmung 

ausbildet, für die Primärströmung aber zufriedenstellende Ergebnisse 

erzielt werden können. Die in der Abbildung ergänzend aufgetragenen Ergebnisse einer 

kubischen Modellbildung stimmen gut mit denen der quadratischen Modellierung 

überein, was den untergeordneten Einfluß dreidimensionaler Effekte und die Güte der 

oben durchgeführten Näherung belegt. 

Abschließend sei bemerkt, daß die oben entwickelte Zwangsbedingung (10.42) zum Verständnis 

vieler in jüngster Zeit publizierter Studien zur Berechnung von Rohrströmungen 

veränderlichen Querschnitts mit Hilfe von RSTM beiträgt (round–to–square duct, 

Davis und Gessner 1992). Ein gemeinsames Merkmal dieser von ?) (?), ?) sowie ?) 

durchgeführten Arbeiten ist die Verwendung von IP–Modellen. Die oben angestellten 

Überlegungen mögen eine Erkärung für die von allen Autoren beobachtete drastische 

Unterschätzung der durch die Querschnittstransition induzierten Sekundärströmung 

geben. 

Ein wichtiger Unterschied zwischen dem EASM und den in den zitierten Untersuchungen 

eingsetzten RSTM ist die Vernachlässigung von Wandreflektionstermen durch 

das EASM. Diese bewirken – per Definition – eine lokale Manipulation der Koeffizienten 

im Sinne der Zwangsbedingung (10.42). Das Wandreflektionsmodell wird aufgrund 

seiner geringen Universalität und der starken Abhängigkeit der Formulierung 

von nicht–lokalen, geometrischen Termen, wie z.B. Wandstellungsvektoren, aber oftmals 

als Schwachpunkt der Modellbildung angesehen. Eine weitreichende Unabhängigkeit 

der Modellbildung von spezifischen Details des Wandreflektionsmodell gilt i.Allg. 

als erstrebenswert. Den oben gemachten Ausführungen folgend, kann dieses Ziel mit 

IP–Modellen nicht realisiert werden. 

201

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210

Anhang A Invarianten des Anisotropietensors 

Der Anisotropietensor der Reynolds–Spannungen (2.9) besitzt als symmetrischer Tensor 

zweiter Stufe drei reelle Lösungen ξk (k=1,2,3) zur Säkulargleichung 

det (bij − ξkδij) = 0 

= ξ 3 k − Ibξ 2 k + IIbξk − IIIb = 0 . (A.1) 

Die in (A.1) verwendeten skalaren Ausdrücke Ib,IIb und IIIb sind die Invarianten des 

Tensors bij, deren Definition unmittelbar aus der Säkulargleichung folgt: 

Ib = bkk = tr{b} = 0 , (A.2) 

IIb = 1 

2 (bkkbmm − bkmbmk) = 1 

2 

tr 2 {b} − tr{b 2 } = − 1 

2 tr2 {b} , 

IIIb = det (bij) = 1 

6 (bkkbmmbnn − 3bkkbmnbnm + 2bkmbmnbnk) 

= 1 3 2 3 1 

tr {b} − 3tr{b}tr{b } + 2tr{b } = 

6 

3 tr{b3 } . 

Die erste Invariante Ib verschwindet aufgrund der Spurfreiheit von bij. Den drei Eigenwerten 

ξk sind drei paarweise orthogonale Eigenvektoren zugeordnet. Wählt man die 

Eigenvektoren als Basisvektoren, dann kann bij durch eine Hauptachsentransformation 

auf Diagonalgestalt gebracht werden 

⎛ 

bij = ⎝ 

ξ1 0 0 

0 ξ2 0 

0 0 ξ3 

⎞ 

⎠ . (A.3) 

Von Interesse ist die Darstellung der Invarianten im Hauptachsensystem von bij 

Ib = bkk = ξ1 + ξ2 + ξ3 = 0 , (A.4) 

2 

ξ1 + ξ 

2 

2 2 + ξ 2 3 , (A.5) 

3 

ξ1 + ξ 3 2 + ξ 3 3 . (A.6) 

IIb = − 1 

2 (bkmbmk) = − 1 

IIIb = 1 

3 (bkmbmnbnk) = 1 

3 

Wie man leicht überprüfen kann, gilt für die Diagonalelemente des Anisotropietensors: 

2 

3 ≥ bαα ≥ − 1 

3 

→ 2 

3 ≥ ξk ≥ − 1 

. (A.7) 

3 

Das Realizability-Prinzip legt die Grenzen möglicher Reynolds–Spannungszustände 

präzise fest. Diese Grenzen lassen sich auf der Basis signifikanter Extrema der beiden 

Hauptinvarianten IIb und IIIb im Hauptachsensystem diskutieren 

211

ANHANG A 

• Zwei—Komponenten–Turbulenz: ξ3 = −1/3 , 

• achsensymmetrische Turbulenz: 1/6 ≥ ξ2 = ξ3 ≥ −1/3 . 

