Kapitel

9.1. ITERATIVE TECHNIK
high–Re Bereichen mit vernachlässigbaren Diffusionsprozessen auf der Grundlage einer
k − ε Formulierung (2.17) bzw. (2.18)
Dk
Dt
= P − ε , und
Dε
Dt = (P Cε1 − εCε2) ε
k .
Die Transportgleichung des turbulenten Zeitmaßes Tt lautet damit
D(k/ε)
Dt
= DTt
Dt
= P
ε (1 − Cε1) − (1 − Cεε2) .
Beschränkt man die Betrachtungen auf lokal zweidimensionale, inkompressible Strömungen
mit P/ε = 2cµη1, dann ergibt sich mit ˜ C1 = (Cε1 − 1) und ˜ C2 = (Cε2 − 1)
DTt
Dt = −2cµη1 ˜ C1 + ˜ C2
=
=
2 (β1/g) ˜ S2 2
kkTt ˜ C1
1 − 2
3 ˜ S2 2 2 β3
kkTt − 2 g
˜ W 2 2
kkTt ˜C2 − T 2
˜S t
2
kk 2 ˜
−β1
C1 + g
˜ C2 2
3
1 − ˜S 2 2 2 β3
kk + 2 3 g
˜ W 2 kk
2 +
β2
g
˜ C2
2
β3 + 2 g
˜ W 2 kk
2
β2 T g
2
t
2
β2 ˜C2
g
In Lagrangescher Betrachtungsweise besitzt die Gleichung (9.3) die Struktur
∂Tt
∂t = ˜ C2 − B∗ T 2
t
1 − A∗ T 2
t
(9.2)
mit B ∗ = ˜ C2A ∗ − 2 ˜ β1
C1
g ˜ S 2 kk . (9.3)
Von besonderem Interesse ist der Nenner (1 − A ∗ T 2
t ), der dem Nenner des Anisotropieparameters
cµ entspricht. Im Weiteren wird versucht, einen Nachweis dafür zu
erbringen, daß eine Nullstelle des Nenners sehr unwahrscheinlich ist. Hierzu werden, für
anfänglich vorausgesetzte g > 0, mehrere Fallunterscheidungen von B ∗ durchgeführt.
A) negative Parameterwerte B ∗
Im Falle B ∗ ≤ 0 folgt, für von Null verschiedene Initiallösungen von g, wegen ˜ C1, ˜ C2 > 0
und β1 < 0 (vgl. Tabelle 4.2)
˜C2A ∗ ≤ 2 ˜ β1
C1
g ˜ S 2 kk ❀ A ∗ ≤ 0 und 1 − A∗T 2
t > 0 . (9.4)
B) positive Parameterwerte B ∗
Setzt man voraus, daß das turbulente Zeitmaß Tt eine kontinuierliche Funktion ist,
dann läßt sich (9.3) wie folgt integrieren
˜C2 +
√ B∗Tt ˜C2 − √ B∗
Tt = eγ
, mit γ = t − A∗
B∗ Tt
2 ˜C2B
+ Const.
∗
1 − A∗
B∗ ˜ . (9.5)
C2
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