Kapitel

1.3. STATISTISCHE BESCHREIBUNG TURBULENTER STRÖMUNGEN
das Auftreten der zweiten statistischen Momente uiuj, uiT ′ und uiϕ . Die Reynolds–
gemittelten Quellterme ergeben sich aus den in Kapitel 1.2 beschriebenen Materialgleichungen
∂Ui
τij = µ +
∂xj
∂Uj
µcp ∂T
= 2µ Sij , qi = −
∂xi
P r ∂xi
, (1.53)
φd = τijSij = 2µS 2 ii , f ∗
i = f i − 2ρeijk ΩjUk . (1.54)
Die turbulente Dissipationsrate ˜ε ist das turbulente Analogon der molekularen Dissipationsfunktion
φd
˜ε := 2ν S ′ 2
ii , mit S ′
∂ui
ik = 0.5 +
∂xk
∂uk
∂ui ∂ui
und ε := ν
∂xi
∂xk ∂xk
∂ui ∂ui
= ν
∂xk ∂xk
+ ∂ui
∂xk
∂uk
=
∂xi
(1.49)
ε + ν
∂ 2 uiuk
∂xi∂xk
1
= ε 1 + O
Re
(1.55)
Der zweite Summand von ˜ε wird üblicherweise vernachlässigt. Die Vereinfachung ˜ε = ε
ist sowohl für Wandturbulenz (Anhang D) als auch homogene Turbulenz exakt, weswegen
ε vielfach auch homogenene Dissipationsrate genannt wird. Die homogene Dissipationsrate
steht in engem Zusammenhang mit dem Begriff der Enstrophie, welche
wie folgt definiert ist
Homogenität : 2 W ′ 2
ii ≈ 2 S′ 2 ε
ii = . (1.56)
ν
Die zweiten statistischen Momente können entweder durch ein Wirbelzähigkeits– bzw.
Wirbeldiffusivitäts–Turbulenzmodell oder eine höherwertige Modellierungstechnik geschlossen
werden. Die höherwertige Modellbildung stützt sich auf die exakten Transportgleichungen
der zweiten statistischen Momente, welche sich unmittelbar aus den
Transportgleichungen der beiden an der Korrelation beteiligten Fluktuationen entwickeln
lassen.
1.3.3 Fluktuations–Transportgleichungen
Die Differenz von Reynolds–gemittelten und Momentangleichungen führt zu Transportgleichungen
für die Fluktuationen, von denen vor allem die Kontinuitätsbeziehung
und die Transportgleichung einer Geschwindigkeitsfluktuation von Interesse sind
∂ui
∂xi
D ui
Dt
≡ 0 , (1.57)
= −uj
∂Ui
= − 1 ∂p
ρ ∂xi
∂xj
+ ∂ui
∂xj
− 1 ∂p
ρ ∂xi
+ ∂ ′
2νS ij + uiuj − 2eijkΩjuk +
∂xj
f ′ i
ρ ,
∂Ui
− uj +
∂xj
∂
(uiuj − uiuj) + ν
∂xj
∂2ui ∂x2 − 2eijkΩjuk +
j
f ′ i
ρ
19
. (1.58)