Für achsensymmetrische Turbulenz empfiehlt sich die Unterscheidung nach ξ2, ξ3 ≥ 0 

und ξ2, ξ3 ≤ 0. Die Bereichsgrenzen bilden in der Invariantenkarte (Abbildung A.1) die 

Kanten eines Dreiecks. 

1/3 

1/12 

−II b 

0.30 

0.25 

0.20 

0.15 

0.10 

0.05 

0.00 

−1/108 

Isotrope 2−Komponenten− 

Turbulenz (ξi,k =1/6) 


(ξi,k =−1/3) 


9IIb +27IIIb +1=0 

Σξ i =0 

2/3

INVARIANTEN DES ANISOTROPIETENSORS 

I: Im Falle der ebenen oder Zwei–Komponenten–Turbulenz uiu3 = 0 lautet die 

Säkulargleichung (A.1) 

 

− 1 

 

− ξk [(b11 − ξk) (b22 − ξk) − b12] = 0 , 

3 

❀ z.B. : ξ3 = − 1 

3 

(A.4) → ξ1 = 1 

3 − ξ2 . (A.8) 

Die Hauptinvarianten bestimmen sich in diesem Falle zu 

 

1 

IIb = − 

9 + ξ2 2 − ξ2 

 

, IIIb = 

3 

ξ2 

 

ξ2 − 

3 

1 

 

3 

. (A.9) 

Die Linearkombination der Hauptinvarianten repräsentiert eine Geradengleichung 

IIb + 3IIIb = − 1 

9 

(A.10) 

in der IIIb/−IIb Ebene. Die Endpunkte dieser Geraden ergeben sich aus zwei 

spezifischen Zuständen zweifach entarteter Eigenwerte. Der erste Endpunkt repräsentiert 

den Zustand der Ein–Komponenten–Turbulenz 

1 − C Turbulenz : ξ2 = ξ3 = − 1 

3 , ❀ IIIb = 2 

27 , IIb = − 1 

, (A.11) 

3 

der zweite Eckpunkt den Zustand isotroper zweidimensionaler Turbulenz 

2 − C Isotropie : ξ2 = ξ3 = 1 

6 , ❀ IIIb = −1 

108 , IIb = − 1 

. (A.12) 

12 

II: Achsensymmetrische Turbulenz ist durch den allgemeinen Zustand zweifach 

entarteter Eigenwerte gekennzeichnet 

achsensym. Turbulenz : ξ2 = ξ3 

(A.4) → ξ1 = −2ξ2 . (A.13) 

Hieraus ergibt sich die Verknüpfung der beiden von Null verschiedenen Hauptinvarianten 

als kubische Beziehung 

IIb = −3ξ 2 2 , IIIb = −2ξ 3 2 → 

2 IIIb 

+ 

2 

3 IIb 

= 0 . (A.14) 

3 

Isotrope dreidimensionale Turbulenz liegt im Falle dreifach entarteter Eigenwerte 

vor 

3 − C Isotropie : ξ1 = ξ2 = ξ3 = 0 ❀ IIIb = 0 , IIb = 0 . (A.15) 

213

Anhang B Koordinatentransformation 

Das Strömungsfeld einer verdrallten Scherströmung wird, aufgrund der hypothetisch 

vorausgesetzten Achsensymmetrie, in geeigneter Weise durch physikalische Zylinderkoordinaten 

beschrieben 

˜e i = [˜e r; ˜e θ; ˜e x] , 

mit ˜e x = e x , ˜e r = cos θe y + sin θe z , ˜e θ = − sin θe y + cos θe z . (B.1) 

Die Problemstellung ist in Abbildung (B.1) skizziert. Die räumlichen Ableitungen er- 

y 

U(r) 

x 

Abbildung B.1: Verdrallte Strömung auf der Basis von Zylinderkoordinaten < r, θ, x >. 

geben sich aus 

∂ 

∇ = ˜e i 

∂˜xi 

mit 

∂ 

∂˜xi 

= 

z 

 

∂ ∂ ∂ 

; ; 

∂r r∂θ ∂x 

y 

θ 

e 

θ 

W(r) 

e 

r 

. (B.2) 

Obwohl das Strömungsfeld in Umfangsrichtung homogen ist, kann die Ableitung nach θ 

wegen der Rotation der Basisvektoren ˜e i nicht vernachlässigt werden. Die Ableitungen 

der Basisvektoren notieren sich unter Verwendung physikalischer Christoffelsymbole 

˜Γ k ij zu 

∂˜e i 

∂˜xj 

= ˜ Γ k ij˜e k mit ˜ Γ 2 12 = − ˜ Γ 1 22 = 1 

r 

. (B.3) 

Mit Hilfe der in (B.3) definierten Koordinatenableitung erhält man die unten notierte 

Darstellung häufig verwendeter Differentialoperationen 

∇ ˜ 

∂ 

φ = 

˜ φi 

+ 

∂˜xj 

˜ φk ˜ Γ j 

 

ki ˜e i˜e j , ∇ ˜ 

∂ 

φ = 

˜ φjk 

+ 

∂˜xi 

˜ φmk ˜ Γ j 

mi + ˜ φjm ˜ Γ k 

mi ˜e i˜e j˜e k . (B.4) 

Vernachlässigt man im Weiteren die Ableitungen in Umfangsrichtung, dann ergeben 

sich die unten genannten transformierten Bilanzgleichungen. 

214

Kontinuitätsgleichung 

Impulsgleichungen 

x : 

θ : 

r : 

∂(rUU) 

∂x 

∂(rUV ) 

∂x 

∂(rUW ) 

∂x 

+ ∂(rV U) 

∂r 

+ ∂(rV V ) 

∂r 

+ ∂(rV W ) 

∂r 

∂(U) 

∂x 

+ ∂(rV ) 

r ∂r 

= − 1 

 

∂(rP ) ∂ 

+ νr 

ρ ∂x ∂x 

∂U 

= − 1 ∂(rP ) ∂ 

+ 

ρ ∂r ∂x 

Geschwindigkeitsgradienten–Tensoren 

KOORDINATENTRANSFORMATION 

= 0 . (B.5) 

 

νr ∂V 

∂x 

∂x − u2 

r 

 

− uv r 

+ ∂ 

 

νr 

∂r 

∂U 

∂r 

+ ∂ 

∂r 

 

− uv r 

 

νr ∂V 

∂r − v2 r 

+ P 

ρ + W 2 − ν V 

r + w2 , 

= + ∂ 

 

νr 

∂x 

∂W 

 

− uw r + 

∂x ∂ 

 

νr 

∂r 

∂W 

 

− vw r 

∂r 

−V W − vw − ν W 

. (B.6) 

r 

Die additive Zerlegung des Geschwindigkeitsgradienten–Tensors nach symmetrischem 

und antimetrischem Anteil lautet 

mit 

und 

∂Ui 

∂xj 

Sij = 1 

 

∂Ui 

2 ∂xj 

⎛ 

= 

⎝ 

+ Uk ˜ Γ i kj = Sij + Wij , 

+ ∂Uj 

∂xi 

∂V 

∂r 

0.5r ∂(W/r) 

∂r 

0.5 ∂U 

∂r 

+ ∂V 

∂x 

Wij = 1 

 

∂Ui 

− 

2 ∂xj 

∂Uj 

∂xi 

⎛ 

= 

⎝ 

0.5 

r 

0.5 ∂U 

∂r 

+ Uk 

 

+ Uk 

0 − 0.5 

 

˜Γ i 

kj + ˜ Γ j 

 

ki 

 

0.5r ∂(W/r) 

∂r 

V 

r 

0.5 ∂W 

∂x 

, 

0.5 ∂U 

∂r 

 

˜Γ i 

kj − ˜ Γ j 

 

ki 

 

∂(rW ) 

∂r 

0.5 ∂W 

∂x 

∂U 

∂x 

, 

0.5 ∂V 

∂x 

r 

∂(rW ) 

0 0.5 ∂r ∂W 

∂x 

∂V 

∂W 

− −0.5 0 

∂x 

∂x 

215 

 

∂V + ∂x 

 

∂U − ∂r 

⎞ 

⎠ , (B.7) 

⎞ 

⎠ . (B.8) 

 

,

ANHANG B 

Transportgleichungen des linearen Reynolds–Spannungsmodells 

Mit Hilfe der Transformationsvorschriften (B.1–B.4) ergeben die einzelnen Terme des 

linearen Reynolds–Spannungsmodells in physikalischen Zylinderkkordinaten zu 

Konvektion : ˜ Cxx = U ∂u2 

∂x 

˜Crr = U ∂v2 

∂x 

˜Cθθ = U ∂w2 

∂x 

˜Cxr = U ∂uv 

∂x 

˜Crθ = U ∂vw 

∂x 

˜Cxθ = U ∂uw 

∂x 

+ V ∂u2 

∂r , 

+ V ∂v2 

∂r 

+ V ∂w2 

∂r 

+ V ∂uv 

∂r 

+ V ∂vw 

∂r 

+ V ∂uw 

∂r 

 

Produktion : Pxx 

˜ 2 ∂U 

= −2 u 

∂x 

 

˜Prr = −2 uv ∂V 

∂x 

 

∂U 

+ uv 

∂r 

− 2vw W 

r , 

+ 2vw W 

r , 

− uw W 

r , 

 

+ v2 − w2 

W 

r , 

+ uv W 

, (B.9) 

r 

, 

 

∂V 

+ v2 + 2vw 

∂r 

W 

r , 

˜Pθθ = 

 

−2 uw ∂W 

˜Pxr = 

 

∂W V 

+ vw + w2 , 

∂x ∂r r 

 

 

2 ∂V ∂U V 

− u + v2 − uv + uw 

∂x ∂r r 

W 

r , 

˜Prθ = 

 

− uw ∂V 

 

∂W ∂W ∂U 

+ uv + v2 − vw 

∂x ∂x ∂r ∂x 

W 

+ w2 r , 

˜Pxθ = 

 

− vw ∂U 

 

∂W ∂W ∂V 

+ uv + u2 − uw . 

∂r ∂r ∂x ∂r 

(B.10) 

Die Druck–Scher–Korrelationsterme und Dissipationsterme verändern sich im Rahmen 

der Transformation nicht unmittelbar weswegen sie hier nicht nochmals gesondert aufgeführt 

werden sollen. Die Diffusionsbeiträge spielen im Rahmen der (E)ASM eine 

untergeordnete Rolle (vgl. Kapitel 4). 

216

Anhang C Caley–Hamilton Theorem 

Die allgemein bekannte Form des Caley–Hamilton Theorems zur Reduktion höherer 

Vielfacher von Tensoren des R 3 lautet 

A 3 ij = (Akk) A 2 ij − 0.5(AkkAll − A 2 kk) Aij + (det[Aij]) δij . (C.1) 

Diese charakteristische Gleichung für Tensoren läßt sich unmittelbar aus der Definitionsgleichung 

des Kotensors ableiten (Schade 1996). Eine für drei unterschiedliche, 

nicht notwendigerweise reguläre Tensoren generalisierte Variante ergibt sich aus 

AilBlkCkj + AilClkBkj + BilClkAkj + BilAlkCkj + CilBlkAkj + CilAlkBkj = 

Aij(BlkCkl) + Bij(AlkCkl) + Cij(AlkBkl) + δij(AlmBmkCkl + ClmBmkAkl) + 

+δij(AllBkkCmm − AllBmkCkm − BllCmkAkm − CllAmkBkm) + 

(AikBkj + BikAkj)Cll + (AikCkj + CikAkj)Bll + (BikCkj + CikBkj)All − 

Aij(BllCkk) − Bij(AllCkk) − Cij(AllBkk) , (C.2) 

wobei die letzten drei Zeilen für spurfreie Tensoren (Aii = Bii = Cii = 0) verschwinden. 

Die Beziehungen (C.1–C.2) lassen sich unmittelbar aus den Rechenregeln für Determinanten 

ableiten (siehe unten). Für die in Kapitel 5 benutzten Umformungen sind vor 

allem folgende symbolische Zusammenhänge für zwei spurfreie Tensoren, von denen 

einer symmetrisch und einer antimetrisch sei, von Bedeutung 

A 3 = 0.5 tr{A 2 } A + 1 

3 tr{A3 } δ (C.3) 

A · B · A + A 2 · B + B · A 2 = 0.5 tr{A 2 } B + tr{A 2 · B} δ , (C.4) 

A · B 2 · A + A 2 · B 2 + B 2 · A 2 = tr{B 2 } A 2 + tr{A · B 2 } A + 0.5 tr{A 2 } B 2 

+ tr{A 2 · B 2 } − 0.5 tr{A 2 } tr{B 2 } δ , (C.5) 

A 2 · B · A 2 = −0.5 tr{A 2 } A · B · A − (A · B + B · A) det(A) 

+ tr{A 2 · B} A 2 . (C.6) 

Hierin ist die Spurbildung (Kontraktion der freien Indizes) durch geschweifte Klammern 

gekennzeichnet (z.B. tr{A 2 } = A 2 ii = AikAki). 

217

ANHANG C 

Caley–Hamilton Theorem im R 2 

Viele Strömungssituationen sind zumindest näherungsweise durch den analogen (einfachen) 

Rangabfall des Scherraten– und Wirbeltensors gekennzeichnet. In diesem Fall 

genügen beide Tensoren einer zweidimensionalen Form 

⎡ 

C = ⎣ 

⎤ 

C11 C12 0 

C21 C22 0 

0 0 0 

⎦ , (C.7) 

welche teilweise einer vorhergehenden Hauptachsentransformation bedarf. Für 3 × 3 

Matrizen vom Rang Zwei kann eine restriktivere Form des Caley–Hamilton Theorems 

formuliert werden, mit Hilfe dessen sich Tensoren zweiten Grades auf lineare Terme 

zurückführen lassen. Die mit einem Rangabfall verbundene Verringerung des Grades 

erkennt man deutlich anhand von Gleichung (C.1); für verschwindende Determinanten 

(det Aij) läßt sich die klassische Caley–Hamilton Beziehung zu einer quadratischen 

Gleichung kürzen. 

Die allgemeine Herleitung der zweidimensionalen Caley–Hamilton Gleichung geschieht 

analog zur Entwicklung des oben skizzierten Theorems für quadratische Matrizen vom 

Rang Drei. Sie verknüpft aufgrund des geringeren Ranges jedoch nur noch zwei Matrizen 

Aij und Bij. Die Indizes der 2×2 Matrizen Aij und Bij können nur zwei veschiedene 

Werte (1, 2) annehmen, dies gilt auch für eine entsprechend definierte Einheitsmatrix 

δ (2) des R 2 

⎡ 

δ 

⎢ 

⎣ 

(2) 

ip 

δ (2) 

jp 

δ (2) 

kp 

δ (2) 

iq 

δ (2) 

jq 

δ (2) 

kq 

δ (2) 

ir 

δ (2) 

jr 

δ (2) 

kr 

⎤ 

⎥ 

⎦ ❀ δ pqr 

 

 

δ 

(2) 

ijk = 

 

 

(2) 

ip 

δ (2) 

jp 

δ (2) 

kp 

δ (2) 

iq 

δ (2) 

jq 

δ (2) 

kq 

δ (2) 

ir 

δ (2) 

jr 

δ (2) 

 

 

 

 

= 0 , (C.8) 

 

 

weswegen die Determinante δ pqr(2) 

ijk in (C.8) verschwindet. Multipliziert man hierin die 

erste Zeile mit Api und die zweite Zeile mit Bqj, dann ergibt sich 

 

 

 

 

 

δ 

(2) 

App Apq Apr 

Bqp Bqq Bqr 

kp 

δ (2) 

kq 

δ (2) 

kr 

kr 

 

 

 

 

= 0 . (C.9) 

 

Löst man die zuletzt notierte Determinante nach der dritten Zeile auf, dann ergibt sich 

die gesuchte Caley–Hamilton Beziehung des R 2 

AikBkj + BikAkj = AijBkk + BijAkk − δ (2) 

ij (AkkBll − AlkBkl) . (C.10) 

Hieraus läßt sich mit Hilfe von A = B das Pendant zur Gleichung (C.1) gewinnen 

A 2 ij = Aij (Akk) − 0.5 δ (2) 

ij AkkAll − A 2 

kk . (C.11) 

218

CALEY–HAMILTON THEOREM 

Multipliziert man (C.10) mit B, dann ergibt sich mittels (C.11) 

 

 

Bik Akl Blj = 0.5 

 

 

+ Bij AlkBkl . (C.12) 

Aij − δ (2) 

ij All 

BkkBll − B 2 kk 

Für spurfreie Tensoren A und B, von denen einer symmetrisch und einer antimetrisch 

ist, findet man die besonders einfachen Zusammenhänge in symbolischer Schreibweise 

A · B = −B · A , (C.13) 

A 2 = 0.5 tr{A 2 } δ (2) , (C.14) 

B · A · B = −0.5 tr{B 2 } A . (C.15) 

Mit derselben Technik lassen sich analoge Beziehungen zur Reduktion der N–ten Potenzen 

von N Matrizen des R N aus 

entwickeln. 

δ ijk...N+1(N) 

pqr...N+1(N) = 0 

Reduktion der dreidimensionalen Funktionsbasis im R 2 

Mit Hilfe der oben zusammengetragenen zweidimensionalen Caley–Hamilton Formeln, 

hier insbesondere der Gleichung (C.14), lassen sich die zehn Generatoren der dreidimensionalen 

Funktionsbasis (3.50) auf die ersten drei Generatoren reduzieren 

T (1) = s , (C.16) 

T (2) = s · w − w · s , 

T (3) = s 2 − 1 

3 tr{s2 } δ = 0.5 tr{s 2 } δ (2) − 1 

3 tr{s2 } δ = 0.5 η1 

T (4) = w 2 − 1 

3 tr{w2 } δ = 0.5 tr{w 2 } δ (2) − 1 

3 tr{w2 } δ = η2 

T (5) = w · s 2 − s 2 · w = 0.5 tr{s 2 } w − w = 0 , 

T (6) = w 2 · s + s · ω 2 − 2 

3 tr{s · w2 }δ = η2 s = η2 T (1) , 

T (7) = w 2 · s · w − w · s · w 2 = 0.5 η2 T (2) , 

T (8) = s 2 · w · s − s · w · s 2 = −0.5 η1 T (2) , 

T (9) = s 2 · w 2 + w 2 · s 2 − 2 

3 tr{s2 · w 2 } δ = 0.5 η1η2 δ (2) − 1 

T (10) = w · s 2 · w 2 − w 2 · s 2 · w = 0.25 η1η2 

219 

w − w = 0 . 

η1 

 

δ (2) − 2 

3 δ 

 

T (3) , 

3 η1η2 δ = η2 T (3) , 

,

ANHANG C 

In derselben Weise vereinfachen sich die Invarianten (3.51) im R 2 zu 

η0 = skk = 0 , (C.17) 

η1 = s 2 kk , 

η2 = w 2 kk , 

η3 = s 3 kk = 0.5 η1 skk = 0 , 

η4 = sklw 2 lk = 0.5 η2 skk = 0 , 

η5 = s 2 klw 2 lk = 0.5 η1 η2 . 

In zweidimensionalen Reynolds–gemittelten Strömungsfeldern verbleiben daher nur 

zwei Invarianten (η1, η2) und drei Generatoren. Als dritter Generator kann wahlweise 

die zweidimensionale Einheitsmatrix δ (2) oder s 2 verwendet werden, weswegen die 

Integritätsbasis ein Element weniger als die Funktionsbasis besitzt. 

Häufig verwendete algebraische Umformungen 

Beachtet man, daß die Spur einer Matrix zyklisch vertauschbar ist, d.h. 

{A · B · C} = {B · C · A} = {C · A · B} , 

dann finden sich für die quadratische Drei–Generator–Basis FGS 

T (1) = s , T (2) = s · w ∗ − w ∗ · s , T (3) = s 2 − η1 

3 δ 

die folgenden häufig verwendeten algebraischen Umformungen 

{T (1) · T (1) } = η1 , {T (2) · T (2) } = η1η2 − 6η5 , 

{T (1) · T (2) } = 0 , {T (2) · T (3) } = 0 

{T (1) · T (3) } = η3 , {T (3) · T (3) } = η 2 1/6 , 

{s · T (1) · T (1) } = η3 , {w · T (1) · T (1) } = 0 , 

{s · T (1) · T (2) } = 0 , {w · T (1) · T (2) } = 3η5 − 0.5η1η2 , 

{s · T (1) · T (3) } = η 2 1/6 , {w · T (1) · T (3) } = 0 , 

{s · T (2) · T (1) } = 0 , {w · T (2) · T (1) } = 0.5η1η2 − 3η5 , 

{s · T (2) · T (2) } = −0.5(η2η3 + η1η4) , {w · T (2) · T (2) } = 0 , 

{s · T (2) · T (3) } = 0 , {w · T (2) · T (3) } = −0.5(η2η3 + η1η4) , 

{s · T (3) · T (1) } = η 2 1/6 , {w · T (3) · T (1) } = 0 , 

{s · T (3) · T (2) } = 0 , {w · T (3) · T (2) } = 0.5(η2η3 + η1η4) , 

{s · T (3) · T (3) } = η1η3/6 , {w · T (3) · T (3) } = 0 , 

{T (2) · T (2) · T (2) } = 0 , {T (3) · T (3) · T (3) } = −η1/36 + η 2 3/3 , 

{T (2) · T (3) · T (3) } = 0 , {T (3) · T (2) · T (2) } = −1.5η1η5 + 5 

12 η1η2 − 2 

3 η3η4 . 

220

CALEY–HAMILTON THEOREM 

Zur Herleitung der vereinfachten dreidimensionalen Formulierung aus Kapitel 8.5 wurden 

folgende algebraische Identitäten benutzt 

{T (1) · T (4) } = η4 , {T (4) · T (4) } = η 2 2/6 , 

{T (2) · T (4) } = 0 , {T (5) · T (4) } = 0 , 

{T (3) · T (5) } = η5 − η1η2/3 , 

{T (1) · T (5) } = 0 , {T (4) · T (5) } = 0 , 

{T (2) · T (5) } = η1η4 + η2η3 , {T (5) · T (5) } = η1(η5 − 0.5 η1η2) − 2η3η4 , 

{T (3) · T (5) } = 0 , 

{s · T (1) · T (4) } = η5 − η1η2/3 , {s · T (4) · T (4) } = −η2η4/6 , 

{s · T (2) · T (4) } = 0 , {s · T (5) · T (4) } = −η6 , 

{s · T (3) · T (4) } = η1η4/6 , 

{w · T (1) · T (4) } = 0 , {w · T (4) · T (4) } = 0 , 

{w · T (2) · T (4) } = 0 , {w · T (5) · T (4) } = 0 , 

{w · T (3) · T (4) } = 0 , 

{s · T (1) · T (5) } = 0 , {s · T (4) · T (5) } = −η6 , 

{s · T (2) · T (5) } = η1 

2 (η5 − 0.5η1η2) − η3η4 , {s · T (5) · T (5) } = 5η1η2η3 

12 

{s · T (3) · T (5) } = 0 , 

{w · T (1) · T (5) } = 1 

2 (η1η4 + η2η3) , {w · T (4) · T (5) } = 0 , 

{w · T (2) · T (5) } = 3η6 , {w · T (5) · T (5) } = 0 , 

{w · T (3) · T (5) } = − η1 

2 (η5 − 0.5η1η2) + η3η4 . 

221 

− η2 1 η4 

4 + η3η5 ,

Anhang D Hintergrundmodelle 

Der Anhang gibt einen Überblick über die in dieser Arbeit verwendeten Zwei–Parameter–Modelle. 

Die Auswahl der Modelle erfolgte exemplarisch unter Berücksichtigung 

der gegenwärtig gebräuchlichsten k − ε bzw. k − ω Formulierungen. 

Lien–Leschziner (LL) k − ε Modell (1993) 

Das von Lien und Leschziner (1993) entwickelte low-Re k −ɛ Modell empfiehlt sich aufgrund 

seiner hohen numerischen Stabilität und seiner günstigen wandnahen Längenmaßeigenschaften. 

Das Modell verfolgt eine ähnliche Philosophie wie die sogenannten 

Zweischichtenmodelle (Rodi 1991), ohne jedoch explizit zwischen zwei verschiedenen 

Bereichen mit unterschiedlichen Modellierungstechniken zu differenzieren. Die low–Re 

Funktionen sind so formuliert, daß beim Übergang in den wandnahen Bereich Konsistenz 

zu einem Eingleichungsmodell gewährleistet wird (hier z.B. nach Wolfshtein 

(1969)). 

∂ ρk 

∂t 

∂ ρε 

∂t 

+ ∇ · (ρ U k) − ∇ · 

+ ∇ · (ρ U ε) − ∇ · 

 

(µ + µt 

P rk 

 

) ∇k 

 

(µ + µt 

 

) ∇ε 

P rε 

= ρP − fk ρε , (D.1) 

= ρ ε 

k (f1Ce1P − f2Ce2ε) . 

Die hierin auftretenden Turbulenz–Reynoldszahlen und Dämpfungsfunktionen lauten 

f1 = 1 + P 

Pk∗ , f2 = 1 − 0.3 e −Re2 t , fµ = 

P ∗ = 

f2Ce2k 1.5 

Ce1Lε 

Ret = kTt 

ν , Rek = 

1 − e−αµRek 

1 − e −αεRek 

, fk = 

e −αdRe2 k Lε = κc −3/4 

µ n 1 − e −αεRek 

 

, 

√ k n 

ν 

, Tt = k 

ε 

γ + Ret/91 

1 + Ret/91 . 

, κ = 0.41 . (D.2) 

Die dazugehörigen Koeffizienten können Tabbelle D.1 entnommen werden. Aus Konsistenzgründen 

wurden in dieser Arbeit anstelle der Originalkoeffizienten teilweise leicht 

modifizierte Koeffizienten verwendetet. 

Tabelle D.1: Koeffizienten des low–Re LL k − ε Modells (Lien und Leschziner, 1993) . 

Model cµ Ce1 Ce2 γ αε αµ αd P rk P rε 

EASM 0.09 1.44 1.83 0.45 0.2041 0.017 0.0025 1.0 1.3 

Lien et al. (1993) 0.09 1.45 1.92 1.0 0.2630 0.016 0.0022 1.0 1.3 

222

Wilcox k − ω Modell (1994) 

HINTERGRUNDMODELLE 

Zur Verbesserung der Vorhersagefähigkeit im low-Re Bereich modifizierte Wilcox (1994) 

das k − ω Basismodell (Wilcox 1988) in Bezug auf das asymptotisch korrekte Wandverhalten 

(vgl. Anhang D) 

∂ ρk 

∂t 

∂ ρω 

∂t 

+ ∇ · (ρ U k) − ∇ · 

+ ∇ · (ρ U ω) − ∇ · 

 

(µ + µt 

 

) ∇k 

P rk 

 

(µ + µt 

 

) ∇ω 

P rω 

= ρPk − fkβ ∗ ρωk , 

= ρ ω 

k (fωαPk − βωk) . (D.3) 

Die hierin auftretenden Turbulenz–Reynoldszahlen und Dämpfungsfunktionen lauten 

fk = β/(3β∗ ) + (Reω/Rk) γ 

1 + (Reω/Rk) γ , fω = βω0 + Reω/2.7 

fµ (1 + Reω/2.7) 

fµ = 

β/3 + Reω/6 

1 + Reω/6 , Reω = k 

ω ν . 

, (D.4) 

Die dazugehörigen Koeffizienten können Tabelle D.2 entnommen werden. Da der Anisotropieparameter 

cµ des isotropen Modell in die Definition der spezifischen Disspationsrate 

absorbiert wurde, ergibt sich für das turbulente Zeitmaß Tt die in (D.5) notierte 

Definition 

ω := ε 

cµk 

˜g − 2β2 2 

˜g η2 − 2β2 3 

3˜g η1 

❀ Tt = 1 

cµω 

. (D.5) 

Man beachte, daß das anisotrope Stress–Strain Gesetz mit cµ normiert werden muß. 

Für die low–Re Variante des Basismodell ergibt sich z.B. 

⎛ 

⎞ 

 

bij = −fµ ⎝ 

(β1/cµ) 

⎠ sij − β2 

sikw 

˜g 

∗ kj − w ∗ 

2β3 

ikskj + s 

˜g 

2 ij − η1 

3 δij 

. 

(D.6) 

Die Koeffizienten βi folgen den in Tabelle 4.2 bzw. Gleichung (??) angegebenen Beziehungen. 

Tabelle D.2: Koeffizienten des low-Re k − ω Modells (Wilcox, 1994). 

Modell β ∗ = cµ α β βω0 Rk γ P rk P rω 

EASM 0.09 5/9 3/40 0.1 10 2 2.0 2.0 

Wilcox (1994) 0.09 5/9 3/40 0.1 8 4 2.0 2.0 

223

Anhang E Greensche Integration 

Der Anhang beschreibt die Herleitung der Greenschen Funktion, welche zur Modellierung 

der Druck–Scher–Korrelation verwendet wird. Die Greensche Funktion ergibt sich 

aus dem Greenschen Satz, den man aus der Anwendung des Intergalssatzes von Gauß 

 

 

∇ · ψ dV = dA · ψ , (E.1) 

auf eine Funktion ψ = Φ∇B − B∇Φ 

❀ 

 

O(V) 

V 

O(V) 

dA · (Φ∇B − B∇Φ) = 

= 

 

V 

 

V 

∇ · (Φ∇B − B∇Φ) dV 

(Φ∆B − B∆Φ) dV (E.2) 

erhält. Im speziellen Falle von B = r −1 ergibt sich unter Verwendung von Kugelkoordinaten 

für isotrope Funktionen Φ = Φ(r), mit ∆Φ = Φ,rr +2Φ,r /r und ∇Φ = Φ,r e r, 

− 

 

O(V) 

 

Φ Φ,r 

dA · er + 

r2 r 

= − 

= − 

 

V 

 

V 

 

1 

Φ,rr +2 

r 

Φ,r 

 

r 

∆Φ dV 

r 

dV 

. (E.3) 

Man beachte, daß B = r −1 die Laplacegleichung identisch erfüllt, weswegen der erste 

Term des Volumenintegrals verschwindet. Das Oberflächendifferential lautet 

dAr = r 2 sin(θ) dθdφ , dAθ = r 2 sin(θ) drdφ , dAφ = r 2 sin(θ) dθdr , 

Das Volumenintergral ergibt sich aus dV = r2 sin(θ) dr dθ dφ . Da die Gewichtsfunktion 

B = r−1 für r = 0 singulär ist, wird dieser Punkt aus der Integration ausgeschlos- 

sen. Man integriert anstelle dessen über einen 

dA zweifach zusammenhängendes Gebiet, welches 

neben der äusseren Schale noch eine innere 

dA 

Schale mit dem Radius 1 >> a > 0 umfasst. 

a 

(Abbildung E.1). 

Für Funktionen, die für r → ∞ hinreichend 

r 

schnell gegen Null streben verschwindet die 

Integration über die äussere Kugeloberfläche. 

Zur Integration der inneren Fläche trägt im 

Abbildung E.1: Greensche Integration. Grenzübergang a → 0 lediglich der erste Sum- 

224

mand des Oberflächenintegrals bei 

Φ(r = 0) = − 1 

4π 

 

V 

∆Φ dV 

r 

GREENSCHE INTEGRATION 

. (E.4) 

Im Zusammenhang mit der Modellierung der Druck-Scher Korrelationen φij verwendet 

man die oben skizzierte Vorgehensweise zur Berechnung des fluktuierenden Drucks p 

aus der Druckpoissongleichung (1.60). 

Substituiert man für inkompressible Medien Φ = p/ρ in Gleichung (E.4) und vewendet 

weiterhin die Druckpoissongleichung (1.60) 

∆p 

ρ 

 

∂Ui ∂uk 

= −2 + eijkΩj 

∂xk ∂xi 

− ∂2 (uiuk) 

∂xk∂xi 

+ ∂2 (uiuk) 

∂xk∂xi 

zur Formulierung des Integranden in (E.4), so findet sich eine einfache Beziehung für 

den fluktuierenden Druck 

 

p 1 ∂ 

= 2 

ρ 4π 

Ûi 

 

∂ûk ∂ 

+ eijkΩj 

∂ˆxk 

∂ˆxi 

2 (ûiûk) 

+ 

∂ˆxk∂ˆxi 

∂2 (ûiûk) 

− 

∂ˆxk∂ˆxi 

1 ∂ 

ρ 

ˆ f ′ 

i d 

∂ˆxi 

ˆ V 

. (E.5) 

r 

Die Funktion 

V 

G(r = |ˆxi − xi|) = − 1 

4π 

1 

|ˆxi − xi| 

+ 1 

ρ 

nennt man auch Greensche Funktion. Man beachte, daß (E.5) and die Gültigkeit 

lim 

r→∞ p & p,r → 0 

gebunden ist, andernfalls tritt noch ein zweites Oberflächenentegral in Gleichung (E.5) 

auf. 

225 

∂f ′ i 

∂xi

Anhang F Zweipunktkorrelationen 

Der Anhang beschreibt elementare Rechenregeln für die Behandlung von Zweipunktkorrelationen, 

wie sie zur Modellierung der Druck–Scher–Korrelationenen verwendet 

werden. Mit Hilfe der Transformation 

ergibt sich 

Von (F.3) folgt 

∂ 

∂rl 

∂(uiûj) 

∂rk 

∂Rij 

∂rk 

∂(uiûj) 

∂xk 

∂Rij 

∂xk 

∂Rij 

∂xk 

= 

= 

ˆxi = xi + ri und (F.1) 

ˆΦ = Φ(ˆxi) Φ = Φ(xi) 

 

∂ui 

ûj + ui 

∂rk 

 

∂ui ∂xm 

∂xm 

∂rk 

 

0 

 

∂ûj 

∂rk 

ûj + ui 

 

∂ûj ∂ˆxm 

, 

∂ˆxm ∂rk 

 

∂ûj 

= ui , (F.2) 

∂ˆxk 

= 

= 

= 

 

∂ui 

∂xk 

 

∂ui 

∂xk 

 

∂ui 

∂xk 

ûj + ui 

ûj + ui 

ûj + ∂Rij 

 

∂ûj 

∂xk 

 

∂ûj ∂ˆxm 

, 

∂ˆxm ∂xk 

∂rk 

δmk 

− ∂Rij 

 

= 

∂rk 

∂ 

 

∂ui 

ûj = 

∂rl ∂xk 

∂ui 

∂xk 

226 

δmk 

. (F.3) 

∂ûj 

∂ˆxl 

. (F.4)

Kapitel

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